Cálculo diferencial_proce

5/9/2018 Cálculo diferencial_proce - slidepdf.com

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C u a d e r n i llo d e p r o c e d im ien t os p a r a el a p r e n d iza j e

C O N LA C O L AB O R AC IÓ N D E Víc t or M a n u e l M o r a G o n z á le z

(Ve r s ió n p a r a fa s e in ic ia l )

CÁLCULODIFERENCIAL



2

CÁLCULO DIFERENCIALCuadernillo de p roc ed imientos pa ra el Aprend iza je2000. Sec reta ría de Educ ac ión Públic a / Direc c ión G ene ra l de l Bac hilleratoCOSTO DE RECUPERACIÓN $ 12.00



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ÍNDICE

Presentación........................................................................................................................................................... 5

Unidad I. Límite y continuidad........................................................................................................................ 71.1. Límite de funciones algebraicas.................................................................................................................... 81.2. Propiedades de los límites.............................................................................................................................. 111.3. Continuidad de funciones............................................................................................................................... 14¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 16Quiero saber más...................................................................................................................................................... 19

Unidad II. La derivada y sus interpretaciones............................................................................................ 202.1. Derivada............................................................................................................................................................. 21¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 22Quiero saber más...................................................................................................................................................... 23

Unidad III. Derivada de funciones algebraicas.......................................................................................... 24

3.1. Derivada de funciones algebraicas............................................................................................................... 25¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 26Quiero saber más...................................................................................................................................................... 27

Unidad IV. Aplicaciones de la derivada......................................................................................................... 294.1. Aplicaciones de la derivada............................................................................................................................ 304.2. Derivadas de orden superior.......................................................................................................................... 33¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 34Quiero saber más...................................................................................................................................................... 36

Unidad V. Derivada de funciones trascendentes........................................................................................ 37

5.1. Funciones trigonométricas............................................................................................................................ 385.2. Función exponencial de base �a� y logarítmica......................................................................................... 38¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 39Quiero saber más...................................................................................................................................................... 41



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PRESENTACIÓN

C Á L C U L O

D I F E R E N C I A

L

La presente guía tiene como propósito ayudar a que el estudiante inscrito en lamodalidad de Educación Media Superior a Distancia se introduzca en el cálculodiferencial, por medio del análisis de la expresión gráfica de las funciones

algebraicas y trascendentes y, de esta manera, poderlo aplicar como herramientabásica en su comprensión del mundo que lo rodea.

Para lograr lo anterior es necesario que el estudiante tenga presentes los conceptosaprendidos a lo largo de Matemáticas I, II, III y IV, puesto que en la presenteasignatura de Cálculo Diferencial tendrá necesidad de aplicar tanto sus habilidadesalgebraicas como su conocimiento de las funciones y de su correspondienterepresentación gráfica.

En la primera unidad se estudiarán las nociones de límite y continuidad de unafunción. El estudio de las propiedades de los límites nos ayudará a determinarlospara diferentes funciones y poder comprender cómo se aplican los teoremas del

valor intermedio y de los valores extremos.

En la segunda unidad abordaremos el concepto de derivada partiendo del análisisde la razón de cambio en diferentes fenómenos. Esto hará posible que el estudiantepueda resolver problemas sencillos.

Con el estudio de la tercera unidad aplicaremos el concepto de derivada empleandolas reglas de derivación para funciones polinomiales y racionales. De maneraespecial haremos énfasis en el uso de la denominada regla de la cadena.

Las aplicaciones de la derivada se tratarán en la cuarta unidad. En ella tendremosla oportunidad de conocer cómo se aplica en el cálculo de la rapidez, de tangentesy normales, y en el cálculo aproximado de raíces. Más adelante se abordarán lasderivadas de orden superior que, entre otras cosas, nos ayudarán a determinar laconcavidad y puntos de inflexión, y los máximos y mínimos de una función.Podremos ver de manera clara algunas aplicaciones de la derivada en laoptimización de materiales o de espacios.

Por último, la quinta unidad se ocupará de la derivada de las denominadas funcionestrascendentes (trigonométricas y exponenciales) aplicando las reglas de derivacióncorrespondientes, con lo cual se pretende que el estudiante esté capacitado pararesolver problemas sencillos.

Para desarrollar el curso, nos hemos basado fundamentalmente en el texto deStewart, James. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas . México,International Thomson Editores, 1998.

Sin embargo, te recomendamos que en la medida de lo posible, también consulteslos siguientes textos de apoyo:

Leithold, Louis. El Cálculo. 7a ed., México, Oxford University Press, 1998.

Larson, Roland y Hostetler, Robert. Cálculo .Colombia, Mc Graw-HillLatinoamericana, 1995.



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Granville, William. Cálculo Diferencial e Integral. México, Limusa, 1997.

Fuenlabrada, Samuel. Matemáticas IV. Cálculo Diferencial. México, Mc Graw-Hill, 1995.

Caballero, Arquímedes y otros. Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral. México, Esfinge, 1999.

Ubicación de la asignatura

La asignatura deCálculo Diferencial se imparte en el quinto bloque, pertenece al campo de conocimientode las Matemáticas, y forma parte del área propedéutica que complementará la formación básica delperfil del bachiller en la modalidad a distancia. El Cálculo Diferencial como disciplina, se relacionacon otras materias, veamos: retoma, se apoya y profundiza los conocimientos de Matemáticas I, II, IIIy especialmente de Matemáticas IV; a la Física le proporciona herramientas poderosas de análisis delos procesos que le corresponde estudiar, y es la de base para la asignatura de Cálculo Integral que secursará en el sexto bloque.

Objetivo de la asignatura

Aplicar los conceptos de límite y derivada, a través del análisis del comportamiento gráfico de las funciones, para la interpretación de diversos fenómenos de la vida cotidiana.



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UNIDAD IUNIDAD IUNIDAD IUNIDAD IUNIDAD ILÍMITE Y CONTINUIDAD

Objetivo de la Unidad:

Aplicar los conceptos de límite y continuidad, a través delanálisis del comportamiento gráfico de una función, para lainterpretación de fenómenos en las distintas áreas delconocimiento.

¿QUÉ VOY A APRENDER?

En muchas situaciones de la vida cotidiana manejamos de manera intuitiva el concepto delímite. Por ejemplo, cuando somos espectadores del esfuerzo inusitado de un atleta, decimosque sus fuerzas llegaron al �límite�, también en el caso de un material que se fractura despuésde haber efectuado un trabajo excesivo, expresamos que llegó al �límite� de su resistencia ypor ello se rompió. Se dice con frecuencia que �todo tiene un límite�, etcétera. La noción delímite nos lleva a pensar en un término, en un punto en el cual se llega al tope.

En el cálculo, la noción de límite es parte fundamental de su desarrollo y comprensión, porejemplo, cuando se aplica al estudio del comportamiento de una función, es posible determinar,entre otros aspectos, si está definida o no en un punto en particular. Tratándose de la gráficaque representa la velocidad de un móvil, podemos determinar con el concepto de límite lavelocidad instantánea o si lo que se estudia es la curva de una función algebraica o polinomial,se puede precisar el valor de la pendiente de la recta tangente a dicha curva en un punto dado,

para determinar, por ejemplo, los mínimos o máximos, los puntos de inflexión, etcétera.

