Calculo I - Lord Barrera

5/14/2018 Calculo I - Lord Barrera - slidepdf.com

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Lord Livin Barrera Bocanegra

MATEMÁTICA I

Un libro de aplicaciones orientado a las áreas de:CIENCIAS

INGENIERÍA

ECONOMÍA

ADMINISTRACIÓN

NEGOCIOSMEDICINA

LIMA - PERU

2012



Lord Livin Barrera Bocanegra

[email protected]

Universidad Cesar Vallejo

Los Olivos

Lima - Perú

Matemática I

c Lord Livin Barrera Bocanegra

Edición a cargo: Fondo Editorial

Lima, Marzo de 2012

Primera edición

Tiraje: 000 ejemplares

ISBN: 000-0000-00-000-0

Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú: 2012-00000

Impreso en Perú

Printed in Perú

Tipeado por el autor en LATEX

Este libro está sujeto a copyright y no puede ser reproducido parcial o totalmente sin el

consentimiento por escrito del autor. El autor se reserva todos los derechos de publica-

ción y elogia el buen uso de este material que ha sido sometido oficialmente.



A mis Padres



IV



Índice general

Prefacio IX

Introducción XV

1. Funciones, Gráficas y sus Aplicaciones 11.1. El Concepto de Función y sus Operaciones . . . . . . . . . 2

1.1.1. ¿Qué es una Función? . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Gráficando Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3. Operaciones Aritméticas de Funciones . . . . . . . 27

1.1.4. Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . . . 321.1.5. Funciones Inyectivas y sus Inversas . . . . . . . . . 401.1.6. Funciones Crecientes y Decrecientes . . . . . . . . . 51

1.2. Funciones Elementales y sus Aplicaciones . . . . . . . . . . 551.2.1. Función Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.2.2. Función Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.2.3. Función Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.2.4. Funciones Polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.2.5. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.3. Funciones Exponenciales y Logarítmicas . . . . . . . . . . . 851.3.1. ¿Qué es una Función Exponencial? . . . . . . . . . . 851.3.2. La Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.3.3. Modelos de Crecimiento y de Decaimiento . . . . . 99

1.4. Funciones Trigonométricas y sus Inversas . . . . . . . . . . 1041.4.1. Funciones Trigonométricas y sus Inversas . . . . . . 104

V



VI ÍNDICE GENERAL

2. Límite de Funciones 1292.1. Comprendiendo el Concepto de Límite . . . . . . . . . . . 1292.2. Propiedades de los Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.3. Límite de Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 1452.4. Técnicas para Evaluar Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.5. Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.6. Definición Rigurosa de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3. Continuidad 1653.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.2. Teorema del Valor Intermedio (TVI) . . . . . . . . . . . . . 1763.3. Límites que Involucran Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . 182

4. La Derivada 1934.1. Introducción y Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.2. El Concepto de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.3. Propiedades de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.4. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.4.1. Motivación y Definición . . . . . . . . . . . . . . . . 230

4.4.2. Regla General de Potencias . . . . . . . . . . . . . . 2374.4.3. Combinando Funciones Trigonométricas . . . . . . 2434.4.4. Combinando Funciones Exponenciales . . . . . . . 247

4.5. Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.5.1. Diferenciación de Ecuaciones Implícitas . . . . . . . 2534.5.2. Calculando Recta Tangente . . . . . . . . . . . . . . 2574.5.3. Aplicaciones en Economía . . . . . . . . . . . . . . . 2624.5.4. Relacionando Razones de Cambio . . . . . . . . . . 264

5. Aplicaciones de la Derivada 2715.1. Aproximación Lineal y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . 2725.2. Criterio de Crecimiento y Decrecimiento . . . . . . . . . . . 2795.3. Extremos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2845.4. Extremos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925.5. Concavidad y Puntos de Inflexión . . . . . . . . . . . . . . 298



5.6. Elasticidad de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

6. Integración 3136.1. Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136.2. Técnicas de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

6.2.1. Técnica General de Potencia . . . . . . . . . . . . . . 3306.2.2. Técnica de Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . 3346.2.3. Técnica de Integración por Partes . . . . . . . . . . 338

6.3. La Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3446.3.1. Tasas Acumuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3456.3.2. Definición de Integral Definida . . . . . . . . . . . . 348

6.4. Evaluando Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3536.4.1. Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . 3536.4.2. Reglas de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

7. Aplicaciones de Integración 3617.1. Valor Promedio y Área entre Curvas . . . . . . . . . . . . . 362

7.1.1. Valor Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3627.1.2. Área Entre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

7.2. Demanda y Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727.2.1. Gastos de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727.2.2. Disposición para Gastar . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.2.3. Exceso de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

