Cálculo diferencial e integral de una variable 1 Límite de una función en un punto. Clase 1.1

11

Cálculo diferencial e integral de una variable

Límite de una

función en un punto.

Clase 1.1

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Habilidades

• Compara numéricamente los comportamientos de una función en la vecindad de un punto.

• Interpreta el significado de la notación

• Determina si una función tiene o no límite en un punto a partir de la gráfica.

• Determina límites laterales y grafica sus comportamientos.

• Calcula límites infinitos e interpreta geométricamente sus resultados.

• Calcula límites de formas indeterminadas.• Evalúa límites de operaciones combinadas

dados los lugares geométricos.

limx a

f x L

33


Recta Tangente (Circunferencia)

Lt

x

yPunto tangencial

Problema 1: Encontrar la recta tangente a la circunferencia , que pasa por el punto ( -3 ; 4 ).

2 2 25x y

44


¿Cómo determinar la ecuación de la recta tangente a la curva ; que pasa por el punto P(-1;-1)?

3f x x

55


El número e.

ktBtF )71828.2()(

ktBtF )71828.2()(

))71828.2(1()( ktBtF

ktQ

KtF

)71828.2(1

)(

khPhP )71828.2()( 0

Algunos de los valores obtenidos en el desarrollo de este límite son:

66


x

y y

x

x

yy

x

LL

L

xo xo

xoxo

y = f(x)

f(xo)

f+(xo)

f-(xo)

y = f(x)

y = f(x)y = f(x)

77


Límite de una función en un punto

88


Límite de una función en un punto

Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto alrededor de a (posiblemente excepto en a). Si los valores de f(x) se acercan de manera arbitraria a L para todo valor x suficientemente cerca de a, se dice que la función f se aproxima al valor límite L conforme x se aproxima a a.

limx a

f x L

Pag. 91

99


Nota:

La definición no es rigurosa por los términos imprecisos que se emplean.

La función puede o no estar definida en el punto.

La aproximación al número a es por ambos lados.

x f (x) x f (x)

1010


TEOREMA

Si L existe es ÚNICO.

TEOREMA DE UNICIDAD DE LIMITETEOREMA DE UNICIDAD DE LIMITE

Si el límite de f(x) cuando x tiende a “a” existe, entonces es único.

2

x 1

x 1lim 2

x 1

1111


Función de heaviside

01

00

, t

, tH(t)

a

L

x

ySea f definida en (a,c) y sea L un número real. La afirmación

Lf(x)ax

lim

)(xfy

1212


Límite y límites laterales

Una función f(x) tiene un límite cuando x tiende a a si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:

lim f (x ) = Lx alim f (x) = +x

a

lim f (x ) = L

-x a

si y sólo si

Pag 96

1313


Ejemplo

2lim1

xgx

1;21

1;1

12

xx

xx

xxg

1414


A continuación se muestra la gráfica de una función g. Úsela para definir los valores, en caso de existir, de:

)x(glim2x

)x(glim2x

)x(glim2x

)x(glim3x

)x(glim3x

)x(glim3x

1515


Límites infinitos

• DefiniciónDefinición: Sea una función f definida a ambos lados de a excepto tal vez en el mismo a. Entonces:

significa que los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente grande (tan grande como se quiera) tomando x lo suficientemente cercano de a, pero distinto de a.

Pag. 96

1616


Asíntotas verticales

DefiniciónDefinición: La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva representada por si por lo menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

)(lim;)(lim;)(lim xfxfxfaxaxax

)(lim;)(lim;)(lim xfxfxfaxaxax

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1717


Cálculo de límites utilizando las leyes de los límites

Suponga que c es una constante y que los límites

Existen. Entonces

xgxfaxax

limylimPag. 102 - 104

positivo enteroun es donde limlim11.

positivo enteroun es donde lim.10

lim 9. lim 8. lim 7.

positivo enteroun es donde limlim 6.

0lim si lim

limlim.5

limlim.4

limlimlim.3

limlimlim.2

limlimlim.1

nxfxf

nax

axaxcc

nxfxf

xgxg

xf

xg

xf

xfcxcf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

nax

n

ax

nn

ax

nn

axaxax

n

ax

n

ax

axax

ax

ax

axax

axaxax

axaxax

axaxax

Revisar ejemplos 1- 7

1818


x alim f(x) = f(a)

TEOREMA

Si f es un polinomio o una función racional y a está en el dominio de f, entonces:

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1919


Formas Indeterminadas 0/0

1

12

x

xf(x)

0

0

1

12

x

x

1. Sea la función :

Si x = 1 :

0

0

2

4

x

x

2. Sea la función :

Si evaluamos en x = 4 :2

4

x

xf(x)

Pag. 105

2020


Simplificación

g = h/

lim h(x)x a

lim g(x) =x a

a

g

x

y

L

a

hL

x

y

2121


Ejemplos

h 0

2 2lim

hh

2

2x 1

2lim

x xx x

3. Evaluar

4. Evaluar

5. Evaluar2-x

22

5xx

lim

23

2x

2222


x 2

2 4lim

2

x

x

6. Evaluar

x 4lim f x

7. Si 4, 4

8 2 ; 4

x xf x

x x

Determinar si existe

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