El estudio de esta Unidad te ayudará a sentar las bases para abordar el cálculo diferencial y aafinar tu comprensión de muchos fenómenos por medio del análisis de su expresión gráfica.Para poder lograr el objetivo planteado, es muy conveniente que puedas interpretar la gráficade una función y comprender y aplicar los conceptos de pendiente, de recta tangente y de rectasecante.

Te invitamos a que realices todas las actividades propuestas y que los aspectos que te parezcanmás difíciles los comentes con tu asesor. De manera especial te recomendamos que después derealizar los ejercicios que marca el libro recomendado, también trabajes en los que contiene la

sección Qué he aprendido de tal manera que compruebes tu dominio de los temas. En casocontrario, vuelve sobre aquellos temas en particular que no te queden totalmente claros yrevisa detenidamente los ejemplos resueltos.



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1.1. LÍMITE DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Objetivo:

Comprender el concepto de límite, a partir del análisis del comportamiento del algunas funciones algebraicas, para determinar su existencia.

Para lograr el objetivo, realiza las siguientes actividades.

1. Lee las páginas 39-45 del libro de Stewart, James. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. México, International Thomson Editores, 1998. Con base en la lectura, efectúalo siguiente:

• Elabora una síntesis que considere:a) Cuáles son los orígenes del cálculo infinitesimal y en qué consistía el método deagotamiento

empleado por los griegos para el cálculo de áreas.b) De qué manera se relaciona con la noción del límite el problema de la tangente y de la

velocidad, la suma de una serie y el límite de una sucesión.• Con tus propias palabras trata de explicar cómo surge la noción de límite al considerar los

problemas mencionados en el punto anterior.• Escribe la noción de cálculo infinitesimal y describe algunas de las aplicaciones del cálculo

en el estudio de diversos fenómenos.

2. Lee de la página 50 a la 56 del libro citado y con base en la lectura efectúa lo siguiente:

• Escribe en tu cuaderno la definición de límite y trata de explicar con tus palabras quésignifica la expresión �tiende a�. También anota en tu cuaderno las notaciones alternativas

de límite.Observa con atención la manera en que se estima el valor de los límites y trata de describir deforma esquemática el proceso que se sigue. Como ejemplo observa el siguiente desarrollo:

Estima el valor de1-x

1-x

1xlim

2→

a) Observa que si sustituimos directamente en la expresión el valor x =1 se obtiene una

indeterminación (00

). Sin embargo, podemos acercarnos a 1 con valores menores a 1 (x <1)o con valores mayores a 1 (x > 1).

b) Al tabular con valores menores a 1 obtenemos:

¿CÓMO APRENDO?

x <1 f (x)

0.5

0.9

0.99

0.999

0.9999

0.666667

0.526316

0.502513

0.500250

0.500025



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c) Tabulando con valores mayores a 1 se obtiene:

d) Partiendo de los valores obtenidos en las tablas, podemos concluir lo siguiente:

0.51x

1x

1xlim

2=−

−

→

• Ahora intenta hacer algo similar con los ejercicios 9-12, ubicados en la página 60 del librocitado.

3. Explica el concepto de límites laterales, precisando la diferencia entre �tender desde laizquierda� y �tender desde la derecha�, así como su aplicación en el cálculo de límites.

• Para ilustrar la forma de estimar los límites laterales observa el siguiente ejemplo:

Dada la función:

≤

=2>xsi x

2xsi1-2xf(x) 2

estimar

=

→

f(x)

2x

lim

Solución: Podemos observar que la función tiene un comportamiento para valores menores oiguales a 2 (=2) y otro para valores mayores a 2 (>2). En estos casos, los límites laterales nosayudan a determinar la existencia o inexistencia del límite de una función. Para ello recordemoslas condiciones:

a) SiL f(x)

axlim =

−→y

L f(x)ax

lim =+→

entonces

L f(x)

ax

lim =

→ es decir, el límite de la función existe.

b) Pero si≠

−→ f(x)

axlim

f(x)

axlim

+→ entonces se tiene quef(x)

axlim→

no existe

Aplicando las condiciones al problema tenemos que el límite por la izquierda (para valoresmenores o iguales a 2) es:

f(x)2x

lim→

=31-41-(2)21)-(2x

2xlim ===→

x >1 f (x)

1.5

1.1

1.01

1.001

1.0001

0.400000

0.476190

0.497512

0.499750

0.499775



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Y el límite por la derecha (para valores mayores a 2):

4(2)= f(x)2x

lim 2 =→

Comof(x)

2xlim ≠

−→ f(x)

2xlim

+→ , entoncesf(x)

2xlim→

no existe

4. Resuelve en tu cuaderno los ejercicios 1-4 de la sección 1.2, p. 59 del libro de Stewart,James. Op. cit .

5. Utilizando la calculadora, tabula y grafica las soluciones de los ejercicios 9-14, ubicados enla página 60 del libro citado.

6. Elabora un glosario que incluya los siguientes conceptos:

• Cálculo infinitesimal•

Límite• Límite lateral• Recta tangente a una curva• Recta secante a una curva



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1.2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Objetivo:

Aplicar las propiedades de los límites, a partir del análisis del comportamiento de las gráficas de las funciones polinomiales y racionales, para determinar su límite.

En el tema anterior revisamos la noción de límite, ahora nos daremos a la tarea de estudiar suspropiedades. En este tema aplicarás el álgebra para determinar límites de funciones eidentificarás los casos en que no existe un límite. Asimismo, estudiarás los límites infinitos ylos límites al infinito aplicándolos en la resolución de algunos ejercicios.

Para lograr lo anterior realiza las siguientes actividades.

1. Lee con atención de la página 61 a la 68 del libro de Stewart, James: Op. cit . A partir de lalectura realiza lo siguiente:

• Completa el siguiente cuadro:

• Explica cuáles son los criterios para determinar sí una función está o no definida en x=a

Leyes de los límites

Expresión

matemáticaEnunciado

verbal

Ley de la suma

Ley de la resta

Ley del múltiplo constante

Ley del producto

Ley del cociente

Ley de potencias

Ley de raíces



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2. Lee las páginas 56-58 del libro citado y partiendo de la información que proporciona, contestalas siguientes preguntas:

• ¿A qué se le llama límite infinito?• ¿El símbolo ∞ representa un número?• En el lenguaje utilizado para límites, ¿qué significado tiene afirmar que una función �tiende

a infinito�?• ¿A qué se le llama �asíntota vertical�? ¿Cuál es su expresión matemática?

3. Lee del texto antes citado las páginas 90-95 y con base en la lectura contesta:

• ¿Cuál es el concepto de límite al infinito• ¿ Cuáles son sus expresiones alternativas?• ¿ Qué se entiende por �asíntota horizontal�?• ¿ Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para considerar a una recta �asíntota

horizontal�?• Explica, con tus palabras, cuáles serían las similitudes y las diferencias entre �límites

infinitos� y �límites al infinito�.

4. Revisa los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1 (límites infinitos)

Calcula el límite( )22-x

3-x

2xlim→

Solución: Como el numerador x-3 tiende a -1 ≠ 0 cuando x→2, y el denominador (x-2)2

tiende a 0 cuando x→2, el límite es infinito. Es decir:

( )22-x3-x

2xlim→ = ∞

Si quisiéramos ser más precisos acerca de si este límite es +∞ o -∞, observamos que cuando xse encuentra cerca de 2, el numerador se mantendrá (cerca de -1) con signo negativo, mientrasque el denominador estará cerca de 0 siempre con signo positivo, ya que (x-2)2 ≥ 0. Así podemosdecir que:

( )22-x

3-x

2xlim→ =-∞

• Ahora resuelve los ejercicios 15-20 ubicados en la p. 60 del libro de Stewart, James. Op. cit .

