Calculo Diferencial Segunda Edicion

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MDULO CLCULODIFERENCIAL Jorge Elicer Rondon Duran UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGAE INGENIERA UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS Bogot D. C., 2010 '( ) ( )xD yf x D yD x= =2 COMIT DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria HerreraVicerrectora Acadmica y de Investigacin Roberto Salazar RamosVicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas Maribel Crdoba Guerrero Secretaria General Leonardo Urrego Director de Planeacin MDULO CURSO CLCULO DIFERENCIALSEGUNDA EDICIN opyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2010 Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas 3 TABLADECONTENIDO UNIDAD UNO: Anlisis de Sucesiones y Progresiones 5 CAPTULO UNO: LAS SUCESIONES.6 Generalidades 6 Sucesiones Montonas9 Sucesiones Acotadas11 Sucesiones Convergentes13 Lmite de una Sucesin18 Sucesiones Divergentes 19 Ejercicios20 CAPTULO DOS: LAS PROGRESIONES22 Progresiones Aritmticas 22 Progresiones Geomtricas 25 Ejercicios29 UNIDAD DOS: Anlisis de Lmites y Continuidad 30 CAPTULO TRES: GENERALIDADES DE LMITES31 Conceptualizacin Intuitiva de Lmite31 Conceptualizacin Bsica de Lmite 31 Conceptualizacin Formal de Lmite 32 Propiedades de Lmites 34 Evaluar un Lmite 35 Ejercicios37 CAPTULO CUATRO: LMITES DE FUNCIONES Y ASNTOTAS 38 Lmites al infinito38 Lmites Infinitos 42 Formas Indeterminadas 44 Formas NO Indeterminadas48 Lmite de Funciones Trigonomtricas 48 Lmites Unilaterales 51 Lmite de una Funcin54 Asntotas 54 Ejercicios57 CAPTULO CINCO: CONTINUIDAD 59 Continuidad en un Punto59 Continuidad en un Intervalo60 Discontinuidad 64 Ejercicios 67 UNIDAD TRES: Anlisis de las Derivadas y sus Aplicaciones68 CAPTULO SEIS: FUNDAMENTACIN SOBRE LAS DERIVADAS 69 Principio Geomtrico sobre la Derivada 69 Principio Fsico sobre la Derivada 72 Incrementos74 Definicin Formal de la Derivada 75 4 Derivadas Bsicas 79 Ejercicios85 CAPTULO SIETE: DERIVADAS DE FUINCIONES ALGEBRAICAS 87 Derivada de Suma y Resta de Funciones87 Derivada de Producto de Funciones89 Derivada de Cociente de Funciones91 Derivada de la Funcin Compuesta 94 Derivada de la Funcin Implcita 98 Ejercicios 101 CAPTULO OCHO: DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES102 Derivada De la Funcin Exponencial y Funcin Logartmica102 Derivada de las Funciones Trigonomtricas 108 Derivada de las Funciones Hiperblicas 112 Ejercicios116 CAPTULO NUEVE: DERIVADA ORDEN SUPERIOR Y FUNCIONES INVERSAS 117Derivada de Orden Superior117 Derivada de Funciones Trigonomtricas Inversas 120 Derivada de Funciones Hiperblicas Inversas 124 Ejercicios126 CAPTULO DIEZ. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CLCULO DIFERENCIAL 127Teorema de Rolle127 Teorema del Valor Medio129 Ejercicios132 CAPTULO ONCE: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 133 Razones de Cambio Relacionadas 133 Formas Indeterminadas136 Mximos y Mnimos de una Funcin140 Optimizacin146 Anlisis de Graficas 152 Derivadas en la Fsica 158 Derivadas en las Ciencias Econmicas 161 Derivadas en la Estadstica 167 Ejercicios176 Bibliografa 180 5 UNIDAD UNO ANLISIS DE SUCESIONESYPROGRESIONES 6 CAPTULO UNO: LAS SUCESIONES: Leccin No 1: Generalidades: Enmuchoscontextoshacemosreferenciaalassucesiones,Elincrementobacterianoatravsdel tiempo,elaumentodelatasadeintersatravsdeltiempo,otros.Unasucesinestareferidoa secuencia,luegosepuededecirqueunasucesinesunconjuntodevaloresquepresentauna secuencia con una caracterstica determinada. Analicemos un poco la notacin: Sea n = a, a+1, a+2, a+3,Entonces: Uaes el primer trmino de la sucesin yUn el n-esimo trmino de la sucesin.La notacinpara una sucesin esta dada por: { }a n nU S=

Descripcin de una Sucesin: Las sucesiones se pueden describir desde tres puntos de vista: -A partir del termino general -A partir de los primeros trminos-A partir del primer trmino y la relacin de recurrencia. 1. El Trmino general: Toda sucesin tiene un trmino general, el cual describe dicha sucesin por comprensin; es decir, expresa la caracterstica comn de la sucesin. Ejemplo No 1: Para la sucesin { }12+ =n nn U Identificar los trminos de la misma. Solucin: Al expresar la sucesin por extensin tenemos: El primer trmino:{ } { } 3 2 11= + == nU El segundo trmino as: { } { } 4 2 22= + == nU As sucesivamente. Entonces:{ } ,... 2 ,..., 6 , 5 , 4 , 3 + = n Un Vemosqueconociendoeltrminogeneral,sepuedenobtenercadaunodelostrminosdela sucesin. { }a n nU S=Definicin Formal: Una sucesin nU es una funcin en la cual el dominio (n) son los nmeros naturales yla imagen (un)los nmeros reales. R N x f : ) ( Es decir: ) (n F n 7 2.LosPrimerosTrminos:Conociendolosprimerostrminos,sepuedehacerunanlisisdela secuencia que presentan stos y as obtener el trmino general.Lo anterior significa que de debe identificar La Regla que permiten desarrollar la secuencia. Ejemplo No 2: Sea { } ,... 7 , 5 , 3 , 1 =nUIdentificar el trmino general. Solucin: Descomponemos los trminos para buscar un patrn de secuencia, veamos: 1 0 * 2 1 0 1 10= + = + == nU 3 1 * 2 1 2 1 31= + = + == nU 5 2 * 2 1 4 1 52= + = + == nU 7 3 * 2 1 6 1 73= + = + == nU El patrn de secuencia es 1 + 2*n. Donde n = 0, 1, 2, 3,Entonces el trmino general es de la forma: { }02 1+ =n nn U Ejemplo No 3: Sea la sucesin: { } ,... 16 , 8 , 4 , 2 =nvHallar el trmino general. Solucin: Igualqueeneelcasoanterior,sebuscaunpatrndesecuencia.Seobservaquelossignosvan intercalados,luegosedebetenerexpresindepotencia,yaquecuandolabaseesnegativayel exponente positivo par; la expresin es positiva, pero si la base es negativa y el exponente positivo impar; la expresin es negativa. ( )112 2 = == nv ( )2222 2 4 = = == nv ( )332 8 = == nv ii nv 2 16= == Luego el patrn de secuencia es ( )n2 Siendo n entero positivo. 8 El trmino general de la sucesin es:{ }nnv 2 = 3.ElprimertrminoylaRelacindeRecurrencia:Larecurrenciaconsisteenidentificarun trmino de la sucesin, en funcin del trmino anterior, es decir identificar un conociendo un-1.

Ejemplo No 4: Unasucesintienecomoprimertrmino30 = u ylarelacinderecurrenciaesdelaforma: 12+ =n nu Uidentificar los primeros trminos y el trmino general. Solucin: Partiendo del primer trmino, se va construyendo uno a uno los dems.30 = u Para los siguientes trminos utilizamos la recurrencia. 12+ =n nu U5 3 2 20 1= + = + = u u7 5 2 21 2= + = + = u u9 7 2 22 3= + = + = u u11 9 2 23 4= + = + = u u As sucesivamente. Los primeros trminos: { } ,... 11 , 9 , 7 , 5 , 3 =nu Para identificar el trmino general, de la secuencia construida por la recurrencia se puede observar: 3 3 0 * 20= + = u5 3 1 * 2 20 1= + = + = u u7 3 2 * 2 21 2= + = + = u u9 3 3 * 2 22 3= + = + = u u11 3 4 * 2 23 4= + = + = u uTrmino general: 3 2 + = n un Ejemplo No 5: Unasucesintienecomoprimertrmino50 = u ylarelacinderecurrenciaesdelaforma: ) 1 3 (1 + =n nU Uidentificar los primeros trminos y el trmino general. Solucin: Partiendo del primer trmino, se va construyendo uno a uno los dems.50 = u) 1 3 ( 5 ) 1 3 (0 1 + = + = U U[ ] ) 1 3 ( 2 5 ) 1 3 ( ) 1 3 ( 5 ) 1 3 (1 2 + = + + = + = U U[ ] ) 1 3 ( 3 5 ) 1 3 ( ) 1 3 ( 2 5 ) 1 3 (2 3 + = + + = + = U U9 As sucesivamente, entonces para el n-esimo trmino: ) 1 3 (0 + = n U Un Segn el tamao del dominio, las sucesiones pueden ser infinitas o finitas. Sucesin Infinita: Una sucesin se considera infinita, si el dominio es el conjunto de los nmeros naturales. R N x f : ) ( Donde ... 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = NLa sucesin: { } 3, 5, 7, 9,11,13...nw=Esinfinita,yaquenotieneunltimotrmino,para n = 1, 2, 3, SucesinFinita:Unasucesinseconsiderafinita,cuandoeldominioesunsubconjuntodelos nmeros naturales, de tal forma quek N , para k un natural. La sucesin:1 1 11, , , ,...2 3 4nv = ` ) Es finita, para n = 1, 2, 3, 4, 5,... Elintersmatemticosecentraenlassucesionesinfinitas,yaquesonstaslasquerequieren mayor anlisis y describen diversos fenmenos de la naturaleza. Leccin No 2: Las Sucesiones Montonas Elconceptodemonotona,estarelacionadoconelaumentoo disminucin de una secuencia.Unasucesinesmontonasilasecuenciadevaloresaumentao disminuye, a medida que n crece. Loanteriorsignificaquedebenexistirdostiposdesucesiones, las crecientes y decrecientes. Es pertinente recordar que Un+1 es el trmino siguiente a Un. SucesionesCrecientes:Unasucesin nu escrecientesi,ysolosi,a partir de un n1: n nu u +1Dicho de otra forma:1 +n nu u Para que una sucesin sea creciente: 01> + n nu uSucesiones Decrecientes: Una sucesin nues decreciente si,y solo si, a partir de un n1: n nu u +1Dicho de otra forma:1 +n nu u Para que una sucesin sea decreciente: 01< + n nu u10 Paramostrarqueunasucesinescreciente,solosedebedemostrarqueladiferenciaentreun trminodadoyelsiguienteespositiva.Deigualmanera,paramostrarqueunasucesines decreciente,solosebuscademostrarqueladiferenciaentreeltrminodadoyelsiguientees negativa. Ejemplo No 6: Dada la sucesin:{ } 22+ = n un Mostrar que es creciente. Solucin: Aplicamos la relacin:01 + n nu uVeamos: { } { } { } { } 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 ) 1 (2 2 2 2 2 2+ = + + = + + + + = + + + n n n n n n n n n El trmino (2n + 1) siempre ser positivo, luego queda demostrado que la sucesin es creciente. Ejemplo No 7: Dada la sucesin )`+=24nvn mostrar que es decreciente. Solucin: Solo debemos demostrar quen nv v +1, veamos: )`+ +=)`+ + +=)`+)`+ )`+)`+ + ) 2 )( 3 (4) 2 )( 3 (12 4 8 424340242 ) 1 (4n n n nn nn n n n El ltimo trmino es negativo, luego queda demostrado que la sucesin es decreciente. ExistensucesionesqueselesllamaEstrictamenteCrecienteoEstrictamenteDecreciente,las cuales son de la forma: n nu u >+1yn nu u + n n. Para n = 0, 1, 2, 3, Por consiguiente la sucesin es creciente. Conclusin: La sucesin1 3 =nnunes montona. Leccin No 3: Las Sucesiones Acotadas La acotacin tiene que ver con llegar a un lmite, del cual no se puedepasar.Lassucesionesacotadaspresentanesta caracterstica. Unaideageneraldeacotacinpuedenserlosnmerosnaturales,quetieneuntrminoprimero, pero no tiene un ltimo trmino, entonces si hablamos del conjunto de los nmeros naturales, stos tienen cotas inferiores, pero no tienen cotas superiores. Ejemplo No 9:Dada la sucesin:)`+=11nun identificar un M que sea la mnima cota superior de la sucesin. Solucin: Si definimos algunos trminos de la sucesin, se puede observarun valor de M. Sucesiones Acotadas Superiormente: Sea la sucesin nuy sea un valor M fijo, para cualquier elemento de nu ,sisecumpleque: M un entonceslasucesinesacotada superiormente.ElvalorMdefinido,serunacotasuperiordedicha sucesin. 12 )`= ,...51,41,31,21nu Es evidente que M = 1/2 es una cota superior de la sucesin, pero hay otras cotas como 1, 2, etc. ParaelejemploNo9queseanalizanteriormente,lamnimacotasuperiorser,segnla definicin. Ejemplo No 10: Sealasucesin:{ }023 2+ =n nn n u identificarunMdetalformaquesealamnimacota superior de la sucesin. Solucin: Sidefinimosalgunostrminosdelasucesin,sepuedeobservarunvalordeM. { } ,... 18 , 7 , 0 , 3 =nuSe observa que los trminos van descendiendo.Entonces la mnima cota superior M = 3. Ejemplo No 11:Sea la sucesin { }022 =n nn vDeterminar si es acotada inferiormente. Solucin: Obtengamos algunos trminos:{ } ,... 7 , 2 , 1 , 2 =nv SepuedeobservarqueN=-2,-3,-4soncotasinferioresdelasucesindada,porconsiguiente 22 =n vn es acotada inferiormente. Definicin: Para toda cota superior C denu,sea M una cota superior, si se cumple queM < C, entonces M es la mnima cota superior denu. Sucesiones Acotadas Inferiormente: Sea la sucesinnv y sea un valor N fijo, para cualquier elemento de nv, si se cumple que: N vn entonces la sucesin es acotada inferiormente.El valor N definido, ser una cota inferior de dicha sucesin. Definicin:Paratodacotainferiorcde nu,seaNunacota inferior, entonces si se cumple queN c, entonces N es la mxima cota inferior denu. 13 Para el ejemplo No 11, se puede observar que la mxima cota inferior ser -2; segn la definicin. Sucesiones Acotadas: Una sucesin es acotada, si admite una cota superior y una cota inferior.

