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Calculo II
Tijani Pakhrou
Indice general
1. Nociones topologicas en Rn 1
1.1. Distancia y norma euclıdea en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Bolas abiertas y cerradas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Clasificacion de los puntos de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Conjuntos acotados y compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Funciones de Rn en Rm 9
2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Lımite de una funcion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1. Lımite de una funcion vectorial en un punto . . . . . . . . . . 12
2.3.2. Condicion necesaria y suficiente de existencia del lımite . . . . 13
2.3.3. Propiedades de los lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Lımite de funciones f : Rn −→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1. Lımite finito en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2. Lımite infinito en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3. Lımite finito en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.4. Lımite infinito en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.5. Propiedades de ordenacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. Metodos operativos para el calculo de lımites . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1. Sustitucion directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.2. Calculo del lımite de una funcion a traves del de otra funcion . 16
2.5.3. Cambio a coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.4. Tecnicas de acotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.5. Uso de Lımites iterados, reiterados o sucesivos . . . . . . . . . 19
2.5.6. Uso de lımites direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.7. Uso de curvas continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.8. Uso de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
3. Continuidad 273.1. Definicion de funcion continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Continuidad en conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Derivadas direccionales y parciales 414.1. Derivadas direccionales de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Derivadas parciales de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3. ¿Existe alguna relacion entre derivadas parciales, direccionales y con-
tinuidad en un punto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.1. Funcion continua en un punto y existiendo las derivadas parciales 444.3.2. Funcion continua en un punto sin derivadas parciales en dicho
punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.3. Funcion discontinua en un punto y con derivadas parciales en
el punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.4. Funcion discontinua en un punto sin derivadas en el mismo
punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4. Derivadas parciales y direccionales de funciones vectoriales . . . . . . 48
4.4.1. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4.2. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6. Matriz hessiana y determinante hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Funciones diferenciables 555.1. Funcion diferenciable en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2. Diferencial en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3. Interpretacion geometrica de la diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 595.4. Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 605.5. Reglas de diferenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.6. Diferenciales sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6.1. Diferencial segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6.2. Diferencial segunda de una funcion escalar . . . . . . . . . . . 705.6.3. Diferencial k-esima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6. Integral de Riemann en Rn 736.1. Intervalo n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2. Suma superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3. Integral de Riemann sobre intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.5. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6. Integral sobre un recinto acotado de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.6.1. Teorema de Fubini en recintos estandar de R2 . . . . . . . . . 816.6.2. Teorema de Fubini en recintos estandar de R3 . . . . . . . . . 83
6.7. Teorema del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.7.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.7.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.7.3. Coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Capıtulo 1
Nociones topologicas en Rn
Consideremos el espacio vectorial (Rn,+, ·) sobre el cuerpo de los numeros realesR, que es de dimension n, (n ≥ 1) finita.
1.1. Distancia y norma euclıdea en Rn
Definicion 1.1.1. Sean ~x = (x1, x2, . . . , xn) e ~y = (y1, y2, . . . , yn) puntos de Rn. Laaplicacion definida de la forma
d : Rn × Rn −→ R+ ∪ {0}
(~x, ~y ) −→(
n∑i=1
(xi − yi)2
) 12
es una distancia, denominada distancia euclıdea, al verificar:
1) d(~x, ~y ) = 0 ⇐⇒ ~x = ~y
2) d(~x, ~y ) = d(~y, ~x ) para todo ~x, ~y ∈ Rn. (Propiedad simetrica).
3) Dados ~x, ~y, ~z ∈ Rn,d(~x, ~z ) ≤ d(~x, ~y ) + d(~y, ~z ).
(Desigualdad triangular).
Definicion 1.1.2. Sea ~x = (x1, x2, . . . , xn) un punto en Rn. La aplicacion definidade la forma
‖ · ‖ : Rn −→ R+
~x −→(
n∑i=1
x2i
) 12
1
2
es una norma, denominada norma euclıdea, al verificar:
1) ‖~x‖ = 0 ⇐⇒ ~x = 0
2) ‖λ~x‖ = |λ| · ‖~x‖ para todo ~x ∈ Rn y para todo λ ∈ R.
3) Dados ~x, ~y ∈ Rn, ‖~x+ ~y ‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y ‖ (Desigualdad triangular).
Observacion 1.1.3. Dados ~x, ~y ∈ Rn, se verifica
d(~x, ~y ) = ‖~x− ~y‖
Terminologıa 1.
• El par (Rn, d) se llama espacio metrico euclıdeo.
• El par (Rn, ‖ · ‖) se llama espacio normado euclıdeo.
Definicion 1.1.4. En el espacio vectorial Rn se define el producto escalar eu-clıdeo de dos vectores ~x = (x1, . . . , xn) e ~y = (y1, . . . , yn) en Rn como
< ~x, ~y >=n∑i=1
xiyi
Geometricamente, este numero corresponde al coseno del angulo α que formanlos vectores ~x e ~y multiplicado por el producto de las longitudes de dichos vectores,es decir:
< ~x, ~y >= cos(α) · ‖~x‖‖~y‖.
Observacion 1.1.5. Para cada ~x ∈ Rn, se tiene que
‖~x‖ =√< ~x, ~x > =
( n∑i=1
x2i
) 12
= d(~x,~0)
Proposicion 1.1.6. Para cada ~x, ~y, ~z ∈ Rn, λ ∈ R tenemos que
1) < ~x, ~x >≥ 0, y ademas < ~x, ~x >= 0 si y solo si ~x = 0
2) < ~x, ~y >=< ~y, ~x >
3) < λ~x, ~y >= λ < ~x, ~y >
4) < ~x+ ~y, ~z >=< ~x, ~z > + < ~y, ~z >
3
1.2. Bolas abiertas y cerradas en Rn
Definicion 1.2.1 (Bola abierta). Sea ~a ∈ Rn y r > 0. La bola abierta decentro ~a y radio r, que se denota B(~a, r), es el conjunto
B(~a, r) ={~x ∈ Rn : ‖~x− ~a‖ < r
}.
Ejemplo 1.2.2. Si n = 2 y ~a = (0, 0), B(~a, 1) es el interior del cırculo centrado enel origen de coordenadas y radio 1.
Definicion 1.2.3 (Entorno de un punto). Sea ~a ∈ Rn. Un subconjunto A ⊂ Rn
es un entorno de ~a si existe una bola B abierta de centro ~a tal que B ⊆ A.
Nota 1.2.4. En la practica se suele trabajar con bolas abiertas ya que todo entornocontiene alguna bola abierta.
Definicion 1.2.5 (Bola cerrada). Sea ~a ∈ Rn y r > 0. La bola cerrada decentro ~a y radio r, que se denota B(~a, r), es el conjunto
B(~a, r) ={~x ∈ Rn : ‖~x− ~a‖ ≤ r
}.
Ejemplo 1.2.6. Si n = 2 y ~a = (0, 0), B(~a, 1) es el interior del cırculo de centro(0, 0) y radio 1 junto con la circunferencia contorno.
1.3. Clasificacion de los puntos de un conjunto
Definicion 1.3.1 (Punto interior. Interior de un conjunto). Sea A ⊂ Rn,~a ∈ Rn, se dice que el punto ~a es interior al conjunto A si existe r > 0 tal que
B(~a, r) ⊂ A.
(Un punto interior de A esta “completamente rodeado” de puntos de A).El conjunto de todos los puntos interiores a A se llama interior de A y se
representa por Int(A) o por◦A
Definicion 1.3.2 (Punto exterior. Exterior de conjunto). Un punto ~a ∈ Rn
es exterior al conjunto A ⊂ Rn si existe r > 0 tal que
B(~a, r) ⊂ Ac, o lo que es lo mismo, B(~a, r) ∩ A = ∅.(Un punto exterior de A esta “completamente rodeado” de puntos de Ac, donde
Ac = {~x ∈ Rn : ~x /∈ A} = Rn − A (conjunto complementario de A)).
El conjunto de todos los puntos exteriores a A se llama exterior de A y serepresenta por Ext(A).
4
Definicion 1.3.3 (Punto frontera. Frontera de un conjunto). El punto ~a ∈ Rn
es un punto frontera del conjunto A ⊂ Rn si para todo r > 0,
B(~a, r) ∩ A 6= ∅ y B(~a, r) ∩ Ac 6= ∅.
Es decir, un punto es frontera de A si no es ni interior ni exterior a A. Un puntopunto frontera esta rodeado de puntos de A y de Ac.
Se llama frontera de un conjunto al conjunto de todos sus puntos frontera,denotandose Fr(A).
Proposicion 1.3.4. Sea A ⊂ Rn un conjunto, se verifica que
• Rn = Int(A) ∪ Ext(A) ∪ Fr(A),
• Los conjuntos Int(A),Ext(A),Fr(A), son disjuntos dos a dos, es decir sin pun-tos comunes.
• Ext(A) = Int(Rn − A).
Ejemplo 1.3.5. El subconjunto de R2, A = [1, 2] × (1, 2) es un cuadrado, dos decuyos lados pertenecen al conjunto A.
Su interior esInt(A) = (1, 2)× (1, 2),
su exterior es
Ext(A) = Int(R2 − [1, 2]× (1, 2)
)= R2 − [1, 2]× [1, 2]
y su frontera Fr(A) esta formada por los cuatro lados del cuadrado.
Definicion 1.3.6 (Punto adherente. Adherencia de un conjunto). Un punto~a ∈ Rn es adherente (o infinitamente proximo) a un conjunto A ⊂ Rn si para todor > 0 se tiene
B(~a, r) ∩ A 6= ∅.El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama adheren-
cia, (cierre o clausura), de A y se designa por A o Cl(A)
Observacion 1.3.7. Sea A ⊂ Rn, se tiene que
◦A⊂ A ⊂ A.
Definicion 1.3.8 (Punto de acumulacion. Conjunto derivado). Un punto~a ∈ Rn es de acumulacion de A ⊂ Rn si para todo r > 0 se tiene[
B(~a, r)− {~a}]∩ A 6= ∅.
El conjunto de todos los puntos de acumulacion de A se llama conjunto deriva-do de A y se designa por A′ o por Ac(A).
5
Nota 1.3.9.
• Un punto ~a ∈ Rn es de acumulacion de A ⊂ Rn si hay infinitos puntos de A,distintos del propio ~a, tan proximos como se quiera a dicho punto.
• Un punto de acumulacion de A no tiene por que pertenecer al conjunto A.
• Un conjunto finito, A, no puede tener puntos de acumulacion, mientras quelos conjuntos infinitos pueden tenerlos o no.
Proposicion 1.3.10. Para cada conjunto B ⊂ Rn se verifica que
B = B ∪ Ac(B) y B =◦B ∪ Fr(B)
Definicion 1.3.11 (Punto aislado). Un punto ~a ∈ Rn es punto aislado de A ⊂Rn si existe r > 0 tal que
B(~a, r) ∩ A = {~a}.
Ejemplo 1.3.12. Sea A = (1, 5) ∪ {6, 7, 8}, tenemos
• A = [1, 5] ∪ {6, 7, 8}• Ac(A) = [1, 5]
• Los puntos 6, 7, 8 son aislados.
Ejemplo 1.3.13. Sea A = (1, 2)× (1, 2) ∪ {(3, 3)}, tenemos
• A = [1, 2]× [1, 2] ∪ {(3, 3)}• Ac(A) = [1, 2]× [1, 2]
• El punto (3, 3) se aislado de A.
1.4. Conjuntos abiertos y cerrados
Definicion 1.4.1 (conjunto abierto). Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es abier-ta, si para cada ~a ∈ A existe δ > 0 tal que
B(~a, δ) ⊂ A.
Ejemplo 1.4.2. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos pero no todo conjuntoabierta es una bola.
El conjunto (1, 2)× (1, 2) es abierto en R2 pero no es una bola.
Proposicion 1.4.3. Los conjuntos abiertos verifican las siguientespropiedades:
6
1) ∅ y Rn son conjuntos abiertos.
2) La union de cualquier coleccion de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3) La interseccion de cualquier coleccion finita de conjuntos abiertos es un con-junto abierto.
Observacion 1.4.4. La interseccion de una coleccion infinita de abiertos no tienepor que ser un conjunto abierto, como puede verse en el siguiente ejemplo:⋂
n∈N
(1− 1
n, 3 +
1
n
)= [1, 3]
Definicion 1.4.5 (Conjuntos cerrado). Un conjunto A ⊂ Rn es cerrado si sucomplementario Ac = Rn − A es abierto.
Ejemplo 1.4.6. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados pero hay conjuntos cer-rados que no son bolas cerradas.
El conjunto [3, 4]× [1, 2] es cerrado en R2 pero no es una bola.
Proposicion 1.4.7. Los conjuntos cerrados verifican las siguientespropiedades:
1) ∅ y Rn son conjuntos cerrados.
2) La interseccion de cualquier coleccion de conjuntos cerrados es un conjuntocerrado.
3) La union de cualquier coleccion finita de conjuntos cerrados es un conjuntocerrado.
Observacion 1.4.8. La union infinita de conjuntos cerrados no tiene por que serun conjunto cerrado, como puede verse en el siguiente ejemplo:⋃
n∈N
[1 +
1
n, 5− 1
n
]= (1, 5)
Proposicion 1.4.9. Para cada A ⊂ Rn.
1) Los conjuntos Int(A) y Ext(A) son abiertos y el conjunto Fr(A) es cerrado.
2) El conjunto A es el menor cerrado que contiene a A.
3) A es cerrado si y solo si A = A
4) A es abierto si y solo si◦A= A
5) A es cerrado si y solo si Ac(A) ⊂ A
7
1.5. Conjuntos acotados y compactos
Definicion 1.5.1 (Conjunto acotado). Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si ysolo si existe M > 0 tal que ‖~x‖ ≤M para todo ~x ∈ A.
Definicion 1.5.2 (Conjunto compacto). Un subconjunto A de Rn es compactosi es cerrado y acotado.
Teorema 1.5.3 (Bolzano-Weierstrass). Todo conjunto acotado A ⊂ Rn con in-finitos puntos posee al menos un punto de acumulacion.
Ejemplo 1.5.4. Sea A ={(
1n, 1n
): n ∈ N
}⊂ R2 (acotado con infinitos puntos). El
punto (0, 0) es punto de acumulacion de A.
Teorema 1.5.5. Cualquier subconjunto cerrado de un conjunto compacto es com-pacto.
8
Capıtulo 2
Funciones de Rn en Rm
2.1. Definiciones
Definicion 2.1.1. Una correspondencia de un conjunto A en un conjunto B esun subconjunto arbitrario del conjunto producto cartesiano
A×B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}.
Definicion 2.1.2. Llamaremos funcion de un subconjunto X ⊂ Rn en Rm (n,m ≥1) a cualquier correspondencia f ⊂ X × Rm, tal que
∀ ~x1, ~x2 ∈ X, ~x1 = ~x2 =⇒ f( ~x1) = f( ~x2).
(A cada punto de X una funcion le asocia como imagen un unico punto pertenecientea Rm).