Ejemplo 2 (límites al infinito)

Calcula el límite84xx

1-2x3x2x

xlim

2

23

++

++

∞→



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Solución: Para poder obtener el límite necesitamos dividir tanto el numerador como eldenominador por la potencia más grande de la x que aparezca en la función (en este caso es 3).Por tanto:

84xx

1-2x3x2x

x lim 2

23

++

++

∞→ =3

2

3

23

x84xx

x

12x3x2x

x

lim

++

−++

∞→ =32

32

x8

x4

x1

x

1-

x

2x3

2

xlim

++

++

∞→

Obtenemos el límite al infinito de la función del numerador quedando así:

−++

∞→ 32 x

1

x

2x3

2x

lim = 2 + 0 - 0 - 0 = 2

mientras que para el denominador se tiene:

+

∞→ 32 x

8-

x

4

x

1

xlim

= 0 + 0 + 0 = 0

El límite que se nos pide calcular es el límite de un cociente de funciones, en el cual el numeradortiende a 2 y el denominador tiende a cero. Este límite es entonces infinito. Es decir:

84x2x

12x3x2x

xlim

23

++

−++

∞→=∞

• Intenta resolver los ejercicios 9-30, página 100 del libro citado.



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1.3. CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Objetivo:

Aplicar el concepto de continuidad, a partir del análisis del comportamiento de las gráficas de funciones algebraicas, para identificar las continuas de las discontinuas.

La noción de límite nos ha ayudado a determinar el comportamiento de una función a lo largode un intervalo. El concepto de continuidad brinda nuevos elementos para profundizar en elanálisis de las funciones, especialmente porque la representación gráfica demuestra de formaevidente lo que se determina matemáticamente.

Para lograr el objetivo, realiza lo siguiente:

1. Lee atentamente las páginas 81-87 del libro de Stewart James. Op. cit . Partiendo de sulectura realiza las siguientes actividades:

• Escribe la expresión matemática de las tres condiciones de continuidad de una función.

• Expresa de forma escrita:

a) ¿Qué es una función continua?b) ¿Qué es una función discontinua?c) ¿En qué se distinguen?d) ¿Cómo ayudan los límites laterales a distinguir entre una función continua y una

discontinua?e) ¿Qué tipo de funciones son siempre continuas?f) ¿Cuáles funciones son continuas sólo en su dominio y por qué razón?g) Partiendo de la expresión gráfica de una función, ¿cómo se sabe si una función es continua

o discontinua?h) Anota la expresión matemática del teorema del valor intermedio y explica cuál es su

interpretación gráfica y cómo se utiliza para determinar la continuidad de una función.

2. Revisa los siguientes ejemplos desarrollados y después intenta resolver los ejerciciospropuestos:

a) Determina los puntos de discontinuidad de la función f(x) =1-x2x +

Solución. Como se trata de una función racional, la función no existe en los puntos donde eldenominador es cero (en esos puntos será discontinua la función). Es decir, en los cuales x - 1= 0, de donde x = 1. Éste es el único punto en donde la función dada es discontinua.

b) Considera la función f: ℜ → ℜ dada por:

( )

=

≠=2xsi A

2xsi 2-x4-x

xf

2



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¿Es posible escoger el número A de tal manera que la función sea continua en x = 2?

Solución: Para que la función sea continua en x = 2 se debe de cumplir que2x

lim→ f(x) = f(2).

Como f(2) = A, el número A debe ser el límite2x

lim→ f(x): si este límite existe, dando a A ese valor

se logra la continuidad deseada. El límite se calcula fácilmente como:

( )( )( )

( ) 42xlim2-x

2x2-xlim

2-x4-x

limxf lim2x2x

2

2x2x=+=

+==

→→→→

Así, si A = 4 la función dada es continua en X = 1?

c) Considera la función f: ℜ dada por ( )

=

≠=1xsi A

1xsi 1-x

1xf

¿Es posible escoger el número A de tal manera que la función sea continua en x = 1?

Solución: Como en el ejercicio anterior, para que la función sea continua en x = 1 se debe a que( )xf limA

1x→= . Pero el límite

1x1

limA1x −

=→

es infinito (no existe como número real). Por lo tanto,

no es posible asignar un valor a A para que la función sea continua en x = 1.

d) Considera la función ( )

>≤+

=0xsi x-A

0xsi 3xxf

2

¿Cuánto debe valer A para que esta función sea continua en x = 0?

Solución: Para que esta función sea continua en x = 0 debe ocurrir que:

( ) ( ) ( ) 3300f xf lim 2

0x=+==

→

Por lo tanto, los límites unilaterales ( )xf lim0x −→

y ( )xf lim0x +→

deben existir y ser iguales a 3.

Ciertamente ( )xf lim0x −→

=3.

Por otra parte ( ) A0-Axf lim0x

==+→

de donde obtenemos entonces que A = 3.



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¿QUÉ HE APRENDIDO?

Escribe en tu cuaderno las respuestas de las siguientes preguntas:

1. ¿En qué consistía el método de agotamiento� empleado por los griegos para el cálculo deáreas?

2. ¿De qué manera relacionarías el método de �agotamiento� con la noción de límite?

3. ¿Cómo se relaciona el concepto de �tangente a una curva� con la noción de límite?

4. Resuelve los siguientes ejercicios:

A) Sea f(x) =

3>xsi1-3x

3<xsi 2-xCalcula los límites laterales +3x

lim,3x

lim→−→ y el límite

bilateral ( )xf 3x

lim→ (si existe)

B) Sea f(x) =

≠

1=xsi 3

1xsi 1-x

1-x2

4

Calcula los límites laterales +→−→ 1xlim

1xlim

y el límite

bilateral ( )xf 1x

lim→ (si existe)

Con el propósito de que evalúes tu dominio de los contenidos te proponemos las siguientes

actividades.1. ¿Cuál es el límite de las sucesiones siguientes?

Solución:a) 5, 5.9, 5.99, 5.999� a) 6b) 4, 4.9, 4.99, 4.999� b)5c) 3, 3.39, 3.399, 3.3999� c) 3.4d) 2, 2.19, 2.199, 2.1999� d) 2.2e) 7, 7.009, 7.099, 7.999� e) 8

2. Determina por sustitución directa los siguientes límites:Solución:

x3xf(x)lima)2x

−=→

a) 6

3)-(x

6)-(xf(x)limb)

2

0x=

→ b) 2

33xf(x)limc) 2

1x−

→= c) 0



17

x3x2

f(x)limd)0x +

+=→

d) 32

22

0xh3hx2xf(x)lime) ++=

→e) h2

3. Realizando las operaciones necesarias para evitar las indeterminaciones, determina los

siguientes límites: Solución:

12-xx3-x

f(x)lima) 23x +=

→a)

71

22hx h-xh-x

f(x)limb) =→

b)2h1

hx-h)-(x

f(x)limc)22

ox=

→c) 2x

46x2x 13x+5xf(x)limd) 2

2

x ++ +=∞→ d) 25

x25x-5

f(x)lime)ox

+=

→e)

101

−

4. Determinar: a) El límite 2-x3

2xlim→

es igual a; b) El límite 2-x3

2xlim→

es igual a;

c) El límite ∞→xlim es igual a

Recordando las condiciones para determinar la continuidad de una función, intenta resolverlos ejercicios que se proponen a continuación:

1. Determina los puntos en donde la función ( )4xx

1-xxf 24

4

++= es discontinua.