Se puede inferir, que cuando una sucesin tiene una cota superiory una cota inferior, la sucesin es acotada. El axioma expuesto, indica que toda sucesin acotada, tiene una mnima cota superior (mnimo) y una mxima cota inferior (mximo). Ejemplo No 12: Sea la sucesin: 112 3)`+=nnnnuEstablecer si es acotada o no. Solucin: Lo que se debe hacer es mostrar que la sucesin tiene cota superior e inferior, veamos: )`= )`+= ,...613,510,47,34,2112 3n nunnu Conalgodeobservacin,sepuedeinferirqueamedidaquencrece,lasucesintiendehacia3. Entonces la sucesin tiene como mxima cota inferior a y como mnima cota superior a 3. Por consiguiente la sucesin es acotada. Ejemplo No 13: Sea la sucesin:{ }124 =n nn vEstablecer si es acotada. Solucin: Lo que se debe hacer es mostrar que la sucesin tiene cota superior e inferior, veamos: { } { } ,... 21 , 12 , 5 , 0 , 3 42 = =n nv n v Lasucesintienecotainferiorperonotienecotasuperior,yaqueamedidaquencrece,la sucesintienealinfinito.PorconsiguientelasucesindadaNOesacotada.Solosepuededecir que es montona.Por qu? { } M u Nn Axioma de Completitud Paraunconjuntonovacodenmerosreales,sitieneunacotainferior,por consiguientedebetenerunamximacotainferior.Delamismamanera,siel conjunto tiene una cota superior, entonces debe tener una mnima cota superior.14 Analizar esta ltima afirmacin con el grupo colaborativo de trabajo y compartir con el Tutor. Demostracin: Investigar la demostracin en cualquier libro de Matemticas quedesarrolle el tema de sucesiones, peroserainteresantequeconlosargumentosexpuestos,losestudiantesenpequeogrupo colaborativo lo puedan hacer. Leccin No 4: Las Sucesiones Convergentes Laconvergenciaestarelacionadaconlatendenciaque tiene un conjunto de valores, hacia un valor dado. En esta temtica, se va a estudiar hacia donde tiende una sucesin, cuando n crece indefinidamente. Paracomprenderelconceptodeconvergencia, analizaremos inicialmente en que consiste la vecindad. VECINDAD: La vecindad esta asociada a la cercana que se desea un punto respecto a sus alrededores. Lo anterior se puede representar de la siguiente manera: ) ( a V El valor consistente en el radio de la vecindad, nos indica la longitud que tendr dicha vecindad.

Ejemplo No 14: Cual es el centro y radio de la vecindad definida por:) 2 (1 , 0V Teorema: Toda sucesin montona y acotada, es convergente. Definicin: Sea el conjunto de todos los puntos x, tal que: < a x Donde > 0 Se dice que existe una vecindad de centro a y radio . 15 Solucin: Para ) 2 (1 , 0V,el centro es 2 y el radio es 0.1, entonces: 2 0,1 = 1,9 para el extremo inferior y 2 + 0,1 = 2,1para el extremo superior.Ilustremos con una grfica. Ejemplo No 15: Se tiene el centro de una vecindad a = 4 y el radio = 0,001. De que longitud ser dicha vecindad. Solucin: La nomenclatura: ) 4 (001 , 0V Extremo inferior: a = 4 0,001 = 3,999Extremo superior: a + = 4 + 0,001 = 4,001 La longitud ser entonces: 4,001 3,999 = 0,002 Elradiodefinidopor,puedesertanpequeocomosedesee,aselintervalosermsyms pequeo. - ) SUCESIONESCONVERGENTES: Conelconceptodevecindadyloanalizadoensucesionescrecientesydecrecientes,podemos iniciar el anlisis de las sucesiones convergentes.

Teorema: Sea nv una sucesin decreciente yse asume que N es una cota inferior de la sucesin, entonces nv es convergente si se puede mostrar que: Si el lmite existe, entonces la sucesin es convergente. { } N v Limnn Teorema: Sea nu una sucesin creciente yse asume que M es una cota superior de la sucesin, entonces nu es convergente si se puede mostrar que: Si el lmite existe, entonces la sucesin es convergente. { } M u Limnn 16 La situacin de los teoremas mencionados, es demostrar que el lmite existe, lo cual se puede hacer por teora de lmites, temtica de laprxima unidad. La siguiente definicin nos muestra analticamente cuando una sucesin es convergente. Cuando el valor L no existe, entones se dice que la sucesin diverge.En caso que Un converge a L, entonces se dice que L es el lmite de la sucesin y se escribe:

L U Limnn= - ) Sucesiones que convergen a cero: Unasucesinconvergeacero,siexisteunnmeroreal 0 > ,tanpequeocomosequiera, luego es posible hallar un nmero N tal que sin > N, entonces: Paramostrarqueellmite existe, se debe buscar una relacin entre n y , de tal manera que n = f().Siselograencontrardicharelacin,sedemuestraqueellmiteexiste,porconsiguientela sucesin converge a cero. Ejemplo No 16: Dada la sucesin: )`+=422nun Demostrar que la sucesin converge a cero. Solucin: Sea>0,tanpequeocomosequiera,luegodebeexistirunnmeroNtalque:Sin>Nentonces, + n, luego: N,se cumple. { } 0 = < nnnu Lim u DEFINICIN: Sea{ }nUuna sucesin, se dice que{ }nUconverge a L, si dado una > 0; adems, un N entero, tal quepara toda n: Si < > L U N nn 17 Ejemplo No 17: Sea la sucesin: 2221)`=nnnu Dado un numero positivo , hallar unnatural N tal que ni n > N entonces N entonces nEntonces tomando el mayorentero positivo N que estacontenido en102, por ejemplo N =10, ste cumple la condicin. La conclusin sera: Si n > Nentonces 210nuyadems, { } 0 nuSea +R ,entonces: { } 0 nu 18 Losteoremasestudiadossonimportantesenelmomentoqueserequieradesarrollarsucesiones convergentes.Selesinvitaabuscarlademostracinencursosdematemticas,parasu fortalecimiento. Leccin No 5: Lmites de una Sucesin: Para determinar el lmite de una sucesin, tomamos como referencia la definicin de convergencia, el cual nos permitedefinir analticamente ste ltimo concepto. Si una sucesin{ }nutiene lmite, se dice: { } L un

Lo anterior se cumplesi:Entonces Demostracin: Para demostrar que el lmite existe, se debe cumplir:{ } L un si, y solo si, existe un >0, tan pequeocomosequiera,ademssepuedehallarunNtalque;paratodotrminode { }nuse cumple: n > Nsiempre que { } < L un En trminos generales, demostrar que una sucesin tiene lmite, es mostrar que existe una relacin entren y ; adems, que hay un nmero N que cumple la condicinn > N. Ejemplo 18: Demostrar que213 2)`+=nnvn Solucin: Sea 0 > ; sin > N, entonces: { } < L un Veamos: 0, tan pequeo como se quiera. Definamos una = 0.01, pero puede ser otro, luego debe existir un ,tal que: 01 . 0 7 ) 1 2 ( < + x Siempre que: < < 3 0 x El trabajo consiste en buscar el valor de que tenga relacin con el definido. 01 . 0 3 2 01 . 0 6 2 01 . 0 7 ) 1 2 ( < < < + x x x 005 . 0 3 01 . 0 3 2 < < x x

Observando, el valor de es 0.005. La relacin que se tiene entre y , es: = / 2. La conclusin ser: (2x+1) esta al menos 0.01 de 7, siempre que x este al menos 0.005 de 3. De esta manera, se demuestra que el lmite existe y es el que se tiene propuesto. Ejemplo 33: Demostrar: 521 213= ||

\|xxLimx Solucin: Se debe encontrar una expresin que relacione a y.A partir de la definicin: < L x f ) ( Siempre que < < a x o Tomado las expresiones del ejemplo: < 521 21xxPara > 0, tan pequeo como se quiera.Operando: 1 2351) 1 2 ( 53) 1 2 ( 52 4 5 5==+ xxxxxx x Por otro lado, como x tiende a 3, podemos asumir un como 1, , , otros. Suponiendo:1 3 < x Resolvemos la desigualdad del valor absoluto.4 2 3 1 3 3 3 1 1 3 1 < < + < + < + < < x x xComodebemosbuscarlaexpresin 1 2351xx,entoncesapartirdelaltimadesigualdad:7 1 2 3 1 8 1 2 1 4 8 2 4 ) 2 ( 4 ) 2 ( ) 2 ( 2 < < < < < < < < x x x x34 Como debemos bajarlo al denominador, entonces aplicamos el recproco o inverso multiplicativo. 311 2171 Como < = n nx x101 Entonces: nM1= Si se despeja M, se obtiene:nM1=As, se cumple la condicin,de que M depende deldefinido.Como conclusin se afirma que el limite si existe y es cero. El lmite propuesto, es un de los lmites msimportantes dentro de los lmites al infinito. A partir de lmite anterior, se puede resolver una gran cantidad de lmites al infinito, utilizando las propiedades bsicas sobre lmites. Ejemplo 39: Hallar: Solucin: Siaplicamoslaspropiedadesbsicaspodemosllegaraunaindeterminacin(Masadelantese analizar este tema) Los siguientes pasos ya los conocemos, lleguemos al ltimo: |||

\| ++ + 5 10 48 5 4 1232 3x xx x xLimx( )( ) 5 10 48 5 4 125 10 48 5 4 1232 332 3 ++ +=|||

\| ++ + x x Limx x x Limx xx x xLimxxx40 ( )( )3 23 23 312 4 5 812* 4* 5* 84* 10* 5 4 10 5xxLim x x xLim x x+ + + + = = + + Corresponde a una Indeterminacin El trabajo con este tipo de lmites es eliminar esa indeterminacin, lo cual se hace de la siguiente manera. Inicialmenteseobservaquelaexpresinracionalseatalqueelgradodelnumeradory denominador sean iguales o que elgrado del denominador sea mayor. Si esto ocurre, entonces lo queseprocedeahaceresdividircadatrminodelaexpresinporlavariableconelmximo exponente,para luego simplificar. ||||

\| ++ +=|||

\| ++ + 3 3 333 3 323332 35 10 48 5 4 125 10 48 5 4 12x xxxxx xxxxxxLimx xx x xLimx x [ ][ ][ ][ ]3 23 23 3 333 3 32335 1048 5 4125 10 48 5 4 12x xLimx xxLimx xxxxLimx xxxxxxLimxxxx ++ += ++ + Aplicando propiedad de los lmites: [ ][ ]) / 5 ( ) / 10 ( ) 4 () / 8 ) / 5 ( ) / 4 ( ) 12 (5 1048 5 4123 23 23 23 2x Lim x Lim Limx Lim x Lim x Lim Limx xLimx xxLimx x xx x x xxx +( + += ++ + Evaluando los lmites: 30 0 40 0 0 12) / 5 ( ) / 10 ( ) 4 () / 8 ) / 5 ( ) / 4 ( 123 23 2= ++ += + ( + + Finalmente: El desarrollo se hizo, utilizando las propiedades de lmites y el lmite demostrado anteriormente. Ejemplo 40: Hallar: ||

\|+ ++ 4 2 25 62x xxLimx Solucin: Sievaluamosellmitehacialatendenciadelavariable,llegamosaunaindeterminacin.( )( ).4 * 2 * 25 * 64 2 25 64 2 25 62 2 2Indx x Limx Limx xxLimxxx==+ + + =+ ++= ||

\|+ ++ Para eliminar dicha indeterminacin, procedemos a dividir cada trmino por x2.0 = ||

\| nxxkLim35 10 48 5 4 1232 3=|||

\| ++ + x xx x xLimx41 ( )( )2 2 2 22 22 2 2 22 22/ 4 / 2 / 2/ 5 / 6/ 4 / 2 / 2/ 5 / 64 2 25 6x x x x x Limx x x Limx x x x xx x xLimx xxLimxxx x+ ++=|||

\|+ ++= ||

\|+ ++ Simplificando y evaluando: ( )( )( )( )00 20/ 4 / 2 2/ 5 / 6./ 4 / 2 2/ 5 / 6/ 4 / 2 / 2/ 5 / 622222 2 2 22 2=+= + + + =+ ++=+ ++ x x Limx x Limx x x x x Limx x x Limxxxx Finalmente:04 2 25 62= ||

\|+ ++ x xxLimx Ejemplo 41: Hallar: [ ] x x Limx +12 Solucin: Comotenemosellmitedondehayraces,elcaminodesolucineslaconjugada,donde multiplicamos y dividimos por el mismo trmino pero con signo contrario.[ ]( )( )(((

+ ++ + += + x xx x x xLim x x Limx x11 1122 22 Haciendo las operaciones de producto y simplificando: (((

+ +=(((

+ + + x xLimx xx xLimx x11112 22 2 Aplicando lmite de cociente y evaluando:: ( )01111) 1 (2= =+ +=((((

+ + x x LimLimxx Para los lmites al infinito, podemos hacer una generalizacin: Sea: |||

\|+ + + + ++ + + + + om nmmmmmonnnnnnxb x b x b x b x ba x a x a x a x aLim1221112211...... Las soluciones son: 1.Si n > mentonces el lmite es 2.Si n < mentonces el limite es 0 3.Si n = mentonces el limite es an/bm

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Leccin 15: Lmites Infinitos: Loslmitesinfinitossonaquellosdondelavariabletieneaunvalorfijo,mientrasquelafuncin tiende a ms o menos infinito. Conlodesarrolladosobrelmites,yasepuedecomprenderquepasaenelsiguientecaso.343xLimxSisehicieralaevaluacindellmite,seobtendraunaexpresindela forma: 4 / 0 = Indeterminacin.En teora de lmites, cuando se obtiene cero en el denominador, sedicequesepresentaunaindeterminacin,luegoloquesehaceesquelatendenciadela variableseaalvalordefinidoperoporladerechaolaizquierda,estosedesarrollarenlmites unilaterales. Esto significa, dado un valor M > 0, existe un > 0tal que: M x f > ) (Siempre que < < a x 0

