Calculo II Doc. de Apoyo 04

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Managua, 24 de agosto de 2014 Página 1

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA, MANAGUAFACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

CÁLCULO IIUNIDAD I: LA INTEGRAL

DOCUMENTO DE APOYO #4Objetivos:

Aplicar los distintos métodos de integración que permiten la resolución de problemascontextualizados.

Contenidos:Integración por partes. Integrales de potencias de funciones trigonométricas.

Integración por Partes

Fórmula de Integración Por Partes: Si )( x f u , )( x g v , y si f´ y g´ son continuas, entonces vduuvudv .

Ejemplo. Evaluar dxe x x32

Solución. Hacemos:2 xu

dxedv x3

xdxdu 2 x x edxev 33

3

1

Luego:

xdxee x xdxee xdxe x x x x x x 3323323232

31

231

31

Nuevamente debemos hacer integración por partes:

xu dxedv

x3

dxdu x xedxev

33

3

1

C e xee x

dxee xe xdxe x

x x x

x x x x

3332

333232

27

2

9

2

3

1

3

1

3

1

3

2

3

1


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Ejemplo. Evaluar xdx x ln

Solución. Hacemos: xu ln

xdxdv

dx x

du1

2

21

x xdxv Luego:

C x x x xdx x xdx x

x x x xdx x 2222241

ln21

21

ln211

21

ln21

ln

Ejemplo. Evaluar xdxe x cos

Solución. Hacemos: xeu

xdxdv cos

dxedu x senx xdxv cos Luego:

senxdxe senxe xdxe x x x cos

Nuevamente debemos hacer integración por partes: xeu

senxdxdv

dxedu x x senxdxv cos

xdxe xe senxe

dx xe xe senxe xdxe

x x x

x x x x

coscos

coscoscos

Es decir:

C xe senxe xdxe

xe senxe xdxe

xe senxe xdxe xdxe

xdxe xe senxe xdxe

x x x

x x x

x x x x

x x x x

cos21

cos

coscos2

coscoscos

coscoscos


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Ejemplo. Evaluar dx x sec 3

Solución. Hacemos: xu sec

xdxdv 2sec

xdx xdu tansec x xdxv tansec 2 Luego:

xdx xdx x xdx x x x x

xdx x x x

xdx x xdx

secsectansec

)1(secsectansec

tansectansec

secsecsec

3

2

2

23

Es decir:

C x x x x xdx

C x x x x xdx

xdx x x xdx xdx

tansecln21

tansec21

sec

tanseclntansecsec2

sectansecsecsec

3

3

33

Ejemplo. Encontrar una fórmula de reducción para dx xn cos

Solución. Hacemos:

xu n 1cos

xdxdv cos

dx senx xndu n )(cos)1( 2 senx xdxv cos Luego:

dx xndx xn x senx

dx x xn x senxdx x x senn x senx

xdx x xdx

nnn

nn

nn

nn

cos1cos1cos

coscos11cos cos1cos

coscoscos

21

221

221

1

Es decir:


4/8


dx xn

n

x senxndx x

dx xn x senxdx xn

dx xn x senx xdxdx xn

nnn

nnn

nnnn

21

21

21

cos

1

cos

1

cos

cos1coscos

cos1coscoscos1

Ejercicios

1. Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por partes:

a. dx xe x

b. dxe x x32

c.

dxe x x

33

d. xdx x x tansec

e. xdx x cos2

f. xdx1tan

g. xdx x ln

h. xdx x 2csc

i. xdxe x sin

j. xdx x coslnsin

k. xdx3csc

l. dx x x 99)32(

m. xdxe x 5sin4

n. dx x 2)(ln

o. xdx x sinh3

p. dx xcos

q. Encontrar una fórmula de reducción para xdxnsin y evaluar xdx5sin

2. Use integración por partes para deducir la fórmula de reducción:

a. dxe xme xdxe x xm xm xm 1

b. dx x xm x x xdx x mmm coscossin 1

c. dx xm x xdx x mmm 1)(ln)(ln)(ln


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Integrales de potencias de funciones trigonométricas

1. Guía para evaluar integrales de la forma xdx sen n :

a. Si n es un entero positivo impar, se escribe xsenxdx sen xdx sen nn 1 y como 1n es

par, se aplica la identidad x x sen 22 cos1 .

b. Si n es un entero positivo par, la fórmula del ángulo medio,2

2cos12 x x sen

, puede

ayudar a simplificar el integrando.