2. Determina los puntos en donde la función ( )1-x

93x-xxxf 4

23 ++= es discontinua.

3. Considera la función

( )

=

≠=

1xsi 4

1xsi 1-x1-x

xf

3

¿Esta función es continua en x = 0? Justifica tu respuesta.

4. ¿Es la función del ejercicio anterior continua en x = 1? Justifica tu respuesta.

5. Considera la función ( )

=−≠−

=1xsi 1x

1xsi 1xxf 2

4



18

¿Cuánto debe valer el número A para que esta función sea continua en x = 1?

6. Considera la función ( )

>+≤+

=2xsi xA

2xsi xxxf

2

Determina el valor de A para que la función sea continua en X = 2.

7. Usa argumentos geométricos para determinar los extremos absolutos de la funciónf(x) = -2x+1 en el intervalo compacto [1,5].



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LOS LÍMITES Y LA APORTACIÓN DE CAUCHY

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), nació en París y se educó en la École Polytechnique.Debido a su débil salud, se le recomendó que se dedicara a las matemáticas. Se graduócomo ingeniero, practicando como ingeniero militar antes de ser profesor de matemáticasen París en la École Polytechnique, la Sorbona y el College du France. Sus contribucionesmatemáticas fueron brillantes y asombrosas por su cantidad. Se cuenta que su productividadfue tan copiosa que la Academia de París decidió limitar el número de trabajos de suorden del día con el objeto de hacer frente a la producción de Cauchy.

Aunque el Cálculo fue descubierto, por Newton y Leibnitz, a finales del siglo XVII, susfundamentos permanecieron en estado de confusión y desorden hasta que Cauchy y suscontemporáneos (Gauss, Abel y Bolzano), impusieron normas de rigor. Con respecto a laidea de límite, Cauchy trabajó basándose en las ideas de Newton, transmitidas a su vezpor Jean D�Alembert, otro matemático francés, que con afán de precisión definía al límiteasí: �Cuando los valores sucesivos atribuidos a una variable tienden indefinidamente a unvalor fijo, de modo que al final difieren de él todo lo poco que uno desea, a esto último

se le llama límite de los demás.� Sin embargo, cuando Cauchy empleó esta definición enejemplos y demostraciones, con frecuencia echó mano de desigualdades delta-épsilon,� Una demostración característica de Cauchy comienza: �Designemos dos números muypequeños como d y e�� Empleó la e por la correspondencia entre la épsilon y la palabrafrancesa erreur. Años más tarde, Karl Weiertrass (1815-1897), matemático alemán, enuncióla definición de límite exactamente igual a como hoy se conoce.

Todos los libros de texto modernos siguen, en esencia, la exposición de Cauchy para el Cálculo.

QUIERO SABER MÁS



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UNIDAD IIUNIDAD IIUNIDAD IIUNIDAD IIUNIDAD IILA DERIVADA Y SUS INTERPRETACIONES


Aplicar el concepto de derivada, a través del análisis de larazón de cambio y gráfica de la función, para su interpretaciónen la resolución de problemas sencillos.


En una gran cantidad de procesos donde se relacionan dos o más variables, frecuentemente el

cambio en una de ellas induce un cambio en el valor de las otras. Para poder comprender ymanejar tales procesos, la derivada se ha convertido en herramienta fundamental, puesto quepermite tanto determinar como predecir el comportamiento de las diversas variablesinvolucradas en un fenómeno.

Al estudiar la presente unidad podrás identificar el concepto de derivada y aplicarlo al análisisde la razón de cambio de una variable con respecto a otra. Asimismo, relacionarás a la derivadacon su expresión geométrica, entendiéndola como la pendiente de la recta tangente a unacurva en un punto específico.

Por otro lado, la noción de derivada te permitirá analizar la velocidad media y la razón de

cambio instantánea para describir con precisión el desplazamiento de un móvil.Al terminar el estudio de esta unidad resolverás problemas sencillos relacionados con la derivaday algunas de sus aplicaciones.



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¿CÓMO APRENDO?

2.1. DERIVADA

Objetivo:

Deducir el concepto de derivada de funciones polinomiales, a través del análisis de la razón de cambio

para su aplicación en la resolución de problemas sencillos.

Para lograr lo anterior, realiza las siguientes actividades.

1. Lee las páginas 102-108 del libro de Stewart, James.Op. cit . Con base en la lectura efectúa losiguiente:

• Describe con tus propias palabras de qué manera se relaciona el concepto de límite con ladeterminación de la pendiente de la recta tangente a una curva. ¿En qué aspectos son similares

sus expresiones matemáticas?• Al tratar la velocidad, ¿cómo se aplica el concepto de límite? ¿De qué manera puede

distinguirse claramente entre velocidad media y velocidad instantánea, ayudados por lanoción de límite?

• Anota en tu cuaderno algunos ejemplos de aplicaciones del concepto de la razón de cambiopara diferentes áreas del conocimiento.

2. Lee las páginas 112-121 del libro citado y partiendo de la lectura realiza lo siguiente:

• Escribe la expresión matemática de la definición de la derivada y sus notaciones alternativas.• Realiza un cuadro sinóptico en el que concentres las interpretaciones de la derivada que se

mencionan en el texto leído.• Explica cuáles son las condiciones para determinar sí una función es diferenciable o no.Cuando se traza la gráfica de una función, ¿cómo puede saberse si una función es diferenciable?

• Resuelve los ejercicios 1 a 12 de la página 121 del libro citado, trazando las gráficas que sesolicitan.

• Partiendo de la definición de derivada resuelve los ejercicios 19 a 28 ubicados en la página121 del libro citado.

• Solicitando la ayuda de tu asesor, si fuese necesaria, intenta resolver lo que se pide en elejercicio 29 de la página 121.



22


Anota en tu cuaderno las respuestas de las siguientes preguntas y resuelve los problemas quese te plantean. La finalidad es que verifiques cuánto has aprendido. Recuerda que si al intentarresolver los problemas te percatas de que no dominas un contenido, vuelve a estudiarlo yconsulta a tu asesor.

1. ¿Qué se entiende por razón de cambio?

2. ¿Por qué se afirma que la razón de cambio no es una división?

3. ¿De qué forma se relacionan el límite de una función y la razón de cambio?

4. Anota por lo menos tres ejemplos de fenómenos en los que creas que se puede aplicar lo queaprendiste y explica cómo se aplicaría.

5. Explica, con tus palabras, qué es una derivada y de qué forma se relaciona con el límite.

6. Describe cuáles son las diferencias al graficar f(x) contra x y al representar f �(x) contra x.¿Cómo se comporta la primera gráfica cuando la pendiente en un punto específico es igual acero? Al trazar la segunda gráfica ¿Dónde se ubican los valores cero?



23

QUIERO SABER MÁS

LA DIFERENCIABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD, PERO: ¿LA CONTINUIDADIMPLICA DIFERENCIABILIDAD?