Ejemplo 42: Resolver el siguiente lmite:24) 4 (1xLimx Solucin: Comosepuedeobservar,elnumeradorsiempreser constante,mientrasqueeldenominadorser positivo. Enlagrfica,sevequecuandoxtiendea4porla derecha,lafuncintiendeainfinito.Sixtiendea4 por la izquierda, la funcin tambin tiende a infinito =) ( x f Lima xDEFINICIN: DadaLafuncinf(x)definidaenelintervaloabiertoI,elcualcontieneal valor a,entonces: =) ( x f Lima x 43 Luego: =24) 4 (1xLimx Ejemplo 43: Resolver el siguiente lmite: 21) 1 (2xLimx Solucin: En este caso el numerador es negativo, el denominador se acerca a cero a medida que la variable se acerca a uno. ==02) 1 (221xLimx Esto significa que para un valor B > 0; tan grande como se desee, debe existir un A > 0tal que para todo x que pertenece a D: (Vx D). f (x) > B siempre que x > A Veamos esto grficamente: Ejemplo 44: Resolver el siguiente lmite:[ ] 4 22+ x Limx Solucin: Por medio de las propiedades de los lmites: [ ] = + = + = + 4 ) ( 2 ) 4 ( ) 2 ( 4 22 2 2x x xLim x Lim x Lim DEFINICIN: Dada La funcin f(x) con dominio D,entonces: = ) ( x f Limx 44 Leccin 16: Formas Indeterminadas: En la teora de lmites, en muchas ocasiones nos encontramos con situaciones como las siguientes: Estos casos se denominan indeterminaciones, ya que no se puede tomar una decisin respecto a la operacin.La explicacin es relativamente sencilla. Paraelprimercaso,elcerodelnumeradorllevalaoperacinacero,mientrasqueel denominador lleva la operacin al infinito, luego Las fuerzas son contrarias, por lo cual no se puedetomarunadecisin.Igualocurreconlasegundayterceraopcin.Lacuartaopcin,el infinito de la base hace que la operacin sea infinita, mientras que el cero del exponente enva la operacin a uno, luego tambin tienen fuerzas contrarias. La habilidad de resolver lmites se basa en eliminar las indeterminaciones, existen 2 mtodos para hacerlo: Algebraicos y de clculo para eliminar indeterminaciones y as resolver lmites: 1. Mtodos Algebraicos: Entre estos tenemos la Factorizacin y la racionalizacin. -)LaFactorizacin:Seutilizageneralmentecuandosetieneunaexpresinracionalyha posibilidad de simplificarla para resolver el lmite. Ejemplo 45:Resolver el lmite: 2422xxLimx Solucin: Si evaluamos directamente se obtiene: 2 224 2 4 02 2 2 0xxLimx = = Indeterminacin Luego,laideaeseliminarlaindeterminacin,loquesepuedehacerfactorizandoelnumerador, veamos:Elnumeradoresunadiferenciadecuadrados,verdadentonces,seprocededela siguiente manera: ( )( )( ) 222 2242 222+ =+ = x Limxx xLimxxLimx x x Con este procedimiento, efectivamente se elimin la indeterminacin, ahora si es posible calcular el lmite. ( ) 4 ) 2 2 ( 22= + = +x Limx Por consiguiente: 42422=xxLimx ?00=0 00 * 0 1 000 45 Ejemplo 46:Resolver el lmite: 273323xx xLimx Solucin: Si evaluamos directamente se obtiene: 2333 9 9 027 27 27 0xx xLimx = = Indeterminacin Paraeliminarlaindeterminacin,factorizamos,elnumeradorcomofactorcomnyel denominador como diferencia de cubos. 9 3 ) 9 3 )( 3 () 3 (2732323323+ +=+ + = x xxLimx x xx xLimxx xLimx x x Ahora se puede evaluar:912739 323= =+ +x xxLimx Finalmente:91273323=xx xLimx - ) La Racionalizacin: Se utiliza generalmente cuando se tiene una expresin en diferencia donde hay presencia de radicales. Ejemplo 47:Resolver el lmite: ( ) x x Limx 22 Solucin: Si evaluamos directamente se obtiene: ( ) = = 2 22x x Limx Para eliminar un radical, se racionaliza la expresin, lo cual se hace multiplicando y dividiendo la expresin por el conjugado de dicha expresin. ( )( )( )x xx xLimx xx x x xLim x x Limx x x+ =+ + = 2222 2222 222 22 Simplificando: 02 222222 22 2== + =+ =+ x xLimx xx xLimx x Finalmente: ( ) 0 22= x x Limx

Ejemplo 48:Resolver: |||

\| +xxLimx3 30 46 Solucin: Si evaluamos directamente se obtiene: 0003 0 30=|||

\| + xLim Se nos presenta una forma indeterminada, entonces aplicamos la conjugada. ( )( )( )|||

\|+ ++ + +=|||

\| + 3 33 3 3 3 3 30 0x xx xLimxxLimx x Operando: ( )( )( )( ) ( )|||

\|+ +=|||

\|+ +=|||

\|+ + + 3 313 3 3 33 30 0 0xLimx xxLimx xxLimx x x

Evaluando el lmite: ( ) 633 213 310= =|||

\|+ +xLimx 2. Mtodos de Clculo: Corresponden al uso de los lmites al infinito y a la regla de Lhopital. El primero se analizar a continuacin, el segundo se dejar cuando se estudie las aplicaciones de las derivadas. -)LmitesalInfinito:Enocasionessetienenexpresionesenterasoracionalesdelmitesal infinitoqueconllevanaindeterminaciones.Paraloscasosdondeelgradodelpolinomiodel numerador es menor o igual al grado del polinomio del denominador,se divide todos los trminos de la expresin porla variable con el mayor exponente, para aplicarles el lmite al infinito, as se elimina la indeterminacin. Ejemplo 49:Resolver: x xx xLimx+ 3367 4 Solucin:Si evaluamos directamente se obtiene: =++ x xx xLimx3367 4 Evidentemente es una indeterminacin.Entonces dividimos cada trmino de la expresin por x3.Luego: 32640 60 4167467 4223 333 33= =++=(((

++=((((

++ xxLimxxxxxxxxLimx x Aqu aplicamos la teoradel lmite al infinito ms conocido, recordemos: 02= xKLimxSiendo K una constante. 47 Ejemplo 50:Resolver: ( ) 10 5 4 32 3 + x x x Limx Solucin: Si evaluamos directamente se obtiene: ( ) = + = + 10 * 5 * 4 * 3 10 5 4 32 3x x x Limx La solucin para eliminar esta indeterminacin es multiplicar y dividir por la variable con el mayor exponente. ( ) ( ) [ ]3 3 32333 2 3105 4 3 10 5 4 3x xxxxxxx Lim x x x Limx x + = + ( ) [ ] ( ) = = + = + * 3 0 0 0 310 5 433 23x xxx Limx Por consiguiente:( ) = + 10 5 4 32 3x x x Limx En los casos donde el grado delnumerador sea mayor que el grado del denominador, primero se hace la divisin, para luego aplicar el procedimiento anterior. Ejemplo 51: Desarrollar: 31 223+ xx xLimx

Solucin: Evaluando directamente se obtiene una indeterminacin. =+ 31 223xx xLimx Luego para eliminar la indeterminacin, primero se hace la divisin de la expresin racional: ||

\|++ =|||

\|+ 3131 22 23xxx Limxx xLimx x Por propiedad de los lmites: ||||

\|++ =||

\|++ =||

\|++ 2 222 22 231) (31) (31x xxx xxLim x LimxxLim x Limxxx Limx x x x x 48 Resolviendo: = + = + =++ =||||

\|++ 0100 10 031) (2 222 2x xxx xxLim x Limx x Por consiguiente: =+ 31 223xx xLimx Leccin 17: Formas No Indeterminadas: Dentrodellgebradelmites,sepresentansituacionesqueseconsiderannoindeterminadas.A continuacin se exponen dichos casos,que puedeser de ayuda en diversas situaciones.

Encadaunadeellas,nosepresentaambigedad,yaquesepuedetomarunadecisin,quees precisamente lo que se debe hacer al resolver un lmite. Leccin 18: Lmitesde Funciones Trigonomtricas: Los lmites tambin se pueden aplicar a las funciones trigonomtricas. Para un valor real a definido en el dominio de la funcin trigonomtrica, se cumple: [ ] ) ( ) ( a sen x sen Lima x=; [ ] ) cos( ) cos( a x Lima x=; [ ] ) sec( ) sec( a x Lima x= Ejemplo 52: Resolver los siguientes lmites: a-)[ ] ) cos(2x Limx b-)[ ] ) tan(2x Limx Solucin: Por las definiciones anteriores: a-)[ ] 0 )2cos( ) cos(2= =x Limx b-)[ ] = =)2tan( ) tan(2x Limx En trigonometra son importantes, dos lmites que analizaremos a continuacin. = *00= = =00 0=1) (0=xx senLimx49 1. Estelmitesepuededemostrarpordoscaminos,unoeselteoremadelemparedadoyotroporla regla de Lhopital. Demostracin: Utilicemoselteoremadelemparedado.Paraestotomamoscomoreferencialacircunferencia unidad. (R = 1) A1 (OAD)= rea del sectorcircularinterno A (OAC)= rea del tringulo A2 (OBC)= rea del sector circularexterno Iniciemos con el rea del sector circular pequeo. Como X = R (radio),Por definicin de funcin coseno:X=R*cos(),peroR=1,entonesX=cos(),yaqueestamostrabajandoconla circunferencia unidad, luego: ) ( cos212121) (2 2 21x X R OAD A = = = Ahora, se halla el rea del tringulo: Segn la grfica, Y = sen ().yX = cos() ) cos( ) (21*21) ( sen Y X OAC A = = Finalmente, hallamos el rea del sector circular grande: Como R = 1, que corresponde al radio de la circunferencia unidad. 2121) (22= = R OBC A Se plantea la desigualdad de las reas: 21) cos( ) (21) ( cos212 sen Multiplicamos por2cos( ) , se obtiene: ) cos(1 ) () cos( sen Aplicamos el lmite a la desigualdad: 2 1A A A 1) (0=xx senLimx50 ) cos(1 ) () cos(0 0 0 LimsenLim Lim Evaluando los lmites se obtiene: 1) (1) 0 cos(1 ) () 0 cos(0 0 senLimsenLim Como Porel teorema del emparedado: Conclusin: 1) (0=xx senLimx Ejemplo 53: Hallar:xx senLimx4) 4 (0 4 Solucin: Expresamos h = 4x, luego: 1) (4) 4 (0 0 4= hh senLimxx senLimh xPorladefinicindellmitedesen(x)cuandolavariabletiendea cero.

2. Demostracin: Para demostrar este lmite, aplicamos racionalizacin a travs de la conjugada. ( ) ( )( ) )) cos( 1 () ()) cos( 1 () ( cos 1) cos( 1) cos( 1*) cos( 12020 0x xx senLimx xxLimxxxxLimx x x+=+=++ Separamoslos lmites:) cos( 1) (*) (0 0xx senLimxx senLimx x+ Evaluando los lmites: 020* 1) 0 cos( 1) 0 (* 1 = =+sen As queda demostrado el lmite propuesto. Estos dos lmites tiene gran importante en el mundo de las Matemticas, por favor tenerlos muy en cuenta. ) ( ) ( ) (2 1A Lim A Lim A Lim 1 ) ( ) (2 1= = A Lim A Lim( ) 1 Lim A =0) cos( 10=xxLimx51 Ejemplo 54: Hallar:xx senLimx8) 6 (0 Solucin: Evaluando directamente nos aparece una indeterminacin. ( )00(6 ) 08 0 0xsensen xLimx= = Indeterminacin Debemoseliminarlaindeterminacin.Veamos.Loprimeroesaplicarlmitedeuncocientey dividir los dos trminos por x: ( )( )( )( )00000 00(6 )(6 )(6 )(6 )8 8 8 8xxxxx xxLim sen xsen xLimLim sen xx sen xxLimLim x x x Lim xLimxx ( ( = = = ( El numerador lo multiplicamos y dividimos por 6y el denominador lo dejamos igual. [ ]xxLimxx senLimxx86) 6 (600 ((

Cuando0 6 0 x xEntonces:4381 * 6) 8 (6) 6 (600 6= =((

xxLimxx senLim Leccin 19: LmitesUnilaterales: Loslmitesunilateralessurgendelanecesidaddedeterminarlmites de funciones cuando la variable tiene restricciones. Veamos el siguiente caso:33x Limx Este lmite se puede resolver solo si los x se acercan a 3 por valores mayores que ste, como: 3.01, 3.001,Cuandoxseacercaa3porvaloresmenoresquestecomo:2.99,2.999,2.9999,El lmite no existe.(Analice Porque) Utilizando la nomenclatura de lmites unilaterales, se dice:0 33= +x Limx Lo anterior indica que el lmite cuando x tiende a 3 por la derecha, la funcin dada tiende a 0. existe No x Limx = 33 Esto indica que el lmite cuando x tiende a 3 por la izquierda de la funcin dada, no existe. DEFINICIN: DadaLa funcin f(x) definida en el intervalo (a, b),si x tiende a c por la derecha, f(x) tiende a L. Entonces:( )x cLim f x L+= 52 Para que el lmite exista, sea una > 0, debe existir un > 0, tal que: 0 0,debe existir un > 0, tal que: 0 +=+11 1) (1x si xx si xx f Limx Solucin: Lafuncinquesepresentaeslafuncindefinidaporpartes,lagrficanosdejaversuslmites unilaterales.

