Calculo II - Trabajo Final.docx

Ao de la Promocin de la Industria Responsable y del Compromiso Climtico"

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURAFACULTAD DE ECONOMA

CURSO:CALCULO INFINITESIMAL II.DOCENTE:MARIA HIDALGO TINEDO MSC.

TEMA: VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO ( APLICACIN DE LA INTEGRAL DEFINIDA) INTEGRANTES:- CASTILLO ALVARADO JUAN - HERNANDEZ CHIROQUE LUIS - JIRON CARME DELBA- RUIZ ROSALES LENIN- . YARLEQUE ADRIANZEN KEVIN

DEDICATORIA:

El presente trabajo de investigacin lo dedicamos con mucho cario a nuestros padres y a todos quienes aportaron positivamente a lo largo de nuestra formacin acadmica dndonos el apoyo e incentivacin que necesitamos para trabajar da con da ya que son los testigos del trabajo perseverante para lograr un nuevo xito en nuestras vidas profesionales. Por eso y por mucho ms les dedicamos este proceso de formacin que constituir el cimiento fundamental en nuestra vida profesional y a travs del cual forjaremos un nuevo presente en las labores que desempeemos todos los das como futuros economistas.

NDICE:Justificacin--------------------------------------------------------------------------------4Presentacin-------------------------------------------------------------------------------5Objetivos especficos--------------------------------------------------------------------6Marco Terico-----------------------------------------------------------------------------7 Captulo I:-------------------------------------------------------------------------71.1. Concepto de flujo de ingresos--------------------------------------71.2. Concepto de anualidades--------------------------------------------9 Captulo II:-----------------------------------------------------------------------152.1. Frmulas para el cculo de valor futuro y valor presente--162.2. Ejercicios-------------------------------------------------------------------21Conclusiones----------------------------------------------------------------------------25Recomendaciones---------------------------------------------------------------------26Bibliografa y Linkografa-------------------------------------------------------------27

Justificacin:

Este trabajo pretende demostrar la importancia de las matemticas en la economa, donde las matemticas juegan un papel muy importante dentro de la ciencia econmica, puesto que constituye una herramienta para el anlisis la cuantificacin y la modelacin de fenmenos, la economa trata de conceptos principalmente cuantitativos, las matemticas proporcionan una estructura sistemtica lgica en el cual pueden estudiarse modelos cuantitativos.

Por esto es importante como economista dominar diversas herramientas matemticas. El clculo para el estudio de funciones que les permitan buscar buenos modelos de ajustes de datos, estudiar cualitativa y cuantitavamente modelos que surjan de la teora econmica, y para resolver problemas de optimizacin que les permita asignar eficientemente recursos escasos.

Presentacin:

El presente trabajo nos habla de la importancia de la matemtica a la economa en la cual se tratan dos puntos importantes siendo el primero el valor del dinero en el tiempo es clave en Finanzas, en el sentido que siempre un peso hoy vale ms que un peso maana. Para efectos de calcular en forma homognea los flujos que ocurren en distinto momento en el tiempo, debemos llevar todos estos a un valor presente o a un valor futuro. Siendo el segundo punto el valor y monto de una anualidades que son muy importante en lasmatemticas financierasya que su utilizacin es muy frecuente en las diversas transacciones comerciales que implican una serie de pagos peridicos en intervalos iguales de tiempo, un lugar de unpago nicoal finalizar el plazo del mismo. Y gracias a su clculo de valor y monto la rama de economa puede hacer ms certeras sus decisiones en proyectos de inversin, capital, entre otros; logrando as un buen desempeo y una gran satisfaccin en los resultados y ganancias de los mismos.

Objetivos especficos:

Identificar los diversos tipos de anualidades, sus caractersticas y frmulas correspondientes para poder obtener el monto futuro de una anualidad, su valor presente o actual, su tasa de inters nominal y efectivo, por periodo y anual, as como el nmero de periodos y plazo de las operaciones. Interpretar resultados y comparar con otras situaciones financieras para la toma de decisiones.