7.3. Oferta y Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3857.3.1. Ingreso de Producción . . . . . . . . . . . . . . . . . 3867.3.2. Disposición y Capacidad de Producción . . . . . . . 3887.3.3. Exceso de Producción . . . . . . . . . . . . . . . . . 3927.3.4. Equilibrio y Beneficio Social . . . . . . . . . . . . . . 396

8. Proyectos de Matemática 4038.1. Aplicaciones en Robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4038.2. Colisión de Cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

Bibliografía 417



Índice Alfabético 411



Prefacio

EL CÁLCULO es una de las mayores conquistas del intelecto humano.Inspirados por problemas en astronomía, Newton y Leibniz desarrolla-ron las ideas del cálculo hace 300 años. Desde entonces, el cálculo ha sidouna herramienta fundamental para resolver problemas en matemática,ciencias físicas, ingeniería y las ciencias sociales y biológicas.

Origen del texto: Un pedido urgenteMi interés en escribir este libro fue motivado por la necesidad de

alcanzar al estudiante y al docente lo que se pide hoy en las universida-des: me refiero al cálculo aplicado a los negocios, economía, administra-ción, ciencias e ingeniería. Seguramente hay buenos libros de cálculo en

una variable pero que pueden resultar formales, también estoy seguroque existen excelentes aplicaciones matemáticas dispersas en interesan-tes textos cuyas explicaciones pueden cansar al lector.

Presentación: Intuitiva y simpleAunque la palabra “intuitiva” tiene muchas interpretaciones, su uso

aquí significa “basado en la experiencia y sin demostraciones”. Lo quehago aquí es presentar el cálculo con un enfoque atractivo y amigable,manteniendo un lenguaje bastante comprensible para que el estudianteno demore en su aprendizaje. En mi experiencia docente he notado queuna buena forma de despertar el interés matemático en el estudiante eshaciendo que la matemática tenga significado en su vida práctica y es-pecíficamente en su carrera profesional. Por esas razones decidí escribirun libro con una lectura amena y con bastantes ejemplos cuyas expli-caciones son detalladas; también se presentan ilustraciones visuales queayudarán a comprender mejor el desarrollo de cada aplicación.



X Prefacio

Orientación: Ciencias, ingeniería y negocios

Los temas contenidos en este libro forman parte de un curso tradicio-nal de cálculo de una variable, y está dirigido a estudiantes que cursanciencias e ingeniería y especialmente para aquellos estudiantes involu-crados en las carreras profesionales de negocios, administración y eco-nomía. Yo como matemático les digo que hay una necesidad urgente deapreender la matemática mediante este tratamiento moderno que inter-

actúa con la vida cotidiana.

Contribución: Adaptación e imitación

No soy un creador de todos los ejemplos que el lector podrá leer, loque hice simplemente es imitar el estilo impuesto por matemáticos ex-trangeros, varios de ellos citados en la bibliografía. Debo destacar aquími especial predilección por las obras de Latorre [La], Harshbarger yReynolds [Ha], Ron Larson [Lar], Soo Tan [Ta], Anton [An] y Hunger-ford [Hu]. Estos autores como los demás enfatizan la matemática con buen nivel y muchas aplicaciones en las ciencias sociales y la vida, trans-mitiendo con gran didáctica lo que el estudiante espera de este curso.

ContenidosEl contenido de los temas representa una visión moderna del cálculo.

Su flexibilidad y suficiencia se acomoda a los requerimientos de un cursode matemática I.

Capítulo 1: Funciones, gráficas ysus aplicaciones. En este capítu-lo se introduce el concepto de fun-ción, su gráfica y sus operaciones.Para entender funciones de mane-

ra rápida no había modo de evitarcomenzar con funciones elementa-les tales como: funciones lineales,polinómicas y racionales, con las



Prefacio XI

que estamos familiarizados desde la escuela. A continuación se estudianfunciones exponenciales y logarítmicas siendo una inversa de la otra; en-tre algunas de sus aplicaciones aparecen los pronósticos de crecimiento ydecrecimiento poblacional así como el cálculo de intereses compuestos.En la última sección de este capítulo pasamos ligeramente por el estu-dio de funciones trigonométricas con la finalidad de aplicar en algunosmodelos relacionados a ingeniería.

Capítulo 2: Límite de Funciones.Matemática superior se basa en elconcepto de límite y en este capí-tulo vemos su desarrollo. Aunqueéste es uno de los conceptos másdifíciles de la matemática, nuestrapresentación deja de ser misterio-sa. Desarrollamos propiedades delímites y algunas técnicas paraevaluarlas. Varios modelos en física son tratados usando límites lateralesy algunos modelos en negocios y economía se resuelven usando límites

involucrando infinitos. Para no perder el rigor del concepto de límite,la última sección está dedicada a explicar su definición en términos dedeltas y épsilon.

