CALCULO IIIUnidades:1. Calculo diferencial en funciones de varias variables.2. Calculo integrales en funciones de varias variables.3. Calculo vectorial.Bibliografa: Calculo con geometra analtica Earl Swokowsky. Calculo con geometra analtica Louis Leithold. Calculo con trascendencias tempranas Denis Zill. Anlisis Matemtico.Funciones de Varias Variables.Una funcin est compuesta por un dominio, rango y una regla de asociacin entre el dominio e imagen de la funcin.: D rn REs una regla que asocia cada n-ada ordenada (x) de nmeros reales (X1, X2, X3,, Xn) d, un solo nmero real determinado por (X1, X2, X3,, Xn). A= b.h (b, h) = A V = abc (a, b, c) = a.b.c = V

Recta Numrica

(x0; y0; z0)F(x, y, z) f(-x, y, z) F(x, y, -z) f(x, -y, z) F(x, -y, -z) f(-x, y, -z)F (-x, -y, -z) f(x, -y, -z)

Al conjunto de todos los puntos que pertenecen al dominio de la funcin y que puede asociarse un nico nmero se llama dominio y al nmero se llama rango.La grafica de una funcin de dos variables es el conjunto de puntos en el espacio para los cuales Graf = {(x, y, z) R3: (x, y) D; Z= (x, y)}

La interseccion del plano horizontal Z= K con la superficie Z= (x, y), se llama curva de contorno de altura K. La proyeccin de sta curva sobre el plano horizontal se llama curva de nivel (x, y)=k Superficies de NivelSi es una funcion de tres variables y K es una constante la grafica de la ecuacion (x, y, z) = k se llama superficie de nivel.Una funcin es una correspondencia entre sus magnitudes y segn sea su significado (magnitudes), la funcin tambin lo tendr (tiempo, espacio, temperatura, etc.).Encuentre el dominio de las siguientes funciones e indique su significado grafico.1. (x, y) = (x, y) R2 La divisin entre cero no esta permitida.X Y2 = 0 La raiz cuadrada de un numero negativo no esta permitida. X Y2 < 0Sol: (x, y) debe cumplirse X Y2 0

Dom: {(x, y) R2: X Y2 0El dominio de la funcin son todos los puntos interiores a la parabola, excluyendo su frontera.2. (x, y, z) = Sol: (X, Y) R3; 4 X2 Y2 Z2 0 X2 + Y2 + Z2 < 4 (Representar una esfera de r= 4).Dom: {(X, Y, Z) R3: X2 + Y2 + Z2 < 4} Grfica: Si X= 0 plano o traza YZ Y2 + Z2 = 4 (ecuacin de la circunferencia para r = 2). Si Y= 0 plano o traza XZ X2 + Z2 = 4 (ecuacin de la circunferencia para r = 2). Si Z= 0 plano o traza XY X2 + Y2 = 4 (ecuacin de la circunferencia para r = 2).

El dominio de la funcin son todos los puntos (X, Y, Z) interiores a la esfera, excluyendo la frontera.Trace algunas curvas de superficies de nivel, segn corresponda:1) (x, y) = X2 + Y2 4X + 6Y + 13.F(x, y)= (x2 4x) + (y2 + 6y) + 13 = (x2 4x + 4 4) + (y2 + 6y + 9 9) + 13= (x2 - 2)2 4 + (y2 + 3)2 9 + 13 = (x2 - 2)2 + (y2 + 3)2Consideremos k(x2 - 2)2 + (y2 + 3)2 = kEcuacin de la circunferencia con centro (2, -3) y radio Si k=0 (2, -3)Si k=1 (x2 - 2)2 + (y2 + 3)2 = 1 {circunferencia c (2,-3); r=1}Si k=4 (x2 - 2)2 + (y2 + 3)2 = 4 {circunferencia c (2, -3); r= 2}Mapa de contorno.

a) f(x, y, z) = z x2 y2 Recuerde: z = es un paraboloide elptico con eje z.Si a=b el paraboloide es circular.Sol: Sea f(x, y, z) = k, entonces k = z x2 y2 de tal manera que: z = x2 + y2 + k Si k=0 z = x2 + y2 es un paraboloide circular con vrtice (0, 0, 0). Si k=1 z = x2 + y2 + 1 es un paraboloide circular con vrtice (0, 0, 1). Si k= -1 z = x2 + y2 1 es un paraboloide circular con vrtice (0, 0, -1).

