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CÁLCULO
DIFERENCIAL
LÍMITES
CONCEPTO DE FUNCIÓN
CONCEPTO DE LÍMITE
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor (L) al que tiende una función f(x) cuando la variable independiente tiende a un número determinado (p) o al infinito.
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
Límite por un escalar. donde k es un multiplicador escalar.
Límite de una suma.
Límite de una resta.
Límite de una multiplicación.
Límite de una división.
GENERALIDAD DE LOS LÍMITES
EJEMPLO 1
Resolver el límite:
Solución:
2.- Resolver el límite
Solución: La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario
realizar algunas operaciones antes de aplicar el límite, ya que este límite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos:
Por lo que aplicando la factorización:
EJEMPLOS Y EJERCICIOS CON SUSTITUCIÓN SIMPLE
xx
xxx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
8
343lim
22
3lim
84
43lim
8lim
30lim
2
23
4
2
2
2
1
23
2
3
3
EJEMPLOS Y EJERCICIOS CON DIFERENCIA DE CUADRADOS O FACTORIZACIÓN
9
81lim
4
8lim
2
4lim
1
12lim
2
4
2
2
3
2
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
CONCEPTOS BÁSICOS
DEFINICIÓN
El cálculo diferencial es un campo de la matemática, y de el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.
Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x
DERIVADA
DIFRENCIABILIDAD
Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
DERIVADAS DE LA DERIVADA
La derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada, y así sucesivamente
Segunda Derivada =
N-ésima derivada =
2
2 )()()())(
(
dx
xfd
dx
xdf
dx
xdf
dxdxxdf
d
n
n
dx
xfd
dx
xdf
dx
xdf
dx
xdf )()(...
)()(
COCIENTE DIFERENCIAL DE NEWTON
COCIENTE DIFERENCIAL DE NEWTON Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente
de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función, así que lo que buscaremos será una aproximación esta recta, utilizando la siguiente función.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x , f(x)) y (x + h , f(x + h)) es
COCIENTE DIFERENCIAL DE NEWTON
Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:
Ejemplo 1Consideremos la siguiente función:
Entonces:
Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero no lo toca. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva
EJEMPLO (1) DE UNA DERIVA UTILIZANDO EL MÉTODO DE NEWTON
EJEMPLO (2) DE UNA DERIVA UTILIZANDO EL MÉTODO DE NEWTON
Ejemplo 2 Consideremos la gráfica de . Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5:
Entonces:
Y vemos que se cumple para cualquier número n:
Por tanto, se deduce que el valor de la función derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma
EJEMPLO (2) DE UNA DERIVA UTILIZANDO EL MÉTODO DE NEWTON
NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS
NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f(x) en el punto a, se escribe:
» para la primera derivada, » para la segunda derivada, » para la tercera derivada, » para la enésima derivada (n > 3)
NUEVAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA
La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz. Para la función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe:
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas:
Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f(x), se puede escribir la derivada como:
Las derivadas de orden superior se expresan así
o
para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, esto proviene del hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es:
que se puede escribir sin mucho rigor como:
Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba
NUEVAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA
EJEMPLOS DE DERIVACIÓN
02- )y = 5x -2
y’ =
01- ) y = 3x -4 + 3x
4
y’=
y’= (3) (-4)x -4-1 + (3)(4) 4-1
y’= -12x -5 + 12x 3
y’= (5) (-2) x -2-1
y’= -10x -3
03- ) y =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
REGLAS DE DERIVACIÓN(DAR CLIC PARA ABRIR EL HIPÉRVINCULO)
PD: LE AVISO QUE CHEQUEN SI EL HIPÉRVINCULO ESTÁ
CORRECTO, SINO ARRÉGLENLO PARA QUE NO
TENGAN PROBLEMAS
x
xxf
xxxxf
xxxxf
xxf
xxf
3
23
234
2
2)(
23)(
32)(
12)(
)(
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
x
xxf
xxx
xxf
xxxxf
xxf
xxxf
3
23
234
sin2)(
21
3)(
3cos2)(
1sin2)(
4sinsec)(
