View
239
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
COORDENADAS POLARES
46 Integrales
2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Habilidades
1. Representar puntos del plano en coordenadas polares.
2. Deducir la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar.
3. Reconocer y graficar ciertas curvas notables en coordenadas polares.
3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
0
y
x
(x, y)
Coordenadas Rectangulares
P
x
y
4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Polo Eje Polar
r
θ
P (r, θ)
Coordenadas Polares (r, θ) de un Punto P
0
Emplea distancias y direcciones.
r es la distancia de O a P.
θ es el ángulo entre el eje polar y el segmento OP.
θ es positivo si se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj.
θ en radianes.
5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Si r < 0, entonces P(r,θ) se define como el punto que se encuentra a |r| unidades del polo en la dirección opuesta a la que da θ.
0
θ
P(-r,θ)
P(r,θ)
6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
En un sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones
3.0
2
P(2, )
2nπ3π
2nπ
3π
;2
x
y 31;P3
1
En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación.
Es decir, el punto en coordenadas polares (r; θ), se representa también por
y)2;( nθr
))12(;( nθr
7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano
De la grafica observe que:
9
y
x
r
P(x ; y)P(r ; )
x
y
senryrx cosEstas ecuaciones permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen lascoordenadas polares.
Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y, se usan las ecuaciones
x
yyxr θtan222
Si P es un punto cuyas coordenadas polares son (r ; θ) entonces, las coordenadas rectangulares (x ; y) de P serán:
8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Gráficas de Ecuaciones Polares
Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3
1 2 3 4 5 60x2 + y2 = 9
La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más generalF(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representaciónpolar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: = /4
tan tan
xy = 1
x = y
= 0
= /4
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2
= 7/4
y
x
Ejemplo:
10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
1. Resuelve: f() = 0.
2. Si existe al menos un valor para el ángulo , la gráfica sí pasa por el polo (0; ) si no, la gráfica no pasa por el polo.
¿La gráfica pasa por el polo?
¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas ecuaciones polares se dan, pasan por el polo?
a) r = 2 sen
b) r = 2 + sen
11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Simetría
1. Si una ecuación no cambia al sustituir θ por –θ, la gráfica es simétrica respecto al eje polar
(r ; )
(r ; -)
o
2. Si una ecuación no cambia al sustituir r por –r, la gráfica es simétrica respecto al polo. o(-r ; )
(r ; )
3. Si una ecuación no cambia al sustituir θ por Π – θ, la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical q = Π/2 (eje y)
(r ; ) (r ; )
12Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Algunas curvas polares comunes
Círculos
CardiodesEn general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma
)cos1( ar )1( sen ar
)cos1(2 r
)sen 1(2 r
13Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Sexta ediciónJames Stewart
Ejercicios 10.3 Pág. 647 - 648