Observacin: f(x, y, z) = (z 1) (x + 2)2 (y 3)2 K = (z 1) (x + 2)2 (y 3)2z 1 = (x + 2)2 + (y 3)2 + kEl origen se traslada al punto (x, y, z) = (-2, 3, 1)Z = (x)2 + (y)2 + kLmite y continuidad de funciones de varias variables.Sea : D R2 R una funcin de dos variables definida en el disco abierto D, excepto posiblemente en el punto (a, b), entonces: : D R2 R Si y solo si

Para todo psilon positivo, existe un delta positivo.Limites Iterados.Si Entonces la funcin f(x, y) no tiene lmite, pero si alguno de ellos no existen o son iguales, entones no se puede asegurar que el limite doble exista.Regla de la doble trayectoria.Si dos trayectorias que llegan a un mismo punto, producen dos lmites diferentes para la funcin f(x, y), entonces ; o sea no existe.Paso a Coordenadas Polares.Supongamos que (a, b) = (0, 0) y efectuamos en la funcin f(x, y) un cambio de coordenadas polares a travs de x= r; y = r; para obtener f(x, y) = f(r, r). ; siempre que Calcule los siguientes lmites, si existen.1) Evaluacin directa: (Indeterminacin)Limites Iterados: = = = Como lo limites iterados son iguales, no podemos asegurar que el limite existe.Regla de la doble trayectoria.Primera trayectoria (y= mx) {si x=0 y=m= (0) = 0; x 0, entonces y 0} Como depende de m, entonces el lmite no existe, puesto que m puede tomar infinitos valores, lo que contradice al teorema de existencia y unidad del lmite, que establece que es nico. Tiene por valor 2m, entonces: Si m=1 Si m= -1 = -2NO existe.Continuidad F(x, y) es continua en (X0, Y0)D si cumplen las siguientes condiciones:i. F(X0, Y0) Est bien definido. ii. existe.iii. = f(x0, y0)Observaciones: Si se cumplen i) e ii), pero no iii) la discontinuidad es removible es decir, con tan solo definir el punto (x0, y0) de tal manera que = f(x0, y0), entonces la funcin f(x, y) ser continua en (x0, y0). Si = f(x0, y0) NO existe, entonces la discontinuidad es esencial la cual es imposible removerla.Ejercicio 1.b) La funcin es continua en (0, 0)?i) F (0,0) = Indeterminado.F NO est bien definida.ii) Se vio en el ejercicio anterior que NO existe la funcin es discontinua en (0, 0).2) (usando el paso a coordenadas polares).X2 + y2 = r2; x 0; y 0 r 0, entonces Indet.Aplicando l'Hpital Existe. 3) F(x, y)= { ; (x, y) 1; (x, y) = (0,0)a) F(0,0) = 1; est bien definida.b) Regla de la doble trayectoria.1 Trayectoria (y=mx)

2 Trayectoria (y=mx2)

Como los lmites son iguales, entonces el limite existe y su valor 0.Observacin: Tambin puede utilizarse el paso a coordenadas polares.X0 y {implica que r2 0 y es evidente que r} Por tanto el lmite existe y su valor es 0.c) , pero 0 1, por tanto hay discontinuidad removible.Esto indica que mediante la redefinicin del punto, obtenemos una funcin continua, la cual estar descrita por F(x, y)= { ; (x, y) 1; (x, y) = (0,0)Toda funcin diferenciable es continua, pero no toda funcin continua es diferenciable.Derivadas de Funciones de Varias Variables.

Objetivo:Extender el estudio de las derivadas de funciones da una a funciones de varias variables.Contenido: Conceptos generales. Interpretacin geomtrica. Derivadas de orden superior. Ejemplos.Se llaman derivadas parciales de una funcin z= f(x, y) respecto a las variables X e Y, a las funciones y es decir, si derivamos respecto a la variable X, las otra variables sern consideradas constantes, mientras que si derivamos respecto a la variable Y las restantes se considerarn constantes.

