Z e 1 dx x log(x) 2 + x , Z π 0 cos(x) ( x 2 +1 ) dx. +∞ X n=1 n 2 √ 2n +1 log 1+ e - √ n . d 0 = 100, d n = 1 11 d n-1 , ∀n =1, 2, .... ∑ ∞ n=0 12 11 d n F : [0, +∞) → R F (x)= Z x 0 e -t (t 2 + 1) + 1 t 2 +1 dt F (x) F 0 (x) l´ ım x→∞ F (x) g(x)= x 2 F (x) [0, 1] f : (0, 1) → R f (x) = log 1+ √ 1 - x 2 x ! - p 1 - x 2 , ∀x ∈ (0, 1). f 0 (x)= - √ 1 - x 2 x , ∀x ∈ (0, 1). l´ ım x→0 + f (x) log(x) . f x ∈ (0, 1) g(x) (0,g(x)) (x, f (x)) f (x, f (x)) (0,g(x)) (x, f (x)) 1 g(x) - f (x) g(x) y : (0, 1) → R xy 0 + p 1 - x 2 =0, 0 <x< 1.
a) Calcular F (x) y F (x).b) Determinar si existe y en dicho
caso calcular lmx F (x).c) Determinar si existe y en dicho caso
hallar el mximo absoluto de la funcin g(x) = x2F (x) en elintervalo
[0, 1].
3. Sea f : (0, 1) R denida por
f(x) = log
(1 +
1 x2x
)
1 x2, x (0, 1).
a) Probar
f (x) =
1 x2x
, x (0, 1).b) Calcular
lmx0+
f(x)
log(x).
c) Bosquejar el grco de f .
d) Fijado x (0, 1) denimos g(x) como el valor tal que la recta
que pasa por los puntos (0, g(x))y (x, f(x)) es tangente al grco de
f en el punto (x, f(x)). Demostrar que el segmento que une(0, g(x))
con (x, f(x)) tiene longitud igual a 1 (sugerencia: Calcular g(x)
f(x) sin calcular g(x)explcitamente).
e) Encontrar todas las soluciones y : (0, 1) R a la ecuacin
diferencialxy +