Existe el siguiente teorema matemático:

Si existe f�(c) entonces f es continua en c

¿Pero se puede afirmar el recíproco? Es decir, ¿Si una función es continua es entonces, poresa razón, derivable en todas sus partes? La respuesta aparente es sí, sin embargo estoes espectacularmente falso. Fue una gran sorpresa para los matemáticos cuandodescubrieron funciones que eran continuas en todas sus partes, pero que no eran derivablesen ninguna parte. Como ilustración observa las siguientes figuras en las que se muestranlos primeros tres pasos en la construcción de una función de este tipo. Si continuamos elproceso al infinito llegamos, en el límite, a tener una función continua no derivable. Si teinteresa saber más sobre esta curiosidad matemática pregunta a tu Asesor para que teoriente o te dé más información, o en su defecto puedes consultar un libro que tenga comotítulo Análisis Real.

y

x

y

x

y

x



24

UNIDAD IIIUNIDAD IIIUNIDAD IIIUNIDAD IIIUNIDAD IIIDERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS


Aplicar el concepto de la derivada, a través del empleo de lasreglas de derivación para funciones polinomiales y racionales,

para resolución de problemas teórico-prácticos.


En la unidad anterior aprendimos el concepto de derivada, su equivalencia geométrica y su

expresión matemática. Tuvimos oportunidad de revisar el procedimiento para la derivacióncalculando los incrementos correspondientes tanto de la variable independiente como de ladependiente. Este proceso resulta fácil en algunos casos, sin embargo en otros es bastantecomplejo. Por ello, en esta unidad tendrás la oportunidad de aprender las reglas de derivaciónque te facilitarán el proceso. De manera especial se hará énfasis en las reglas correspondientesa la adición, sustracción, producto y cociente de funciones para poder aplicarlas posteriormentea la derivación de expresiones de funciones polinomiales y racionales.

Por otro lado, te sugerimos prestar especial atención a la llamada �regla de la cadena� y a susaplicaciones al derivar potencias y raíces.

Asimismo, te invitamos a resolver tanto los ejercicios propuestos en el texto como los que seplantean al final de la unidad, pues a través de su resolución estarás preparado para abordar lasiguiente unidad.



25

¿CÓMO APRENDO?

3.1 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Objetivo:

Aplicar las reglas de derivación a partir del análisis de la función asociada para la resolución de

problemas.


1. Lee las páginas 124-131 del libro de Stewart, James.Op. cit . Con base en la lectura realiza loque se te indica:

• Anota en tu cuaderno cada una de las reglas para la derivación de funciones y revisa conatención los ejemplos correspondientes procurando resolverlos tu mismo.

• Trata de expresar con tus palabras el significado de cada regla y el proceso que se sigue para

aplicarla.• Copia en tu cuaderno la tabla de fórmulas de diferenciación poniendo especial cuidado en lanotación usada y tratando de expresarlas con alguna de las notaciones alternativas.

• Del libro citado recuelve los ejercicios 1 a 34, ubicados en la página 132.• Ahora, intenta la resolución de los ejercicios 36-39, ubicados también en la página 132.

2. Lee las páginas 150-156 del libro citado. A partir de la lectura realiza lo siguiente:

• Anota en tu cuaderno el enunciado matemático y verbal de la regla de la cadena.• Elabora un diagrama del proceso que se sigue para aplicarla.• Explica con tus palabras de qué manera se utiliza la regla de la cadena para derivar potencias

y raíces de funciones.• Después de revisar atentamente los ejemplos del texto, intenta resolverlos por tu cuenta.

Compara los resultados.• A continuación, resuelve los ejercicios 1-20, de la página 156 del libro citado.

3. Lee las páginas 182-185 del mismo libro. Con base en la lectura efectúa lo siguiente:

• Anota en tu cuaderno la expresión matemática del método de Newton-Raphson y explica demanera esquemática el método mencionado para el cálculo aproximado de raíces.

• Explica de qué manera establecerías el número a partir del cual comenzar las aproximacionesy cuál sería el criterio para saber que se ha llegado a la raíz buscada.

• Empleando el método de Newton, con la aproximación inicial x1, determina la tercera

aproximación a la ecuación de la raíz dada. Expresa tu respuesta con cuatro decimales

a) x3+x+1=0, x1=-1

b) x3+x2+2=0,x1=-2

c) x5-10=0, x1= 1.5

d) x7-100=0,x1=2



26


Verificar tus niveles de aprendizaje resulta esencial para tu avance académico, ya que así puedesidentificar tus logros y los contenidos que aún necesitas reforzar. De esta manera, serás cadavez más eficaz y consciente de cuánto te falta para llegar a la meta. Para ayudarte en esteobjetivo, te pedimos que resuelvas lo siguiente.

Empleando la regla de la cadena, deriva las siguientes funciones:Función Solución

1. f(x) = 4(x - 3)3 f �(x)= 12 (x-3)2

2. g(u) = (2u - 3) 21

g� (u)=2

1

3)-(2u

1

3. y =1-x

1y� = - 21)-(x

1

4. w = 3-5x w�= 3-5x25

5. F(x) = ( )3 22 1-2x

1F�(x)= 3 52 1)-(2x3

8x-

6. f(x) = (12x2 - 4x + 1)2 f�(x)=576x3-288x2+80x-8

7. g(r) = (7r2 - 12) 21

g� (r) =2

12 12)-(7r

7r

8. y =15x-4x

22 +

y� = 22 1)x-(4x10-16x+5

9. v = ( )2-4x2-4x v�= 2-4x6

10. G(x) = x24x-1 G� (x) =

4x-12x10x- 2 +



27

QUIERO SABER MÁS

El problema de resolver ecuaciones del tipo ax2 + bx + c=0 (cuadráticas), es decir, encontraruno (o varios) valores concretos de x que sustituidos en la ecuación conviertan a ésta en unaidentidad, es un problema que ya estaba puesto en la mentes de algunos babilonios de1600 años a.C. Las soluciones que ellos tenían no son como las conocemos ahora (como nos

enseñan en la secundaria 2a

4ac2bb −±−), pero los historiadores han encontrado tablas

babilónicas de esa época cuyo contenido revela la presencia de soluciones de ecuacionescuadráticas.

Las ecuaciones de grado tres ax3 + bx2 + cx + d=0 tuvieron que esperar mucho mástiempo para que alguien las pudiera resolver. Fue hasta el siglo XVI cuando los matemáticositalianos Scipio de Ferro y Nicola Fontana, encontraron, independientemente uno del otro,el método general para determinar las soluciones de esta ecuación. Este método fuepublicado por Girolamo Cardano en su libro Ars Magna (1545). La idea del método esreducir la ecuación cúbica dada a una ecuación del tipo x3 +qx +r =0, la cual tiene porsolución a:

x = 3

27q

4r

2r

27q

4r

2r 32

332

+−−+++−

(ésta fórmula es conocida como �fórmula de Cardano�). Soluciones como ésta (y las de lacuadrática mencionadas anteriormente), son las llamadas soluciones en términos de radicales,pues ellas se encuentran expresadas con raíces n-ésimas (en donde n es el grado de laecuación) de expresiones en las que intervienen los coeficientes de la ecuación. En ArsMagna, Cardano también publica un método debido a Ludovico Ferrari para resolver unaecuación de cuarto grado:

ax4 +bx3 +cx2 +dx +e =0

Era natural que muchos de los matemáticos de la época (recuerda que estamos hablandodel siglo XVI) atacaran el problema de determinar las soluciones de una ecuación dequinto grado (llamada �quíntica�).

ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex + f =0

Por este problema pasaron trabajos de mentes brillantes como Euler y Lagrange. Esteúltimo en 1770 sugirió que la solución de la quíntica no podía hallarse en términos deradicales. A principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Henrik Abel pensó quehabía encontrado la solución del problema, pero poco tiempo después llegó la desilusión:había errores en su método, que él mismo descubrió después de muchas noches de arduotrabajo intelectual. Este mismo trabajo le dio la pauta para hacer una de las afirmaciones

más importantes de la época: efectivamente la quíntica no tenía soluciones en términos deradicales. El resultado era ciertamente sorprendente (¿por qué las ecuaciones de grado 2,3 y 4 sí se pueden resolver por radicales y la quíntica ya no?) y no fue entendido niaceptado por los matemáticos de ese tiempo. Abel murió en la miseria y en el abandonoa la edad de 27 años.

Una situación similar a la que pasó Abel, la vivió el joven matemático francés EvaristoGalois (�El Elegido de los dioses�, dice el Premio Noble en física Leopold Infield, en su libroque lleva ese título y que es un importante documento sobre la vida de este genio francés).Galois pensaba tener la solución de la quíntica, pero él mismo descubrió errores de surazonamiento. La vida y el trabajo matemático de Galois es uno de los capítulos más



28

increíbles en la historia de la matemática, y en estas líneas es imposible siquiera referir enqué consistió su trabajo. Simplemente diremos que el problema de resolver ecuaciones entérminos de radicales, que empezó con los babilonios hace 36 siglos, terminó con el trabajode Galois a principios de XIX, pues dentro de su rica teoría que tuvo que crear paraobtener resultados, logró establecer que las ecuaciones de grado n

anxn + a

n-1xn+1 + � + a

1x + a

0=0

No tienen soluciones en términos radicales para n³5. Por supuesto, nadie se enteró de lamuerte de Galois. Simplemente una madrugada los médicos de un hospital en Paríssupieron que un joven de 21 años, sin posibilidades económicas, se había batido en duelo,y lo habían matado. Este joven era Evaristo Galois. Fue hasta medio siglo después que lacomunidad matemática empezó a entender el legado matemático tan importante de esemuchacho, que a la fecha no se sabe en dónde está enterrado.

Texto tomado de Pita Ruíz, Claudio y Gutiérrez, Fernando. Op. cit., pp. 350 y 351.



29

UNIDAD IVUNIDAD IVUNIDAD IVUNIDAD IVUNIDAD IV

APLICACIONES DE LA DERIVADAObjetivo de la Unidad:

Aplicar el concepto de la derivada, a través del cálculo dederivadas sucesivas, para la resolución de problemas.


El estudio de la presente unidad te resultará por demás interesante porque, aplicando los

conceptos y habilidades generados mediante el estudio de las pasadas unidades, entenderás lamanera en que el cálculo diferencial se ha convertido en herramienta poderosa para analizardiversos fenómenos de la vida cotidiana.

Esta unidad te permitirá identificar cómo se calcula la rapidez instantánea de un móvil; de quéforma se determinan las ecuaciones de las rectas tangentes a una curva, y la normalcorrespondiente. También aprenderás cómo se utiliza la derivada para el cálculo aproximadode raíces y el uso de la primera derivada como criterio para determinar los máximos y mínimosde una función.

Por otro lado, en la parte dedicada a las derivadas de orden superior, identificarás qué es la

segunda derivada y su significado físico. Lo anterior te servirá para comprender la manera enla que la segunda derivada se utiliza como criterio para determinar la concavidad, los puntosde inflexión, los máximos y mínimos de una función. Asimismo, si una función es creciente odecreciente.

Una aplicación interesante de la derivada se encuentra en los problemas de optimización. Porejemplo, cuando una compañía que elabora bebidas desea reducir costos produciendo una lataque contenga el máximo volumen y requiera el mínimo de material, la solución puedeencontrarse mediante el empleo del cálculo diferencial. Es por ello que tendrás la oportunidadde revisar algunos problemas relacionados con la optimización y aplicar los conocimientos enla resolución de algunos problemas sencillos.

Por último, en esta unidad, comprenderás qué son las derivadas sucesivas, los procedimientosmatemáticos para obtenerlas y algunas de sus aplicaciones.



30

¿CÓMO APRENDO?

4.1. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Objetivo:

Calcular la derivada a través del análisis de situaciones que permitan determinar la razón de cambio,tangentes y normales a una curva para la resolución de problemas sencillos.


1. Lee las páginas 134-142 de libro de Stewart, James.Op. cit . Con base en la lectura efectúa losiguiente:

• Elabora un cuadro en el que muestres: a) en qué campos del conocimiento se aplica laderivada; b) cómo se aplica en cada uno de ellos; c) cuál es la razón del cambio que seimplica en cada ejemplo.

2. Una de las aplicaciones de la derivada es la determinación de las rectas tangentes o normalesa un punto específico de la curva de una función, para ilustrar el procedimiento examina conatención el siguiente texto:

Ecuación de la tangente a una curva plana

En geometría analítica demostramos que una recta que pasa por un punto C(x,y), y dada supendiente m se representa por la relación punto-pendiente:

y-y2m(x-x

1)

Como la derivada de una función es la pendiente mde la curva que representa, si aplicamosla relación punto-pendiente podemos obtener la ecuación de la recta tangente en un puntodado.

Ejemplo:

Obtener la ecuación de la tangente a la curva y=2x3-x2+2x-12 en el punto de abscisa x=2.

Calculamos la derivada: y1=6x2-2x+2

Calculamos el valor de la pendiente m en el punto x=2:

( ) 22x-6x2f 2' +=

( ) 2224-2422(2)-6(2)2f' 2 =+=+=

22m =

Para aplicar la relación punto-pendiente necesitamos el valor de la ordenada y , queobtenemos en la función original cuando la variable independiente x = 2.

12-2xx-2xy 23 +=

412-44-16122(2)22(2)f(2) 23 =+=−= +−

y = 4



31

Las coordenadas del punto de contacto (x1,y

1) son (2,4), sustituimos en la relación punto-

pendiente:

y - y1

= m (x - x1)

con m - 22; x1= 2; y

1= 4

y - 4 = 22(x -2)

y - 4 = 22x - 44

22x - y - 40 = 0 Ecuación de la recta tangente

Ecuación de la normal

La recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto se llama normal a la curva endicho punto:

La pendiente de la tangente es m. Se señaló en analíticaque la pendiente de una recta perpendicular a ella es:

m

1 −

de donde, mediante sustitución en la relación punto-pendiente:

y - y1

= m(x-x1)

queda: y - y1

= -m

1(x-x

1) que es la ecuación para obtener la normal

Sigamos con el ejemplo anterior:

Debemos obtener la ecuación de la tangente y la normal a la curva:y = 2x3 - x2 + 2x - 12 en el punto de abscisa x = 2, ya derivamos y calculamos la pendientem = 22, y obtuvimos el valor de y = 4 cuando x = 2.

Ahora calculamos a continuación la ecuación de la normal si sustituimos en:

y - y1

= -m

1(x-x

1)

con -m

1=-

22

1; x1 = 2 ; y1 = 4

y - 4 = -221 (x - 2)

22 y - 88 = -x + 2

x+ 22y - 90 = 0 Ecuación de la normal.

Tomado de Fuenlabrada, Samuel. Matemáticas IV. Cálculo diferencial. México, Mc Graw-Hill, 1995, pp. 123 y 124.

x

y

0



32

3. Otra aplicación de la derivada es poder determinar en una función la concavidad y lospuntos de inflexión. Para facilitar la comprensión del procedimiento revisa atentamente elsiguiente texto:

Dada una curva de ecuación y = f(x)

En general se presentan tres casos:

I. Si la pendiente de una recta tangente a la curva es positiva a la izquierda y negativa ala derecha del punto, como en A, la curva pasa de creciente a decreciente; entonces lacurva tiene un valor máximo para ese punto. La curva es cóncava hacia abajo.