Geomtricamente, la derivada parcial respecto de Z respecto a X proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de intercepcin entre la superficie z=f(x, y) con el plano y=c, mientras que la derivada parcial de Z respecto a la variable Y proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de intercepcin de la superficie z=f(x, y) con el plano x=c. Estos hechos se muestran en la siguiente figura:Observaciones: Z Z0 = (X X0) Z Z0 = (Y Y0)

Integrales Mltiples.Objetivo:Extender el estudio del clculo integral de funciones de una variable, a funciones de varias variables, para la resolucin de ejercicios y problemas ingenieriles.Contenido: Integrales Dobles. Integrales Triples. Campos de Coordenadas. Polares. Cilndricas. Esfricas. Varias. Integrales Impropias. Aplicacin de las integrales. Ejemplos variados.Integrales Dobles.Sea f una funcin de dos variables que est definida en una regin R. La integral doble de f sobre R se denota y define por ; siempre y cuando el lmite existe.

A medida que la particin se hace ms fina (||P||0) podemos aproximar el volumen cada vez mejor, es decir:

Si f(x, y) 0 en todo R, entonces la integral doble de f sobre R es igual al negativo del volumen del slido comprendido entre la grfica de f y bajo la regin R.Si la regin R est compuesta por varias regiones R= R1UR2U URn las cuales entre ellas solo tiene en comn puntos fronteras y no se sobreponen o traslapan, pueden considerarse, por ejemplo:

=Propiedades: Si f(x, y)0 en toda regin R, entonces Integrales Iteradas.Tipo I

Tipo II

En el tipo I se realiza primero la integracin parcial respecto a y y se evala de forma acostumbrada, luego se integra respecto a x y se obtiene el resultado final al evaluar los lmites de integracin pertinentes, mientras que el tipo II se realiza un proceso similar. reas y Volmenes.rea

A = .De forma similar ocurre para A= Volumen.

V= De forma similar ocurre para:

El valor promedio de la funcin z=f(x, y) en la regin R, est dada por:

1) Evale

; Usamos = == = =Por tipo II Usando Sea m=y2; dm=2ydy dm/2 = ydy=2) Determine el rea de la regin del 1 cuadrante, delimitada por y=x2; y=x

Si x=0 y=0 pto. (0,0)Si x=1 y=1 pto. (1,1)Igualando funciones: X2=X x2 x= 0 x(x 1) = 0 X=0 x= 1A= A = 3) Determine el volumen de la superficie delimitada por los planos coordenados y 6x + 2y + 3z=18Si x=0; y=0 6(0) + 2(0) + 3z = 18 z=6, pto. (0, 0, 6)Si x=; z=0 6(0) + 2y + 3(0)= 18 y=9, pto. (0, 9, 0)Si y=0; z=0 6x + 2(0) + 3(0) = 18 x= 3 pto. (3, 0, 0); Se sabe que z = f(x, y), es decir: Z=0 6x + 2y + 3(0)= 186x + 2y = 183x + y = 9Y= 9 3x

= === =V= 27unid34) En cierta fabrica la produccin est dada por la funcin Q (K, L)=40K1/2L1/2, donde K es la inversin de capital en unidades de miles de $ y L es el tamao de la fuerza laboral medida en horas/hombre. Suponga que la inversin mensual de capital vara entre $12,000 y $16,000 mientras que la fuerza laboral vara entre 2950 y 3350 horas/hombre. Encuentre la produccin promedio mensual para la fabricacin de dicho artculo.Q (K, L)= 40K1/2L1/2$12,000 y $16,000; 12K162950 y 3350; 2950L3350

A = (16 12) (3350 2950)A = (4) (400)A = 1600 = = = 561.15Vp= 8391.42 8392 unid. [Produccin promedio mensual].

Integrales Dobles con Coordenadas polares.En condiciones adecuadas una integral doble en coordenadas rectangulares pueden ser transformadas en una integral doble en coordenadas polares, es decir:; Con dA=Tipo ILas funciones g1 () y g2 () son continuas con g1 () g2 () para , entonces

Tipo IILas funciones h1(r) y h2(r) son continuas con h1(r) h2(r) para entonces El rea puede determinarse empleando:

El volumen puede determinarse a partir de:

Ejemplo:1) Determine el rea de la regin delimitada entre las grficas: r= 2+ cos y r=1R= a + b cos : Cardiode : caracol con hendidura: Caracol convexo = = ====A= 2) Determine el volumen del solido delimitado superiormente por: z=8-r2 e inferiormente por: z=r2z=8-r2= 8 (x2 + y2) paraboloide circular que abre hacia abajo. z=r2 = x2 + y2 paraboloide circular que abre hacia arriba.Igualando V= F(r,) = Funcin superior Funcin inferiorF(r,) = (8 r2) r2 = 8 2r2V= = = =Centros de masa y momentos de inercia.Divdase s en pequeas rectngulos R1, R2,... Rk y seleccione , entonces la masa m se define y denota por . Donde es la densidad (masa por unidad de rea) en el punto (x, y) tal que:

El centro de masa esta denotado y definida por Con

Mx y My son conocidos como primeros momentos de la lmina de los ejes coordenados. Los momentos de inercia, tambin llamados segundos de la lmina respecto a los ejes coordenados, estn definidos por: Iz = Ix + Iy Observaciones Si la densidad es homognea =1 entonces m=4. Cuando la densidad es homognea, el centro de la masa se llama centroide. Un momento de inercia es el equivalente rotacional de la masa. Por ejemplo: la energa cintica de una partcula de masa m que rota a una distancia r del eje, es de con momento de inercia alrededor del eje de rotacin y su velocidad angular. El radio de giro de una lmina de masa m y el momento de inercia I alrededor del eje, se define por 1) Una lmina tiene la forma de la regin R del primer cuadrante que est acotada por las grficas Y=sin x; y = cos x con x entre 0 y (). Determinar el centro de masa si la densidad es =yIgualando ambas ecu.Sin x = cos x sin x/cos x =1Tan x= 1 x tan-1(1) = Los lmites de integracin son: === My == = =Mx =Recordar: ===== Luego las coordenadas de centro de masa se determinan: Aproximadamente ().b) Momentos de inercia c) Calculo del radio de giro. 2) Una lmina ocupa la regin acotada por las grficas y=x2 y=x+2. Suponga que la densidad de la lmina en el punto p(x, y) es proporcional a la distancia del punto P al eje x. Plantee las integrales que permitan determinar el centro de masa y los momentos de inercia.y=x2 Parabola que se abre hacia arriba con vrtice en el origen.y=x+2 Recta creciente que para por los puntos (-2, 0) (0, 2)

Igualando. X2= X+2X2 X+2(X 2)(X + 1) =0X=2; X=-1Sustituyendo en y=x2, entonces tenemos que los puntos (2, 4); (-1, 1). Es proporcional a la distancia de P al eje x. Para calcular la distancia de p al eje x, usamos:

=ky2 Centro de masa Integrales Triples

Si el lmite existe y f(x, y, z)=1; entonces Hay 6 formas en el orden de integracin:

Coordenadas cilndricas.Las relaciones que ligan las coordenadas cilndricas con las rectangulares son: Si tenemos F(u, v, w); G(u, v, w) y H(u, v, w) el Jacobiano est definido por:

Entonces:

Dnde:

Coordenadas esfricas.Las relaciones mtricas que ligan las coordenadas esfricas con las coordenadas rectangulares son:

Luego:

1) Plantee la integral que permita calcular el volumen de la regin solida limitada superiormente por el paraboloide Z=1 x2 y2 e inferiormente por el plano Z=1 y.Lmites de integracin respecto a Z1 y z 1 x2 y2Inserte dibujo aqu.Igualando z=z1 x2 y2=1 y1 + x2 + y2 + 1 y=0X2 + y2 y=0X2 + (y2 y + )=0+ X2 + (y )2 = {Circunferencia con centro c (0, ) y radio .X2 + y2 y=0X2 = y y2 Para delimitar los lmites de integracin respecto a la variable y tomamos x=0 de la expresin y2 y =0 y (y 1) =0 y=0 y=1 0 y 1

=== = Para evaluar ms fcil este tipo de integrales (posiblemente).Coordenadas Cilndricas. Se conocen los lmites de integracin respecto a z. 1 y z 1 x2 y2 [1-(x2+y2)]Pero x=rcos y=rsin; x2+y2=r2 1-rsin z 1 r2 Falta averiguar los lmites de integracin respecto a r y . Se sabe que la interseccin entre el paraboloide y el plano est dada por la expresin: Como z=0 entonces: Y=1 = /2 Luego: ==== =Recordar: Luego: Recordar: Luego: Esto significa que: Use coordenadas esfricas para plantear la integral que permita calcular el volumen del solido limitado superiormente por x2+y2+z2=16 e inferiormente z=

Z=x2+y2+z2= Usando coordenadas esfricas se observa:x2+y2+z2=16 Lmites de integracin de Si z= entonces z2= x2+y2

x2+y2+z2=16 pero z=x2+y2+ ()2 =16x2+y2+ x2+y2=162(x2+y2) =16x2+y2=802

= =

Observacin: Lmites de integracin respecto a z.