MARCO TERICO:

CAPTULO I: Conceptos de flujo de ingreso y de anualidades1.1. Concepto de flujo de ingresos:Estadoctrina sefundamentaenel conceptoderenta determinado porla ciencia econmica, y por comprenderse dentro del anlisis aspectos tomados dediversas doctrinasque,coincidiendo enlo principal,difieren cuantoalo particular,no sedara unconceptoderenta, sinoque se analizarn los elementos que deben concurrir para poder considerar un ingreso como tal. Existencia de un Ingreso.-Esterequisitoesparalosautoresconcebido como "existencia de un riqueza nueva" o "realizacin de la renta". En el fondo se trata dediferenciar la rentadel capital; haciendo hincapi en la ideade quela rentadebe aparecer como unariqueza autnoma ysepa-rada de la fuente productiva.

El ingreso debe ser determinable en dinero.-La exigencia de este requisito excluye del concepto de renta lasllamadasrentas inmateriales o de goce, lo cualimplicaque no podra afectarse con impuesto, por ejemplo, el placerque provoca la contemplacin de una escultura, ola comodidad de una habitacin confortable.- En este aspecto esta doctrina se distancia de la teora econmica, para cual tambin constituyen renta la riqueza inmaterial.

Que losingresosprovengande unatransaccindel contribuyente con terceros.Por laexigencia de esterequisito quedaran excluidos del concepto de renta losincrementos de valor de los bienes (o aumentos de capital), es decir, las ganancias de capital no realizadas y las llamadas rentas psquicas o rditospresuntos, que derivan del uso o gocede ciertos bienes (casa habitada por su propietario); aun cuando debo hacer presente que algunos autores, esgrimiendorazones de equidad yen la medida en que ese usodenota unasustitucin derenta, aceptan sugravamen(estiman que el propietario economiza una renta al no pagar arriendo).

Que exista una fuente productora ms o menos estable.-La existencia de unafuente productora durable, quesubsistaalacto deproduccin dela riquezanueva,eselrasgomsdistintivodeestateora. Estafuente productora est constituidapor elcapital,que asu vezpuede estarformado por bienes materiales o inmateriales.

Que sean peridicos.-Lanocindeperiodicidadoregularidaddel ingreso es tambin relativa,como ladurabilidad. En estesentido la doctrina exigequeelingresoseaperidicoo susceptibledeperiodicidad, es decir,la sola potencialidadde tal.

FLUJO DE CAJA:Enfinanzasy eneconomase entiende porflujo de caja o flujo de fondos(en inglscash flow) los flujos de entradas y salidas de caja o efectivo, en un perodo dado.El flujo de caja es la acumulacin neta de activos lquidos en un periodo determinado y, por lo tanto, constituye un indicador importante de la liquidez de una empresa.El estudio de los flujos de caja dentro de una empresa puede ser utilizado para determinar: Problemas de liquidez. El ser rentable no significa necesariamente poseer liquidez. Una compaa puede tener problemas de efectivo, aun siendo rentable. Por lo tanto, permite anticipar los saldos en dinero. Para analizar la viabilidad de proyectos de inversin, los flujos de fondos son la base de clculo delValor actual netoy de laTasa interna de retorno. Para medir la rentabilidad o crecimiento de un negocio cuando se entienda que las normas contables no representan adecuadamente la realidad econmica.Los flujos de liquidez se pueden clasificar en:1. Flujos de caja operacionales: efectivo recibido o expendido como resultado de las actividades econmicas de base de la compaa.2. Flujos de caja de inversin: efectivo recibido o expendido considerando los gastos en inversin de capital que beneficiarn el negocio a futuro. (Ej: la compra de maquinaria nueva, inversiones o adquisiciones.)3. Flujos de caja de financiamiento: efectivo recibido o expendido como resultado de actividades financieras, tales como recepcin o pago de prstamos, emisiones o recompra de acciones y/o pago de dividendos.