Por consiguiente: 2 ) (1=+x f Limx Ejemplo 57: Para la funcin del ejemplo 56, muestre que el lmite cuando x tiende a 1 por la izquierda es -1. Solucin: Observandolagrficasepuedeobtenerlarespuesta,adems;porladefinicindelafuncinse puede inferir que efectivamente el lmite es -1. 54 Leccin 20: Lmite de una Funcin: El teorema muestra que el lmite de una funcin existe, solo si sus limites unilaterales existes y son iguales. Leccin 21: Asntotas: LasAsintotassonrectasquelimitanlascurvasensu recorrido,hastaelpuntoquenolasdejapasar.Las asntotas permiten observar el recorrido de las curvasen el plano. Existenrectasqueseaproximanarbitrariamenteacurvas defunciones,peronuncasetocan,sedicequelacurvase acerca asintticamente a la recta. - ) ASINTOTAS HORIZONTALES: La recta y = L, es una asntota horizontal, si se cumple una de las siguientes condiciones:

Ejemplo 58:Para la funcin dada, determinar sus asntotas horizontales, si las tiene:x x x f + = 1 ) (2 Solucin: Resolviendo el lmite, se sabe si tiene o no asntotas horizontales. ( )( )( ) x xx xLimx xx x x xLim x x Limx x x+ + +=+ ++ + += + 1111 1) 1 (22 222 22 01 1112== + =+ + x xLimx Como el lmite existe y es cero, entonces: y = 0 es Asntota horizontal de la funcin dada. TEOREMA: Sea la funcin f(x) definida en un intervalo I, el cual contiene al valor a, entonces: L x f Lima x=) (Existe, si y solo si,L x f Lim x f Lima x a x= = + ) ( ) ( L x f Limx= ) ( L x f Limx= ) (55 - ) ASINTOTAS VERTICALES: La recta x = a, es una asntota vertical, si se cumple una de las siguientes condiciones: Ejemplo 59:Para la funcin dada, determinar sus asntotas verticales, si las tiene:21) (=xx f Solucin: Primerosebuscaendondelafuncinnoestadefinida,sehacequextiendaa2,queeselpunto donde la funcin no esta definida.21 12 0xLimx+= = +y21 12 0xLimx= = Sepresentaelprimercaso,luegox=2+,lafuncinvaalinfinitopositivo,cuandox=2-,la funcinvaalinfinitonegativo,entonceshayunaasntotaverticaldelafuncindadaenx=2,adems de la horizontal que hay en y = 0. =) ( x f Lima x =) (x f Lima x56 Ejemplo 60:Para la funcin dada, determinar sus asntotas verticales, si las tiene:6 52) (2 +=x xxx f Solucin: Primero se busca en donde la funcin no esta definida, lo que se puede identificar linealizando el denominador: ( )( ) 1 626 52) (2+ += +=x xxx xxx f Se hace que x tienda a 6 y a -1, que es el punto donde la funcin no esta definida.a) = = +086 5226x xxLimx b) = = + 016 5221x xxLimx Para los dos casos se presenta la primera condicin, luego x = -1yx = 6 son asntotas verticales de la funcin dada. 57 EJERCICIOS 1. Resolver los siguientes lmites. a-)((

++ 9 5 21 2 433x xx xLimx b-) ((

+ +6 2 33 10 62 42 3x xx xLimx c-) ((

+ + 6 8 23 8 5 422 3x xx x xLimx d-) (((

+ + + + ++ + + + + + 5 2 4 65 2 3 3 47 4 2 31 3 2x x x xx x x x xLimx e-)[ ] 2 3 * + +x x x Limx 2. Resolver: ( )((

+hx h xLimh3 30 3. Resolver: ((

+ + +142 3 41xx x x xLimx 4. Resolver: ((

+xx a x aLimx 0 5. Resolver: ((

+) 6 () 4 ( ) 8 (0x senx sen x senLimx 6. Resolver: xxxLim531||

\|+ 7. Resolver los siguientes lmites: a-) ((

20) cos( 1xxLimx b-) ((

) 2 () 2 cos( 120x senxLimx 58 c-) ((

+) cos( 1) ( tan2xxLimx 8. a-)x Limo x+ b-)x Limo x

9. a-) Hallar los lmites unilaterales de la funcin < +=0 1 50 2) (2x si xx si xx fb-) Establecer si) (0x f LimxExiste 10. Sea> + =1 21 4) (22x si xx si xx ha-) Hallar los lmites unilaterales. b-) Establecer si ) (1x h Limx existe. 11. Sea la funcin: > = < =1 11 01 1) (x si xx six si xx g a-) Hallar los lmites unilaterales b-) determinar si) (1x g Limx Existe. 12. Determinar las asntotas horizontales; si existen de las siguientes funciones. a-) 11) (2+=xx fb-) x xx g44) (2= 13.Determinar la asintotas verticales; si existen de las siguientes funciones. a-) 11) (3=xxx fb-) x x xx g2 34) (2 3+ = 14. Hallar las asntotas de la funcin: 1 ) cos(1) (=xx f Si las tiene. (0 x 2) 59 CAPTULO CINCO: CONTINUIDAD El concepto de continuidad esta relacionado con la no interrupcin de una curva de una funcin en un punto o en un intervalo. Lacontinuidadesmuyimportante,debidoaqueenMatemticaslasfuncionescontinuasson trabajadas de una manera muy particular. Leccin 22: Continuidad en un Punto: Sea la funciny = f(x),adems, se a el valor de x. Se dice que f(x) es continua en x = a, sise cumplen las siguientes condiciones: 1. 2. 3. Paraqueunafuncinseacontinuaenunpunto,sedebencumplirlastrescondiciones simultneamente. Existen casos donde se puede cumplir la primera y/o segunda condicin, pero no la tercera. Ejemplo 61: Determinar la continuidad de la funcin dada en x = 4 y x = 0. 162) (2=xxx fSolucin: Aplicamos las tres condiciones para x = 4:

= ==0216 162 4) (4x f Limxy = =+=0616 42 4) 4 (2f Laprimeraysegundacondicinnosecumplen,luegolaterceratampocosecumplir,como conclusin sepuede decir que la funcin dada,NO es continua en x = 4. b) Para x = 0:

8116216 02 0) (0 ==+=x f Limx

8116216 02 0) 0 ( ==+= = x f

81) 0 ( ) (0 = = =x f x f Limx Existe x f Lima x: ) (Existe a f : ) () ( ) ( a f x f Lima x=60 Como la funcin en el punto x = 0, cumple las tres condiciones: 0( ) (0)xLim f x f Existe= = Se concluye que dicha funcin es continua en x = 0. Ejemplo 62: Determinar la continuidad de la funcin dada en x = 1 y x = 2.14) (+=xxx fSolucin: a-) Aplicamos las tres condiciones para x = 1: = =+05141xxLimx y = = =05) 1 (x f Por consiguiente, la funcin NO es continua en x = 1. b-)616142= =+xxLimxy 616) 2 ( = = = x f Como se puede observar la funcin f(x) es continua en x = 2. Leccin 23: Continuidad en un Intervalo Para determinar la continuidad en un intervalo I, ste debe definirseabierto,esdecirsoloseincluyenlospuntos internos de dicho intervalo. 61

Punto Interior: La funcin f(x) es continua en los puntos interiores del intervalo (a, b)si: Para c (a, b):) ( ) ( c f x f Limc x= Puntos extremos: La funcin f(x) es continua en los puntos extremos del intervalo (a, b)si: ) ( ) ( a f x f Lima x=+ y) ( ) ( b f x f Limb x= Esderesaltarqueloslmitesdebenexistirparaquelafuncinseacontinuaenelintervalo definido. Ejemplo 63: Sea la funcin 24 ) ( x x f =Determinar en qu intervalo la funcin es continua. Solucin: Comoelradicandonopuedesernegativo,entonces0 42 x resolviendoladesigualdadse obtiene: -2 x 2. En forma de intervalo: [-2, 2]

La funcin en estudio es continua en el intervalo [-2, 2]. Existenalgunosteoremasquefortalecenelconceptodecontinuidadenunintervalo,loscuales sern mencionados a continuacin. TeoremadelaFuncinPolinomial:Todoslasfuncionespolinomialessoncontinuasenlos Reales. Definicin: Sealafunciny=f(x)definidaenelintervaloabiertoI=(a,b).Sedicequef(x)es continua en el intervalo dado,sidicha funcin es continua en todos los puntos interioresde dicho intervalo y en los puntos extremos. 62 TeoremadelaFuncinRacional:Todoslasfuncionesracional,escontinuaensudominiode definicin. Teorema de la Funcin Valor Absoluto: La funcin valor absoluto, es continua en los Reales. TeoremadelaFuncinRaz:Lafuncinrazdendicepar,escontinuaparax>0,siendoxel radicando. Para la funcin de ndice impar, el dominio son todos los reales. TeoremadeSumadeFunciones:Sif(x)yg(x),soncontinuasenx=a,entonces,f(x)+g(x),tambinser continua en x = a.Lo mismo ocurre con la resta de funciones. TeoremadeProductodeFunciones:Sif(x)yg(x),soncontinuasenx=a,entonces,f(x)*g(x),tambinser continua en x = a.Lo mismo ocurre con el cociente de funciones, solo que en este caso, g(x) debe ser diferente de cero. Ejemplo 64: Identificar en que intervalo es continua la siguiente funcin. 254) (2=xx fSolucin: Primerodebemosidentificareldominiodelafuncin,paraluegoestablecerporelteoremade funcin racional, el dominio de la misma. Lafuncintienerestriccinenx=5yx=-5.LuegoeldominiodelafuncinsonlosReales diferentes de 5 y -5.La funcin es continua en los intervalos: (-, -5) U (-5, 5) U (5, ) Ejemplo 65: Identificar en que intervalo es continua la siguiente funcin.20 5 ) ( = x x f

63 Solucin: Primero debemos identificar el dominio de la funcin, lo cual se determina conociendo en donde la funcin se restringe.Por ser una raz de ndice par, el radicando no puede ser negativo, luego: 4 20 5 0 20 5 x x x Entonces,eldominioserntodoslosrealesmayoresoigualesde4.Asdichafuncinser continuaenelintervalo[4,).Lospuntosdedichointervalocumplenlastrescondicionesde continuidad en un punto. Ejemplo 66: Identificar en que intervalo es continua la siguiente funcin. 5 3 2 ) (2 3 4 + = x x x x f

Solucin: Sabemos que el dominio de una funcin polinomial son todos los reales, luego la funcin dada ser continuaenelintervalo(-,).Aestafuncinseledicecontinuaentodaspartes.Entiendes porqu? Ejemplo 67: Identificar en que intervalo es continua la siguiente funcin.11) (=xx f Solucin: Sabemosquela funcinserestringe enx = 1,aseldominio ser(-, 1) U (1,). Luego en estos intervalos la funcin es continua. 64 Leccin 24: Discontinuidad: Lasfuncionesquenosoncontinuasenunpuntooenun intervalo, se les dice discontinua en el punto o en el intervalo. La discontinuidad es de varios tipos, al saber. 1. DISCONTINUIDAD REMOVIBLE: Haycasosendondesepresentadiscontinuidad,peroporeltipodefuncin,sepuedeeliminarla discontinuidad, redefiniendo la funcin. Ejemplo 68: Identificarelpuntodediscontinuidadybuscarlaformadeeliminardichadiscontinuidadsies posible y resolver el lmite, para la funcin:22) (2 =xx xx f Solucin: Lafuncinpresentaunpuntodediscontinuidadenx=2,peroutilizandotcnicasalgebraicas, redefinimos la funcin y podemos resolver el lmite; es decir, eliminar la indeterminacin. ( )( )( ) 121 2222 222+ =+ = x Limxx xLimxx xLimx x x De esta manera, se puede resolver el lmite, ( ) 3 1 2 12= + = +x Limx Ejemplo 69: Identificarelpuntodediscontinuidadybuscarlaformadeeliminardichadiscontinuidadsies posible y resolver el lmite para la funcin: ( )hx h xx g33) ( += Solucin: Lafuncinpresentaunpuntodediscontinuidadenh=0,peroutilizandotcnicasalgebraicas, redefinimos la funcin y podemos resolver el lmite; es decir, eliminar la indeterminacin. ( )hx xh h x xLimhx h xLimh h3 2 2 303303 3 + += + Simplificando: hxh x hLimhxh h xLimhx xh h x xLimh h h) 3 3 ( 3 3 3 3202 203 2 2 30+=+= + + 65 2 20203 ) 3 3 () 3 3 (x xh x Limhxh x hLimh h= + =+ Se observa que el proceso matemtico, permiti resolver el lmite. 2. DISCONTINUIDAD INFINITA: Hay casos en donde la discontinuidad presentada, NO se puedeeliminar,yaque la funcin noes puede redefinir. Ejemplo 70: Determinar el punto o puntos de discontinuidad y resolver el lmite si existe. ==0 101) (20x six sixx f Limx Solucin: La funcin no se puede redefinir, luegohay una discontinuidad infinita en x = 0. Ejemplo 71: Identificarelpuntodediscontinuidadybuscarlaformadeeliminardichadiscontinuidadsies posible,para resolver el lmite de la funcin: 44) (++=xxx h Solucin: La funcin tiene un punto de discontinuidad en x = -2, la cual NO se puede evitar. Entonces: 66 =++ 442xxLimx 3. DISCONTINUIDAD POR SALTOS: Poreltipodefuncin,sepresentancasosdondeladiscontinuidadesporsaltos,casotpicola funcin parte entera. Esta funcin tambin se puede definir as:( ) 1 g x x = < + Para entero. En esta funcin se presenta discontinuidad cadavalor entero, por lo cual se le conoce como una funcin discontinua por saltos.Este tipo de funcin tampoco se puede redefinir. 67 EJERCICIOS 1. Sea la funcin 12) (2+=xx f Determinar si dicha funcin es continua en x = 0. 2. Para la funcin10 34) (2 +=x xxx fDeterminar si dicha funcin es continua en x = -2. 3. Definida la funcin.