Ejemplo. Hallar la integral xdx sen 5

Solución. Aplicamos el procedimiento sugerido en el inciso a:

senxdx x x

senxdx x senxdx x sen xsenxdx sen xdx sen

42

222245

coscos21

cos1

Luego, hacemos la sustitución xu cos , de donde senxdxdu :

C uuu

duuu senx

du senxuu xdx sen

53

42425

5

1

3

2

2121

Finalmente, regresamos a la variable original haciendo xu cos :

C x x x

C uuu xdx sen

53

535

cos5

1cos

3

2cos

5

1

3

2

2. Guía para evaluar integrales de la forma xdxncos :

a. Si n es un entero positivo impar, se escribe

xdx x xdx nn

coscoscos1

y como 1n es par, se aplica la identidad x sen x 22 1cos .

b. Si n es un entero positivo par, la fórmula del ángulo medio,2

2cos1cos 2

x x

, puede

ayudar a simplificar el integrando.


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Ejemplo. Hallar la integral dx x)3(cos 6

Solución. Aplicamos el procedimiento sugerido en el inciso b:

xdx x sen x x sen x

xdxdx x x sen x

dx x x xdx x

dx xdx x

6cos128

1

2

36

2

1

8

1

6cos12cos12

36

6

3

8

1

6cos6cos36cos31

8

1

2

6cos13cos)3(cos

3

3

323

326

Luego, en el último término del corchete aplicamos el procedimiento sugerido en el inciso a , yhacemos la sustitución x senu 6 , con xdxdu 6cos6 :

C uu x sen x x sen x

duu x sen x x sen x

x

du xu x sen x x sen x

xdx x sen x sen x x sen x

xdx x x sen x x sen xdx x

3

2

2

2

26

18

1

6

112

8

1

2

36

2

1

8

1

16

112

8

1

2

36

2

1

8

1

6cos66cos112

8

1

2

36

2

1

8

1

6cos611281

236

21

81

6cos6cos128

1

2

36

2

1

8

1)3(cos

Finalmente, regresamos a la variable original haciendo x senu 6 , y reducimos términos

semejantes:C x sen x sen x sen xdx x 6

1441

12641

6121

165

)3(cos 36

3. Guía para evaluar integrales de la forma xdx x sen nm cos :

a. Si m y n son ambos pares, reducir los exponentes de x sen 2 y x2cos usando las fórmulasdel ángulo medio.

b. Si n es impar, escribir la integral como xdx x x sen xdx x sen nmnm coscoscos 1 , yexpresar xn 1cos en términos de senx aplicando x sen x 22 1cos . Usar la sustitución

senxu para evaluar la integral resultante.

c. Si m es impar, escribir la integral como xsenxdx x sen xdx x sen nmnm coscos 1 , yexpresar x sen n 1 en términos de xcos aplicando x x sen 22 cos1 . Usar la sustitución

xu cos para evaluar la integral resultante.


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Ejemplo. Hallar la integral xdx x sen 32012 cos


xdx x sen x sen

xdx x sen x sen xdx x x sen xdx x sen

cos

cos1coscoscos

20142012

220122201232012

Luego, hacemos la sustitución senxu , de donde xdxdu cos :

C uu

duuu xdx x sen

20152013

2014201232012

2015

1

2013

1

cos

Finalmente, regresamos a la variable original haciendo senxu :

C x sen x sen xdx x sen 20152013320122015

1

2013

1cos

4. Guía para evaluar integrales de la forma xdx x nm sectan :

a. Si n es un entero par, escribir la integral como xdx x x xdx x nmnm 22 secsectansectan

y expresar xn 2sec en términos de xtan aprovechando x x 22 tan1sec . Usar lasustitución xu tan para evaluar la integral resultante.

b. Si m es impar, escribir la integral como xdx x x x xdx x nmnm tansecsectansectan 11 ,

y expresar xn 1

tan

en términos de xsec aplicando 1sectan22

x x . Usar la sustitución xu sec para evaluar la integral resultante.

c. Si m es par y n es impar, emplear otro método como, por ejemplo, integración por partes.

Ejemplo. Hallar la integral xdx x 335 sectan


xdx x x x x

dx x x x x x

dx x x x x

dx x x x x

dx x x x x xdx x x x xdx x

tansecsecsec2sec

tansecsec1sec2sec

tansecsec1sec

tansecsectan

tansecsectansecsectantansectan

323436

3224

3222

3222

324324335


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Luego, hacemos la sustitución xu sec , de donde xdx xdu tansec :

C uuu

duuuu xdx x

333537

323436335

33

1

35

2

37

1

2sectan

Finalmente, regresamos a la variable original haciendo xu sec :C x x x xdx x 333537335 sec

33

1sec

35

2sec

37

1sectan

Ejercicios

Evalúe las siguientes integrales:

a. xdx3cos

b. xdx x sen 22 cos

c. xdx x sen 23 cos

d. xdx sen 6

e. xdx x 43 sectan

f. xdx x 33 sectan

g. xdx6tan

h. xdx senx 3cos

i. dx x x 2)cot(tan

j. xdx x 44 cotcsc

k.

dx senx

x

2

cos

l. dx x

x2

2

)tan1(

sec

m. xdx xsen sen 35

n. xdx x 5coscos

o. xdx x sen 2cos3

p. xdx x sen 3cos4

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