1.2. Concepto de anualidades:Unaanualidades una sucesin de pagos, depsitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en perodos regulares de tiempo, con inters compuesto. El trmino anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier secuencia de pagos, iguales en todos los casos, a intervalos regulares de tiempo, independientemente que tales pagos sean anuales, semestrales, trimestrales o mensuales.Cuando en un pas hay relativa estabilidad econmica, es frecuente que se efecten operaciones mercantiles a travs de pagos peridicos, sea a inters simple o compuesto, como en las anualidades.Cuando las cuotas que se entregan se destinan para formar uncapital, reciben el nombre de imposiciones o fondos; y si son entregadas para cancelar unadeuda, se llaman amortizaciones.Las anualidades nos son familiares en la vida diaria, como: las rentas, sueldos, pagos de seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, primas de seguros de vida, pensiones, pagos para fondos de amortizacin, alquileres, jubilaciones y otros, aunque entre unas y otras existen distintas modalidades y muchas diferencias. Sin embargo, el tipo de anualidad al que se hace referencia es el deanualidad de inversin, que incluye inters compuesto, ya que en otras clases de anualidad no se involucra el inters.PAAAAAA5321n4

1.2.1. Los principales elementos que conforman la anualidad: Renta: Es el pago, depsito o retiro, que se hace peridicamente. Renta Anual: Suma de los pagos hechos en un ao. Plazo: Es la duracin de la anualidad. Tiempo que transcurre entre el inicio y el fin de la anualidad. Periodo De Pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. Tasa: Es el tipo de inters que se fija en la operacin. Puede ser efectiva o capitalizable una vez en el ao; o bien, nominal, si se capitaliza ms de una vez en el ao. C0 Pago Peridico: llamado tambin trmino. Es el importe cobrado o pagado, segn sea el caso, en cada perodo y que no cambia en el transcurso de la anualidad. VF, el valor futuro: viene a ser la suma de todos los pagos peridicos (C), capitalizados al final del ensimo perodo. VA, el valor actual: viene a ser la suma de todos los pagos peridicos (C), descontados o actualizados a una tasa de inters. La tasa de inters por perodo () : tiene la caracterstica de ser simultneamente nominal y efectiva. Tambin representa la tasa anual de efectivo (TEA). n: obtenemos el nmero de perodos multiplicando el tiempo por la frecuencia de capitalizacin de los intereses (n=t*m).

1.2.2. LAS ANUALIDADES CUMPLEN CON LAS SIGUIENTES CONDICIONES:Los pagos o cuotas que conforman el sistema, deben cumplir las siguientes condiciones: Son uniformes, es decir, todas son iguales. Son peridicas, es decir, que se dan perodo tras perodo sin interrupcin alguna. El nmero de cuotas es igual al nmero de perodos. La tasa de inters permanece constante durante los n periodos.

1.2.3. CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADESLafrecuenciade pagos coincide con la frecuencia de capitalizacion de intereses pero es posible que no coincida. Puede ser tambien que la renta se haga al inicio de cada periodo o que se haga al final: Que la primera se realice en el primer periodo o algunos despues. Por tanto se puede clasificar las anualidades segun los siguientes criterios:1.2.3.1. SEGUN LAS FECHAS INICIALES YTERMINALDEL PLAZO:

A) Anualidad Cierta: Son anualidades ciertas aquellas anualidades cuyas fechas, inicial y terminal, se conocen por estar estipuladas en forma concreta.

Ejemplo.- En una compra a crdito, tanto la fecha que corresponde al primer y ltimo pago son conocidos.

B) Anualidad Eventual o Contingente: Cuandono seconoce al menos una fecha extrema del plazo es decir son aquellas en las que el primer pago o el ltimo, es decir, la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algn suceso previsible, pero cuya fecha de realizacin no puede fijarse.Ejemplo.- Una renta vitalicia o perpetua que tiene que abonar un cnyuge a la muerte del otro. Al morir el cnyuge se inicia la renta y sta fecha es desconocida.

1.2.3.2. SEGUN LOS PAGOS:A) Anualidad Anticipada: Cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo. Cualquier anualidad se resuelve aplicando apropiadamente estaformula general ya que si se tiene valor nico equivalente atodas lasrentas, al trmino del plazo este se traslada a cualquier otra fecha con la frmula del inters compuesto.PAAAAAA5321N4ANUALIDAD ANTICIPADAN-1A

Ejemplo.- el pago mensual por arriendo de una casa, primero es el pago, luego el uso del inmueble.

B) Anualidad Ordinaria o Vencida: Cuando los pagos se realizan al fin de cada periodo. Esta anualidad se caracteriza porque los pagos se realizan al fin de cada periodo, razn por la que se conocen tambin como anualidades vencidas.Lo ms comn como dijo antes es asociar las rentas con su valor equivalente al comenzar el plazo es decir con su valor presente C que se obtiene con la formula.