> = 0 Solucin: Aplicando la definicin tenemos: ((

+= += xx x xLimxx f x x fLim x fx x 0 0) ( ) () ( ' Aplicamos la conjugada para eliminar la indeterminacin y simplificando. ( )( )( )( )( )((

+ + +=((

+ + + + += x x x xx x xLimx x x xx x x x x xLim x fx x 0 0) ( ' ( )( )( )( ) ( )((

+ +=((

+ + =((

+ + += x x xLimx x x xxLimx x x xx x xLim x fx x x1) ( '0 0 0 Evaluando el lmite:( ) x x x x x xLim x fx21 1 1) ( '0=+=((

+ += Leccin 29: Derivadas Bsicas: - ) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE El fundamento de la derivacin es la ocurrencia de un cambio, cuando se tiene una constante no sucede un cambio, luego la derivada en este caso es cero. Demostracin: Por definicin, aplicamos el principio del lmite del incremento relativo de la funcin y as se busca la derivada de la funcin propuesta. 0 ) ( ' = k fTEOREMA: Sea f(x) = k, siendo k una constante, se dice que la derivada esta definida de la siguiente manera:0 ) ( ' = x f80 xx f x x fLim x fx += ) ( ) () ( '0 Entonces:00 ) ( ) () ( '0 0 0=== += xLimxk kLimxx f x x fLim x fx x x Ejemplo No 82: Sea la funcin f(x) = 4.Hallarf(x). Solucin: Por la definicin: 00 4 4 ) ( ) () ( '0 0 0=== += xLimxLimxx f x x fLim x fx x x Es obvio a que la derivada es cero, ya que la funcin es una constante. - ) LA DERIVADA DE UNA VARIABLE Laderivada de la variable, tambin se le conoce como la derivada de la funcin identidad, ya que la funcin identidad es donde la variable es la misma funcin. Demostracin: Siguiendocon la definicin: 1) ( ) ( ) () ( '0 0 0== += += xxLimxx x xLimxx f x x fLim x fx x x As queda demostrada la derivada de la funcin identidad. Ejemplo No 83: Sea la funcin f(v) = v, siendo v la variable, Hallar f(v). Solucin: Utilizando la definicin: 1) ( ) () ( '0 0 0== += += vvLimvv v vLimvv f v v fLim v fv v v Por consiguiente:f(v) = 1 1 ) ( ' = x fTEOREMA: Sea f(x) = x, siendo x una variable, la derivada de f(x) esta definida por: 1 ) ( ' = =dxdyx f 81 - ) DERIVADADELAPOTENCIA Cuando se tiene una funcin de la forma f(x) = xn, para derivar se hace referencia al desarrollo de laexpansinbinomial,pormediodelocualsepuederesolverunproductonotablecuandoel exponente es un entero positivo. Demostracin: Siguiendo la definicin: xx f x x fLim x fx += ) ( ) () ( '0luego ( )xx x xLim x fn nx += 0) ( ' Desarrollando el producto notable por el binomio de Newton, tenemos: ( ) ( )xx x x nx x xn nx nx xLim x fn n n n n nx((

+ + + + += 1 2 2 10... ) (2) 1 () ( ' Simplificando: ( ) ( )xx x nx x xn nx nxLim x fn n n nx((

+ + + + = 1 2 2 10... ) (2) 1 () ( ' Se factoriza x, se obtiene: ( ) ( )xx x nx x xn nnx xLim x fn n n nx((

+ + + + = 1 2 10... ) (2) 1 () ( ' Simplificando: ( ) ( ) ) ... ) (2) 1 (( ) ( '12 10 + + + + =n nn nxx x nx x xn nnx Lim x f Desde el segundo trmino en adelante, aparece elx, luego aplicando lmite, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 02010... ) (2) 1 () ( ' + + +||

\|+ =nxnxnxnxx Lim x nx Lim x xn nLim nx Lim x f Evaluando el lmite:1 10 0 ... 0 0 ) ( ' = + + + + + =n nnx nx x f 1) ( )) ( (=n nxx nf x f DTEOREMA: Seaf(x)=xn funcindiferenciable,connunenteropositivo, entonces:1) ( '= =nnxdxdyx f82 Por consiguiente: 1) ( '=nnx x f As queda demostrado el teorema. Ejemplo No 84: Sea la funcin: f(x) = x3, Hallar f(x) Solucin: ( ) ( )xx x xLimxx x xLim x fxnnx += += 330 0) ( ' Desarrollando el producto notable: ((

+ + += xx x x x x x xLim x fx3 3 2 2 30) ( ) ( 3 3) ( ' Simplificando y operando [ ]((

+ + =((

+ + = xx x x x xLimxx x x x xLim x fx x2 203 2 20) ( ) ( 3 3 ) ( ) ( 3 3) ( ' [ ][ ]2 202 20) ( ) ( 3 3) ( ) ( 3 3) ( ' x x x x Limxx x x x xLim x fx x + + =((

+ + = Evaluando el lmite: [ ]2 2 203 ) ( ) ( 3 3 ) ( ' x x x x x Lim x fx= + + = Si se desarrolla utilizando el teorema:2 1 33 3 ) ( ' x xdxdyx f = = = Ejemplo No 85: Sea la funcin: f(x) = 5x2, Hallar f(x) Solucin: ( ) ( )((

+ +=((

+= xx x x x xLimxx x xLim x fx x2 2 202 205 ) ( 2 5 5 5) ( ' Operando y simplificando: ( )((

+ +=((

+ += xx x x x xLimxx x x x xLim x fx x2 2 202 2 205 ) ( 5 10 5 5 ) ( 2 5) ( ' [ ] x x x Limxx x xLim x fx x10 5 10) ( 5 10) ( '020= + =((

+ = 83 Utilizando el teorema: x xdxdyx f 10 2 * 5 ) ( '1 2= = = Entonces, la derivada de la funcin f(x) =5x2es'( ) 10dyf x xdx= = - ) DERIVADA CONSTANTEPORFUNCIN Cuando una funcin esta multiplicada por una constante, la derivada esta definida segn el siguiente teorema: Demostracin: Expresemos el producto de la funcin por la variable as:F(x) = k*f(x) Luego: ((

+=((

+=((

+= xx f x x f kLimxx kf x x kfLimxx F x x FLim x Fx x x)) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) () ( '0 0 0 Por lapropiedad de los lmites: ((

+=((

+=((

+= xx f x x fLim kxx f x x fk Limxx f x x f kLim x Fx x x) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( () ( '0 0 0 Finalmente:dxx dfkxx f x x fLim k x Fx) ( ) ( ) () ( '0= += Ejemplo No 86: Sea f(x) = 7x,Hallar la derivada de f(x) Solucin: [ ]xx x xLimxx x xLimxx f x x fLim x fx x x += += += 7 7 ) ( 7 ) ( ) () ( '0 0 0 [ ] [ ]7 1 * 7 7 77) ( '0 0 0= == += += xxLimxx x xLimxx x xLim x fx x x Por consiguiente: f(x) = 7 Utilizando el teorema:7 7 7 ) ( '0 1 1= = =x x x f[ ] ) ( ) ( x f kD x kf Dx x=TEOREMA: Sea f(x) una funcin diferenciable y sea k una constante diferente de cero, luego dxx dfk x kfdxd ) () ( =84 Ejemplo No 87: Sea f(x) = 12x4,Hallar la derivada de f(x) Solucin: ( ) ( )((

+ + + +=((

+= xx x x x x x x x xLimxx x xLim x fx x4 4 3 2 2 3 404 4012 ) ( ) ( 4 ) ( 6 4 12 12 12) ( ' Aplicando propiedades de lmites y simplificando:( )((

+ + + += xx x x x x x x x xLim x fx4 4 3 2 2 3 40) ( ) ( 4 ) ( 6 412 ) ( ' ( )xx x x x x x xLim x fx + + + = 4 3 2 2 30) ( ) ( 4 ) ( 6 412 ) ( ' Factorizando x y simplificando obtenemos:( )xx x x x x x xLim x fx + + + = 3 2 2 30) ( ) ( 4 ) ( 6 412 ) ( ' [ ]3 2 2 30) ( ) ( 4 ) ( 6 4 12 ) ( ' x x x x x x Lim x fx + + + = Evaluando el lmite se obtiene:0 0 0 48 ) ( '3+ + + = x x f Finalmente:348 ) ( ' x x f = Utilizando el teorema:3 1 448 4 * 12 ) ( ' x xdxdyx f = = = Generalizando: Cuando se tiene una funcin de la forma: nkx x f = ) ( Para k y n valores diferentes de cero.La derivada es de la forma: Ejemplo No 88: Sea f(x) = 15x8 + 10,Hallar la derivada de f(x) Solucin: Aplicando la generalizacin:7 1 8120 0 15 * 8 ) ( ' x xdxdyx f = + = = 1* ) ( '= =nkx ndxdyx f85 NOTA: Recordemos que la derivada de una constante es cero. EJERCICIOS 1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curvax x x f 4 3 ) (2+ =en el punto P(2, 20) 2. Cual ser la pendiente de la recta tangente en el punto P(1, -1) para la curva 21) (xx g = 3. Para la curvax x f = ) (Hallar la ecuacin de la recta tangente que para por el punto P(4, 2) 4. Hallar la ecuacin de la recta tangentepara el punto) 1 ,2(P de la curva:) ( ) ( x sen x f = 5.Unobjetoviajaalolargodeunarectademodoquesuposicinenttiempoestadadaporla ecuacin de posicin:3 2 ) (2+ = t t x Donde t esta en segundos y x en metros.a-) Cual ser la velocidad a los 3 segundos de comenzar el movimiento.b-) En que tiempo la velocidad ser de24 m/seg. 6. El movimiento de un objeto esta gobernado por la ecuacin de distancia dad por:2 3 ) ( + = t t xa-) Encontrar la ecuacin de velocidad para cualquier instante. b-) Cual ser la velocidad inicial del objeto. 7. Un cultivo de bacterias crece de modo que la masa esta dada por2212+ = t mDonde m se da en gramos y t en tiempo.a-) Cual es la tasa de crecimiento inicial. b-) Cual es la tasa de crecimiento a los 3 segundos. Enlossiguientesejercicioshallarladerivadadelafuncinpropuesta,utilizandoelprincipiode lmite del incremento o dicho de otra forma utilizando la definicin. 8. xx f1) ( = 9. 3) ( x x f = 10.) ( ) ( x sen x f = En los siguientes ejercicios demuestre que la funcin f(x) dada a continuacin NO es derivable en el punto x0 indicado. 11. 4 ) ( = x x fEn x0 = 4 86 12. > =2 32 5) (x si xx six fPara x0 = 2 Aplicando los teoremas demostrados, hallar la derivada de las siguientes funciones. 13.5 6 ) (7+ = x x f 14.1042) (3+ =xx g 15. 3 574) (xx h = 16. 24315 6) (ttt s= 87 CAPTULO SIETE: DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRICAS Leccin 30: Derivada de suma y resta de funciones: - ) DERIVADADELA SUMADEFUNCIONES Comosetieneunasumadevariasfuncionesysedeseaobtenerladerivadadedichasuma,se procede por la definicin formal de derivada. Dichodemaneramsexplicita,laderivadadeunasumadefunciones,esigualalasumadelas derivadas de las funciones. Demostracin: Siguiendo con la definicin: ((

+= xx p x x pLim x fx) ( ) () ( '0

||

\|+ + + + + + += xx h x g x f x x h x x g x x fLim x fx)] ( ) ( ) ( [ )] ( ) ( ) ( [) ( '0 Reorganizando la expresin anterior: ||

\| + + + + += xx h x x h x g x x g x f x x fLim x fx) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( '0 Por propiedad de los lmites: ||

\| ++ ||

\| ++ ||

\| += xx h x x hLimxx g x x gLimxx f x x fLim x fx x x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( '0 0 0 Luego:dxdhdxdgdxdfx h x g x f x f + + = + + = ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' -) DERIVADADE LARESTADE FUNCIONES Para la resta de funciones, se trabaja con el mismo principio utilizado en la suma. ) ( ) ( ) ( g D f D g f Dx x x+ = +) ( ) ( ) ( g D f D g f Dx x x = TEOREMA: Sea f(x), g(x), h(x) funciones diferenciables respecto a x.Dada la suma: p(x) = f(x) + g(x) + h(x), entonces la derivada de la suma esta definida por: dxdhdxdgdxdfh g fdxdx p + + = + + = ) ( ) ( '88 Dicho de manera ms explicita, la derivada de una resta de funciones, es iguala la diferencia de la derivada de las funciones. Demostracin: Siguiendo con la definicin: ||

\| += xx R x x RLim x Rx) ( ) () ( '0

||

\| + += xx g x f x x g x x fLim x Rx)] ( ) ( [ )] ( ) ( [) ( '0 Por la propiedad de los lmites:dxdgdxdfx g x f x R = = ) ( ' ) ( ' ) ( ' Ejemplo No 89: Dada la funcin: f(x) = 3x2 + 5x.Hallar la derivada de f(x) Solucin: Utilizando la definicin de derivada: ||

\| += xx f x x fLim x fx) ( ) () ( '0 Aplicndola ala funcin dada:|||

\|+ + + += xx x x x x xLim x fx] 5 3 [ )] ( 5 ) ( 3 [) ( '2 20 Desarrollando: |||

\|+ + + + += xx x x x x x x xLim x fx] 5 3 [ )] ( 5 ) ) ( 2 ( 3 [) ( '2 2 20 |||

\|+ + + + += xx x x x x x x xLim x fx] 5 3 [ ] 5 5 ) ( 3 6 3 [) ( '2 2 20 TEOREMA: Sea f(x), g(x) funciones diferenciables respecto a x.Dada la resta: R(x) = f(x) - g(x), entonces la derivada esta definida por: dxdgdxdfg fdxdx R = = ) ( ) ( '89 |||

\| + + + += xx x x x x x x xLim x fx5 3 5 5 ) ( 3 6 3) ( '2 2 20 Simplificando y factorizando: ||

\|+ + =|||

\| + + = xx x xLimxx x x xLim x fx x) 5 ) ( 3 6 ( 5 ) ( 3 6) ( '020 Aplicando propiedad de lmites: 5 ) ( 3 6 ) 5 ) ( 3 6 ( ) ( '0 0 0 0 + + = + + =x x x xLim x Lim x Lim x x Lim x f Evaluando los lmites:5 0 6 5 ) ( 3 6 ) ( '0 0 0+ + = + + = x Lim x Lim x Lim x fx x x Finalmente: 5 6 ) ( ' + = x x f Ejemplo 90: Dada la funcin: f(x) = 4x3 - 10x2.Hallar la derivada de f(x) Solucin: Utilizando la regla de resta de funciones: ) 10 ( ) 4 ( ) 10 4 ( ) ( '2 3 2 3xdxdxdxdx xdxdx f = = Por el teorema de la funcin potencia: 1 2 1 3 2 32 * 10 3 * 4 ) 10 ( ) 4 ( ) ( ' = = x x xdxdxdxdx f Operando, se obtiene: x x x f 20 12 ) ( '2 = NOTA: Se observa que para obtener la derivada de una funcin,se puede utilizar la definicin de derivada; es decir, por medio del lmite delincremento relativo.Pero si se utilizalos teoremas correspondientes, el proceso es ms rpido. Leccin 31: DerivadadeProductodeFunciones Paraobtenerladerivadadeunproducto,elprocedimientoyresultadoesmuyparticular, comparado con el de la suma y resta. g f D g D f g f Dx x x* ) ( ) ( * ) * ( + =90 Demostracin: Para demostrar la derivada de un producto de dos funciones, se parte de la definicin de derivada: Sea p(x) = f(x)*g(x), entonces:||