Ejemplo 2.1.3.f : R −→ R
x −→ sin(x)
Ejemplo 2.1.4.g : R2 −→ R
(x, y) −→ x2
x2+y2
Ejemplo 2.1.5.
h : R2 −→ R3
(x, y) −→(x+ y, x2 + 1, cos(xy)
)9
10
Ejemplo 2.1.6.k : R3 −→ R2
(x, y, z) −→(
1+xy,√z)
Definicion 2.1.7. Sea f : X ⊂ Rn −→ Rm una funcion.
1) El dominio de definicion de f esta formado por todos aquellos puntos~x ∈ X para los cuales la expresion f(~x) tiene sentido y lo denotaremos por:
D(f) ={~x ∈ X tal que, existe f(~x)
}.
2) El recorrido, rango o imagen de f esta formado por todos todos aque-llos puntos de Rm que poseen algun antecedente mediante la funcion f y lodenotaremos por:
Im(f) = f(X) ={f(~x) ∈ Rm : ~x ∈ X
}.
Ejemplo 2.1.8. Seaf : R3 −→ R2
(x, y, z) −→(
1+xy,√z)
tenemos que
D(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : y 6= 0, z ≥ 0} = R×(R− {0}
)× [0,+∞)
Im(f) = {(x′, y′) ∈ R2 : x′ ∈ R, y′ ≥ 0} = R× [0,+∞)
Definicion 2.1.9. Sea f : X ⊂ Rn −→ Rm una funcion con n,m ≥ 1.
1) Si m = 1, la funcion f se llama funcion real
1.1) Si m = n = 1, la funcion f se llama funcion real de una variablereal
f : X ⊂ R −→ Rx −→ y = f(x)
1.2) Si m = 1 y n > 1, la funcion f se llama funcion real de variasvariables reales
f : X ⊂ Rn −→ R~x = (x1, x2, . . . , xn) −→ y = f(~x) = f(x1, x2, . . . , xn)
11
2) Si m > 1, la funcion f se llama funcion vectorial
f : X ⊂ Rn −→ Rm
~x = (x1, x2, . . . , xn) −→ ~y = f(~x) =(f1(~x), . . . , fm(~x)
)Las funciones reales f1(~x), . . . , fm(~x) representan las coordenadas respecto dela base canonica de Rm de la imagen del punto ~x y se denominan compo-nentes de la funcion vectorial f .
Ejemplo 2.1.10. Algunos ejemplos de funciones reales de una variable real son lossiguientes:
1) f(x) = 3x+ 1
2) f(x) = 2x2 + 3
3) f(x) = sin(x)
4) f(x) =1
x
5) f(x) =√x+ 1
Ejemplo 2.1.11. Algunos ejemplos de funciones reales de varias variables realesson los siguientes:
1) f(x, y) = x+ y
2) f(x, y) =x3
x2 + y2
3) f(x, y, z) =yz
x2 + y2 + z2
4) f(x, y, z) =
{x2 + y2 si x ≥ 0x2 + z2 si x < 0
Ejemplo 2.1.12. Algunos ejemplos de funciones vectoriales son los siguientes:
1) f(x, y) =(x+ ey, cos(x) + y
)2) f(x, y, z) =
(sin(xy + z), yz + x2
)3) f(x, y) =
(ex+y, sin(x− y), x2
)4) f(x, y, z) =
(cos(yz), xyz,
1
z
)
2.2. Algebra de funciones
Notacion 1. Al conjunto de todas las funciones de un subconjuntoX ⊂ Rn en Rm lo denotaremos F(X,Rm).
12
Definicion 2.2.1. Sean f, g ∈ F(X,Rm), entonces
f = g ⇐⇒ ∀ ~x ∈ X : f(~x) = g(~x).
Definicion 2.2.2. En el conjunto F(X,Rm) podemos definir una ley de com-posicion interna (“+”suma de funciones) y una ley de composicion externa(“·”producto por escalares) de la siguiente manera:
∀ f, g ∈ F(X,Rm), ∀ α ∈ R : (f + g)(~x) = f(~x) + g(~x), ∀ ~x ∈ X
(αf)(~x) = α · f(~x), ∀ ~x ∈ X.
El conjunto F(X,Rm) dotado de estas dos leyes de composicion tiene una estruc-tura de espacio vectorial real.
Definicion 2.2.3. Sean f : X ⊂ Rn −→ Rm, g : Y ⊂ Rm −→ Rp dos funciones. Sedefine la composicion de estas funciones, g ◦ f , de la siguiente forma:
∀ ~x ∈ X con f(~x) ∈ Y, (g ◦ f)(~x) = g[f(~x)
].
2.3. Lımite de una funcion vectorial
2.3.1. Lımite de una funcion vectorial en un punto
Definicion 2.3.1. Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm y ~a un punto de acumulacion de A,decimos que el lımite de f(~x), al tender ~x hacia ~a es ~b, y escribimos
lım~x→~a
f(~x) = ~b
silım
‖~x−~a‖→0‖f(~x)−~b‖ = 0
es decir, si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ~x ∈ A y 0 < ‖~x− ~a‖ < δ, entonces∥∥f(~x)−~b
∥∥ < ε
Ejemplo 2.3.2. Dada la funcion
f : R2 −→ R3
(x, y) −→ (x+ y, x2 + 1, y3 − 3)
se tiene quelım
(x,y)→(1,1)f(x, y) = (2, 2,−2)
13
Observacion 2.3.3. En la definicion de lımite no se necesita que f este definidaen el punto ~a, sin embargo, se exige que ~a sea punto de acumulacion de A, paragarantizar que existan puntos ~x ∈ A tan proximos al punto ~a como sea necesario.
Proposicion 2.3.4 (Unicidad del lımite). Si existe lım~x→~a
f(~x), este es unico.
Proposicion 2.3.5. Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm una funcion , ~a un punto de acumu-lacion de A. Entonces existe
lım~x→~a
f(~x) = ~b
si y solo si, para cada sucesion (~xk)k≥1 ⊂ A convergente al punto ~a en A (es decir,∀ε > 0, ∃k0 > 0 : si k ≥ k0 entonces ‖~xk −~a‖ ≤ ε), la sucesion
(f(~xk)
)k≥1
converge
a ~b en Rm.
Observacion 2.3.6. Esta Proposicion resulta especialmente util a la hora de probarque un lımite no existe: bastara encontrar dos sucesiones convergentes al mismopunto de modo que la funcion, a lo largo de estas sucesiones, converge a puntosdiferentes (o no converge). Por ejemplo, el lımite
lımx→0
sin(1
x
)no existe, ya que si tomamos
f(x) = sin(1
x
)xk =
1
kπ−−−−−−−→k−→+∞
0
yk =1
π2
+ 2kπ−−−−−−−→k−→+∞
0
pero f(xk) converge a 0 mientras que f(yk) converge a 1.
2.3.2. Condicion necesaria y suficiente de existencia del lımite
Proposicion 2.3.7. Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm, ~a un punto de acumulacion de A, ysea f(~x) =
(f1(~x), f2(~x), . . . , fm(~x)
)∈ Rm para cada ~x ∈ A.
Entonces, existe lım~x→~a
f(~x) si y solo si existen los lımites lım~x→~a
fi(~x) para cada fun-
cion coordenada fi, donde i = 1, 2, . . . ,m.
Ademas en este caso,
lım~x→~a
f(~x) =(
lım~x→~a
f1(~x), lım~x→~a
f2(~x), . . . , lım~x→~a
fm(~x)).
14
2.3.3. Propiedades de los lımites
Proposicion 2.3.8. Sean f, g : A ⊂ Rn −→ Rm, ~a punto de acumulacion de A, ysean
lım~x→~a
f(~x) = ~b y lım~x→~a
g(~x) = ~b′
entonces se verifican las siguientes propiedades:
1) lım~x→~a
[f(~x) + g(~x)
]= ~b+~b′
2) lım~x→~a
[λf(~x)
]= λ~b
3) Si m = 1, entonces lım~x→~a
[f(~x) · g(~x)
]= b · b′
4) Si m = 1 y b′ 6= 0, entonces lım~x→~a
f(~x)g(~x)
= bb′
Proposicion 2.3.9. Sean f : A ⊂ Rn −→ Rm, g : Rm −→ Rp dos funciones y ~apunto de acumulacion de A.
Supongamos que existe lım~x→~a
f(~x) = ~b y que existe lım~y→~b
g(~y) = ~c. Entonces existe
lım~x→~a
g(f(~x)
)= ~c.
2.4. Lımite de funciones f : Rn −→ R
2.4.1. Lımite finito en un punto
Definicion 2.4.1. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y ~a punto de acumulacion de A. Decimosque,
lım~x→~a
f(~x) = l
si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ~x ∈ A y 0 < ‖~x− ~a‖ < δ, entonces∣∣f(~x)− l
∣∣ < ε.
Ejemplo 2.4.2.
lım(x,y,z)→(0,0,0)
x2 + y4 + z3 = 0.
15
2.4.2. Lımite infinito en un punto
Definicion 2.4.3. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y ~a punto de acumulacion de A. Decimosque,
lım~x→~a
f(~x) = +∞
si
∀ M > 0, ∃ δ > 0 : si ~x ∈ A y 0 < ‖~x− ~a‖ < δ, entonces f(~x) > M.
Analogo para lım~x→~a
f(~x) = −∞.
Ejemplo 2.4.4.
lım(x,y)→(0,0)
1
x2 + y2= +∞.
2.4.3. Lımite finito en el infinito
Definicion 2.4.5. Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Decimos que,
lım‖~x‖→∞
f(~x) = l
si
∀ ε > 0, ∃ N > 0 : si ~x ∈ A y ‖~x‖ > N, entonces∣∣f(~x)− l
∣∣ < ε.
Ejemplo 2.4.6.
lım‖(x,y)‖→∞
1
x2 + |y|= 0.
2.4.4. Lımite infinito en el infinito
Definicion 2.4.7. Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Decimos que,
lım‖~x‖→∞
f(~x) = +∞
si
∀ M > 0, ∃ N > 0 : si ~x ∈ A y ‖~x‖ > N, entonces f(~x) > M.
Analogo para lım‖~x‖→∞
f(~x) = −∞.
Ejemplo 2.4.8.
lım‖(x,y,z)‖→∞
x2 + y2 + z2 = +∞.
16
2.4.5. Propiedades de ordenacion
Proposicion 2.4.9. Sean f1, f2, f3 : A ⊂ Rn −→ R y sea B ⊂ A un entorno de~a ∈ R se tiene que:
1) Si f1(~x) ≤ f2(~x) en B − {~a}, entonces lım~x→~a
f1(~x) ≤ lım~x→~a
f2(~x)
(suponiendo que existan).
2) Si f1(~x) ≥ 0 en B − {~a} y lım~x→~a
f1(~x) = l, entonces l ≥ 0.
3) Si f1(~x) ≤ f2(~x) ≤ f3(~x) en B − {~a} y lım~x→~a
f1(~x) = lım~x→~a
f3(~x) = l, entonces
lım~x→~a
f2(~x) = l (regla de Sandwich).
Observacion 2.4.10. ~a y l pueden ser finitos o infinitos.
2.5. Metodos operativos para el calculo de lımites
2.5.1. Sustitucion directa
Ejemplo 2.5.1. Calcular
lım(x,y,z)→(1,2,0)
1 + exy+2z
x2 + y2 + z2
basta sustituir x por 1, y por 2 y z por 0, y se tiene el valor del lımite:
lım(x,y,z)→(1,2,0)
1 + exy+2z
x2 + y2 + z2=
1 + e1·2+2·0
12 + 22 + 02=
1 + e2
5.
2.5.2. Calculo del lımite de una funcion a traves del de otrafuncion
Ejemplo 2.5.2. Calcular
lım(x,y)→(1,1)
x3y − xy3
x4 − y4.
Se trata de un cociente de funciones, ambas con lımite cero en el punto (1, 1),con lo cual el lımite se presenta en la forma indeterminada 0
0. Se deshace la indeter-
minacion facilmente considerando que en puntos proximos a (1, 1), pero distintos ael, se tiene que
x3y − xy3
x4 − y4=
xy(x2 − y2)
(x2 − y2)(x2 + y2)=
xy
x2 + y2,
17
es decir, las funciones
f(x, y) =x3y − xy3
x4 − y4y g(x, y) =
xy
x2 + y2
toman los mismos valores en un entorno reducido del punto (1, 1).Como
lım(x,y)→(1,1)
g(x, y) = lım(x,y)→(1,1)
xy
x2 + y2=
1
2,
se tiene que
lım(x,y)→(1,1)
x3y − xy3
x4 − y4= lım
(x,y)→(1,1)
xy
x2 + y2=
1
2.
2.5.3. Cambio a coordenadas polares
Suele ser util cuando aparecen en el lımite expresiones de la forma x2 + y2, yaque en este caso se tiene:{
x = r cos(θ)y = r sin(θ)
=⇒ x2 + y2 = r2 cos2(θ) + r2 sin2(θ)
= r2(
cos2(θ) + sin2(θ))
= r2,
y la tendencia de (x, y) a (0, 0) esta determinada por la tendencia de r a cero.
Proposicion 2.5.3. Sea f :⊂ R2 −→ R, se tiene que:
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = l,
si y solo si
lımr→0
f(r cos(θ), r sin(θ)
)= l uniformemente en θ ∈ [0, 2π],
es decir, si y solo si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si r ∈ (0, δ), entonces∣∣f(r cos(θ), r sin(θ))− l∣∣ ≤ ε ∀θ ∈ [0, 2π].
Corolario 2.5.4. Si ∣∣f(r cos(θ), r sin(θ))∣∣ ≤ g(r)h(θ),
donde lımr→0
g(r) = 0 y h es una funcion acotada en [0, 2π], entonces
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
18
Ejemplo 2.5.5.
lım(x,y)→(0,0)
x2y + xy2
x2 + y2= lım
r→0
r2 cos2(θ) · r sin(θ) + r cos(θ) · r2 sin2(θ)
r2
= lımr→0
r3(
cos2(θ) · sin(θ) + cos(θ) · sin2(θ))
r2
= lımr→0
r(
cos2(θ) · sin(θ) + cos(θ) · sin2(θ))
= 0
Ejemplo 2.5.6.
lım(x,y)→(0,0)
1− cos(x2 + y2)
x2 + y2= lım
r→0
1− cos(r2)
r2=
0
0
= lımr→0
2r sin(r2)
2r(regla de L’Hopital)
= lımr→0
sin(r2) = 0
Ejemplo 2.5.7. Sea
f(x, y) =|x|+ |y|√x2 + y2
Tenemos quef(r cos(θ), r sin(θ)
)=∣∣ cos(θ)
∣∣+∣∣ sin(θ)
∣∣,que depende claramente de θ, por tanto lım
(x,y)→(0,0)f(x, y) no existe.
2.5.4. Tecnicas de acotacion
Ejemplo 2.5.8. Calcular lım(x,y)→(0,0)
f(x, y), donde
f(x, y) =
x+ y si x > y
x2 − y2 si x ≤ y
Entonces es claro que, para (x, y) con |x| < 1, |y| < 1, se tiene
|f(x, y)| ≤ |x|+ |y|,
y como lım(x,y)→(0,0)
(|x|+ |y|
)= 0, se deduce que
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Aquı estamos haciendo uso de regla de Sandwich.