Lmites de integracin respecto a y.

Lmites de integracin respecto a x.0x22Luego

Calcule el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z= y z=2 Interseccin entre las superficies. Z=1Usando coordenadas rectangulares. Lmites de integracin respecto a Z.

Lmites de integracin respecto a Y (z=0).

Lmites de integracin respecto a X (Y=0, z=0)

Usando coordenadas cilndricas.X=rcos; y=rsin; z=z

Evidentemente el ngulo vara 02

Usando Coordenadas esfricas. Z=x2+y2+z2=z= x2+y2

Contenido:*Funciones vectoriales-Definicin-Lmite y continuidad-Derivadas-Integracin*Movimiento curvilneo-Velocidad y rapidez-Aceleracin y celeridad-Longitud de arco-Curvatura y radios de curvatura-Frmulas de frenet serret-Componente tangencial y normal de la aceleracin*Funciones vectorialesEs una funcin con dominios reales, tal que f: Si n=1 y m= 2 f: R F (): f, () i+ () jS n=1 y m= 3 f: R F (t) = f, () i + (t) j + (t) kDonde , y son los componentes de f en la base cannica

Lmite y continuidad:Sea f: definida por: y sea el vector L = entonces (r) = L i (r) = Li, c = 1, 2,, m.

Sea F , definida por f (r) = y sea el vector L = (L1, L2, Ln) entonces (r) = L i (r) = Li; i = 1, 2,, m.Propiedades:F y G con y i) S A existe, es nico.ii) = KA iii) Biv) A x B (para m = 3)v) | = |A|Derivadas:Sea F R una funcin vectorial de variable escalar t, entonces se define la derivada de como F (t) = [F (t)] = Teoremas:*Sea F una funcin vectorial de variable vectorial definida por F (r) = (F, (r), , (r)) entonces = ( , , , )*Sea F una funcin vectorial de variable escalar definida por: F (r) = ( F, (t), ), entonces = (F, (t), (t), , Fm (t))

Algunas reglas de derivacin:S , y son funciones vectoriales de una variable escalar t, los cuales admiten derivadas con respecto a dichas variables y F es una funcin escalar derivable respecto at, entonces1) ( )= 2) ( ) = + 3) (x ) = x + + x Debe recordarse que el producto punto es conmutativo, pero el producto vectorial No lo es, por lo que debe respetarse el orden de estos productos.4) ( x ) = x + x + x 5) [ x ( x ) ] = x ( x ) + x ( x ) + x ( x )6) [ (f (t))] = Integracin ordinariaS (t) = (t)I + (t)j + (t)k, entonces la integral indefinida es otra funcin vectorial de la forma (t) + , es decir: i + [ (t) dt]j + [ (t)dt]k= [G, (t) + C,] i + [ (t) + ]j + [ (t) + ]k= [G, (t) I + (t) j + (t)k] + [ + j + k]= (t) + Si la integracin es definicin en [, ], entonces: (t) dt = (t) | () - ()

Movimiento curvilneoConsiderando que (t) = x (t) i + y(t)j + z (t)k es el vector posicin de una partcula en el instante t, se tiene:- El vector velocidad: (t) = = (t)- La rapidez: V = || (t) || = || (t) ||- El vector aceleracin: (t) = = = (t)- La celeridad C = || (t) || = || r || (t) ||- La longitud del arco: S = (t) || dt- El vector tangente unitario a la curva: T = , T = - La curvatura K en el punto P:K = , K = , K = - El radio de curvatura con vector normal unitario N definido por N = Frmulas de Frenet Serret

1) = KN2) = -TNT: Torsin de la curvatura T = ||B) - TB kTAdems tiene que: - El plano normal est formado por: N y B- El Plano a su lado est formado por: N y T- El plano rectficante lo conforman los planos T y B Componente tangencial y normal de la aceleracin