\| + += = xx g x f x x g x x fLimdxdpx px) ( * ) ( ) ( * ) () ( '0 A la anterior expresin le sumamos y restamos ) ( * ) ( x g x x f + ||

\| + + + + += xx g x x f x g x x f x g x f x x g x x fLimdxdpx) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) (0 Reorganizamos la expresin: ||

\| + + + + += xx g x f x g x x f x g x x f x x g x x fLimdxdpx) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) (0 El numerador lo agrupamos en dos expresiones: ||

\| + + + + += xx g x f x g x x f x g x x f x x g x x fLimdxdpx)] ( * ) ( ) ( * ) ( [ )] ( * ) ( ) ( * ) ( [0 Ahora, factorizamos f(x+x) en el primer sumando y g(x) en el segundo sumando: ||

\| + + + += xx f x x f x g x g x x g x x fLimdxdpx)] ( ) ( )[ ( )] ( ) ( )[ (0 Aplicamos la propiedad de la suma de lmites: ||

\| ++||

\| + += xx f x x f x gLimxx g x x g x x fLimdxdpx x)] ( ) ( )[ ( )] ( ) ( )[ (0 0

En cada sumando tenemos el lmite de un producto, luego por la propiedad de este tipo de lmite, los reorganizamos: ( ) ( )||

\| ++||

\| + + = xx f x x fLim x g Limxx g x x gLim x x f Limdxdpx x x x)] ( ) ( [) ()] ( ) ( [) (0 0 0 0 Evaluando los lmites:) ( ' ) ( ) ( ' ) ( x f x g x g x fdxdp+ = As queda demostrada la derivada de la suma de dos funciones. TEOREMA: Sea f(x) y g(x) funciones diferenciales en x, dado: p(x) = f(x)*g(x), entonces: ) ( * * ) ( ) ( * ) ( ' ) ( ' * ) ( ) ( ' x gdxdfdxdgx f x g x f x g x f x p + = + =91 Ejemplo 91: Se la funcin: p(x) =(3x6-5x)*(25x-4).Hallar la derivada de la funcin p(x). Solucin: Se puede observar que es un producto de dos funciones, luego aplicamos la regla para producto. )' 5 3 )( 4 25 ( )' 4 25 )( 5 3 ( ) ( '6 6x x x x x x x p + = ) 5 18 )( 4 25 ( ) 25 )( 5 3 ( ) ( '5 6 + = x x x x x p

20 125 72 450 125 75 ) ( '5 6 6+ + = x x x x x x p Simplificando: 20 250 72 525 ) ( '5 6+ = x x x x p Ejemplo 92: Se la funcin:( )( ) ) ( 10 4 ) (3 5x sen x x x q + = Hallar la derivada de q(x). Solucin: Se puede observar que es un producto de dos funciones, luego se aplica regla para producto. En el ejercicio No 3 de la seccin definicin formal de derivada. All se demuestra que si f(x) = sen(x)entoncesf(x) = cos(x). ) ( ) 30 20 ( ) cos( ) 10 4 ( ) ( '2 4 3 5x sen x x x x x x q + + + = Se puede hacer la distribucin de cos(x) en el primer sumando y sen(x) en el segundo sumando. ) ( 30 ) ( 20 ( ) cos( 10 ) cos( 4 ) ( '2 4 3 5x sen x x sen x x x x x x q + + + = Leccin 32: DerivadadeCocientede Funciones Paraobtenerladerivadadeuncociente,elprocedimientotienelosmismoslineamientosqueel caso del producto. ) () ( * ) ( *) / (2x gg D f g D gg f Dx xx=TEOREMA: Sea f(x) y g(x) funciones diferenciales en x, y g(x) 0, dado: ) () () (x gx fx c =Entonces: ) () ( ' * ) ( ) ( ' * ) () ( '2x gx g x f x f x gx c=92 Demostracin 1: Para demostrar la derivada de un cociente de funciones, se parte de la definicin de derivada: |||||

\| + += xx gx fx x gx x fLim x cx) () () () () ( '0 Operando el numerador: |||||

\| + + += xx g x x gx x g x f x g x x fLim x cx) ( * ) () ( * ) ( ) ( * ) () ( '0 |||

\| + + += ) ( * ) (1*) ( * ) ( ) ( * ) () ( '0x g x x g xx x g x f x g x x fLim x cx Sumamos y restamos la expresin:) ( * ) ( x g x f|||

\| + + + += ) ( * ) (1*) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) () ( '0x g x x g xx x g x f x g x f x g x f x g x x fLim x cx Factorizamos g(x) en el primer sumando y f(x) en el segundo sumando: |||

\| + + + += ) ( * ) (1*)] ( ) ( )[ ( )] ( ) ( )[ () ( '0x g x x g xx x g x g x f x f x x f x gLim x cx Separamos sumandos: ) ( * ) (1*)] ( ) ( )[ ( )] ( ) ( )[ () ( '0x g x x g xx x g x g x fxx f x x f x gLim x cx +((

+ + += Por propiedad de lmites de suma y producto: ) ( * ) (1*)] ( ) ( )[ ( )] ( ) ( )[ () ( '0 0 0x g x x gLimxx x g x g x fLimxx f x x f x gLim x cx x x +((

+ + += Como el lmite es con respecto a x, reorganizamos: ) ( * ) (1*)] ( ) ( [) ()] ( ) ( [) ( ) ( '0 0 0x g x x gLimxx x g x gLim x fxx f x x fLim x g x cx x x +((

+ + += Evaluando los lmites:[ ]) ( * ) (1* ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( 'x g x gx g x f x f x g x c + = Finalmente:) () ( ' ) ( ) ( ' ) () ( '2x gx g x f x f x gx c+= 93 Demostracin 2: Otraformadedemostrarladerivadadeuncocientedefuncionesesapartirdeladerivadadeun producto, as no se utiliza el lmite del incremento relativo. Dado que: ) () () (x gx fx c =Se puede escribir como:) ( * ) ( ) ( x g x c x f = Se aplica la derivada para productode funciones:) ( * ) ( ' ) ( ' * ) ( ) ( ' x g x c x g x c x f + =

Reorganizando: ) ( ' * ) ( ) ( ' ) ( * ) ( ' x g x c x f x g x c = Se resuelve la ecuacin para c(x): ) () ( ' * ) ( ) ( ') ( 'x gx g x c x fx c= Perose sabe que ) () () (x gx fx c = , reemplazamos en la ecuacin anterior: ) () ( ' *) () () ( ') ( 'x gx gx gx fx fx c= Operando en el numerador y reorganizando:) () ( ' * ) ( ) ( ' * ) () ( '2x gx g x f x f x gx c= As queda demostrada la derivada de un conciente de funciones. Ejemplo 93: Sea la funcin: 2 43 598 4 3) (x xx xx c+ = Hallar la derivada de c(x). Solucin: Sepuedeobservarquesetratadeuncocientededosfunciones,entoncesaplicandolareglapara cociente: 2 2 43 3 5 2 4 2 4) 9 () 2 36 )( 8 4 3 ( ) 12 15 )( 9 () ( 'x xx x x x x x x xx c + = Multiplicamos los trminos indicados: 2 2 43 4 6 6 8 4 6 6 8) 9 () 16 288 8 144 6 108 ( ) 12 15 108 135 () ( 'x xx x x x x x x x x xx c + + + = Eliminando parntesis: 2 2 43 4 6 6 8 4 6 6 8) 9 (16 288 8 144 6 108 12 15 108 135) ( 'x xx x x x x x x x x xx c+ + + + =94 Operando trminos semejantes:2 2 43 4 6 8) 9 (16 288 4 27 27) ( 'x xx x x x xx c+ += Ejemplo 94: Se la funcin: 10) tan() (4=xxx cHallar c(x). Solucin: Sepuedeobservarquesetratadeuncocientededosfunciones,entoncesseaplicalareglapara cociente. Posteriormente se demuestra que la derivada de tan(x) es sec2(x). 2 43 2 4) 10 () tan( ) 4 ( ) ( sec ) 10 () ( ' = =xx x x xx cdxdc Reorganizando:2 43422 432 42 4) 10 () tan( ) 4 (10) ( sec) 10 () tan( ) 4 () 10 () ( sec ) 10 () ( '== =xx xxxxx xxx xx cdxdc Finalmente: 2 4342) 10 () tan( ) 4 (10) ( sec) ( '= =xx xxxx cdxdc NOTA: Paraderivarproductoycocientedefunciones,setienenreglasbiendefinidas,noesnecesario memorizarlas, ya que con la prctica de adquiere la destreza de utilizarlas hasta que se interioricen adecuadamente.Solo la prctica permite que los procesos se comprendan y as aprender a derivar, una de las principales competencias del curso de clculo. Leccin 33: Derivada de la Funcin Compuesta Conloestudiadoenlosapartesanteriores,sepuederesolverderivadasdefuncionesmuy comunes,comosuma,producto,otros.Peroexistenmuchoscasosdondesepresentanfunciones dentro de funciones, es decir como una composicin de funciones. Casos como: x x x x f 2 5 3 ) (3 4+ =y 50 5) 7 5 ( ) ( x x x h = No se pueden resolver fcilmente con las tcnicas estudiadas hasta ahora, luego se requiere buscar una alternativa, que en clculo se llama Regla de la Cadena.El fundamento de esta regla es la composicinde funciones. - En el primer caso: u u f = ) ( Para x x x u 2 5 33 4+ = As, f es funcin de u a su vez u es funcin de x. )] ( ' )][ ( [ ' ) ( )' ( x g x g f x fog =95 - En el segundo caso:50) ( v v g =Para 57 5 x x v = En este caso, g es funcin de v y sta a su vez v es funcin de x. Haremos la demostracin del teorema por dos caminos. Demostracin 1: Sea( ) ) ( ) ( x g f x D =Asumiendo que0 ) ( ' x gEntonces: [ ][ ] [ ]((

+= = xx g f x x g fLim x g fdxdx Dx) ( ) ()) ( ( ) ( '0 Multiplicamos y dividimos la expresin anterior por ( )( ) ) () (x g x x gx g x x g + + [ ] [ ] [ ] [ ]((

+((

+ += + +((

+ xx g x x gLimx g x x gx g f x x g fLimx g x x gx g x x gxx g f x x g fLimx x x) ( ) (*) ( ) () ( ) () ( ) () ( ) (*) ( ) (0 0 0 Por definicin de derivada. [ ] [ ][ ] ) ( * ) ( ') ( ) (*) ( ) () ( ) (0 0x g x g fxx g x x gLimx x g x x gx g f x x g fLimx x=((

+((

+ + Demostracin 2: La demostracin de este teorema, requiere partir de algunos supuestos: Sea h(x) = f(g(x)). Vamos a demostrar el teorema parax = cPartimos de suponer queg(x) g(c), para todos los x diferentes de c. Como g(x) es diferenciable en x, entonces g(x) g(c) cuandox c Con estos argumentos, podemos comenzar: c xc g f x g fLim c hc x=)) ( ( )) ( () ( ' Multiplicamos y dividimos la expresin por g(x) g(c), luego: TEOREMA: Sea) (u f y = ysea) (x g u = Sigesdiferenciableenxyfdiferenciableenu, entoncesf o g (x) es diferenciable en x.Entonces:

( ) [ ] ( ) ) ( ' * ) ( ' ) ( x g x g f x g fdxd= Recordemos que f o g, significag compuesta f. 96 ) ( ) () ( ) (*)) ( ( )) ( () ( 'c g x gc g x gc xc g f x g fLim c hc x= Reorganizando: ((

=c xc g x gc g x gc g f x g fLim c hc x) ( ) (*) ( ) ()) ( ( )) ( () ( ' Porpropiedades de los lmites: ((