19
2.5.5. Uso de Lımites iterados, reiterados o sucesivos
Definicion 2.5.9. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulacion deA. Los lımites iterados, reiterados o sucesivos de f en ~a se definen, si existen,de la forma:
lımx→x0
(lımy→y0
f(x, y))
y lımy→y0
(lımx→x0
f(x, y)).
Ejemplo 2.5.10. Los lımites iterados de f(x, y) = x2+y3
x2+y2en (0, 0) son
lımx→0
(lımy→0
x2 + y3
x2 + y2
)= lım
x→01 = 1 y lım
y→0
(lımx→0
x2 + y3
x2 + y2
)= lım
y→0y = 0.
Proposicion 2.5.11. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulacionde A.
1) Si existen los lımites iterados y son distintos, es decir,
lımx→x0
(lımy→y0
f(x, y))6= lım
y→y0
(lımx→x0
f(x, y))
entonces no puede existir
lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
2) Si existe lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) y existen los dos lımites iterados
lımx→x0
(lımy→y0
f(x, y))
y lımy→y0
(lımx→x0
f(x, y)),
entonces
lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = lımx→x0
(lımy→y0
f(x, y))
= lımy→y0
(lımx→x0
f(x, y)).
Ejemplo 2.5.12. Para calcular
lım(x,y)→(0,0)
xy − 2x+ y
x+ y
calculamos los lımites iterados
lımx→0
(lımy→0
xy − 2x+ y
x+ y
)= lım
x→0
−2x
x= −2
lımy→0
(lımx→0
xy − 2x+ y
x+ y
)= lım
y→0
y
y= 1.
Dado que los lımites iterados existen y no coinciden, el lımite no existe.
20
Ejemplo 2.5.13. Dada la funcion
f(x, y) =
x2−2y2
2x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Tenemos
lımx→0
(lımy→0
f(x, y))
= lımx→0
(lımy→0
x2 − 2y2
2x2 + y2
)= lım
x→0
x2
2x2=
1
2
y
lımy→0
(lımx→0
f(x, y))
= lımy→0
(lımx→0
x2 − 2y2
2x2 + y2
)= lım
x→0
−2y2
y2= −2.
Por tanto, como los lımites iterados son distintos, entonces no existe
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y).
Observacion 2.5.14 (¡Atencion!). El hecho de que los lımites iterados de unafuncion existan en un punto y sean todos iguales, no implica que la funcion tengalımite en ese punto.
Ejemplo 2.5.15. Dada la funcion
f(x, y) =
xy
x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Tenemos
lımx→0
(lımy→0
f(x, y))
= lımx→0
(lımy→0
xy
x2 + y2
)= lım
x→0
0
x2= 0
y
lımy→0
(lımx→0
f(x, y))
= lımy→0
(lımx→0
xy
x2 + y2
)= lım
x→0
0
y2= 0.
Sin embargo no existe lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) ya que el lımite en (0, 0) a lo largo del eje
y = 0 es
lım(x,y)→(0,0)
y=0
f(x, y) = lımx→0
x · 0x2
= 0
mientras que el lımite en (0, 0) a lo largo de la recta y = x es
lım(x,y)→(0,0)
y=x
f(x, y) = lımx→0
x · xx2 + y2
=1
2
y los valores no coinciden.
21
Observacion 2.5.16 (¡Atencion!). Puede ocurrir que una funcion en punto tengalımite y alguno de los lımites iterados, o incluso ninguno de ellos exista.
Ejemplo 2.5.17. Dada la funcion
f(x, y) =
x2 sin
(1y
)si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
se tiene que lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0. Mientras que analizando los lımites iterados se
tiene que:
lımx→0
(lımy→0
f(x, y))
= lımx→0
(lımy→0
x2 sin(1
y
))no existe
lımy→0
(lımx→0
f(x, y))
= lımy→0
(lımx→0
x2 sin(1
y
))= 0.
Ejemplo 2.5.18. La funcion
f(x, y) =
x2 sin
(1y
)+ y2 sin
(1x
)si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
carece de lımites iterados ya que
lımx→0
(lımy→0
[x2 sin
(1
y
)+ y2 sin
(1
x
)])y
lımy→0
(lımx→0
[x2 sin
(1
y
)+ y2 sin
(1
x
)])no existen, mientras que lım
(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0.
Resumen 2.5.19 (¡Atencion!). Si los lımites iterados existen y no coinciden,entonces el lımite no existe.
En cambio, si los lımites iterados existen y coinciden no podemos asegurar laexistencia de lımite, puesto que para ello deberıamos recurrir a la definicion. Solopodemos afirmar que, si existe el lımite, tomara el mismo valor que los iterados.
22
2.5.6. Uso de lımites direccionales
Lema 2.5.20. La ecuacion general de las rectas que pasan por el punto ~a = (x0, y0)es
y − y0 = λ(x− x0),
donde λ ∈ R.
Definicion 2.5.21. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulacion deA y sea λ ∈ R. Los lımites direccionales se definen de la forma:
lım(x,y)→(x0,y0)y−y0=λ(x−x0)
f(x, y) = lımx→x0
f(x, y0 + λ(x− x0)
).
Proposicion 2.5.22. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulacionde A.
1) Si existen λ1, λ2 ∈ R, con λ1 6= λ2, tales que los lımites direccionales existen yson distintos, es decir,
lım(x,y)→(x0,y0)y−y0=λ1(x−x0)
f(x, y) 6= lım(x,y)→(x0,y0)y−y0=λ2(x−x0)
f(x, y)
entonces no puede existir
lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
2) Silım
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = l,
entonces para todo λ ∈ R
lım(x,y)→(x0,y0)y−y0=λ(x−x0)
f(x, y) = l
Ejemplo 2.5.23.
lım(x,y)→(0,0)
5x2 − 7y2
2x2 + 5y2= lım
(x,y)→(0,0)y=λx
5x2 − 7(λx)2
2x2 + 5(λx)2
= lım(x,y)→(0,0)
y=λx
x2(5− 7λ2)
x2(2 + 5λ2)
= lım(x,y)→(0,0)
y=λx
5− 7λ2
2 + 5λ2=
5− 7λ2
2 + 5λ2
Como el lımite no es unico, ya que depende del camino y = λx cuando acercamosal punto (0, 0). Por tanto el lımite no existe.
23
Observacion 2.5.24 (¡Atencion!). Puede ocurrir que todos los lımites a lo largode rectas existan y sean iguales, y que sin embargo el lımite no exista.
En muchos de estos casos el aproximarnos por curvas continuas mas generalespuede dar buen resultado para ver que no existe el lımite.
Ejemplo 2.5.25. Estudiamos la existencia de
lım(x,y)→(0,0)
xy3
x2 + y6.
Los lımites direccionales son todos 0, ya que si y = λx, con λ ∈ R, entonces
lım(x,y)→(0,0)
y=λx
xy3
x2 + y6= lım
x→0
xλ3x3
x2 + λ6x6= lım
x→0
λ3x2
1 + λ6x4= 0.
Pero calculando el lımite segun la curva continua (x = y3, y) ⊂ R2 se tiene que
lım(x,y)→(0,0)
x=y3
xy3
x2 + y6= lım
x→0
y6
y6 + y6=
1
2.
Al haber encontrado dos formas de aproximar al punto (0, 0) con lımites distintosno existe el lımite.
Resumen 2.5.26 (¡Atencion!). Si alguno de los lımites anteriores es diferente delos otros, podemos afirmar que la funcion no tiene lımite en el punto.
En cambio, si todos los lımites coinciden no podemos asegurar la existencia delımite, puesto que para ello deberıamos recurrir a la definicion. Solo podemos afirmarque, si existe el lımite, tomara el mismo valor que los anteriores.
2.5.7. Uso de curvas continuas
Proposicion 2.5.27. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulacionde A, se tiene que:
lım~x→~a
f(x, y) = l,
si y solo si, para cada curva (aplicacion) continua γ : [0, 1] −→ A tal que γ(0) = ~ase tiene que
lımt→0+
f(γ(t)
)= l.
Ejemplo 2.5.28. Sea
f(x, y) =xy2
x2 + y4
24
Es facil ver que los lımites iterados existen y son ambos cero, y tambien existen loslımites a lo largo de rectas y son todos iguales:
lımx→0
f(x, λx) = 0.
Sin embargo el lımite de f en (0, 0) no puede existir, ya que si consideramos lascurvas continuas
γ : [0, 1] −→ R2
t −→ γ(t) = (t2, t)
β : [0, 1] −→ R2
t −→ β(t) = (0, t)
entonces tenemos queγ(0) = β(0) = (0, 0)
sin embargo,
lımt→0+
f(γ(t)
)=
1
2y
lımt→0+
f(β(t)
)= 0.
Ejemplo 2.5.29. Estudiamos la existencia de
lım(x,y,z)→(0,0,0)
yz
x2 + y2 + z2.
Si consideramos las curvas continuas
γ : [0, 1] −→ R3
t −→ γ(t) = (0, t, t)
β : [0, 1] −→ R2
t −→ β(t) = (t, 0, 0)
entonces tenemos queγ(0) = β(0) = (0, 0, 0)
sin embargo,
lımt→0+
f(γ(t)
)= lım
t→0+
t2
2t2= lım
t→0+
1
2=
1
2y
lımt→0+
f(β(t)
)= lım
t→0+
0
t2= 0.
Al ser los lımites segun las curvas γ y β distintos, no existe lımite.
25
2.5.8. Uso de sucesiones
El criterio que nunca falla a la hora de demostrar que un lımite no existe, y quesuele dar resultados mas rapidos y por lo menos igual de efectivos que todos losanteriores, es el de las sucesiones.
En virtud de la Proposicion 2.3.5 basta encontrar dos sucesiones que converjanal punto donde se toma el limite y a lo largo de las cuales la funcion converge apuntos diferentes (o no converge).
Ejemplo 2.5.30. Sea
f : R2 −→ R
(x, y) −→ f(x, y) =
{1 si x− y ∈ Q0 en caso contrario
Si tomamos
(xn, yn) =( 1
n, 0)
y (x′n, y′n) =
(√2
n, 0),
entonces es claro que
lımn→∞
f(xn, yn) = lımn→∞
f( 1
n, 0)
= 1
y
lımn→∞
f(x′n, y′n) = lım
n→∞f(√2
n, 0)
= 0.
Por tanto no existelım
(x,y)→(0,0)f(x, y).
26
Capıtulo 3
Continuidad
3.1. Definicion de funcion continua
Definicion 3.1.1. Sean A ⊂ Rn, f : A ⊂ Rn −→ Rm una funcion, (n,m ≥ 1) y~a ∈ A un punto de acumulacion de A. Se dice que f es continua en ~a ∈ A si severifican las tres condiciones siguientes:
1) Existe f(~a) ∈ Rm.
2) Existe lım~x→~a
f(~x) = ~l ∈ Rm.
3) f(~a) = ~l.
Esto equivale a decir que
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ‖~x− ~a‖ < δ, entonces∥∥f(~x)− f(~a)
∥∥ < ε.
Ejemplo 3.1.2. La funcion
f : R2 −→ R(x, y) −→ f(x, y) = x2y
es continua en (0, 0). En efecto:Hay que demostrar que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal quesi
‖(x, y)− (0, 0)‖ =√
(x− 0)2 + (y − 0)2 < δ
27
28
entonces
|f(x, y)− f(0, 0)| = |x2y| < ε.
Como
|x| ≤√x2 + y2 y |y| ≤
√x2 + y2
se tiene que
|x|2 ≤ x2 + y2 y |y| ≤√x2 + y2
Ası que
|x|2|y| ≤(x2 + y2
) 12+1
=(x2 + y2
) 32 =
(√x2 + y2
)3
< δ3 = ε
Basta entonces escoger
δ = ε13 .
Observacion 3.1.3. Solo tiene sentido discutir la continuidad de una funcion sobrelos puntos de acumulacion que pertenecen su dominio de definicion.
Ejemplo 3.1.4. Estudiar la continuidad de la funcion
f : R2 −→ R2
(x, y) −→ f(x, y) =(
1x−y , cos(xy)
)en el punto (1, 1).
El dominio de la definicion de f viene dado por la interseccion de los dominiosde definicion de sus dos componentes:
f1(x, y) =1
x− yy f2(x, y) = cos(xy),
es decir,
D(f) = D(f1) ∩D(f2) = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y}.
Por tanto el punto (1, 1) no pertenece al dominio y no cabe estudiar la con-tinuidad de la funcion sobre dicho punto.
Nota 3.1.5. Sean A ⊂ Rn, f : A ⊂ Rn −→ Rm una funcion, (n,m ≥ 1) y ~a ∈ Aun punto de acumulacion de A
29
1) Si existe lım~x→~a
f(~x) = ~l ∈ Rm, pero no existe f(~a) , entonces se puede prolongar
f por continuidad a otra funcion f continua en el punto ~a, definida de la formasiguiente:
f(~x) =
f(~x) si ~x 6= ~a
lım~x→~a
f(~x) si ~x = ~a.
2) Si existen lım~x→~a
f(~x) = ~l ∈ Rm y el valor f(~a), pero no coinciden,(
es decir,
lım~x→~a
f(~x) = ~l 6= f(~a))
, entonces se puede definir otra funcion f continua en
el punto ~a, de la forma siguiente:
f(~x) =
f(~x) si ~x 6= ~a
~l si ~x = ~a.
En estos dos casos [1), 2)] se dice que la continuidad es evitable.
3) Si no existe lım~x→~a
f(~x) se dice que la discontinuidad es inevitable.
Observacion 3.1.6. Sean A ⊂ Rn, f : A ⊂ Rn −→ Rm una funcion, (n,m ≥ 1) y~a ∈ A un punto aislado de A.
Por convenio, se establece que f es continua en ~a.
Ejemplo 3.1.7. La funcion
f : R2 − {(0, 0)} −→ R(x, y) −→ x3+y3
x2+y2
puede prolongarse por continuidad en (0, 0) definido
f(x, y) =
f(x, y) si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
ya que, ∣∣∣f(r cos(θ), r sin(θ))∣∣∣ =
∣∣∣∣r3 cos3(θ) + r3 sin3(θ)
r2
∣∣∣∣= |r|
∣∣ cos3(θ) + sin3(θ)∣∣
≤ 2|r|
luegolım
(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0 = f(0, 0).
30
Proposicion 3.1.8 (Condicion necesaria y suficiente de continuidad). SeanA ⊂ Rn, f : A ⊂ Rn −→ Rm una funcion, (n,m ≥ 1) y ~a ∈ A un punto deacumulacion de A. Sea f(~x) =
(f1(~x), f2(~x), . . . , fm(~x)
)∈ Rm para cada ~x ∈ A.
entonces:
f es continua en ~a ⇐⇒ fi es continua en ~a, ∀ i = 1, 2, . . . ,m.
Observacion 3.1.9. La continuidad de la funcion implica la continuidad respecto decada una de la variables, pero el contrario no es cierto. Vease el ejemplo siguiente.