Luego, si x = a, podemos afirmar:

f(x) tiene un valor máximo para x = a, si en un entorno de a la derivada f�(x) es positivapara valores de x menores que a y negativa para valores de x mayores que a.

II. Si la pendiente de una recta tangente a la curva es negativa a la izquierda y positiva ala derecha del punto, como en B, la curva pasa de decreciente a creciente; entonces lacurva tiene un valor mínimo para ese punto. La curva es cóncava hacia arriba.

Luego, si x = a, podemos afirmar:

f(x) tiene un valor mínimo para x = a, si en un entorno de a la derivada f�(x) es negativapara valores de x menores que a y positiva para valores de x mayores que a.

III. Si la pendiente de una recta tangente a la curva tiene el mismo signo a ambos lados delpunto, como en C, entonces la curva sólo cambia el sentido de la concavidad y portanto no presente ni máximo ni mínimo. Se trata de un punto de inflexión.

Luego, si x = a, podemos afirmar:f(x) no tiene ni máximo ni mínimo para x = a, si f�(x) tiene el mismo signo para valores de xmayores o menores que a. Se trata de un punto de inflexión el que determina un cambio enla concavidad.

Tomado de Caballero, Arquímedes y otros. Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral. México, Esfinge, 1999, pp. 113 y 114.

x

y

A

B

C



33

4.2. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Objetivo:

Calcular la segunda derivada de una función a partir de la aplicación de los criterios existentes para la resolución de problemas de optimización.


1. Lee las páginas 164-166 del libro de Stewart, James.Op. cit . Partiendo de la lectura explica:

a) Qué es la segunda derivada y las derivadas sucesivas de una función.b) Cuál es su significado geométrico en comparación con la función original y la primera

derivada.c) Algunas de las aplicaciones de la segunda derivada.

• Resuelve los ejercicios 1-12 de la página 67 del libro citado.

2. Lee las páginas 273-277 del libro citado y con base en la lectura realiza lo siguiente:

• Anota en tu cuaderno los conceptos de curva cóncava hacia arriba y curva cóncava haciaabajo.

• Explica cómo ayuda la segunda derivada a determinar si una función es creciente o decrecientey si su gráfica cóncava hacia arriba (CAR) o cóncava hacia abajo (CAB).

• Escribe qué se entiende por punto de inflexión de una curva.• Explica de qué manera la segunda derivada ayuda a determinar los máximos y mínimos

locales de una función.• Resuelve los ejercicios 3-12 y del 15-20, ubicados en la página 278, Op. cit.

3. Estudia, con mucha atención, los problemas de optimización que se encuentran en las páginas296-299 del libro citado, e intenta resolver los problemas nones que se encuentran al finalde la sección. Compara tus resultados con los que se reportan en la página A79 al final deltexto.



34

Escribe en tu cuaderno las respuestas de las siguientes preguntas:

1. ¿En cuáles campos de conocimiento y de qué manera se aplica la derivada? Anota, por lomenos, 3 ejemplos.

2. ¿Cómo puede obtenerse la ecuación de la recta normal a partir de la ecuación de la rectatangente?

3. Desde el punto de vista geométrico, ¿en qué consiste el método de Newton-Raphson para elcálculo aproximado de raíces?

4. ¿Por qué se afirma que cuando se deriva una función y se obtiene una pendiente con valorcero, nos encontramos en un máximo o en un mínimo?

5. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

A) Deriva y = 2x4 hasta la quinta derivaday = 2x4 y��=y� = yIV =y��= yV =

B) Calcula hasta la tercera derivada de y = 3x

1

C) Señala si la curva x4 - 4x3 + 2x2 - 1 es cóncava hacia arriba o hacia abajo en los puntosx = -2; x = 1.

Nota. Recuerda que para obtener el resultado, puedes seguir el siguiente proceso:a) Calcula la primera y segunda derivada de la función.b) Iguala el resultado de la segunda derivada a cero y obtén las raíces (puntos críticos).c) Sustituye el valor de x que se proporciona y aplica el criterio de que si f ��(x) > 0 la curva escóncava hacia arriba, y si f ��(x) < 0 es cóncava hacia abajo.

A. Escribe los siguientes conceptos:

1. Segunda derivada de una función.

2. Significado geométrico de la segunda derivación.

3. Curva cóncava hacia arriba (CAR).

4. Curva cóncava hacia abajo (CAB).

5. Punto de inflexión de una curva.

6. Criterio de la segunda derivada para la determinación de máximos y mínimos.




35

B. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:

Dadas las siguientes funciones encuentra:

a) Los intervalos de su dominio donde es cóncava y aquellos en donde es convexa.b) Los puntos de inflexión.

1. y = 2x3 - 3x2 - 12x 6. y = x3 - 3x2 - 24x + 6

2. y = x4 - 6x2 7. y = x4 - 24x2

3. y = x4 - 4x3 +6x2 - 48x + 8 8. y = x4 - 8x3 + 18x2 + 16

4. y = x4 + 4x3 - 18x2 - 32x + 20 9. 2. y = x4 - 8x3 + 18x2

5. y = x2 - 2x27

10. y = x2 +x64



36

QUIERO SABER MÁS

¿PARA QUÉ SIRVE APRENDER CÁLCULO?

Con frecuencia la vida nos enfrenta al problema de encontrar el mejor modo de haceralgo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la másapropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Un médico desea escoger y aplicarla menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. Un fabricante desearáminimizar el costo de distribución de sus productos para lograr, también maximizar susganancias. Un biólogo, por ejemplo, buscará determinar el crecimiento máximo de unacolonia de bacterias en un cultivo. Un químico, buscará determinar la máxima concentraciónde los productos de una reacción. Un economista podría buscar determinar el puntodonde se obtenga la relación óptima entre el nivel de producción y el margen de utilidad.Algunas veces un problema de esta naturaleza puede formularse de tal manera queinvolucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico.

Pongamos como otro ejemplo una tienda de autoservicio que para tener éxito debecontrolar su inventario. Si se tiene demasiado inventario suben excesivamente los costos

por intereses, la renta de bodega y el peligro de obsolescencia. Si se tiene poco inventario,es necesario un mayor trabajo para resurtir y entonces aumentan los costos de envío y laprobabilidad de quedarse sin mercancía. Ante esto la pregunta es: ¿Cuál debe ser eltamaño de lote almacenado que permita tener el menor costo de inventario? Este problemaque pudiera resultar bastante complicado, puede resolverse con el auxilio del Cálculoreduciéndolo a un problema que involucra maximizar o minimizar una función, en estecaso, la función de costo por inventario.



37

UNIDAD VUNIDAD VUNIDAD VUNIDAD VUNIDAD V

DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTESObjetivo de la Unidad:

Aplicar la derivada de funciones trascendentes a través delempleo de las reglas de derivación para la resolución de

problemas teórico-prácticos.


En las matemáticas y en sus aplicaciones cobran especial importancia las funciones

trascendentes. Entre ellas tenemos a las funciones trigonométricas circulares y sus inversas,así como a las funciones exponenciales f(x)=ax y sus inversas correspondientes: las funcioneslogarítmicas g(x)=log

ax.