Las anualidades ms comunes de estas anualidades se refieren a la amortizacin dedeudascomocrditos hipotecarios, automotrices o cualquier otro que se liquida con pagos peridicos y cargos de inters compuesto.PAAAAAA5321N4ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDAN-1A

Ejemplo.- El pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.

1.2.3.3. DE ACUERDO CON LA PRIMERA RENTA:A) Anualidad Inmediata: Cuando los pagos sae hacen desde el primer periodo.

Ejemplo.- Hoy adquirimos un producto a crdito, a pagar mensualmente. El primer pago puede realizarse hoy o el mes siguiente, las cuotas pueden ser anticipadas (prepagables) o vencidas (post-pagables).

B) Anualidad Diferida: Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo no comienza sino hasta despus de haber transcurrido cierto nmero de periodos de pago; este intervalo de aplazamiento puede estar dado en aos, semestres, etc. Las anualidades diferidas pueden ser vencidas o anticipadas, dependiendo del momento en que tiene lugar el pago.

1.2.3.4. SEGUN LOS INTERVALOS DE PAGO:A) Anualidad Simple: Cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan los intervalos de pago.Ejemplo.- El pago de una renta mensual con intereses al 32% de capitalizacin mensual.B) Anualidad General:Una anualidad es general si los pagos se realizan en periodos distintos a la frecuencia con que los intereses se capitalizan. A diferencia de la anterior, el periodo de pago nocoincide con el periodo de capitalizacinEjemplo.- El pago de una renta semestral con intereses al 36% anual capitalizable trimestralmente.

CAPTULO II: FRMULAS PARA EVALUAR VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EJERCICIOS2.1. Frmulas para evaluar valor futuro y valor presente:2.1.1. Valor futuro:El valor futuro es la cantidad total (dinero trasferido a la cuenta ms los intereses) que se acumula de esta forma durante el plazo especifico.El clculo del monto de un flujo de ingresos es aproximar el flujo continuo de ingresos mediante una secuencia de depsitos discretos llamados anualidad. El monto de la anualidad aproximante es una cierta suma, cuyo lmite (una integral definida) es el valor del flujo de ingresos.Ejemplo.- Se transfiere dinero continuamente a una cuenta a una tasa constante de $1200 por ao. La cuenta gana intereses a una tasa anual de 8% capitalizado continuamente. Cunto habr al cabo de 2 aos? Solucin.-P dlares invertidos a 8% capitalizados continuamente sern dlares t aos despus.Para aproximar el valor futuro del flujo de ingresos, se divide el intervalo de 2 aos 0 t 2 en n subintervalos iguales con longitud t aos, y se denota por el inicio del j-simo subintervalo. Entonces, durante el j- ensimo subintervalo (de longitud t aos).Dinero depositado= (dlares por ao)(nmero de aos)= 1200 tSi se depositara todo este dinero al inicio del subintervalo (en el momento ), permanecera en la cuenta durante 2- aos y por lo tanto crecera hasta (1200t) dlares. As,Valor futuro del dinero depositado durante el j-ensimo subintervalo

1200t 1200 0 2

El valor futuro de todo el flujo de ingresos es la suma de los valores futuros del dinero depositado durante cada uno de los n subintervalos. Por tanto, Valor futuro de flujo de ingresos (observe que esta es solo una aproximacin, porque se basa en la suposicin de que todos los dlares se depositaron en el momento , en lugar de continuamente durante todo el subintervalo.)Cuando crece ilimitadamente, la longitud de cada subintervalo tiende a cero y la aproximacin tiende al valor futuro del flujo de ingresos. De aqu, Valor futuro del flujo de ingresos = Generalizando el razonamiento ilustrado en el ejemplo anterior, se llega a la frmula de integracin para el valor futuro de un flujo de ingresos dado por , durante un plazo de aos:

A continuacin se dan las formas primera y ltima de la frnula para el valor futuro de futuras referencias.Valor futuro de un flujo de ingresos, suponga que se transfiere dinero continuamente a una cuenta durante un perodo 0 , a una tasa dada por la funcin y que la cuenta gana inters a una tasa anual , capitalizada continuamente. Entonces el valor futuro, VF, del flujo de ingresos despus de aos dado por la integral definida