| | = Practicai) Evale si se sabe queii) r (t) = F (t) G (t)ii) r (t) = F (t) x G (t)con F (t) = 2ti + - G (t) = senti costj + kSolucin:i) r (t) = f (t) G (t) = 2+ sent - cost - (t) = cost - ]= 0 0 -0= 01) Evale si se sabe que i) r (t) = F (t) G (t) con F (t) = 2ti + tj - tkii) r (t) = F (t) x G (t) y G (t) = sent i cost tj + k1) r (t) = F (t) G (t) = 2t no sent :O - cost - = = 0 + 0 + 0 = 0ii) r (t) = F (t) x G (t) = = ( - sent j 2t cost tk) [ sent k cost i + 2tj]= ( - cost t) i + (- sent 2t) j + (-2t cost t - sent)k = = 0i + 0j + 0k= 2) Encuentre las primeras y segundas derivadas de la funcin vectorial = La a , a = L -2a cost t sent t; 2a sent cost, 0 = L 2a (-2a ); 2a (- + ); 0= 2 2a cost2t; 2a cos2t; 0Resumen = -2a cost sen t I + 2a sen t cost j + 0 k = -ac cos 2t I + 2a cos 2t j + 0 xEvale la siguiente integral i - j + k]dtu = m = -2t = 2tdt dm = -2dt = tdt - = dt= [du]i + [dm]j + [arc tan t k= [ i + [ j + [arc tan t k= (e - )i + ( )j + ( 0) k= (e-1)i + ()j + k4) Para la curva X = t; Y = ; Z = en el punto M (2, 4, 8), te pide determinar:a) El vector tangente; vector binormal y vector normal.* (t) = ti + j + * El vector tangente: = = (t)kComo el punto M (2, 4, 8)

(2) = i + 4j + 12k* El vector binormal: = x S (2) = i + 2tj + 3 = 0i + 2j + 6tk (2) = 0i + 2j + 12k

= | = (48i + 0j + 2k) (0k + 24c + 12j) (2) = 24i 12j + 2kEl vector normal: = ( x ) x = x

(2) = || = (-144i + 2j +96k) (-12k + 8i + 288j) (2) = -152i 286j + 108kb) Vectores tangente unitario, binomial unitario y normal unitario = = = i + j + k = = = i - i + k = = = j - j + kc) Ecuacin del plano normal (x - ) + (y - ) + (z - ) = 01 (x-2) + 4y 16 + 12z 96 = 0X + 4y + 12z 114 = 0d) Ecuacin del plano osculador (x - ) + (y - ) + (z - ) = 012 (x 2) 6(y 4) + 1(z 8) = 012x 6y + z = 8e) Ecuacin del plano rectficante (x - ) + (4 - ) + (z - ) = 0-76 (x- 2) 143 (y 4) + 54 (z - 8) = 0-76x + 152 143y + 37z + 54z + 432 = 0-76x 143y + 34z + 292z = 0

g) curvatura y radio de curvaturaK = = || = = K = 0.167125 La curvatura

g) Torsin, velocidad y aceleracin = = ) = 0i + 2j +6tk = torsin = Velocidad Aceleracin

|| = Rpidez || = CeleridadDivergencia, rotacional y laplacianoDivergencia*Se define y denota por div *La divergencia representa el trazo de la matriz jacobiana , es decir:Div = traza () = traza ( = traza Observaciones:1) La divergencia es un campo escalar porque se obtiene una funcin escalar de la variable vectorial r.2) Si es un campo vectorial y div entorno al punto , entonces la masa fluye hacia el punto y se dice que en P hay un sumidero

Div 3) S es un campo vectorial y div entorno al punto P, entonces la masa fluye desde el punto y se dice que en P hay una fuente o manantial.

Fuente:div (p) 204) S es un campo vectorial y div = 0 entorno al punto P, entonces P no es ni sumidero ni fuente, y se dice que es un campo delonoidal div = pero (significado que est derivado de un potencial vectorial )div = = 0Este tipo de campo vectorial caracteriza a los fluidos incomprensibles.5) Un ejemplo del campo solenoidal es:a) El campo magntico que satisface la ley de gauss para estos campos

La cantidad del campo que escapa hacia el exterior de una superficie cerrada es igual a la suma neta de las fuentes escalares contenidas en el inferior de dicha superficie *Integral de lneaAplicndolo

0

b) La densidad de la corriente elctrica en una masificacin de corriente estacionaria para los cuales las leyes de la conservacin de la carga se reduce a: = 0; = P Si el volumen de la carga contenida disminuye, se debe al flujo exterior a travs de la frontera

Es decir implica que la intensidad de corriente en dos secciones cualquiera I, Esto no es una regla general pero se cumple en flujos de corrientesI = + RotacionalEl rotacional del campo vectorial se define y denota por:rot = = A travs del cual se obtiene informacin acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento.Observaciones:1) S denota el campo de velocidades de un fluido, entonces div en el punto P mide la tendencia de ese fluido fuera o adentro de P y la rot provee.La direccin del eje alrededor del cual giran el fluido ms rpidamente y || rot nos da la rapidez del giro.