Ejemplo 3.1.10. La funcion de R2 en R dada por
f(x, y) =
xy
x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0).
verifica que f(x, 0) = 0, ∀ x ∈ R y f(0, y) = 0, ∀ y ∈ R, por lo que
lımx→0
f(x, 0) = 0 = f(0, 0) y lımy→0
f(0, y) = 0 = f(0, 0),
es decir, es continua en (0, 0) respecto de cada una de las variables independiente.Sin embargo no es continua en (0, 0) como funcion de dos variables, ya que si nos
acercamos al origen, tanto como queramos, con puntos de la forma (x, λx), siendoλ, x 6= 0, se tiene que
lım(x,y)→(0,0)
y=λx
λx2
x2 + λ2x2=
λ
λ2 + 1,
por tanto no existelım
(x,y)→(0,0)f(x, y),
y f no es continua en (0, 0).
3.2. Propiedades de las funciones continuas
Proposicion 3.2.1. Sean A ⊂ Rn, f, g : A ⊂ Rn −→ Rm, (n,m ≥ 1), dos funcioncontinuas en ~a ∈ A, entonces se verifican las siguientes propiedades:
1) f + g es continua en ~a.
2) λf es continua en ~a, siendo λ ∈ R.
3) m = 1, entonces f · g es continua en ~a.
31
4) m = 1 y g(~a) 6= 0, entonces fg
es continua en ~a.
Proposicion 3.2.2. Una funcion f : Rn −→ Rm es continua en ~a ∈ Rn, si y solosi,
para cada sucesiones (~xn)n≥1 ⊂ Rn con
lımn→+∞
‖~xn − ~a‖ = 0
se tiene quelım
n→+∞‖f(~xn)− f(~a)‖ = 0.
Proposicion 3.2.3 (Continuidad de la funcion compuesta). Sean f : Rn −→Rm y g : Rm −→ Rp con Im(f) ⊂ D(g). Si f es continua en ~a y g es continua enf(~a) entonces g ◦ f es continua en ~a.
Ejemplo 3.2.4. La funcion
h : R2 −→ R(x, y) −→ sin(x2 + y2)
es una funcion continua en el punto (0, 0) al ser composicion de las funciones con-tinuas
f : R2 −→ R(x, y) −→ x2 + y2
y
g : R −→ Rt −→ sin(t)
Ejemplo 3.2.5. La funcion
h : R3 −→ R3
(x, y, z) −→(
3ex+y+z, sin(x2 + y2), 1 + x+ y + z)
es una funcion continua en todo punto de R3 al ser composicion de las funcionescontinuas
f : R3 −→ R3
(x, y, z) −→(x+ y + z, x2 + y2, 1 + x+ y + z
)y
g : R3 −→ R3
(x, y, z) −→(3ex, sin(y), 1 + z
)
32
Corolario 3.2.6. Sean f : A ⊂ Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp con Im(f) ⊂ D(g) y~a ∈ A un punto de acumulacion de A.
Supongamos que lım~x→~a
f(~x) = ~b ∈ Rm, y que g es continua en ~b ∈ Rm. Entonces,
existe
lım~x→~a
g(f(~x)
)= g(
lım~x→~a
f(~x)).
Ejemplo 3.2.7. Calcular
lım(x,y)→(0,0)
sin(x2 + y7)
x2 + y7
Tenemos
h(x, y) =sin(x2 + y7)
x2 + y7= g ◦ f(x, y),
donde
f : R2 −→ R(x, y) −→ x2 + y7
es una funcion continua en (0, 0),
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 = f(0, 0)
y la funcion
g : R −→ R
t −→{
sin(t)t
si t 6= 01 si t = 0.
es una funcion continua en 0,
lımt→0
g(t) = 1 = g(0).
Por tanto,
lım(x,y)→(0,0)
sin(x2 + y7)
x2 + y7= lım
(x,y)→(0,0)g(f(x, y)
)= g
(lım
(x,y)→(0,0)f(x, y)
)= g(0) = 1.
Observacion 3.2.8. Si la funcion g no es continua en el valor del lımite de f , elcorolario anterior no es cierto en general. Vease el ejemplo siguiente.
33
Ejemplo 3.2.9. Sean
f : R −→ Rx −→ x
y
g : R −→ R
x −→{
1 si x 6= 00 si x = 0.
Entonces
lımx→0
g(f(x)
)= lım
x→0g(x) = lım
x→01 = 1,
mientras
g(
lımx→0
f(x))
= g(0) = 0.
Por tanto
lımx→0
g(f(x)
)6= g(
lımx→0
f(x)).
En este caso el problema esta en que, aunque g sı tiene lımite en 0, su valor nocoincide con el que toma g en 0.
Nota 3.2.10. Esta clase de dificultad tiene facil arreglo: podrıamos redefinir g en 0como el valor del lımite de g en 0, es decir,
g(x) =
{g(x) si x 6= 0lımx→0
g(x) si x = 0
y ası estarıamos en condiciones de aplicar el resultado a la nueva funcion.
Este arreglo es el que proporciona el siguiente Corolario.
Corolario 3.2.11. Sean f : A ⊂ Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp con Im(f) ⊂ D(g) y~a ∈ A un punto de acumulacion de A.
Supongamos que lım~x→~a
f(~x) = ~b ∈ Rm, y que existe lım~y→~b
g(~y) = ~c ∈ Rm. Entonces,
existe
lım~x→~a
g(f(~x)
)= ~c.
34
3.3. Continuidad en conjuntos
Definicion 3.3.1. Se dice que una funcion f : Rn −→ Rm es continua en unsubconjunto A de Rn si f es continua en ~a para cada ~a ∈ A. Si f : Rn −→ Rm escontinua en todo Rn, diremos simplemente que f es continua.
Observacion 3.3.2. Es evidente que si f : Rn −→ Rm es continua en A ⊆ Rn,entonces la funcion f restringida a A,
f |A : A −→ Rm
a −→ f |A(a) = f(a)
es tambien continua.El recıproco no es cierto en general, es decir, puede ocurrir perfectamente que
f |A sea continua sin que ello implique que f es continua en A(piensese en el caso
en que A = {a} sea un punto y f discontinua en a, por ejemplo,
f : R −→ R
x −→{
1 si x 6= 00 si x = 0
con A = {0}, la funcion
f |A : {0} −→ R0 −→ f |A(0) = f(0) = 0
es continua en A = {0} ya que
lımx→0
f |A(x) = lımx→0
f(0) = 0 = f |A(0),
mientras la funcion f no es continua en A = {0} ya que
lımx→0
f(x) = 1 6= 0 = f(0)).
Sin embargo sı es cierto cuando A es abierto.
Proposicion 3.3.3. Sean f : Rn −→ Rm una funcion, A un subconjunto abierto deRn, y supongamos que f |A : A −→ Rm es continua. Entonces f es continua en A.
Ejemplo 3.3.4. Consideremos la funcion
f : R2 −→ R
(x, y) −→
{x cos
(1
x2+y2
)si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
35
A = R2 − {(0, 0)}. Como A es abierto y
f |A(x, y) = x cos( 1
x2 + y2
)es continua al ser composicion de funciones continuas, se tiene por la proposicionanterior que f es continua en A.
Ademas|f(x, y)| ≤ |x| −−−−−→
x−→00 = f(0, 0),
ası quelım
(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0 = f(0, 0)
luego f es continua en (0, 0) y por tanto f : R2 −→ R es continua.
Teorema 3.3.5. Sea f : Rn −→ Rm una funcion continua y sea K ⊂ Rn unsubconjunto compacto de Rn. Entonces f(K) es compacto en Rm.
Teorema 3.3.6 (Weierstrass). Sea f : Rn −→ R una funcion continua en unconjunto compacto K ⊂ Rn. Entonces f alcanza un maximo y un mınimo absolutosen K, es decir, existen ~a,~b ∈ K tales que
1) Para todo ~x ∈ K, f(~x) ≤ max~y∈K
f(~y) = f(~a)
2) Para todo ~x ∈ K, f(~b) = mın~y∈K
f(~y) ≤ f(~x).
En particular f esta acotada en K.
3.4. Continuidad uniforme
Definicion 3.4.1. Sea f : Rn −→ Rm una funcion. Se dice que f es uniforme-mente continua en A ⊆ Rn si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ~x, ~y ∈ A y ‖~x− ~y‖ < δ
entonces∥∥f(~x)− f(~y)
∥∥ < ε.
Ejemplo 3.4.2. La funcion f(x) = x es uniformemente continua en R.
Nota 3.4.3. La diferencia entre continuidad y continuidad uniforme consiste en queen la primera, dado un ε > 0 y un punto x0, se exige la existencia del δ = δ(x0, ε)correspondiente, que dependera del ε elegido y del punto x0 de que se trate; mientrasque la continuidad uniforme exige que dado un ε > 0 encontremos el δ = δ(ε)correspondiente, que dependera solamente de ε, valido para todos los puntos delconjunto A.
36
Observacion 3.4.4. Si f : Rn −→ Rm es uniformemente continua en A ⊆ Rn,entonces f |A : A −→ Rm es continua (lo cual, notese bien, no quiere decir f :Rn −→ Rm sea continua en A, como ya sabemos, Observacion 3.3.2).
En particular si f : Rn −→ Rm es uniformemente continua en Rn, entoncesf : Rn −→ Rm es continua. El recıproco no es cierto como prueban los siguientesejemplos.
Ejemplo 3.4.5. Las funciones
f : R −→ R yx −→ x2
g : (0, 1) −→ Rx −→ 1
x
son continuas, pero no uniformemente continuas. En efecto:
Supongamos que f es uniformemente continua en todo R. Dado ε > 0, existeδ > 0 tal que, |h| < δ, (h = y − x)
|(x+ h)2 − x2| = |2xh+ h2| < ε,
cualquiera que sea x ∈ R.Considerando un x0 > 0 y h > 0 tendremos:
|2x0h+ h2| > 2x0h.
Si tomamos
h =δ
2y x0 >
ε
δ
resulta|(x0 + h)2 − x2
0| > 2x0h > ε
con lo que llegamos a una contradiccion.
De la misma forma se puede demostrar que la funcion g no es uniformemente en(0, 1).
Proposicion 3.4.6. Una funcion f : Rn −→ Rm es uniformemente continua enRn, si y solo si,
para cada par de sucesiones (~xn)n≥1, (~yn)n≥1 ⊂ Rn con
lımn→+∞
‖~xn − ~yn‖ = 0
se tiene quelım
n→+∞‖f(~xn)− f(~yn)‖ = 0.
37
Nota 3.4.7. Este resultado resulta especialmente indicado en la practica para verque una determinada funcion no es uniformemente continua: basta encontrar dossucesiones tales que la distancia entre sus terminos tiende a cero pero la distanciaentre los terminos de sus sucesiones imagenes no tiende a cero.
En general puede parecer difıcil determinar si una funcion es uniformemente con-tinua, pero hay un criterio positivo que resulta enormemente efectivo en la practica,nos lo proporciona el siguiente teorema.
Ejemplo 3.4.8. La funcionf : R −→ R
x −→ x2
no es uniformemente continua, ya que si tomamos xn = n+ 1n
y yn = n, tenemos
|xn − yn| =1
n−−−−−→n−→+∞
0;
mientras
|f(xn)− f(yn)| = 2 +1
n2−−−−−→n−→+∞
2 6= 0.
Ejemplo 3.4.9. La funcion
g : (0, 1) −→ Rx −→ 1
x
no es uniformemente continua, ya que si tomamos xn = 1n+1
y yn = 1n, tenemos
|xn − yn| =1
n(n+ 1)−−−−−→n−→+∞
0;
mientras|g(xn)− g(yn)| = 1 −−−−−→
n−→+∞1 6= 0.
Observacion 3.4.10. Se f : A ⊂ Rn −→ Rm una funcion uniformemente continuaen A, si B ⊂ A, entonces f |B es uniformemente continua en B.
Teorema 3.4.11. Sea f : K ⊂ Rn −→ Rm una funcion continua, y supongamosque K es compacto en Rn. Entonces f es uniformemente continua en K.
Observacion 3.4.12. Aunque el dominio A de la funcion f continua no sea uncompacto, el Teorema 3.4.11 puede seguir siendo aplicable, ya que tal vez f puedaextenderse con continuidad a una funcion f definida sobre un compacto K que con-tenga a A, con lo que f sera uniformemente continua en K y por tanto f |A = ftambien sera uniformemente continua en A.
38
Ejemplo 3.4.13. I La funcion
g :(R− {0}
)× R −→ R
(x, y) −→ yx
sin(x2 + y2)
no tiene lımite en el origen. En efecto:
lım(x,y)→(0,0)
y
xsin(x2 + y2).
En efecto: Tenemos que
g(r cos(θ), r sin(θ)
)= tg(θ) sin(r2), ∀ r > 0, ∀ θ ∈ [0, 2π]−
{π2,3π
2
}.
Sea (rn)n≥1 una sucesion de numeros positivos con
lımn→+∞
rn = 0.
Como lımθ→π
2−
tg(θ) = +∞, entonces para cada n ≥ 1 podemos encontrar θn proximo
a π2,(θn <
π2
)de modo que
tg(θn) ≥ 1
sin2(r2n)
entonces es evidente que
g(rn cos(θn), rn sin(θn)
)= tg(θn) sin(r2
n) ≥ 1
sin(r2n)−−−−−→n−→+∞
+∞
Por otra lado, para θ = 0, es claro que
lımr→0
f(r cos(θ), r sin(θ)
)= lım
r→0tg(θ) sin(r2) = 0.
Por consiguiente no puede existir
lımr→0
g(r cos(θ), r sin(θ)
)uniformemente en θ ∈ [0, 2π].
Luego no existe
lım(x,y)→(0,0)
y
xsin(x2 + y2).
En particular ni la funcion g ni ninguna extension suya puede ser continua en(0, 0), entendida como funcion de R2 en R.
39
I Consideremos la funcion
f : A −→ R(x, y) −→ f(x, y) = y
xsin(x2 + y2)
dondeA = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < 1},
que es continua en el conjunto A que no es compacto.
I Podemos definir una extension
f : A −→ R
de f que es continua en
A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x ≤ 1} 3 (0, 0).
En efecto, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 se tiene que∣∣∣ yx
sin(x2 + y2)∣∣∣ ≤ sin(x2 + y2) −−−−−−−→
(x,y)−→(0,0)0
Por tanto:lım
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈A
y
xsin(x2 + y2) = 0.
de modo que la funcion definida por
f : A −→ R
(x, y) −→
yx
sin(x2 + y2) si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
es continua A y por consiguiente, al ser A compacto, f es uniformemente continuaen A, y en particular f = f |A es tambien uniformemente continua en A.
40
Capıtulo 4
Derivadas direccionales y
parciales
4.1. Derivadas direccionales de funciones reales
Definicion 4.1.1. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a ∈ U , ~v ∈ Rn con ‖~v‖ = 1 y f : U ⊂Rn −→ R una funcion.
La derivada direccional de f , en el punto ~a, segun la direccion de ~v, denotadapor D~vf(~a), se define por
D~vf(~a) = lımt→0
f(~a+ t~v)− f(~a)
t,
cuando este lımite existe y es un numero real.
Ejemplo 4.1.2. La derivada direccional de la funcion
f(x, y) =
x2yx2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
en el punto (0, 0) segun la direccion ~v =(
1√2, 1√
2
)es:
D~vf(0, 0) = lımt→0
f((0, 0) + t~v
)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
tf( t√
2,t√2
)= lım
t→0
1
t
t2
2t√2
t2
2+ t2
2
= lımt→0
t3
2√
2t3=
1
2√
2.