((

= c xc g x gLimc g x gc g f x g fLim c hc x c x) ( ) () ( ) ()) ( ( )) ( () ( ' Comosepuedeobservar,elproductocorrespondealaderivadadedosfunciones,f(g(c))yg(c), por consiguiente: ) ( ' * )) ( ( ' ) ( ' c g c g f c h = Como la demostracin se hizo parax = c, se puede generalizar: ) ( ' * )) ( ( ' ) ( ' x g x g f x h = Notacin de Leibniz: El gran matemtico Gottfried Leibniz en su desarrollo del clculo propone una nomenclatura para expresar la regla de la cadena.Sea y = f(u), donde u es la variable y seau = g(x), entonces: Ejemplo 95: Dada la funcin:( )2045 3 ) ( x x x f = Hallar la derivada de f(x). Solucin: La funcin f(x) se puede descomponer en dos funciones.x x x u 5 3 ) (4 = y 20) ( u u f =Ahora expresando la ultima funcin as: 20u y = Escribiendo la derivada de las dos formas analizadas: dxdududydxdyx u u f x f * ) ( * ) ( ' ) ( ' = = Lo que se debe hacer es derivar f respecto a uya su vez derivar u respecto a x, para multiplicar las derivadas obtenidas. 1920 ) ( ' u u f =y 5 12 ) (3 = x x u dxdududydxdy* =97 Entonces: ( ) ( ) ( )( )194 3 31945 3 5 12 20 5 12 * 5 3 20 ) ( ' x x x x x x x f = = Ejemplo 96: Dada la funcin:) 9 4 8 ( ) (5+ = x x sen x fHallar la derivada de f(x). Solucin: Se debe calcular: dxdududydxdyx u u f x f * ) ( * ) ( ' ) ( ' = = Descomponemos la funcin dada en dos funciones: ) ( ) ( u sen u f =y 9 4 8 ) (5+ = x x x u Desarrollando las derivadas:) cos( ) ( ' ududfu f = =(En el estudio de las funciones trigonomtricas se demostrarn las derivadas de sen(x))Ahora: 4'( ) 40 4.duu x xdx= = Entonces:( ) ) 9 4 8 cos( 4 40 ) ( '5 4+ = = x x xdxdyx f Ejemplo 97: Dada la funcin:9 10 6 ) (4+ = x x x fHallar la derivada de f(x). Solucin: Se debe calcular: dxdududydxdyx u u f x f * ) ( * ) ( ' ) ( ' = = Como:21) ( u u u f = =y 9 10 6 ) (4+ = x x x uEntonces: 9 10 6 2121212121) ( '42121121+ = = = = = = x xuuu ududfu f 10 24 ) ( '3 = = xdxdux uFinalmente: ( )( )9 10 6 210 2410 249 10 6 21) ( '4334+ = + = =x xxxx xdxdyx f Simplificando: ( )9 10 65 12) ( '43+ = =x xxdxdyx f NOTA:La clave de usar la regla de la cadenapara derivarfuncionescompuestas, es definir las funciones externa e interna. 98 Leccin 34: Derivadadela Funcin Implcita Toda funcin se puede expresar de dos formas: -Explcitamentey=f(x);esdecir,lavariableindependientesepuedeseparardelavariable dependiente. -Implcitamentef(x,y)=k,enestecasolavariableindependienteNOsepuedesepara fcilmente o en caso extremos no se puede separade la variable dependiente. Las funciones que se presentan a continuacin estn dadas implcitamente: - x2y3 + 4xy 6x = 2- y2 + 7xy 4y = 0 Parahallarladerivadadeestetipodefunciones,seutilizalaREGLADELACADENA,respetando desde luego los principios de la diferenciacin. La Derivacin Implcita: Pararesolverderivadasdefuncionesimplcitas,seproponeacontinuacinlospasosquese consideran pertinentes realizar: 1.Definiren la ecuacin la funcinyla variable, para saber respectoa quevariable se debe derivar. 2.Derivarlosdosmiembrosdelaecuacin,teniendoencuentatodoslosprincipiosdela derivacin. 3.Agruparlostrminosquecontenganeldiferencialdy/dx,paraobtenerelfactorcomnde dicho diferencial.4.Despejar de la expresin obtenida dy/dx.5.Finalmente se obtiene la derivada dy/dx La forma de afianzar este principio es con algunos ejemplos: Ejemplo 98: Dada la expresin:2 6 43 2= + x xy y xHallar la derivada, para x la variable. Solucin: Comoy=f(x),entoncessederivarespectoaxlosdostrminosdelaecuacin.Vemosqueel primeroysegundomiembrosonproductos,luegosederivacomoproducto,elterceroesuna constante por variable y el otro trmino de la ecuacin una constante. Parax2y3: La derivada es2 2 3*3 2 *dyx y x ydx| |+ |\ Para 4xy: La derivada es4 * 4dyx ydx| |+ |\ Para 6xLa derivada es6 Para 2La derivada es 0 k y x f = ) , (99 Agrupando: ( ) 0 6 4 * 4 2 3 *3 2 2= ||

\|+||

\| + ydxdyx xy dx dy y xAgrupamos los trminos que contienen dy/dx: ( ) ( )3 2 2 3 2 22 6 4 3 0 6 4 4 2 3 xy x y xdxdyydxdyx xy dx dy y x = = = ||

\| +Finalmente despejamosx y xxydxdy4 32 62 23= Ejemplo 99: Dada la expresin: y2 + 7xy 4y = 10 Hallar la derivada, donde y = f(x) Solucin: Se sabe quey = f(x) Para y2 La derivada es2 *dyydx| | |\ Para 7xyLa derivada es 7 * 7dyx ydx| |+ |\ Para 4y La derivada es4*dydx| | |\ Para 10 la derivada es 0 Agrupando: 0 4 7 7 2 =||

\| +||

\|+||

\|dxdyydxdyxdxdyy Factorizando y despejando:( )4 7 270 7 4 7 2 + = = + +x yydxdyy x ydxdy Ejemplo 100: Dada la expresin: 20434 3= +tvt vt Hallar dvdt Solucin: Se sabe que v = f(t) Para vt3su derivada es 2 3*3 *dvv t tdt| |+ |\ Para t4su derivada es 4t3

Para v3 / 4tsu derivada es ( )2 324 *3 416dvt v vdtt

Para 20su derivada es 0. 100 Ahora:0164 124 323 23 3 2= + +tvdtdvt vt tdtdvvt Por operacin algebraica: 0164 12 64 16 48164 12 4 3 1623 2 5 5 423 2 3 3 2 2=+ + +=+ ||

\|+ +tvdtdvt v tdtdvt vttvdtdvt v t tdtdvvt t Entonces: 0 4 12 64 16 483 2 5 5 4= + + + vdtdvt v tdtdvt vtFactorizamos:( )3 5 4 2 54 64 48 12 16 v t vt t v tdtdv = Finalmente:t v tv t vtdtdv2 53 5 412 164 64 48 = 101 EJERCICIOS Aplicando los teoremas demostrados, hallar la derivada de las siguientes funciones. 1.4 92520 ) (4 6+ + = x x x x f 2. x x xx g310 2 24) (2 3+ = 3.xxx h 91211) (3 7 = 4. 23 4315 12 3 6) (tt t tt s + = 5. Hallar la derivada de l siguiente funcin: ||

\|+ ||

\| =xxxx x f1 12 ) ( 6. Hallar la derivada de la siguiente funcin: ) ( ) (3x sen x x g = 7. Hallar la derivada de la siguiente funcin:3 22) (3 ++=y yyy n 8. Hallar la derivada de la siguiente funcin:34) (+=xx xx h 9.Dadalafuncinimplcita10 3 2 72 4= + y y x Paray=f(x),hallarladerivadadedicha funcin. 10. dada la funcin16 5 43= + y xy Para y = f(x)hallar la derivada de la funcin. 11. Hallar la derivada de la funcin y = f(x) a partir de: 1044 3+ =+xxx y

12. Hallar la derivada de la funcin y = f(x) a partir de: 164 56 42=+xx y

102 CAPTULO OCHO: DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES Leccin 35: Derivada De la Funcin Exponencial y Funcin Logartmica - ) DERIVADADELAFUNCIN EXPONENCIAL En los cursos previos se ha estudiado la funcin exponencial y sus propiedades, las cuales son muy importantesparapoderdesarrollarladerivadadestetipodefunciones.Espertinenteque recordemos algunas de las propiedades de los exponentes. Para a > 0,b > 0,n entero positivo; mayor o igual a dos. Adems x e y nmeros reales:

1. Derivada de Funcin Exponencial Base a: y = ax

Demostracin 1: Utilizando la definicin de derivada:( ) ( )((

=((

=((

=((

= + xaLim axa aLimxa a aLimxa aLimdxdyxxxx xxx x xxx x xx1 10 0 0 0 Sireemplazamosaporcualquierenteropositivo,porejemplo2,aldesarrollarellmitese obtiene:69314 , 01 20|||

\| xLimxx Veamos:

x 0,10,010,0010,00010,00001 |||

\| xLimxx1 20 0,71770,69550,69330,693170,6931 xedxdy= =xe y( )( )nxn x y xyxxxxy xyxx x x y x y xa a a ababaaaab a b a a a a= = =||

\| = = = +) 6 ) 3) 5 ) 2* * ) 4 * ) 1*Dada la funcin f(x) = ax Para a>0, Entonces: ) ( ) ( ' a Ln adxdyx fx= = 103 Por otro lado: 693147 , 0 ) 2 ( LnPor consiguiente:) 2 (1 20LnxLimxx=|||

\| As para cualquier valor de a. Entonces:( )) (10a Ln axaLim adxdyxxxx=((

= Demostracin 2: Otraalternativaparademostrarladerivadadelaexponencial,esutilizandopropiedadesdelos exponentes y logaritmos. Como la funcin es y =ax entonces: ( ) ( ) ( )) ( ) ( a xLn a Ln xedxdedxdadxd x= = La ltima expresin se deriva utilizando la regla de la cadena: ( ) ( ) ) ( ) ( * 1 * ) ( * ) ( *) ( ) ( ) ( ) (a Ln a a Ln e a Ln e a xLndxde edxdx a Ln a Ln a xLn a xLnx x= = = = 2. Derivada de Funcin Exponencial Natural ex: y = ex Demostracin: Utilizando la definicin de derivada:( ) ( )((

=((

=((

=((

= + xeLim exe eLimxe e eLimxe eLimdxdyxxxx xxx x xxx x xx1 10 0 0 0 Como en el caso anterior,1 ) (10= =|||

\| e LnxeLimxx Entonces:( )x xxxxe exeLim edxdy= =((

= 1 *10 3. Derivada de Funcin Exponencial Decimal 10x: y = 10x Demostracin: Con las demostraciones anteriores, por favor desarrolle la demostracin de esta derivada. Dada la funcin f(x) = exEntonces: x xe e Ln edxdyx f = = = ) ( ) ( ' Dada la funcin f(x)=10xEntonces: ) 10 ( 10 ) ( ' Lndxdyx fx= = 104 Ejemplo 101: Dada la funcin xx f24 ) ( = Hallar la derivada. Solucin: Seobservaquehaydosfunciones: uy 4 = yx u 4 = Entoncespodemosderivarlaexpresin utilizando la regla de la cadena: 4 * ) 4 ( 4 * Lndxdududydxdyu= = Entonces:xLndxdy24 * ) 4 ( 4 = Ejemplo 102: Dada la funcin 24 6) (3+=xx gxHallar la derivada. Solucin: La funcin presentada es de cociente, donde el numerador tiene una funcin exponencial. Entones: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )23 323 3) 2 (4 6 6 * ) 6 ( 3 2) 2 (1 * 4 6 6 * ) 6 ( 3 2) ( '+ =+ = =xLn xxLn xdxdyx gx x x x Ejemplo 103: Dada la funcin 3 4) (+=xe x f Hallar la derivada de f(x). Solucin: Se observa que hay tres funciones involucradas, veamos:( ) 3 421+ = = = = x v v v u e yu Entonces, por la regla de la cadena: 4 *21* * *21= = v edxdvdvdududydxdyu Reorganizando y reemplazando cada variable: 3 4224244 *21*3 42121+= = = =+xevevev edxdyx u uu Finalmente:3 423 4+=+xedxdyx 105 Ejemplo 104: Dada la funcin 2 4310 ) (+=xx f Hallar la derivada de f(x). Solucin: Se observa que hay tres funciones involucradas, veamos:( ) 2 4 10321+ = = = = x v v v u yu Entonces, por la regla de la cadena: 22112 *21* ) 10 ( 10 * * x v Lndxdvdvdududydxdyu= = Reorganizando y reemplazando cada variable: 2 4 210 * 12 ) 10 (12 *21* ) 10 ( 1032 4 22213+= =+xx LnxvLndxdyxu Finalmente:2 410 * ) 10 ( 632 4 23+=+xx Lndxdyx - ) DERIVADA DE LA FUNCINLOGARITMICA De la misma manera que la funcin exponencial, en los cursos previos se ha estudiado la funcin logartmica y sus propiedades. Veamos algunas de las propiedades de los logaritmos. Para a > 0,b > 0,r nmero racional positivo. Adems x e y nmeros reales positivos: 1. Derivada de Funcin Logartmica Base a: y = Loga(x) ) (1) ( ya xLn dxdyx Loga= =) () () ( ) 6 ) ( ) ( ) 3) ( ) 5 ) ( ) ( ) * ( ) 2) ( ) ( ) 4 0 ) 1 ( ) 1a Logx Logx Log y Log x LogyxLogx a y x Log y Log x Log y x Logx rLog x Log Logbba a a aya b a aara a= =|||

\|= = + = = = Dada la funcin) ( ) ( x Log x fa=Para a>0, Entonces: ) (1) ( 'a xLn dxdyx f = = 106 Demostracin: Porelprincipiodelafuncininversa:x a x Log yya= = ) ( Derivandolosdostrminosdela ltima ecuacin: ) (11 * ) ( ) ( ) (a Ln a dxdydxdya Ln a xdxdadxdyy y= = =Pero ay = x, entonces reemplazando:) (1a xLn dxdy= Pero podemos generalizar de la siguiente manera: ) (u Log ya= Siendo) (x f u =Entonces: 2. Derivada de Funcin Logartmica Base e: y = Loge(x) = Ln(x) Demostracin: Por el principio de la funcin inversa:x e x Ln x Log yye= = = ) ( ) (Derivando los dos trminos de la ltima ecuacin: yy ye dxdydxdye xdxdedxd 11 * ) ( ) ( = = = Pero x ey=reemplazando: x e dxdyy1 1= = NOTA: Recordemos que Ln(x) es el logaritmo neperiano, al cual invitamos que investiguemos un poco, para fortalecer estetema. Ejemplo 105: Dada la funcin) 4 ( ) (2x Log x f = Hallar la derivada de f(x). Solucin: Se observa que se trata de una funcin logartmica.Planteamos la solucin as:x u 4 =Entonces: ) ( ) (2u Log u f =Su derivada: ) ( * ) ( ) ( ' udxdu fduddxdyx f = =Desarrollando: ) 2 ( 244 *) 2 ( 21) ( 'Ln Ln dxdyx fx x= = = dxdua uLn dxdy*) (1=Dada la funcin) ( ) ( log ) ( x Ln x x fe= = Para e el nmero de Euler,Entonces: x dxdyx f1) ( ' = =

107 Ejemplo 106: Dada la funcin) ( ) 4 4 ( ) (1026x Log x Log x f + + = Hallar la derivada de f(x). Solucin: Observamosquesetratadeladerivadadeunasuma,dondelostrminossonfunciones logartmicas. Entonces derivamos cada trmino de la suma. Sea ) ( ) ( ) ( x h x g x f + = . Se deriva cada funcin: - )) ( ) (6u Log x g y = = Adems sea ) 4 4 (2+ = x u Entonces: ( )6 ) 4 4 (88 *61) ( ' * ) ( '2Ln xxxuLnx gdxdududyx g+= = = - )) ( ) (10u Log x h y = = Adems seax u = Entonces: ( )x Lnx Ln x xuLnx hdxdududyx h10 212 * 10121*101) ( ' * ) ( ' = = = = Agrupando las dos derivadas, ya que: ) ( ) ( ) ( x h x g x f + =( ) x Ln Ln xxdxdyx f10 216 4 48) ( '2++= = Ejemplo 107: Dada la funcin xxLn x f512) (7= Hallar la derivada de f(x). Solucin: Planteando la derivada como regla de la cadena:u Ln u f = ) (Dondev u =y xxv5127= Por regla de la cadena:dxdvdvdududydxdy* * =Derivando: 1255121 1 177== = =xxxxvu dudy 12521512212177== =xxxxvdvdu ( ) ( )272727 727 6512 62560 302560 5 35255 * 12 7 * 5xxxxxx xxx x xdxdv +=+=+ = = Entonces agrupando: 126 3120 1060 301251012 6512 6*12521*125778877 77 7++=||