Capítulo 3: Continuidad. Aquívemos el concepto de continui-dad como una consecuencia delconcepto de límite. Su relevanciaes fundamental en los problemascotidianos y en este capítulo semodelan problemas de negocios,

administración e ingeniería. Paraayudar a comprender mejor esteconcepto se hacen ilustraciones gráficas y nos apoyamos en propiedadesvistas en el capítulo 2.



XI I Prefacio

Capítulo 4: la Derivada. En es-te capítulo, nuestro desarrollo delos temas se enriquece exponen-cialmente. Cada vez que hablamosde derivadas queremos decir “ra-zón de cambio”, y las razones decambio aparecen en todas partes,incluso cuando el lector lee esta lí-

nea ¿cómo? La razón de cambiomotivó a Newton y Leibniz a fundamentar el cálculo, y este es el ejecentral en toda la matemática. En este capítulo se estudia con detalle to-das las propiedades de derivadas, haciendo gran énfasis en la regla dela cadena y en derivación implícita. Muchas aplicaciones relacionadas alos negocios, economía e ingeniería son vistas con base en datos reales,explicando línea por línea; además se plantea una gran variedad de ejer-cicios que en su mayoría el lector no tendrá dificultad para resolverlos,aunque algunos de ellos pueden reducirse a cálculos formales simples.

Capítulo 5: Aplicaciones de la De-

rivada. Ya habíamos dicho en el ca-pítulo anterior que las derivadasproveen gran cantidad de mate-rial, y aquí lo que hacemos es con-tinuarlo. En este capítulo se haceespecial énfasis en aproximacioneslineales y optimización. En situa-ciones relacionadas ha empresas, el problema de maximizar o minimi-zar recursos es indispensable y aquí se resuelven tales problemas. Aquítambién se describe de manera ligera el comportamiento geométrico decurvas mediante el uso de la primera y la segunda derivada, y los con-

ceptos comunes en esta parte son la concavidad, punto crítico y puntode inflexión. Esto último proporciona al estudiante algunas técnicas deoptimización que podrá revisarlo con más amplitud en un curso de ma-temática II.



Prefacio XIII

Capítulo 6: Integración. Aunquela idea de integral es más antiguaque la idea de derivada, tradicio-nalmente es estudiado en el ordende este libro. Integrar es el proce-so inverso a derivar, o sea, hallar lafunción que originó la derivada, ynuestro entrenamiento en deriva-

das nos facilita este trabajo.Aquí también se desarrollan técnicas de integración, que son procedi-mientos similares a los que aparecen en el capítulo de derivadas. Inicial-mente se presenta a la integral indefinidas y se estudian algunas de suspropiedades, luego se usan aproximaciones del cálculo de área para con-seguir definir integral definida. Finalmente, haciendo uso del teoremafundamental del cálculo se estudian integrales definidas aplicándolos amodelos matemáticos concretos.

Capítulo 7: Aplicaciones de Inte-

gración. Aquí nos dedicamos a lasaplicaciones en economía y nego-cios. Se estudian algunas aplica-ciones de oferta y demanda como:gasto de consumo, capacidad paragastar, exceso de consumo, equi-librio, producción, exceso de pro-ducción y beneficio social total.

Para facilitar nuestra comprensión nos apoyamos en los conceptos vistosen el capítulo 1 y en las propiedades de derivadas. Una gran variedad deejemplos pueden verse con soluciones simples. También se desarrollan

valores promedios de funciones de producción y costos, interpretándo-los en términos de áreas de regiones planas.



XI V Prefacio

Capítulo 8: Aplicaciones de Integra-ción. Finalizamos el libro con lo que sellama “horizonte matemático”. Se pre-sentan algunos proyectos interesantesde matemática: Aplicaciones a la Ro- bótica y Colisión de Cometas. En estostópicos volcamos nuestra experienciaen matemática I. Cada material está

diseñado de modo que el alumno debe resolver los ejercicios sugeridospara completar la solución del proyecto. Una visión para estos proyectoses presentarlo computacionalmente. Debo reconocer que en este capítu-lo he sido influenciado por la obra de Anton [An] que con magníficapedagogía explica cada proyecto.

Agradecimientos

Bueno, sin pretender cansarlos debo agradecer a las personas que

colaboraron por ayudarme a sacar adelante esta obra. Fueron muchos losque participaron directa e indirectamente en este trabajo, a todos ellos mimás rendido agradecimiento.

LORD LIVIN BARRERA BOCANEGRA

Universidad Cesar VallejoLima - PerúMarzo, 2012

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