41
42
Ejemplo 4.1.3. Si f(x, y) =√|xy|, ~a = (0, 0) y ~v = (1, 1) se tiene que
lımt→0
f((0, 0) + t(1, 1)
)− f(0, 0)
t= lım
t→0
√t2
t= lım
t→0
|t|t.
Por tantoD(1,1)f(0, 0)
no existe.
Observacion 4.1.4. Si la funcion es de dos variables podemos representar el vector~v como ~v =
(cos(θ), sin(θ)
)para algun θ ∈ [0, 2π), entonces
D~vf(~a) = D~vf(x0, y0) = Dθf(x0, y0)
= lımt→0
f(x0 + t cos(θ), y0 + t sin(θ)
)− f(x0, y0)
t
y se puede hablar de la derivada en la direccion θ.
Ejemplo 4.1.5. La derivada direccional de la funcion
f(x, y) =
x3+y3
x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
en el punto (0, 0) segun la direccion θ = π4
es:
Dπ4f(0, 0) = lım
t→0
t3(
cos(π4))3
+t3(
sin(π4))3
t2
t
=[
cos(π
4
)]3+[
sin(π
4
)]3=
√2
2.
Nota 4.1.6. Si el vector ~v no es unitario se puede hablar de derivada en la direccionde ~v refiriendose a
D~u
donde ~u = ~v‖~v‖ .
4.2. Derivadas parciales de funciones reales
Definicion 4.2.1. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1, a2, . . . , an) ∈ U , y f : U ⊂ Rn −→R una funcion.
43
Se llama derivada parcial de primer orden de la funcion f , respecto de lavariable i-esima, en el punto ~a, a la derivada direccional de f en el punto ~a segunel vector ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) correspondiente a esa variable y se denota fxi(~a),Dxif(~a) o ∂f
∂xi(~a), es decir
∂f
∂xi(~a) = lım
t→0
f(~a+ t~ei)− f(~a)
t
= lımt→0
f(a1, . . . , ai−1, ai + t, ai+1, . . . , an)− f(a1, . . . , an)
t.
Ejemplo 4.2.2. Si f(x, y) = x2 + x+ 1 entonces
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f((0, 0) + t(1, 0)
)− f(0, 0)
t= lım
t→0
t2 + t+ 1− 1
t= 1,
∂f
∂y(0, 0) = lım
t→0
f((0, 0) + t(0, 1)
)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1− 1
t= 0.
Ejemplo 4.2.3. Analicemos la existencia de las derivadas parciales de primer ordenen el punto (0, 0) para la funcion
f(x, y) =
x2−y2x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
Segun la definicion de derivadas parciales se tiene que
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
t2 − 02
t2 + 02= lım
t→0
1
tno existe.
∂f
∂y(0, 0) = lım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
02 − t2
02 + t2= lım
t→0
−1
tno existe.
Observacion 4.2.4. Hallar ∂f∂xi
no es otra cosa que derivar la expresion que definela funcion f respecto de la variable xi solamente, considerando el resto de las xj ,j 6= i, como constantes.
Ejemplo 4.2.5. La funcion de dos variables f(x, y) = 2x3y − 3y sin(x), tiene porderivadas parciales de primer orden, en un punto generico (x, y)
∂f
∂x(x, y) = 6x2y − 3y cos(x),
∂f
∂y(x, y) = 2x3 − 3 sin(x).
44
Ejemplo 4.2.6. La funcion de tres variables f(x, y, z) = x3y2z + xz, tiene porderivadas parciales de primer orden a las funciones
∂f
∂x(x, y, z) = 3x2y2z + z,
∂f
∂y(x, y, z) = 2x3yz,
∂f
∂z(x, y, z) = x3y2 + x.
Nota 4.2.7 (Interpretacion geometrica). Sea f : U ⊆ R2 −→ R una funcionreal de dos variables y (x0, y0) ∈ U , entonces
∂f∂x
(x0, y0) y ∂f∂y
(x0, y0) son los valores de la pendiente de la tangente a la curvaque resulta al cortar la superficie
Gf ={(x, y, f(x, y)
): (x, y) ∈ U
},
con los planos y = y0 y x = x0 respectivamente.
4.3. ¿Existe alguna relacion entre derivadas par-
ciales, direccionales y continuidad en un pun-
to?
Al contrario de lo que ocurre en las funciones de una variable, la existencia delas derivadas parciales no garantiza la continuidad de la funcion en un punto.
4.3.1. Funcion continua en un punto y existiendo las derivadasparciales
Ejemplo 4.3.1. La funcion
f(x, y) =
2x3
x2+y2si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
45
tiene derivadas parciales en el punto (0, 0), que son
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
2t3 − 0
t2 + 0= lım
t→0
2t3
t3= 2,
∂f
∂y(0, 0) = lım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
0− 0
0 + t2= lım
t→0
0
t3= 0.
Para estudiar la continuidad en (0, 0) calculamos el lımite en (0, 0), pasando acoordenadas polares x = r cos(θ), y = r sin(θ)
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lımr→0
2r3 cos3(θ)
r2
= lımr→0
2r cos3(θ) = 2 · 0 = 0 = f(0, 0),
por lo que es continua.
4.3.2. Funcion continua en un punto sin derivadas parcialesen dicho punto
Ejemplo 4.3.2. La funcion
f(x, y) =
x sin
(1
x2+y2
)+ y sin
(1
x2+y2
)si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0),
es continua en (0, 0), pues
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lım(x,y)→(0,0)
x sin( 1
x2 + y2
)+ lım
(x,y)→(0,0)y sin
( 1
x2 + y2
)= 0 + 0 = 0.
La derivada parcial respecto de x
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= lımt→0
1
t
(t sin
( 1
t2 + 0
)+ 0 sin
( 1
t2 + 0
))= lım
t→0
1
tt sin
( 1
t2
)= lım
t→0sin( 1
t2
)no existe.
46
Analogamente
∂f
∂y(0, 0) = lım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= lımt→0
1
t
(0 sin
( 1
0 + t2
)+ t sin
( 1
0 + t2
))= lım
t→0
1
tt sin
( 1
t2
)= lım
t→0sin( 1
t2
)no existe.
Por tanto no existe ninguna de las derivadas parciales de primer orden en elpunto (0, 0).
4.3.3. Funcion discontinua en un punto y con derivadas par-ciales en el punto
Ejemplo 4.3.3. La funcion
f(x, y) =
xy
x2+y2si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
Del Ejemplo 3.1.10 del capıtulo anterior, Sabemos que no es continua en (0, 0).Sus derivadas parciales en (0, 0), siguiendo la definicion, son
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= lımt→0
1
t
( 0
t2 + 0− 0)
= lımt→0
1
t· 0 = 0,
∂f
∂y(0, 0) = lım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= lımt→0
1
t
( 0
0 + t2− 0)
= lımt→0
1
t· 0 = 0.
Es decir, esta funcion tiene derivadas parciales en (0, 0) y sin embargo no escontinua en ese punto.
4.3.4. Funcion discontinua en un punto sin derivadas en elmismo punto
Ejemplo 4.3.4. La funcion
f(x, y) =
x2−y2x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
47
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
t2 − 02
t2 + 02= lım
t→0
1
tno existe.
∂f
∂y(0, 0) = lım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
02 − t2
02 + t2= lım
t→0
−1
tno existe.
Por otra parte, como
lım(x,y)→(0,0)
y=0
f(x, y) = lımx→0
x2 − 0
x2 + 0= 1
y
lım(x,y)→(0,0)
x=0
f(x, y) = lımx→0
0− y2
0 + y2= −1,
no existe lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) y por tanto f es discontinua en (0, 0).
48
4.4. Derivadas parciales y direccionales de fun-
ciones vectoriales
Proposicion 4.4.1. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1, a2, . . . , an) ∈ U , y f : U ⊂Rn −→ Rm una funcion con f(~a) =
(f1(~a), f2(~a), . . . , fm(~a)
).
La funcion f tiene derivadas parciales (o direccionales) en el punto ~a si y solosi cada funcion componente fi, donde i = 1, 2, . . . ,m tiene derivadas parciales (odireccionales) en dicho punto ~a.
Nota 4.4.2. El estudio de derivadas parciales (o direccionales) de funciones vecto-riales se reduce a analizar las funciones componentes. Ası
∂f
∂xi(~a) =
(∂f1
∂xi(~a),
∂f2
∂xi(~a), . . . ,
∂fm∂xi
(~a)
)para cada i = 1, 2, . . . , n;
D~vf(~a) =(D~vf1(~a), D~vf2(~a), . . . , D~vfm(~a)
).
4.4.1. Matriz jacobiana
Definicion 4.4.3. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1, a2, . . . , an) ∈ U , y f : U ⊂ Rn −→Rm una funcion con f(~a) =
(f1(~a), f2(~a), . . . , fm(~a)
). Supongamos que existen todos
las derivadas parciales.Se define la matriz jacobiana de f en el punto ~a, y se denota por Jf(~a), como
Jf(~a) =
∂f1∂x1
(~a) ∂f1∂x2
(~a) . . . ∂f1∂xn
(~a)
∂f2∂x1
(~a) ∂f2∂x2
(~a) . . . ∂f2∂xn
(~a)
......
. . ....
∂fm∂x1
(~a) ∂fm∂x2
(~a) . . . ∂fm∂xn
(~a)
.
Ejemplo 4.4.4. Calcular la matriz jacobiana de la funcion
f(x, y) = (ex+y + y, yx2).
Sea f1(x, y) = ex+y + y, f2(x, y) = yx2 y
Jf(x, y) =
∂f1∂x
(x, y) ∂f1∂y
(x, y)
∂f2∂x
(x, y) ∂f2∂y
(x, y)
,
49
entonces se tiene que:
Jf(x, y) =
ex+y ex+y + 1
2xy x2
.
Ejemplo 4.4.5. Calcular la matriz jacobiana de la funcion
f(x, y, z) = (zex,−yez).
Sea f1(x, y, z) = zex, f2(x, y, z) = −yez y
Jf(x, y, z) =
∂f1∂x
(x, y, z) ∂f1∂y
(x, y, z) ∂f1∂z
(x, y, z)
∂f2∂x
(x, y, z) ∂f2∂y
(x, y, z) ∂f2∂z
(x, y, z)
,
entonces se tiene que:
Jf(x, y, z) =
zex 0 ex
0 −ez −yez
.
4.4.2. Vector gradiente
Definicion 4.4.6. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1, a2, . . . , an) ∈ U , y f : U ⊂Rn −→ R una funcion, se denomina vector gradiente de f en ~a y se denota porgrad(f)(~a) o ∇f(~a) al vector que tiene por componentes las derivadas parciales def en ~a, es decir
∇f(~a) =
(∂f
∂x1
(~a),∂f
∂x2
(~a), . . . ,∂f
∂xn(~a)
).
Ejemplo 4.4.7. Calcular el vector gradiente de la funcion
f(x, y, z) = ez cos(y) sin(x)
en un punto generico (x, y, z).
La funcion f admite derivadas parciales en todo (x, y, z) ∈ R3, entonces
∇f(x, y, z) =(ez cos(y) cos(x),−ez sin(y) sin(x), ez cos(y) sin(x)
).
50
4.5. Derivadas parciales de orden superior
Definicion 4.5.1. Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funcion. Supongamos que la derivadaparcial ∂f
∂xiexiste en U . Si la funcion
∂f
∂xi: U −→ R
admite derivada parcial j-esima en ~x ∈ U , se dice que f tiene derivada parcialsegunda en ~x y se denota
∂2f
∂xi∂xj(~x) =
∂
∂xi
(∂f
∂xj(~x)
).
Ejemplo 4.5.2. Calcular las segundas derivadas parciales de
f(x, y) = xy + (x+ 2y)2.
Tenemos que
∂f
∂x(x, y) = y + 2(x+ 2y),
∂f
∂y(x, y) = x+ 4(x+ 2y),
∂2f
∂x2(x, y) = 2,
∂2f
∂y2(x, y) = 8,
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, y)
)= 5,
∂2f
∂y∂x(x, y) =
∂
∂y
(∂f
∂x(x, y)
)= 5.
Proposicion 4.5.3. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rm una funcion. La derivada parcial def = (f1, . . . , fm)
∂2f
∂xi∂xj
existe si y solo si existen las derivadas parciales
∂2fk∂xi∂xj
para todo k = 1, . . . ,m, y en este caso se tiene la igualdad
∂2f
∂xi∂xj=
(∂2f1
∂xi∂xj, . . . ,
∂2fm∂xi∂xj
).
51
Teorema 4.5.4 (Schwarz: igualdad de derivadas cruzadas). Sea f : U ⊆Rn −→ Rm tal que las derivadas parciales ∂2f
∂xi∂xj, ∂2f∂xj∂xi
existen y son continuas en
U . Entonces∂2f
∂xi∂xj=
∂2f
∂xj∂xi.
Ejemplo 4.5.5. Verificar la igualdad de las segundas derivadas parciales cruzadaspara la funcion
f(x, y) = xey + yx2.
Tenemos que
∂f
∂x(x, y) = ey + 2xy,
∂f
∂y(x, y) = xey + x2,
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, y)
)= ey + 2x, funcion continua
∂2f
∂y∂x(x, y) =
∂
∂y
(∂f
∂x(x, y)
)= ey + 2x, funcion continua.
Por lo tanto∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂2f
∂y∂x(x, y) = ey + 2x.
Ejemplo 4.5.6. La funcion
f(x, y) =
xy(x2−y2)x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
es continua en (0, 0). Ademas
∂f
∂x(0, y) = −y, ∂f
∂y(x, 0) = x,
por tanto
∂2f
∂x∂y(0, 0) =
∂
∂x
(∂f
∂y(0, 0)
)= 1,
∂2f
∂y∂x(0, 0) =
∂
∂y
(∂f
∂x(0, 0)
)= −1.
Entonces la funcion f no verifica la igualdad de derivadas cruzadas.Obviamente las funciones ∂2f
∂x∂yy ∂2f∂y∂x
no pueden ser continuas en el punto (0, 0).
52
Definicion 4.5.7. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a ∈ U , f : U ⊂ Rn −→ Rm una funcion yp ∈ N.
Se definen las derivadas parciales de orden p en ~a de la forma siguiente:
∂pf
∂xi1∂xi2 · · · ∂xip(~a) =
∂
∂xi1
(∂
∂xi2
(∂
∂xi3
(· · ·(∂f
∂xip(~a)
)).
Ejemplo 4.5.8. Calcular las derivadas parciales ∂3f∂x∂y∂z
y ∂3f∂x∂z∂y
de la funcion
f(x, y) = xy + x2y2z.
Tenemos que
∂3f
∂x∂y∂z(x, y, z) =
∂
∂x
(∂
∂y
(∂f
∂z(x, y, z)
))=
∂
∂x
(∂
∂yx2y2
)=
∂
∂x2yx2 = 4xy.
∂3f
∂x∂z∂y(x, y, z) =
∂
∂x
(∂
∂z
(∂f
∂y(x, y, z)
))=
∂
∂x
(∂
∂z(x+ 2zx2)
)=
∂
∂x2x2 = 4x.