2) Para la rotacional de un slido rgido, el rotacional del campo de velocidad es un nuevo campo vectorial cuya direccin es la de un eje de rotacin y su magnitud es el doble de la velocidad angular.|| rot = 2rot = (2) k donde k: eje de rotacin3) El rotacional escalar de (x, y) = p (x, y) i + Q (x, y)j es la funcin - la cual se obtienen del rotacional del campo vectorial bidimensional para la cual la componente K es cero y los dems componentes son independientes de las coordenadas Z, es decir: = () K Rotacional escalar4) Para cualquier campo vectorial , la divergencia de cualquier rotacional es cero.div (rot ) = 0LaplacianoAs como la divergencia y el rotacional de un campo vectorial son invariantes del primer orden de la matriz jacobiana, existen los llamados invariantes de 2do orden, entre los cuales:1) El rotacional de un rotacional)2) La divergencia de un rotacional)3) El gradiante de una divergencia)4) El rotacional de un gradiante)5) La divergencia de un gradiente (Laplaciano))El Laplaciano se define como: = + + Observaciones:1) El Laplaciano representa la traza de la matriz Hessiana respecto a x, y , z. ( )2) Cuando el Laplaciano de es nulo, entones es una funcin armnica. = 0 + + = 03) Los operadores gradiente, rotacional, divergencia y Laplaciano, estn relacionados porrot (rot ) = grad (div ) - 4) Un campo es conservativo s rot = 0

Integral de lnea

La integral de lnea f con respecto a X a lo larto de C de A a B

La integral de lnea de f con respecto a y a lo largo de C de A a B

La integral de lnea de f con respecto a la longitud de arco S a lo largo de C de A a B

C es una curva paramtricaS C es una curva suave parametrizada por x = x(t); y = y(t); a con dx = (t)dt; dy = * (t)dt*(x, y)dy = (x(t), y(t)) (t)dt* (x, y)ds ( x(t), y(t) )

C definida explcitamenteS y = g(x); a dy = (x)dx y ds = * (x, y)dx = ( x, g(x) )dx* (x, y)dy = ( x, g(x) )* (x, y)ds = ( x, g(x) )C curva suave por partes

C = c, UUEntonces la integral de lnea es: (x, y)ds = (x,y)ds + (x,y)ds + (x,y)dsMuy a menudo las integrales de lnea pueden expresarse en su forma diferencial. (x, y)dx + (x, y)dy =

Integral de lnea en el espacioSean x = x(t); y = y(t); z = z(t) podemos evaluar las integrales de lnea a lo largo de la curva C.

* (x(t), y(t); z(t)) (t)dt* (x(t), y(t); z(t)) (t)dt* (x(t), y(t); z(t)) (t)dt* (x(t), y(t); z(t)) dtIntegrales de lneas de campos vectoriales. La integral de lnea del campo vectorial F a largo de la curva C es:a) b) Las (r(t)) (t)dt

Observaciones1) El trabajo realizado por una fuerza constante a lo largo de C se puede determinar usando:

2) El trabajo practicado por una fuerza a lo largo de C se debe por completo al componente tangencial de , es decir:

3) Una integral de lnea de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada simple C, se dice que ser la circulacin de alrededor de C.

i) S el flujo rota en sentido contrario de las manecillas del reloj.ii) S el flujo rota en el sentido de las manecillas del reloj

Teorema de Green

Sea = Mi + Nj un campo vectorial en , sea R una regin simple y conexa con frontera C suave a trozos y orientada en sentido antihorario.

S M, N, son combinadas en una regin cubierta que contiene R, entonces: + Ndy = - )dA

Es evidente del grfico que: y como

TeoremaSea R una regin plana limitada por una curva cerrada simple a trazos c. El rea de R se puede determinar usando:A = A =

Integral de superficie

= x(u, y)i + y(u, y)j + z (u, y)kA = Considerando la proyeccin de S sobre los planos coordenadas se puede encontrar el flujo de sobre S en la direccin .