En el ejemplo anterior se tena , as que

2.1.2. Valor presente:Valor presente de un flujo de ingresos generado a una tasa continua , durante un plazo especfico de T aos, es la cantidad de dinero A que se debe depositar hoy, a la tasa de inters prevaleciente, para generar el mismo ingreso que el flujo de ingresos durante el mismo periodo de T aos. Puesto que A dlares invertidos a una tasa de inters anual r capitalizado continuamente valdrn dlares en T aos, se debe tener:

Dividiendo ambos miembros entre

En resumen:Valor presente de un flujo de ingresos, que se deposita continuamente, durante un plazo de aos, esta dado por

Ejemplo.-Jane trata de decidir entre dos inversiones. La primera cuesta $1000 y se espera que genere un flujo de ingresos continuo a una tasa de dlares por ao. La segunda inversin cuesta $4000 y se estima que genere ingreso a una tasa constante de dlares por ao. Si la tasa de inters anual permanece fija a 5% capitalizado continuamente durante los prximos 5 aos, Cul inversin generara ms ingreso neto durante este periodo?Solucin.El ingreso neto generado por cada inversin durante el periodo de 5 aos es el valor presente de la inversin menos el costo inicial. Para cada inversin se tiene y .Para la primera inversin:

Para la segunda inversin

Entonces, el ingreso neto generado por la primera inversin es de $13274.39, mientras que la segunda inversin genera un ingreso neto de $13695.94. La segunda inversin es ligeramente mejor.VALOR PRESENTE DE FLUJO PERPETUO:Si un flujo de efectivo fuera a persistir para siempre, una situacin ejemplificada por el inters proveniente de un ttulo perpetuo o de la renta de un bien de capital indestructible tal como un terreno, el valor presente flujo sera:

Lo cual es una integral impropia.Ejemplo:Encuentre el valor presente de un flujo perpetuo de ingreso a uan tasa uniforme de D dlares por ao, si la tasa continua de descuento es . Como al evaluar una integral impropia, simplemente tomamos el lmite de una integral propia; especficamente podemos escribir

Observe que el parmetro y ( nmero de aos ) ha desaparecido de la respuesta final. Esto es como debe ser, ya que aqu manejamos un flujo permanente. Tambin puede observar que nuestro resultado ( valor presente = tasa de flujo de ingresos tasa de descuento ) corresponde precisamente a la frmula conocida para la llamada capitalizacin de un bien con un rendimiento perpetuo.2.2. Ejercicios:2.2.1. Ejercicios de anualidades.a) Use una integral definida para estimar el valor actual de una anualidad que paga 100 dlares por mes en los prximos 2 aos. Si el tipo de inters que prevalece permanece fijo a un 8 por 100 anual compuesto continuamente.

Valor actual de la anualidad:

b) Javier recibe una anualidad de 450 dlares al ao pagados continuamente. La anualidad se extiende a lo largo de 20 aos con un tipo de inters fijo anual del 6 por ciento capitalizado continuamente. Calcule el valor presente de dicha anualidad.


c) A Walter Maxwell un estudiante de 2do grado de la maestra de administracin de empresas le acaban de ofrecer un empleo en el que ganar 50000 dlares mensuales. Despus de 3 aos, cul es el valor actual de su sueldo a una tasa del 20 por ciento anual capitalizado continuamente?


d) Daniela recibir una anualidad de 4 aos a razn de 600 dlares anuales pagos a recibiendo un primer pago de forma inmediata por lo cual seran 5 los pagos recibidos. Cul es el valor actual de la anualidad a una tasa de 10 por ciento anual capitalizado continuamente?*Cuando se usa la integracin en los problemas de flujos se descuenta la fecha 0 por ser una fecha previa al inicio del primer pago pero en este caso el primer pago ocurre de inmediato con lo cual se debe contabilizar el pago de esa fecha. Aeste tipo de anualidades se les denomina anualidades anticipadas.


d) Charles Harris acaba de ganar la lotera estatal recibiendo continuamente 6000 dlares por ao durante 4 aos a una tasa de 15 por ciento anual. Cul es el valor actual del pago que recibir?