Nota 4.5.9. Una funcion real de tres variables f(x, y, z) puede tener 3p derivadasparciales de orden p.
Definicion 4.5.10. Sean f : U ⊆ Rn −→ Rm una funcion y p ≥ 1. Diremos que fes de clase Cp en U , y se denota f ∈ Cp(U,Rm), si las derivadas parciales de ordenp,
∂pf
∂xi1∂xi2 · · · ∂xip(~x)
existen para cada ~x ∈ U , y las aplicaciones
∂pf∂xi1∂xi2 ···∂xip
: U −→ Rm
~x −→ ∂pf∂xi1∂xi2 ···∂xip
(~x)
son continuas en U , para todos i1, i2, . . . , ip ∈ {1, 2, ..., n}.Diremos que f es de clase C∞ en U , y escribiremos f ∈ C∞(U,Rm), si f es de
clase Cp para todo p ∈ N.Por ultimo, C0(U,Rm) denotara el espacio de las funciones continuas de U en
Rm.
53
Proposicion 4.5.11. Para todo p ≥ 1 se tiene que
Cp(U,Rm) ⊂ Cp−1(U,Rm);
y en particular
C∞(U,Rm) ⊂ Cp(U,Rm) para todo p ≥ 1.
Teorema 4.5.12. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rm de clase Cp con p ≥ 2. Sean i1, . . . , iq ∈{1, . . . , n}, con q ≤ p. Entonces, para toda permutacion {i′1, . . . , i′q} de {i1, . . . , iq}se tiene
∂qf
∂xi′1∂xi′2 · · · ∂xi′p(~x) =
∂qf
∂xi1∂xi2 · · · ∂xip(~x)
para todo ~x ∈ U .
4.6. Matriz hessiana y determinante hessiano
Definicion 4.6.1. Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funcion cuyas derivadas parcialessegundas existen y son continuas en un entorno del punto ~a ∈ U , se llama matrizhessiana de f en el punto ~a a la matriz n× n siguiente
Hf(~a) =
∂2f∂x1∂x1
(~a) ∂2f∂x2∂x1
(~a) . . . ∂2f∂xn∂x1
(~a)
∂2f∂x1∂x2
(~a) ∂2f∂x2∂x2
(~a) . . . ∂2f∂xn∂x2
(~a)
......
. . ....
∂2f∂x1∂xn
(~a) ∂2f∂x2∂xn
(~a) . . . ∂2f∂xn∂xn
(~a)
.
formada con las derivadas parciales segundas, y se llama hessiano al determinantede la matriz hessiana y representandose por∣∣Hf(~a)
∣∣.Ejemplo 4.6.2. Calcular la matriz hessiana de la funcion
f(x, y) = x2y + exy.
54
La matriz hessiana pedida es:
Hf(x, y) =
∂2f∂x2 (x, y) ∂2f
∂y∂x(x, y)
∂2f∂x∂y
(x, y) ∂2f∂y2
(x, y)
=
2y + y2exy 2x+ (1 + xy)exy
2x+ (1 + xy)exy x2exy
.
Observacion 4.6.3. En caso de una funcion de R3 en R, su matriz hessiana es:
Hf(x, y, z) =
∂2f∂x2 (x, y, z) ∂2f
∂y∂x(x, y, z) ∂2f
∂z∂x(x, y, z)
∂2f∂x∂y
(x, y, z) ∂2f∂y2
(x, y, z) ∂2f∂z∂y
(x, y, z)
∂2f∂x∂z
(x, y, z) ∂2f∂y∂z
(x, y, z) ∂2f∂z2
(x, y, z)
.
Capıtulo 5
Funciones diferenciables
5.1. Funcion diferenciable en un punto
Definicion 5.1.1. Sean U un abierto de Rn, f : U ⊆ Rn −→ Rm y ~x0 ∈ U . Se diceque la funcion f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicacion lineal
L : Rn −→ Rm
tal que
lım~h→~0
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
‖~h‖= ~0.
Si existe una aplicacion lineal L con estas caracterısticas, es unica.
Proposicion 5.1.2. La definicion de funcion diferenciable en ~x0 se puede dar demodo equivalente de alguna de las siguientes formas:
1) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicacion lineal L : Rn → Rm tal que
lım~h→~0
∥∥f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)∥∥
‖~h‖= 0.
2) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicacion lineal L : Rn → Rm tal que
lım~x→~x0
f(~x)− f(~x0)− L(~x− ~x0)
‖~x− ~x0‖= ~0.
55
56
3) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicacion lineal L : Rn → Rm tal que
lım~x→~x0
∥∥f(~x)− f(~x0)− L(~x− ~x0)∥∥
‖~x− ~x0‖= 0.
4) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicacion lineal L : Rn → Rm y unafuncion R : Rn → Rm tal que en un entorno de ~x0 se tiene
f(~x) = f(~x0) + L(~x− ~x0) +R(~x− ~x0)
con
lım~x→~x0
∥∥R(~x− ~x0)∥∥
‖~x− ~x0‖= 0.
Proposicion 5.1.3. Sea U un abierto de Rn y ~x0 ∈ U . Una funcion f : U −→ Rm
es diferenciable en ~x0 si y solo si lo son cada una de sus funciones componentesf1, . . . , fm.
Observacion 5.1.4. Se puede estudiar la diferenciabilidad de una funcion f en unpunto ~x0 o bien directamente o bien a traves de sus componentes.
Definicion 5.1.5. Una funcion se dice que es diferenciable en un abierto U si esdiferenciable en todos los puntos de U .
5.2. Diferencial en un punto
Definicion 5.2.1. Sea U un abierto de Rn y f : U ⊆ Rn −→ Rm una funciondiferenciable en ~x0 ∈ U , se llama diferencial de f en ~x0, y se denota por Df(~x0)o f ′(~x0) a la unica aplicacion lineal L : Rn −→ Rm que satisface
lım~h→~0
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
‖~h‖= ~0.
Ası se tiene que
Df(~x0)(~h) = f ′(~x0)(~h) = L(~h) = D~hf(~x0)
= lımt→0
f(~x0 + t~h)− f(~x0)
t
para todo ~h ∈ Rn.
57
Proposicion 5.2.2. Supongamos que f es diferenciable en ~x0, siendo L : Rn −→Rm una aplicacion lineal que satisface la definicion anterior. Entonces:
1) L es la unica aplicacion lineal con esta propiedad.
2) Para cada ~h ∈ Rn existe D~hf(~x0), derivada direccional de f en ~x0 segun el
vector ~h, y
D~hf(~x0) = lımt→0
f(~x0 + t~h)− f(~x0)
t= L(~h) =
n∑i=1
∂f
∂xi(~x0) · hi.
Ejemplo 5.2.3. Sea f(x, y) = x2 +y3 +2x−y+5. Demostrar que f es diferenciableen (0, 0) y calcular Df(0, 0).
Calculemos el lımite:
lımt→0
f((0, 0) + t(h1, h2)
)− f(0, 0)
t.
Tenemos
lımt→0
f((0, 0) + t(h1, h2)
)− f(0, 0)
t= lım
t→0
t2h21 + t3h3
2 + 2th1 − th2
t= 2h1 − h2.
Como
lım(h1,h2)→(0,0)
f((0, 0) + (h1, h2)
)− f(0, 0)− L(h1, h2)
‖(h1, h2)‖= 0,
dondeL(h1, h2) = 2h1 − h2
es un aplicacion lineal de R2 en R, se tiene que la funcion f es diferenciable en (0, 0)y
Df(0, 0) : R2 −→ R(h1, h2) −→ Df(0, 0)(h1, h2) = 2h1 − h2.
Ejemplo 5.2.4. Estudiar si la funcion
f(x, y) =
x3−y3x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
es diferenciable en el punto (0, 0).
58
Las derivadas parciales vienen dadas por
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
t3 − 03
t2 + 02= lım
t→01 = 1
∂f
∂y(0, 0) = lım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
03 − t3
02 + t2= lım
t→0−1 = −1.
Para ver si es diferenciable calcularemos
lım~h→~0
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
‖~h‖
= lım(h1,h2)→(0,0)
f((0, 0) + (h1, h2)
)− f(0, 0)− h1
∂f∂x
(0, 0)− h2∂f∂y
(0, 0)√h2
1 + h22
= lım(h1,h2)→(0,0)
h31−h3
2
h21+h2
2− h1 + h2√h2
1 + h22
= lım(h1,h2)→(0,0)
h21h2 − h1h
22(
h21 + h2
2
) 32
.
El lımite anterior no existe. En efecto
lım(h1,h2)→(0,0)h2=−h1
h21h2 − h1h
22(
h21 + h2
2
) 32
= lımh1→0
−2h31(
2h21
) 32
= − 1√2
lım(h1,h2)→(0,0)
h2=h1
h21h2 − h1h
22(
h21 + h2
2
) 32
= lımh1→0
h31 − h3
1(2h2
1
) 32
= 0.
Entonces el lımite no existe, ya que los lımites segun dos direcciones son distintos.Por tanto la funcion no es diferenciable.
59
5.3. Interpretacion geometrica de la diferencial
Sea U un abierto de Rn y f : U ⊆ Rn −→ R una funcion diferenciable en unpunto ~x0 ∈ U .
Si bien para n ≥ 2 no tiene sentido la pregunta de cual es la recta tangente a lagrafica
Gf ={(~x, f(~x)
): ~x ∈ U
}⊂ Rn × R = Rn+1
de la funcion f , que puede visualizarse como una superficie de dimension n en Rn+1.Ası que, podemos preguntarnos cual es el subespacio afın de dimension n que
mejor aproxima la grafica de f en un punto (~x0, f(~x0)).Para fijar ideas supongamos que, dada f : R2 −→ R, deseamos hallar el plano
tangente a la grafica de f en un punto(x0, y0, f(x0, y0)
).
Entonces la ecuacion del plano tangente a la superficie Gf ⊂ R3 en el punto(x0, y0, f(x0, y0)
)que buscamos es
z − f(x0, y0) =∂f
∂x(x0, y0) · (x− x0) +
∂f
∂y(x0, y0) · (y − y0).
Es decir
z − f(x0, y0) = Df(x0, y0)
(x− x0
y − y0
)=
(∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0)
)·(x− x0
y − y0
).
Ası pues la diferencial proporciona la ecuacion del plano tangente a la superficie.
Ejemplo 5.3.1. El plano tangente a la superficie dada por la funcion
f(x, y) = x2 + y2
en el punto (1, 1, f(1, 1)) = (1, 1, 2) tiene por ecuacion
z − 2 = 2(x− 1) + 2(y − 1),
es decir, 2x+ 2y − z − 2 = 0.
Nota 5.3.2. El plano tangente contiene a todas las rectas tangentes a las curvascontenidas en la superficie Gf que pasan por
(x0, y0, f(x0, y0)
).
60
5.4. Propiedades de las funciones diferenciables
Sea U un abierto de Rn y f : U ⊆ Rn −→ Rm una funcion. Se pueden establecerlos siguientes resultados:
Proposicion 5.4.1. Si la funcion f es diferenciable en el punto ~x0 ∈ U , entoncesexisten todas las derivadas parciales de primer orden de f en ~x0, siendo
D~eif(~x0) =∂f
∂xi(~x0) = Df(~x0)(~ei),
donde ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0).
Proposicion 5.4.2. Si f es diferenciable en el punto ~x0 ∈ U , entonces la matrizasociada a la diferencial Df(~x0) como aplicacion lineal
Df(~x0) : Rn −→ Rm
respecto de las bases canonicas de Rn y Rm, es la matriz jacobiana de f en ~x0, esdecir
Df(~x0)(~h) = Jf(~x0) · ~h, ∀ ~h ∈ Rn,
siendo
Jf(~x0) =
∂f1∂x1
(~x0)∂f1∂x2
(~x0) . . . ∂f1∂xn
(~x0)
∂f2∂x1
(~x0)∂f2∂x2
(~x0) . . . ∂f2∂xn
(~x0)
......
. . ....
∂fm∂x1
(~x0)∂fm∂x2
(~x0) . . . ∂fm∂xn
(~x0)
.
Observacion 5.4.3. Si f : U ⊆ Rn −→ R es una funcion diferenciable en ~x0 ∈ U ,su diferenciable sera una aplicacion
Df(~x0) : Rn −→ R~h −→ Df(~x0)(~h),
61
donde
Df(~x0)(~h) =
(∂f
∂x1
(~x0),∂f
∂x2
(~x0), . . . ,∂f
∂xn(~x0)
)·
h1
h2...hn
= ∇f(~x0) ·
h1
h2...hn
=
n∑i=1
∂f
∂xi(~x0) · hi.
Proposicion 5.4.4. La funcion f = (f1, . . . , fm) es diferenciable en ~x0 ∈ U si ysolo si fi es diferenciable en a para cada i = 1, 2, . . . ,m, y en este caso
Df(~x0)(~h) =(Df1(~x0)(~h), Df2(~x0)(~h), . . . , Dfm(~x0)(~h)
).
para todo ~h ∈ Rn.
Teorema 5.4.5 (Relacion entre diferenciabilidad y continuidad). Si la fun-cion f es diferenciable en el punto ~x0 ∈ U , entonces f es continua en ~x0.
Observacion 5.4.6. El recıproco del Teorema 5.4.5 no es cierto vease el ejemplosiguiente.
Ejemplo 5.4.7. La funcion
f(x, y) =
xy√x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
es continua en el punto (0, 0), pero no es diferenciable en dicho punto.
Teorema 5.4.8 (Condicion suficiente de diferenciabilidad). Supongamos quetodas las derivadas parciales
∂fj∂xi
: U −→ R, j = 1, . . . ,m, i = 1, . . . , n,
existen en un entorno de un punto ~x0 y que son continuas en ~x0. Entonces f esdiferenciable en ~x0.
62
Nota 5.4.9. La condicion enunciada es muy util desde el punto de vista practico,dado que probar la diferenciabilidad de una funcion en un punto segun la definiciones un asunto incomodo.
Ejemplo 5.4.10. Sea f : R3 −→ R2 una funcion definida por
f(x, y, z) =(x2 + sin(xy), xy cos(z)
).
Las derivadas parciales de f = (f1, f2) son:
∂f
∂x(x, y, z) =
(2x+ y cos(xy), y cos(z)
)∂f
∂y(x, y, z) =
(x cos(xy), x cos(z)
)∂f
∂z(x, y, z) =
(0, −xy sin(z)
).
Ası que las funciones∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂z: R3 −→ R2
son continuas en R3 ya que sus funciones componentes son continuas.Por tanto la funcion f es diferenciable en todos puntos de R3 y
Df(x, y, z) = Jf(x, y, z) =
∂f1∂x
(x, y, z) ∂f1∂y
(x, y, z) ∂f1∂z
(x, y, z)
∂f2∂x
(x, y, z) ∂f2∂y
(x, y, z) ∂f2∂z
(x, y, z)
=
2x+ y cos(xy) x cos(xy) 0
y cos(z) x cos(z) −xy sin(z)
.
Observacion 5.4.11. La condicion de diferenciabilidad del Teorema 5.4.8 no esnecesaria.