En la Física, Química, Biología, Economía, Demografía, etc., las funciones exponenciales ylogarítmicas describen los crecimientos y decaimientos exponenciales de fenómenos tales comoel crecimiento poblacional, la rapidez de crecimiento de un tumor, la multiplicación de lasbacterias en un cultivo, las velocidades de reacción química de un determinado proceso, etcétera.Es por ello que esta última unidad aborda su estudio.

Por otro lado, las derivadas de las funciones trigonométricas circulares y sus inversas parecieran

no tener aplicación en la vida real. Sin embargo, ocupan lugar importante en el diseño demaquinarias de relojería, en el estudio del movimiento de proyectiles, para la producción deherramientas y tornillos especiales, etcétera.

El estudio de la presente unidad te permitirá aprender las reglas de derivación de las funcionestrascendentes. En primer lugar, estudiarás las reglas de derivación para las funcionestrigonométricas circulares, con un apartado para el uso de la regla de la cadena para funcionescompuestas; comprenderás qué es la derivación implícita, así como su utilidad para derivarexpresiones complejas. Al final de este tema revisarás las derivadas de las funcionestrigonométricas inversas. (Si lo consideras necesario, para repasar las nociones fundamentalesde trigonometría, revisa el apéndice D del libro de Stewart, James. Cálculo de una variable.Trascendentes tempranas . México, International Thomson Editores, 1998).

En la segunda parte de esta unidad identificarás el concepto de función exponencial y funciónlogarítmica, así como la manera de calcular sus límites. Comprenderás la forma de derivartanto los logaritmos de base �a� como los logaritmos naturales. Por último, estudiarás laderivación de funciones exponenciales de base �e�.



38

¿CÓMO APRENDO?

5.1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Objetivo:

Calcular la derivada de funciones trigonométricas a través del análisis del comportamiento de las funciones

circulares directas e inversas para la resolución de problemas.


1. Poniendo especial atención en las demostraciones, efectúa la lectura de las páginas 143-149del libro de Stewart, James. Op. cit . A partir de la lectura elabora en tu cuaderno un cuadrode las derivadas de las funciones trigonométricas.

• Ahora resuelve los ejercicios 1-31, página 149 del mismo.

2. Del libro citado, lee con atención la página 155 y con base en la lectura explica la forma en

que se aplica la regla de la cadena al derivar funciones trigonométricas.• Intenta resolver los ejercicios 21-48, página 157 del mismo libro.

3. A continuación, realiza la lectura de las páginas 158-162 del libro de Stewart, James eintenta resolver los ejercicios 1 al 16, ubicados en la misma página.

4. Efectúa la lectura de las páginas 228-233 del citado libro y completa el cuadro iniciado enla actividad 1, con las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Además, resuelvelos ejercicios 1-18, que se encuentran en la página 233.

5.2. FUNCIÓN EXPONENCIAL DE �a� Y LOGARÍTMICA

Objetivo:

Calcular la derivada a través del análisis del comportamiento de funciones exponenciales y logarítmicas para la resolución de problemas sencillos.


1. Lee las páginas 194-200 del libro de Stewart, James.Op. cit . Partiendo de la lectura, efectúa

lo siguiente:

• Elabora una síntesis que considere: qué es una función exponencial, cuántos y cuáles son lostipos de funciones exponenciales, cuáles son las leyes de los exponentes y la forma dedeterminar los límites de las funciones exponenciales.

• Explica cómo se deriva una función exponencial de base �e�.

2. Lee las páginas 215-220 del libro citado y con base en ello, elabora un cuadro acerca de lasfórmulas de derivación para las funciones logarítmicas. Anota también los pasos para ladiferenciación de tales funciones.



39

Para valorar tus niveles de aprendizaje, te proponemos que resuelvas los siguientes ejercicios.En caso de tener dudas vuelve a revisar los temas y consulta a tu asesor

A. Deriva las siguientes funciones trigonométricas:

1. y = sen3x 6. f(x) = tan 2x

2. y = cosx3

7. f(x) = sec x2

3. y = sen (1-x)2 8. y = cot3x

4. y = 4 sen 2x 9. y = sec bx

5. y = 4 cos x2

10. y = 3 sen2 2x

B. Deriva las siguientes funciones trigonométricas inversas:

1. y = ang sen 2x 6. y = ang cos 5x

2. y = ang tanx2

7. y = ang cot3x4

3. y = ang sec x 8. y = ang csc x

1

4. y = ang tanx-1x1+

9. y = ang sen x-1x-1

5. y = 2x1

xsen ang

+ 10. y =1-xx

xsec ang2

Los siguientes ejercicios y preguntas tienen como finalidad que te des cuenta de tus avances. Sial estar intentando su resolución tienes dudas, regresa a la lectura correspondiente y busca elapoyo de tu asesor.

A. Contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Cuáles son las características de una función exponencial?

2. ¿Cuáles son las �bases� más usadas en las funciones exponenciales?

3. ¿Cuál es el valor del número �e�?

4. ¿Qué es un logaritmo?

5. ¿Cuál es la relación entre un logaritmo y una función exponencial?




40

6. ¿Qué es un �logaritmo vulgar�?

7. ¿Qué es un �logaritmo natural�?

8. ¿Cuáles son las leyes para operar con logaritmos? (Elabora un cuadro.

B. Deriva las siguientes funciones y compara tu respuesta con la solución.

Función Solución:

1. y = ln (3x + b)2 1.b3x

6+

2. y = ln (3x2 + b) 2.b3x

6x2 +

3. y = logx3

3. -x

elog

4. y = ln 22x-3 4. - 22x-32x

5. y = e2x 5. 2e2x

6. y = ex2 6. 2xex2

7. esen 3t 7. 3esen 3t cos 3t

8. esen 2x 8. 2esen 2x cos 2x

9. y = xe

39. 2x

x

e3e-



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Algunos ejemplos de funciones exponenciales o logarítmicas para los que puede ayudarel:

Un biólogo experimenta con una colonia de bacterias y sabe que dicha colonia crece auna razón proporcional a su magnitud, es decir, que crecerá cada vez más mientrasmayor sea el número de bacterias que integran a la colonia y viceversa. Con esteconocimiento y con ayuda del Cálculo podrá determinar el número de bacterias quepodría esperarse en cualquier tiempo.

Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 810 años (cuando se habla de vidamedia, lo que se quiere dar a entender es que la muestra se reduce a la mitad en eltiempo indicado). Si hay 10 gramos al principio ¿cuánto quedará al cabo de 300 años?

De una tumba africana, un grupo de antropólogos extrajo pelo humano que contenía tansolo 51% de carbono 14 del tejido viviente. ¿Cuándo fue sepultado el cuerpo?

Si el día de hoy, una persona decide abrir una cuenta con $375.00 ¿Cuánto tendrá al

final de 2 años si el interés es del 9.5% y se capitaliza cada mes?Entre 1996 y 2000 la inflación fue de alrededor del 5% al año. Sobre esta base ¿cuántoesperaría que costara en el año 2000 un auto que en 1996 costaba $20 000.00?

Para fomentar el valor del ahorro: Con el propósito de asegurar el futuro de su hijorecién nacido, un matrimonio decide depositar mensualmente en el banco la cantidad de$100.00, durante 18 años. Si el interés es del 12% anual y capitalizable mensualmenteal vencimiento ¿Qué cantidad le entregarán a su hijo cuando cumpla la mayoría deedad?

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