2.2.2. Ejercicios de monto o valor futuro de una anualidad:a. Cul ser el monto de un depsito de 500 dlares al ao a una tasa de o.5 por ciento anual capitalizados continuamente al cabo de 10 aos?

b. Hallar el monto de una anualidad con pagos continuos de 180 soles cada ao al 36 por ciento de inters compuesto anual durante 2 aos

c. Una empresa azucarera reserva al final de cada ao 15600 soles durante tres aos en un fondo que gana 12 por ciento de inters compuesto anualmente. Cul ser el valor del fondo al final del tercer ao?

d. La Ca. San Andrs contrae una deuda con el banco por 3600 dlares por ao pagaderos en 10 aos a una tasa de inters de 18 por ciento anual con capitalizacin continua. Al finalizar los 10 aos, a cunto ascender el monto de la deuda?

e. Una inversin producir 2400 dlares al ao a perpetuidad, si el dinero se dispensa continuamente a lo largo del ao y el tipo de inters anual predominante permanece fijo al 12 por 100 compuestos continuamente. Cul es el valor actual de la inversin?Valoractual de la inversin =2400V.A=V.A. = V.A=0 +20000=20000El valor actual de la inversin ser de 20000 dlares con una tasa de inters de 12%.

Conclusiones:1. La integracin es fundamental para la toma de decisiones en la Administracin, debido a que permite realizar clculos de las funciones a partir de su dinmica o sus cambios generados por otras variables.

2. Lamodelacin de problemas econmicosse sustenta de las matemticas, por lo que se han considerado en este artculo, algunos contenidos esencialmente de la prctica contable que se nutren de la misma para ser resueltos, en especial de la integral definida y con ello mantener el antiguo status de la matemtica, esto es:el de ser la herramienta cuantitativa ms importante de la prctica econmica.

3. En este presente trabajo podemos concluir que a travs de la integral definida se puede calcular varias de las variables econmicas que estn presentes en nuestro mundo real y que en nuestra carrera siempre van a estar presentes.

4. Enfinanzasy eneconomase entiende porflujo de caja o flujo de fondos(en inglscash flow) los flujos de entradas y salidas de caja o efectivo, en un perodo dado.

5. La aplicacin de la integral en este tipo de ejercicios solo es posible cuando se introduce el concepto de capitalizacin continua.

Recomendaciones:

El curso de calculo infinitesimal tanto I.II y III deben estar orientados desde un principio a las aplicaciones con la economa ya que estos son base para la carrera.

El desarrollo del curso debe iniciarse con una introduccin base del curso anterior de modo de recordatorio

Durante el desarrollo del curso se den ms oportunidades de participacin a los alumnos ya que esto contribuyen al aprendizaje del curso y a un mayor entendimiento

Las evaluaciones deben desarrollarse con respecto a la bibliografa recomendada.

Se deben generar ms trabajos de investigacin

Los alumnos puedan tener un mayor acceso al docente para as resolver sus dudas fuera del horario de clase

Bibliografa y linkografa:

http://www.geocities.ws/victor_anaya64/mfin/apuntes_anualidades.pdf (2 de marzo) http://www.aliatuniversidades.com.mx/bibliotecasdigitales/pdf/economico_administrativo/Matematicas_financieras_II.pdf (2 de marzo) http://www.eduni.uni.edu.pe/1er_concurso_6_mate_financiera.pdf (3 de marzo) http://www.javossa.50webs.com/PDF/Ejercicios%20resueltos/Ejercicios%20resueltos%20%20sobre%20valor%20presente%20y%20valor%20futuro.pdf (3 de marzo) http://www.slideshare.net/JuanKasaid/matematicas-financieras-14595975# (3 de marzo) http://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/huejutla/administracion/ingenieria%20financiera/valor_del_dinero.pdf (4 de marzo) Matemtica Financiera. Conceptos, problemas y aplicaciones. Rafael Valera Moreno-Brenda Silupu Garces. Cuarta edicin Capitulo III anualidades. Mtodos fundamentales de economa matemtica: Alpha C Chiang- Kevin Wainwright. Cuarta edicin Capitulo 14: La dinmica econmica y el clculo integral .

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