Existen funciones diferenciables en un punto aunque sus derivadas parciales noson continuas. vease el ejemplo siguiente.
Ejemplo 5.4.12. La funcion
f(x, y) =
(x2 + y2) sin
(1√x2+y2
)si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
es diferenciables en (0, 0) sin embargo sus derivadas parciales no son continuas endicho punto. En efecto:
63
Las derivadas parciales vienen dadas por
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= lımt→0
t2 sin(
1t
)− 0
t= lım
t→0t sin
(1
t
)= 0
∂f
∂y(0, 0) = lım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= lımt→0
t2 sin(
1t
)− 0
t= lım
t→0t sin
(1
t
)= 0.
En este caso
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
= f((0, 0) + (h1, h2)
)− f(0, 0)− h1
∂f
∂x(0, 0)− h2
∂f
∂y(0, 0)
se convierte en
(h21 + h2
2) sin
(1√
h21 + h2
2
).
Por tanto
lım~h→~0
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
‖~h‖= lım
(h1,h2)→(0,0)
√h2
1 + h22 sin
(1√
h21 + h2
2
)= 0.
Luego f es diferenciable en (0, 0).
Veremos la continuidad de las derivadas parciales. Si (x, y) 6= (0, 0) se tiene
∂f
∂x(x, y) = 2x sin
(1√
x2 + y2
)− x√
x2 + y2cos
(1√
x2 + y2
)∂f
∂y(x, y) = 2y sin
(1√
x2 + y2
)− y√
x2 + y2cos
(1√
x2 + y2
).
No existe
lım(x,y)→(0,0)
∂f
∂x(x, y) ni lım
(x,y)→(0,0)
∂f
∂y(x, y),
64
ya que no existen
lım(x,y)→(0,0)
x√x2 + y2
cos
(1√
x2 + y2
)ni
lım(x,y)→(0,0)
y√x2 + y2
cos
(1√
x2 + y2
).
En consecuencia las funciones ∂f∂x
y ∂f∂y
no son continuas en (0, 0).
Corolario 5.4.13. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rm. Consideremos las siguientes condi-ciones.
1) f tiene derivadas parciales en todos los puntos de U y son todas ellas continuasen U .
2) f es diferenciable en U .
3) f tiene derivadas parciales en todos los puntos de U .
Entonces se tiene que1) =⇒ 2) =⇒ 3),
pero los conversos son en general falsos.
Definicion 5.4.14. Se dice que f : U ⊂ Rn −→ Rm es de clase C1 en U si todaslas derivadas parciales de f existen y son continuas en U .
Proposicion 5.4.15. Si f : U ⊆ Rn −→ Rm es de clase C1 en U , entonces f esdiferenciable en U .
Nota 5.4.16. Recordemos que una funcion diferenciable no tiene por que ser declase C1.
Proposicion 5.4.17. Sea U un abierto de Rn, y sea f : U −→ Rm. Las siguientesafirmaciones son equivalentes.
1) Todas las derivadas parciales de primer orden f existen y son continuas en U .
2) f es diferenciable en U , y la aplicacion
Df : U −→ L(Rn,Rm)~x −→ Df(~x)
es continua.
Donde L(Rn,Rm) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales entre Rn y Rm.
65
5.5. Reglas de diferenciacion
Proposicion 5.5.1. Sean f, g : U ⊆ Rn −→ Rm funciones diferenciables en unpunto ~a ∈ U . Entonces:
1) f ± g es diferenciable en ~a y D(f ± g)(~a) = Df(~a)±Dg(~a).
2) Para todo λ ∈ R, λf es diferenciable en ~a y D(λf)(~a) = λDf(~a).
Proposicion 5.5.2. Sean f, g : U ⊆ Rn −→ R funciones diferenciables en un punto~a ∈ U . Entonces:
1) fg es diferenciable en ~a, y D(fg)(~a) = Df(~a)g(~a) + f(~a)Dg(~a).
2) Si g(~a) 6= 0, entonces fg
es diferenciable en ~a y
D(fg
)(~a) =
g(~a)Df(~a)− f(~a)Dg(~a)
g(~a)2.
Teorema 5.5.3 (Regla de la cadena). Sean U y V abiertos de Rn y Rm re-spectivamente, y f : U ⊆ Rn −→ Rm, g : V −→ Rp aplicaciones, con f(U) ⊆ V
. Supongamos que f es diferenciable en ~a, y que g es diferenciable en ~b = f(~a).Entonces g ◦ f : U ⊆ Rn −→ Rp es diferenciable en ~a, y ademas
D(g ◦ f)(~a) = Dg(f(~a)
)◦Df(~a).
Observacion 5.5.4. Teniendo en cuenta que la operacion de composicion de aplica-ciones lineales se traduce en multiplicacion de sus matrices, la igualdad D(g◦f)(~a) =Dg(f(~a)
)◦Df(~a) significa que
J(g ◦ f)(~a) = Jg(f(~a)
)· Jf(~a),
66
es decir,
J(g ◦ f)(~a) =
∂(g◦f)1∂x1
(~a) ∂(g◦f)1∂x2
(~a) . . . ∂(g◦f)1∂xn
(~a)
∂(g◦f)2∂x1
(~a) ∂(g◦f)2∂x2
(~a) . . . ∂(g◦f)2∂xn
(~a)
......
. . ....
∂(g◦f)p∂x1
(~a) ∂(g◦f)p∂x2
(~a) . . . ∂(g◦f)p∂xn
(~a)
=
∂g1∂y1
(f(~a)
)∂g1∂y2
(f(~a)
). . . ∂g1
∂ym
(f(~a)
)∂g2∂y1
(~a) ∂g2∂y2
(f(~a)
). . . ∂g2
∂ym
(f(~a)
)...
.... . .
...
∂gm∂y1
(f(~a)
) ∂gp∂y2
(f(~a)
). . . ∂gp
∂ym
(f(~a)
)
·
∂f1∂x1
(~a) ∂f1∂x2
(~a) . . . ∂f1∂xn
(~a)
∂f2∂x1
(~a) ∂f2∂x2
(~a) . . . ∂f2∂xn
(~a)
......
. . ....
∂fm∂x1
(~a) ∂fm∂x2
(~a) . . . ∂fm∂xn
(~a)
,
o de manera mas compacta,
∂(g ◦ f)j∂xi
(~a) =m∑k=1
∂gj∂yk
(f(~a)
)∂fk∂xi
(~a)
para todo i = 1, 2, . . . , n y j = 1, 2, . . . , p.
Ejemplo 5.5.5. Sean las funciones diferenciables f : R2 −→ R3
y g : R3 −→ R4, definidas respectivamente por
f(x1, x2) = (x21x2, x1 + x2, x1x2) y
g(y1, y2, y3) = (y1y22, y2y3, e
y1y2y3 , y1 + y2 + y3).
67
Calculemos la matriz jacobiana de la funcion compuesta g ◦ f en el punto (1, 1) y laexpresion de la diferencial en ese punto.
Como es f : R2 −→ R3, su matriz jacobiana es de orden 3× 2 y esta dada por
Jf(~x) =
∂f1∂x1
(~x) ∂f1∂x2
(~x)
∂f2∂x1
(~x) ∂f2∂x2
(~x)
∂f3∂x1
(~x) ∂f3∂x2
(~x)
=
2x1x2 x2
1
1 1
x2 x1
.
Para la funcion g : R3 −→ R4 la matriz jacobiana es de orden 4× 3 y su expresiones
Jg(~y) =
∂g1∂y1
(~y) ∂g1∂y2
(~y) ∂g1∂y3
(~y)
∂g2∂y1
(~y) ∂g2∂y2
(~y) ∂g2∂y3
(~y)
∂g3∂y1
(~y) ∂g3∂y2
(~y) ∂g3∂y3
(~y)
∂g4∂y1
(~y) ∂g4∂y2
(~y) ∂g4∂y3
(~y)
=
y22 2y1y2 0
0 y3 y2
y2y3ey1y2y3 y1y3e
y1y2y3 y1y2ey1y2y3
1 1 1
.
Como la funcion compuesta es g ◦ f : R2 −→ R4, su matriz jacobiana es de orden
68
4× 2 y teniendo en cuenta el resultado del teorema anterior resulta
J(g ◦ f)(1, 1) = Jg(f(1, 1)
)· Jf(1, 1) = Jg(1, 2, 1) · Jf(1, 1)
=
4 4 0
0 1 2
2e2 e2 2e2
1 1 1
·
2 1
1 1
1 1
=
12 8
3 3
7e2 5e2
4 3
.
Conocida la matriz de las derivadas parciales podemos escribir la diferencial de g ◦fen el punto (1, 1) como la aplicacion
D(g ◦ f)(1, 1) : R2 −→ R4
definida por
D(g ◦ f)(1, 1)(h1, h2) = J(g ◦ f)(1, 1) ·
h1
h2
=
12 8
3 3
7e2 5e2
4 3
·
h1
h2
=
12h1 + 8h2
3h1 + 3h2
7e2h1 + 5e2h2
4h1 + 3h2
.
69
5.6. Diferenciales sucesivas
5.6.1. Diferencial segunda
Definicion 5.6.1 (Diferencial segunda). Sea U un abierto de Rn y f : U −→ Rm
una funcion diferenciable en U . Se llama diferencial segunda de f en ~a, y sedenota
D2f(~a) = D(Df)(~a),
a la diferencial de la funcion
Df : U −→ L(Rn,Rm)
en el punto ~a. Es decir,
D2f : U −→ L(Rn,L(Rn,Rm)
)~a −→ D2f(~a) : Rn −→ L(Rn,Rm)
~h −→ D2f(~a)(~h).
Nota 5.6.2.
1) El espacio vectorial L(Rn,Rm), se puede identificar a Rn+m asociando a cadaaplicacion lineal la matriz correspondiente, es decir:
L(Rn,Rm) = Rn+m.
2) Dado ~h ∈ Rn, D2f(~a)(~h) ∈ L(Rn,Rm). Por tanto D2f(~a)(~h) se puede aplicar
a otro elemento ~k ∈ Rn, y se puede escribir
D2f(~a)(~h,~k)
en lugar de D2f(~a)(~h)(~k).
Ası D2f(~a) se puede ver como una aplicacion bilineal de Rn×Rn en Rm. Portanto podemos escribir:
L(Rn,L(Rn,Rm)
)= L2(Rn,Rm),
donde, L2(Rn,Rm) = {las aplicaciones B : Rn × Rn −→ Rm tales que ~x 7−→B(~x, ~y) es lineal de Rn en Rm para cada ~y ∈ Rn y ~y 7−→ B(~x, ~y) es tambienlineal para cada ~x ∈ Rn}.
70
5.6.2. Diferencial segunda de una funcion escalar
Sea f : U −→ R una funcion dos veces diferenciable en ~a. Nos preguntamosahora cual sera la matriz de la forma bilineal D2f(~a) respecto de la base canonicade Rn. Puesto que
Df(~x) =
(∂f
∂x1
,∂f
∂x2
, . . . ,∂f
∂xn
)(~x)
=
(∂f
∂x1
(~x),∂f
∂x2
(~x), . . . ,∂f
∂xn(~x)
)=
(∂f
∂x1
(~x)(~e1),∂f
∂x2
(~x)(~e2), . . . ,∂f
∂xn(~x)(~en)
),
derivando otra vez tendremos que
D2f(~a) = D(Df)(~a) = D
((∂f
∂x1
,∂f
∂x2
, . . . ,∂f
∂xn
))(~a),
luego
D(Df)(~a)(~ei) =
(∂2f
∂xi∂x1
(~a),∂2f
∂xi∂x2
(~a), . . . ,∂2f
∂xi∂xn(~a)
),
y ası
D2f(~a)(~ei, ~ej) = D(Df)(~a)(~ei)(~ej) =∂2f
∂xi∂xj(~a),
es decir, la matriz de D2f(~a) es
Hf(~a) =
∂2f∂x1∂x1
(~a) ∂2f∂x2∂x1
(~a) . . . ∂2f∂xn∂x1
(~a)
∂2f∂x1∂x2
(~a) ∂2f∂x2∂x2
(~a) . . . ∂2f∂xn∂x2
(~a)
......
. . ....
∂2f∂x1∂xn
(~a) ∂2f∂x2∂xn
(~a) . . . ∂2f∂xn∂xn
(~a)
,
y tenemos que
D2f(~a) =n∑
i,j=1
∂2f
∂xi∂xj(~a) ~e
∗
i ⊗ ~e∗
j ,
71
donde ~e∗i ⊗ ~e
∗j es la forma bilineal de L2(Rn,R) definida por(
~e∗
i ⊗ ~e∗
j
)(~h,~k) = ~e
∗
i (~h)~e∗
j (~k) = hikj.
Por tanto
D2f(~a)(~h,~k) =n∑
i,j=1
∂2f
∂xi∂xj(~a) hikj.
Resumen 5.6.3.
D2f(~a) : Rn × Rn −→ R
(~h,~k) −→ D2f(~a)(~h,~k) = (h1, . . . , hn)Hf(~a)
k1
k2...kn
Si la funcion f es de clase C2, el teorema de Schwartz nos indica que la ma-
triz hessiana es simetrica. El siguiente resultado nos asegura que basta que f seadiferenciable dos veces en ~a para que la matriz de D2f(~a) sea simetrica.
Teorema 5.6.4. Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funcion diferenciable en U , y supong-amos que
∂f
∂xi,
∂f
∂xi: U −→ R
son ambas diferenciables en ~a ∈ U . Entonces
∂2f
∂xi∂xj(~a) =
∂f
∂xj∂xi(~a).
En particular, si f es dos veces diferenciable en a, la matriz de su diferencial segundaD2f(~a) es simetrica.
72
5.6.3. Diferencial k-esima
Podemos definir por induccion las diferenciales de orden superior o igual a 2 deuna funcion f : U ⊆ Rn −→ R siguiendo el mismo metodo que hemos utilizado parallegar a D2f(~a) = D(Df)(~a).
Definicion 5.6.5. Sea Lks(Rn,R) el espacio de las formas k-lineales simetricas deRn, es decir, el conjunto de todas las aplicaciones
A : Rn × Rn × · · · × Rn −→ R (k veces)
que son separadamente lineales en cada variable, y de modo que
A(~x1, . . . , ~xk) = A(~xi1 , . . . , ~xik)
para todos ~x1, . . . , ~xk ∈ Rn y cualquier permutacion i1, . . . , ik de {1, . . . , k}.
Definicion 5.6.6. Diremos que f es k veces diferenciable en ~a ∈ U si la aplicacion
Dk−1f : U −→ Lk−1s (Rn,R)
es diferenciable en a, yDkf(~a) = D(Dk−1f(~a)).
Definicion 5.6.7. Sean f : U ⊂ Rn −→ Rm, p ∈ N . Diremos que f es de clase Cp
en U , y se denota f ∈ Cp(U,Rm), si las derivadas parciales de orden p,
∂pf
∂xi1 · · · ∂xip(~x) = D~ei1
D~ei2. . . D~eip
f(~x)
existen para cada ~x ∈ U , y las aplicaciones
U 3 ~x −→ ∂pf
∂xi1 · · · ∂xip(~x)
son continuas en U , para todos i1, i2, . . . , ip ∈ {1, 2, . . . , n}.