\|+=+ =xxx xx xxxxxxxxxxxdxdy 108 Finalmente:126 377+=xxdxdy Leccin 36: Derivada de las Funciones Trigonomtricas Muchosfenmenosdelanaturalezasonmodeladospormediodefuncionesperidicascomolas trigonomtricas, por ejemplo el movimiento de un resorte,la forma en que se propaga el sonido, lasondasdeluz,loselectrocardiogramasyotros.Estonosdalamotivacinparaestudiarlas derivadas de este tipo de funciones. 1. Derivada de Funcin Seno: y = sen(x) Demostracin: Por la definicin de derivada: ) (x sen y = entonces: ||

\| += = xx sen x x senLimdxdyyx) ( ) ('0 Utilizando identidades para suma de seno: ||

\| + = = xx sen x sen x x x senLimdxdyyx) ( ) ( ) cos( ) cos( ) ('0 Operando trminos semejantes y Reorganizando: [ ]||

\|+ =||

\|+ = = xx senxxx x senLimxx sen xxx sen x x senLimdxdyyx x) () cos(1 ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ('0 0 Aplicando la propiedad de la suma de lmites: [ ]||

\|+ ||

\| = = xx senx Limxx x senLimdxdyyx x) () cos(1 ) cos( ) ('0 0 Como el lmite es del incremento, entonces: [ ]||

\|+ ||

\| = = xx senLim xxxLim x sendxdyyx x) () cos(1 ) cos() ( '0 0

En las temticas de lmites se demostr dos lmites muy importantes en funciones trigonomtricas.[ ]01 ) cos(0= ||

\| xxLimx y 1) (0= ||

\| xx senLimx Entonces, retomando la demostracin: ) cos( 1 * ) cos( 0 * ) ( ' x x x sendxdyy = + = = sen(x) y' cos(x) y = =Dada la funcin f(x) = sen(x)Entonces:) cos( ) ( ' xdxdyx f = = 109 Generalizando: Sea la funcin) ( ) ( u sen x f = donde ) (x f u =entonces por la regla de la cadena: 2. Derivada de Funcin Coseno: y = cos(x) Demostracin: Por la definicin de derivada: ) cos(x y = entonces: ||

\| += = xx x xLimdxdyyx) cos( ) cos('0 Utilizando identidades para suma de coseno: ||

\| = = xx x sen x sen x xLimdxdyyx) cos( ) ( ) ( ) cos( ) cos('0 Reorganizando: [ ]||

\| =||

\| = = xx sen x sen x xLimxx sen x sen x x xLimdxdyyx x) ( ) ( 1 ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) cos('0 0 [ ]||

\| ||

\| = = xx senLim x senxxLim xdxdyyx x) () (1 ) cos() cos( '0 0 Finalmente:) ( 1 * ) ( 0 * ) cos( ' x sen x sen xdxdyy = = = Generalizando: Sea la funcin) cos( ) ( u x f = donde ) (x f u =entonces por la regla de la cadena: Esta generalizacin aplica a las dems funciones trigonomtricas. Dada la funcin f(x) = cos(x)Entonces: ) ( ) ( ' x sendxdyx f = = dxduu sendxdududydxdyx f * ) ( * ) ( ' = = =dxduudxdududydxdyx f * ) cos( * ) ( ' = = =110 3. Derivada de Funcin Tangente: y = tan(x) Demostracin:Poridentidadesdecocientesabemosque: ) cos() () tan(xx senx y = = entoncesderivamoslafuncin como cociente:) ( sec) ( cos1) ( cos) ( ) ( cos) ( cos)) ( ( * ) ( ) cos( * ) cos('22 22 22xx xx sen xxx sen x sen x xdxdyy = =+= = =As queda demostrada la derivada de la tangente.Es pertinente repasar lo referente a identidades trigonomtricas, ya que son una herramienta muy til en este tipo de demostraciones. 4. Derivada de Funcin Cotangente: y = cot(x) Demostracin:Por identidades de cociente sabemos que:) () cos() cot(x senxx y = =entonces derivamos la funcin ( )) (1) () ( cos ) () () ( cos ) () () cos( * ) cos( )) ( ( * ) ('2 22 222 22x sen x senx x senx senx x senx senx x x sen x sendxdyy=+ = = = = Por identidades recprocas: ) ( cos) (1'22xx sen dxdyy == = 5. Derivada de Funcin Secante: y = sec(x) Demostracin:Sabemos que la secante es el recproco del coseno: ) cos(1) sec(xx y = = Entones:) tan( * ) sec() cos() (*) cos(1) ( cos) () ( cos)) ( ( * 1 0 * ) cos('2 2x xxx senx xx senxx sen xdxdyy = = = = = Dada la funcin f(x) = tan(x)Entonces: ) ( sec ) ( '2xdxdyx f = = Dada la funcin f(x) = cot(x)Entonces: ) ( csc ) ( '2xdxdyx f = = Dada la funcin f(x) = sec(x) Entonces: ) tan( ) sec( ) ( ' x xdxdyx f = = 111 6. Derivada de Funcin Cosecante: y = csc(x) Demostracin:Sabemos que la cosecante es el recproco del seno: ) (1) csc(x senx y = = Entonces:) cot( * ) csc() () cos(*) (1) () cos() () cos( * 1 0 * ) ('2 2x xx senxx sen x senxx senx x sendxdyy = === = Enseguidavamosaproponeralgunosejemplosmodelossobrederivadasdefunciones trigonomtricas. Ejemplo 108: Dada la funcin ) cos( 5 ) 4 ( ) ( x x sen x f + =hallar la derivada de f(x). Solucin: Se observa que f(x) se presenta como una suma de dos funciones trigonomtricas, as seay = sen (4x)adems u = 4x entonces: [ ] ) 4 cos( 4 4 * ) cos( * ) 4 ( x udxdududyx sendxd= = = Adems [ ] ) ( 5 )) ( ( 5 ) cos( 5 x sen x sen xdxd = =Entonces:) ( 5 ) 4 cos( 4 ) ( ' x sen xdxdyx f = = Ejemplo 109: Dada la funcin) 5 cos() 5 tan() (xxx g = hallar la derivada de g(x). Solucin: Se observa que g(x) se presenta como un cociente de dos funcionestrigonomtricas, entonces: ) 5 ( cos) 5 ( ) 5 tan( 5 ) 5 ( cos1* ) 5 cos( 5) 5 ( cos)) 5 ( ( * 5 * ) 5 tan( ) 5 ( sec 5 * ) 5 cos() ( '2222xx sen x xxxx sen x x xdxdyx g+= = = ) 5 ( cos) 5 ( 5) 5 ( cos5) 5 ( cos) 5 ( ) 5 tan( 5) 5 ( cos) 5 cos(5) 5 ( cos) 5 ( ) 5 tan( 5 ) 5 cos(5) ( '323 2 2 2xx senx xx sen xxxxx sen x xdxdyx g + = + =+= = Finalmente: ) 5 ( cos) 5 ( 5 5) ( '32xx sendxdyx g+= =Dada la funcin f(x) = csc(x)Entonces: ) cot( ) csc( ) ( ' x xdxdyx f = = 112 Ejemplo 110: Dada la funcin 5 ) 4 sec( * ) 2 cot( ) ( + = x x x f hallar la derivada de g(x). Solucin: Lafuncinf(x)correspondealproductodedosfuncionestrigonomtricasmsunaconstante, entonces: 0 ) 4 tan( ) 4 sec( 4 * ) 2 cot( ) 4 sec( * ) 2 ( csc 2 ) ( '2+ + = = x x x x xdxdyx f Finalmente: ) 4 ( cos ) 2 () 4 ( ) 2 cos( 4) 2 () 4 sec( 2) 4 tan( ) 4 sec( ) 2 cot( 4 ) 4 sec( ) 2 ( csc 2 ) ( '2 22x x senx sen xx senxx x x x xdxdyx f + = + = = Leccin 37: Derivada de las Funciones Hiperblicas: Reconocimiento: Recordandolosprincipiossobrelasfuncioneshiperblicas,lascualesestndefinidasapartirde las exponenciales, tales como: x xx x x x x xe ee exe exe ex senh +=+== ) tanh( ,2) cosh( ,2) ( Con algo de conocimientos podemos deducir las tres faltantes. A continuacin vamos a analizar las derivadas de este tipo de funciones. 1. Derivada de Funcin Seno hiperblico: y = senh(x) Demostracin: Utilizando la definicin de seno hiperblico, podemos derivar la funcin: ( ) ( ) ( )2 21) (21) (2) (x xx x x xx xe ee e e e x senhdxd e ex senh += + = = = Comopodemosobservar,laltimaexpresincorrespondealafuncincosenohiperblicodela variable, as queda demostrada la derivada de seno hiperblico. (x) cosh y' (x) y = = senhDada la funcin f(x) = senh(x)Entonces: ) cosh( ) ( ' xdxdyx f = = 113 Generalizando: Cuandolavariabledelafuncinnoesxsinootra,digamosu,queasuvezesfuncindex, entonces: Sea) ( ) ( u senh x f =y a su vez ) (x f u = Por consiguiente: dxdududydxdyudxdu senhduddxdyx f * ) ( * ) ( ) ( ' = = = 2. Derivada de Funcin Coseno hiperblico: y = cosh(x) Demostracin: Utilizando la definicin de coseno hiperblico, podemos derivar la funcin: ( ) ( ) ( )2 21) (21) cosh(2) cosh(x xx x x xx xe ee e e e xdxd e ex = = + = += Comopodemosobservar,laltimaexpresincorrespondealafuncinsenohiperblicodela variable, as queda demostrada la derivada de coseno hiperblico. Generalizando: Cuandolavariabledelafuncinnoesxsinootra,digamosu,talqueasuvezesfuncindex, entonces:Sea) cosh( ) ( u x f =y a su vez ) (x f u = Entonces: dxdududydxdyudxdududdxdyx f * ) ( * ) cosh( ) ( ' = = = 3. Derivada de Funcin Tangente hiperblica: y = tanh(x) Demostracin: Utilizando la definicin de tangente hiperblico, podemos derivar dicha funcin: ) ( cosh) ( ) ( cosh) ( cosh) ( * ) ( ) cosh( * ) cosh() ( tanh') cosh() () tanh(22 22xx senh xxx senh x senh x xxxx senhx== = Por identidades de las hiperblicas. ) ( sec) ( cosh1) ( cosh) ( ) ( cosh) ( tanh'22 22 2x hx xx senh xx = == Dada la funcin f(x) = cosh(x)Entonces:) ( ) ( ' x senhdxdyx f = = Dada la funcin f(x) = tanh(x)Entonces: ) ( sec ) ( '2x hdxdyx f = = 114 Laltimaexpresincorrespondealafuncinsecantehiperblicodelavariable,asqueda demostrada la derivada de tangente hiperblico. Generalizando: La generalizacin es similara los casos anteriores.Con el apoyo del Tutor hacer la demostracin de la generalizacin para esta funcin. 4. Derivada de Funcin Cotangente hiperblica: y = coth(x) Demostracin: Utilizando la definicin de cotangente hiperblica, podemos derivar dicha funcin: ) () ( cosh ) () () cosh( * ) cosh( ) ( * ) () ( coth') () cosh() coth(22 22x senhx x senhx senhx x x senh x senhxx senhxx== = Por identidades de las hiperblicas.) ( csc) (1) ()) ( ) ( (cosh) ( tanh'22 22 2x hx senh x senhx senh xx = = = 5. Derivada de Funcin Secante hiperblica: y = sech(x) Demostracin: Se deja como ejercicio la demostracin de la funcin secante hiperblica. 6. Derivada de Funcin Cosecante hiperblica: y = csch(x) Demostracin: Se deja como ejercicio demostrar la derivada de la funcin cosecante hiperblica. Dada la funcin f(x) = coth(x)Entonces: ) ( csc ) ( '2x hdxdyx f = = Dada la funcin f(x) = sech(x) Entonces: ) tanh( ) ( sec ) ( ' x x hdxdyx f = = Dada la funcin f(x) = csch(x) Entonces: ) coth( ) ( csc ) ( ' x x hdxdyx f = = 115 Ejemplo 111: Dada la funcin ) 2 tanh( ) (3+ = x x f hallar la derivada de f(x). Solucin: La funcin f(x) corresponde a tangente hiperblico. Debemos tener en cuenta que esta operacin es vlidasolosi0 ) 2 cosh(3 + x Entonces:f(u)=tanh(u)yu=x3+2,aplicandolaregladela cadena: ) 0 3 ( * ) ( sec ) 2 ( * ) ( (tan ) ( '2 2 3+ = + = = x u h xdxdu nhduddxdyx f Simplificando y reorganizando: ) 2 ( sec 3 ) ( '3 2 2+ = = x h xdxdyx f Ejemplo 112: Dada la funcin( ) 4 2 ) ( = x senh x fhallar la derivada de f(x). Solucin: Lafuncinf(x)correspondeasenohiperblico.Debemostenerencuentaqueestaoperacines vlida solo si 0 4 2 xEntonces:), ( ) ( u senh u f =, v u = , 4 2 = x vaplicando la regla de la cadena: ( ) ) 2 ( *21* ) cosh( 4 2 * ) ( * ) ( ( ) ( 'vu xdxdvdvdu senhduddxdyx f = = = Simplificando y reorganizando:4 2) 4 2 cosh() 2 ( *4 2 21* ) 4 2 cosh( ) ( '= = =xxxxdxdyx f Ejemplo 113: Dada la funcin [ ] ) 2 cos( tanh ) ( x x g = hallar la derivada de g(x). Solucin: Sea: g(u) = tanh(u),u = cos(v), v = 2x.Entonces: ( ) ( ) ( ) 2 * ) ( * ) ( sec 2 * ) cos( * )) (tanh( )