= Con Teorema de divergencia de Gauss

* F = Mi + Nj + Fk vector normal ascendente exterior ds = dv=)jv* En el plano sera: ds = )dA = )dATeorema de Stokes

Sea S una superficie conectada por un sector unitario cuyo ecuacin es una curva cerrada simple e. es un campo vectorial cuyas funciones tiene derivadas parciales continuas en una regin abierta R que contiene a S y a C, entonces: = Evale la integral de lnea a lo largo de la curva C, de acuerdo a las especificaciones: C es la grfica de x = entre los puntos (4, -2) y (4, 2)

Representacin vectorial de los puntos (

= X = + at x = 4 +0tY = + bt y = -2 +4tX = 4; y =2 + 4t S t = 0 (x, y) = (4, -2)dx = odt; dy = 4dt S t = 1 (x, y) = (4, 2)

dx+ xdy = = Nota: Para saber que el clculo de esta integral de lnea es correcta, se debe comprobar que la parametrizacin x = 4; y = -2 +4t corresponde a la curva x = xdy; C es la parte superior de la circunferencia orientada de (1, 0) a (-1, 0)

Recordar:X = rcos Y = rsen + = co + = jEvidentemente, el permetro vara de 0 a . AdemsX = cos y = sendx = -sen dy = co (cos)= dHalle el trabajo realizado por el campo de = xi + xyj + para mover una partcula a lo largo de r(t) = cost i + sentj + tk desde (0, 0, 0) hasta (0, 0, 3 (vara solo en Z) = ds = + ( + (]dt

= x(t)I + y(t)j + z(t)k = cost i + sent j + tkX (t) = costy (t) = sent = (-sent I + costj + k) dyt (t) = t d = (cost I k) d = (-sent cost sent co + ) dt = = -sent cost sent cot + )dtU = cost = ) du + dt]du = - sentdt

+ + 9 + + 9 -

Determine s es independiente de la trayectoria donde se deriva = (ysex - z)i + tan j - La integral es independiente de la trayectoria, s y solo s:a) F (x, y) = = , dondeM = y N = b) F (x, y , z) = ; = ; =

Evale C: Es un crculo (x-1 + (y -=4Crculo con centro (1, 5) y radio r = 2

dA ( ( + 2y)dx + (3x - dy = = Use El teorema de Green para evaluar donde C es la regin compuesta superiormente por la recta y = x e interiormente por la parbola y = * Para graficar y = usamos el teorema de la 1ra y 2da derivada = 0 = 2 Y (1) = 2(1) = -1Vrtice (x, y) = (1, -1)* Puntos de interseccin con los ejes coordinadosS x = 0 S y = 0 y = 2x = 4x, = 3x

=Igualando x = y zx

X (x 3) = 0 Puntos de interseccin entre las curvas son (0, 0); (3, 3)

= = )dx = Calcule el flujo del campo vectorial a travs del paraboloide Z = 1- que est sobre el plano xy y se sabe que es el vector normal ascendente.El clculo de integrales de superficie permite determinar el flujo del campo sobre la superficie en la direccin

Z = f(x, y) = 1- = fx = -2x = fy = -2yFlujo = = dA = Usando coordenadas polares en = 1

0

r = 0= 2 = 2 = 2 = Evale s = (x + i 2xj + 2yz k con S = con la porcin del plano en el primer octante.Flujo = ds = =

= (x + - + yz = 3x - x + yz = + = + = 4y - 2x + y + 2z = 6S x = y = 0 pto (0, 0, 3)S x = z = 0 pto (0, 6, 0)S y = z = 0 x = 3 pto (3,0, 0)Flujo = = dA

Porcin del plano del 1er octante (Refiere parte del plano xy)2x + y+ 2z = 6 Se reduce a 2x + y = 6 y = 6 -2x0 6 2xConsiderando y = 0 x = 3 , es decir 0X3Flujo = = PracticaEl campo de velocidad de un fluido est dado por = 5zk y S es la superficie + = 16. Calcule el flujo de a travs de S en la direccin de y exterior utilizando el teorema de divergencia de trazos.Flujo = d = + + )dv

= 0; = 0; = 5Flujo = 3 Flujo: 5 [ = 5 [Flujo: Nota: Utilizando coordenadas esfricasFlujo = 5 == 5 1+1] d= 5 = Evale s = (x+2y)i 3zj +xx con S la superficie 2x+y+2z =602x+ y + 2z = 6n x = 0; y = 0 z = 3 pto (0, 0, 3)n x = n y = z = 0

ds = = = i | | - j | | + k | |= (0 (-3))i (1 0)j + (0 2)k= 3i j - 2k = = j + kds = = dA( = (3i j 2k) = 2 - - = = = = = 1