Veamos ahora como calcular estas derivadas de orden superior. En los casos k = 1y k = 2 ya sabemos como hacerlo. En el caso general, una reiteracion del argumentoque nos permitio ver la proposicion siguiente:
Proposicion 5.6.8. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rn una funcion de clase Ck en un punto~a. La diferencial k-esima de f en ~a es un aplicacion Dkf(~a) ∈ Lks(Rn,R) que seactua de la forma siguiente:
Dkf(~a)(~h1,~h2, . . . ,~hk) =n∑
i1,i2,...,ik=1
∂kf
∂xi1 · · · ∂xik(~a)h1
i1. . . hkik .
Capıtulo 6
Integral de Riemann en Rn
6.1. Intervalo n-dimensional
Definicion 6.1.1. Se denomina intervalo n-dimensional de Rn (o rectangulo)a un conjunto de la forma
I = [a1, b1]× [a2, b2]× · · · × [an, bn]
={
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, . . . , n}.
Nota 6.1.2.
1) Si n = 2, I es un rectangulo.
2) Si n = 3, I es un paralelepıpedo.
3) Los intervalos n-dimensionales reciben tambien el nombre de rectangulos n-dimensionales.
Definicion 6.1.3 (Volumen de un intervalo n-dimensional). Dado el intervaloI ⊂ Rn definimos el volumen de I por
µ(I) =n∏i=1
(bi − ai).
Nota 6.1.4.
1) Si n = 2, µ(I) es el area del rectangulo I de R2.
2) Si n = 3, µ(I) es el volumen geometrico del paralelepıpedo.
73
74
Definicion 6.1.5 (Particion de un intervalo n-dimensional). Sea I = [a1, b1]×[a2, b2]× · · · × [an, bn] ⊂ Rn un intervalo n-dimensional, se denomina particion deI a cualquier conjunto formado por el producto
P = P1 × P2 × · · · × Pn,
tal que, para cada i = 1, 2, . . . , n, se tiene que
1) Pi = {x0i , x
1i , . . . , x
mii } ⊂ [ai, bi],
2) ai = x0i < x1
i < x2i < · · · < xmi−1
i < xmii = bi,
3) [ai, bi] =
mi⋃j=1
[xj−1i , xji ].
Si cada Pi divide al intervalo [ai, bi] en mi subintervalos, la particion P divide alintervalo n-dimensional I en
m1m2 · · ·mn
subintervalos de la forma
[xi1−11 , xi11 ]× [xi2−1
2 , xi22 ]× · · · × [xin−1n , xinn ],
con i1 ∈ {1, 2, . . . ,m1}, i2 ∈ {1, 2, . . . ,m2}, . . . , in ∈ {1, 2, . . . ,mn}. Es decir,
I = [a1, b1]× [a2, b2]× · · · × [an, bn]
=
m1⋃i1=1
m2⋃i2=1
· · ·mn⋃in=1
([xi1−1
1 , xi11 ]× [xi2−12 , xi22 ]× · · · × [xin−1
n , xinn ]).
Denotaremos por R(P ) a este conjunto de subintervalos.
6.2. Suma superior e inferior
Definicion 6.2.1 (Darboux-Riemann). Sea I ⊂ Rn un intervalo n-dimensionaly sea f : I −→ R una funcion acotada. Sea P una particion de I y S ∈ R(P ).Definimos
mS = ınf{f(~x) : ~x ∈ S
}y MS = sup
{f(~x) : ~x ∈ S}.
I La suma inferior de f asociada a P se define como
S(f, P ) =∑
S∈R(P )
mSµ(S).
75
I La suma superior de f asociada a P es
S(f, P ) =∑
S∈R(P )
MSµ(S).
Definicion 6.2.2. Dadas dos particiones P = P1 × P2 × · · · × Pn, Q = Q1 ×Q2 ×· · · × Qn de un intervalo n-dimensional I, se dice que Q es mas fina que P (yescribiremos Q ≥ P )si y solo si cada subintervalo de Q esta contenido en algunsubintervalo de P . Es decir,
R(Q) ⊂ R(P ).
Proposicion 6.2.3.
1) Dadas P,Q particiones de I con Q mas fina que P , se verifica que
S(f, P ) ≤ S(f,Q) ≤ S(f,Q) ≤ S(f, P ).
2) Para un par de particiones cualesquiera P y Q se verifica que
S(f, P ) ≤ S(f,Q).
Nota 6.2.4.
I El conjunto {S(f, P ) : P particion de I
}esta acotado superiormente.
I El conjunto {S(f, P ) : P particion de I
}esta acotado inferiormente.
6.3. Integral de Riemann sobre intervalos
Definicion 6.3.1. Sea I ⊂ Rn un intervalo n-dimensional, se dice que la funcionacotada f : I −→ R es integrable Riemann o simplemente integrable, en I si
sup{S(f, P ) : P particion de I
}= ınf
{S(f, P ) : P particion de I
}.
A este numero comun se le denota por∫I
f(~x)d~x =
∫I
f(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 . . . dxn
o simplemente ∫I
f.
76
Nota 6.3.2.
1) Si n = 2 se suele escribir∫ ∫
If(x, y)dxdy, y se la llama integral doble.
2) Si n = 3 se suele escribir∫ ∫ ∫
If(x, y, z)dxdydz, y se la llama integral triple
o de volumen.
Ejemplo 6.3.3. Si f : I ⊂ Rn −→ R es una funcion constante f(~x) = c, para cada~x ∈ I, entonces f es integrable en I y∫
I
f(~x)d~x = cµ(I).
Teorema 6.3.4 (Criterio de integrabilidad de Riemann). Sea I un intervalon-dimensional, y f : I −→ R una funcion acotada. Entonces f es integrable en I siy solo si para todo ε existe una particion de I, Pε, tal que
S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε.
6.4. Propiedades de la integral
Teorema 6.4.1. Sean I ⊂ Rn un intervalo n-dimensional, f, g : I −→ R funcionesintegrables, α, β ∈ R. Entonces:
1) Linealidad. La funcion αf + βg es integrable y∫I
(αf + βg) = α
∫I
f + β
∫I
g.
2) Monotonıa. Si f(~x) ≤ g(~x) para ~x ∈ I, entonces∫I
f ≤∫I
g.
En particular, |f | es integrable en I, y∣∣∣∣ ∫I
f
∣∣∣∣ ≤ ∫I
|f |.
3) Acotacion. Si m ≤ f(~x) ≤M para todo ~x ∈ I, entonces
mµ(I) ≤∫I
f ≤Mµ(I).
77
4) Producto de funciones. El producto fg es una funcion integrable en I.
NO se verifica en general que∫I
fg =
(∫I
f
)(∫I
g
).
5) Aditividad respecto de intervalos. Sea I ⊂ R3 tal que
I = I1 ∪ I2,
siendo I1 e I2 paralelepıpedos con cara comun. Entonces una funcion acotadaf : I −→ R es integrable en I si lo es en I1 e I2 y ademas∫
I
f =
∫I1
f +
∫I2
f.
Teorema 6.4.2. Sean I1, I2 dos intervalos n-dimensionales de Rn, y sea f : I1 ∪I2 −→ R. Supongamos que f es integrable en I1 ∪ I2. Entonces las restricciones def a I1, I2 y I1 ∩ I2 son integrables, y∫
I1∪I2f =
∫I1
f +
∫I2
f −∫I1∩I2
f.
Definicion 6.4.3 (medida cero). Un subconjunto A ⊆ Rn se dice que tiene me-dida cero si para todo ε > 0 existe una familia numerable o finita de intervalosn-dimensionales I1, I2, . . . , Ik, . . . tales que
A ⊂∞⋃k=1
Ik y∞∑k=1
µ(Ik) < ε.
Ejemplo 6.4.4. En R2 tienen medida cero: los conjuntos finitos, la union finita deconjuntos de medida cero, los segmentos, las graficas de funciones continuas en unintervalo [a, b] ⊂ R, las curvas de R2 que se pueden poner como union de un numerofinito de graficas de funciones continuas en un intervalo.
Ejemplo 6.4.5. En R3 tienen medida cero: los conjuntos finitos, la union finitade conjuntos de medida cero, los segmentos, los rectangulos y en general cualquierpolıgono plano y las imagenes por funciones continuas de subconjuntos acotados deR3 que tengan dimension menor que 3.
Teorema 6.4.6. Sea I un intervalo n-dimensional de Rn de medida cero, y seaf : I −→ R una funcion integrable. Entonces∫
I
f = 0.
78
Corolario 6.4.7. Sean I1, I2 dos intervalos n-dimensionales de Rn, y sea f : I1 ∪I2 −→ R. Supongamos que f es integrable en I1 ∪ I2. Si I1 ∩ I2 tiene medida cero,entonces ∫
I1∪I2f =
∫I1
f +
∫I2
f.
Teorema 6.4.8 (Lebesgue).
1) Si f : I ⊂ Rn −→ R es una funcion continua, entonces es integrable en I.
2) Si f : I ⊂ Rn −→ R es acotada y es continua en I salvo en los puntos de unconjunto de medida cero, entonces f es integrable en I.
Ejemplo 6.4.9. La funcion
f(x, y) =
1 si 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
2
0 si 0 ≤ x ≤ 1, 12< y ≤ 1.
es integrable en I = [0, 1]×[0, 1] ya que solo es discontinua en los puntos del segmento0 ≤ x ≤ 1, y = 1
2, que es un conjunto de medida cero.
Definicion 6.4.10 (Promedio integral). Sea f : I ⊂ Rn −→ R una funcionintegrable, se denomina promedio integral de f en I al valor
1
µ(I)
∫I
f(~x)d~x.
Teorema 6.4.11 (Teorema del valor medio). Si f : I −→ R es una funcioncontinua en I ⊂ Rn, entonces existe al menos un punto ~x0 ∈ I tal que
f(~x0) =1
µ(I)
∫I
f(~x)d~x.
6.5. Teorema de Fubini
Teorema 6.5.1 (Fubini). Sean A ⊂ Rn y B ⊂ Rm rectangulos, y
f : A×B −→ R
una funcion integrable.
79
• Si para cada ~x ∈ A, la funcion
f~x : B ⊂ Rm −→ R~y −→ f~x(~y) = f(~x, ~y)
es integrable en B. Entonces la funcion
g : A ⊂ Rn −→ R~x −→ g(~x) =
∫Bf~x(~y)d~y =
∫Bf(~x, ~y)d~y
es integrable en A, y∫A×B
f(~x, ~y)d~xd~y =
∫A
g(~x)d~x =
∫A
(∫B
f(~x, ~y)d~y
)d~x.
• Si para cada ~y ∈ B, la funcion
f~y : A ⊂ Rn −→ R~x −→ f~y(~x) = f(~x, ~y)
es integrable en A. Entonces la funcion
h : B ⊂ Rm −→ R~y −→ h(~y) =
∫Af~y(~x)d~x =
∫Af(~x, ~y)d~x
es integrable en B, y∫A×B
f(~x, ~y)d~xd~y =
∫B
h(~y)d~y =
∫B
(∫A
f(~x, ~y)d~x
)d~y.
Corolario 6.5.2. Sea A ⊂ Rn un rectangulo, sean ϕ, ψ : A −→ R funciones con-tinuas tales que ϕ(~x) ≤ ψ(~x) para todo ~x ∈ A, y sea
D ={
(~x, t) ∈ Rn+1 : ϕ(~x) ≤ t ≤ ψ(~x)}
Sea f : D −→ R una funcion continua (o continua salvo en una cantidad finita depuntos). Entonces ∫
D
f(~x, t)d~xdt =
∫A
(∫ ψ(~x)
ϕ(~x)
f(~x, t)dt
)d~x.
Ejemplo 6.5.3. La funcionf(x, y) = x+ y
80
es integrable en I = [0, 1] × [0, 1] al ser continua en I. La funcion f verifica lascondiciones del Teorema de Fubini por tanto∫
I
f(x, y)dxdy =
∫ ∫I
(x+ y)dxdy =
∫ 1
0
(∫ 1
0
(x+ y)dy
)dx
=
∫ 1
0
[xy +
y2
2
]1
0
dx =
∫ 1
0
(x+
1
2
)dx = 1
Ejemplo 6.5.4. La funcion
f(x, y, z) = x+ y + z
es integrable en I = [0, 1]× [0, 2]× [0, 1].Si tomamos I1 = [0, 1] e I2 = [0, 2]× [0, 1] ⊂ R2 entonces∫ ∫ ∫
I
(x+ y + z)dxdydz =
∫ 1
0
(∫ 2
0
∫ 1
0
(x+ y + z)dzdy
)dx.
La integral doble∫ 2
0
∫ 1
0(x + y + z)dzdy se calcula aplicando el Teorema de Fubini
para integrales dobles haciendo x constante y resulta∫ 2
0
∫ 1
0
(x+ y + z)dzdy =
∫ 2
0
(∫ 1
0
(x+ y + z)dz
)dy
=
∫ 2
0
(x+ y +
1
2
)dy = 2x+ 3
con lo que ∫ ∫ ∫I
(x+ y + z)dxdydz =
∫ 1
0
(2x+ 3)dx = 4.
Observacion 6.5.5. Sea f : I = [a, b]× [c, d] −→ R una funcion continua, entonceslas funciones f ,
fx : [c, d] −→ Ry −→ fx(y) = f(x, y)
y
fy : [a, b] −→ Rx −→ fy(x) = f(x, y)
(con x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]) son integrables, y se obtiene que∫I
f =
∫ b
a
(∫ d
c
f(x, y)dy
)dx =
∫ d
c
(∫ b
a
f(x, y)dx
)dy.
81
6.6. Integral sobre un recinto acotado de Rn
Definicion 6.6.1. Sea D ⊂ Rn un conjunto acotado cuya frontera tiene medidacero y sea I un intervalo que contiene a D. Una funcion acotada f : D −→ R esintegrable si y solo si es integrable en I la funcion f = fχD es decir
f(~x) =
f(~x) si ~x ∈ D
0 si ~x ∈ I −D.
definiendose ∫D
f(~x)d~x =
∫I
f(~x)d~x.
Nota 6.6.2.
1) La definicion anterior es independiente del intervalo I elegido, siempre queI ⊃ D.
2) La definicion dada traslada la integracion sobre un recinto acotado cualquieraD a un intervalo I, por lo tanto todas las propiedades siguen siendo validas.
3) La funcion f puede ser discontinua donde lo sea f y ademas en los puntos dela frontera de D que tiene medida cero.
En consecuencia, si f es continua en D salvo a lo sumo en un conjunto demedida cero, la funcion f es integrable en I y por lo tanto f lo sera en D.
6.6.1. Teorema de Fubini en recintos estandar de R2
Sea f : D ⊂ R2 −→ R una funcion continua (o continua salvo en una cantidadfinita de puntos).
Tipo I
Corolario 6.6.3. Si D ={
(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}
con ϕ1, ϕ2
funciones continuas en [a, b], tales que ϕ1(x) ≤ ϕ2(x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces∫ ∫D
f =
∫ b
a
(∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(x, y)dy
)dx.
Ejemplo 6.6.4. Calcular la integral doble∫ ∫D
(y − x)dxdy
82
siendo D = {(x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x ≤ 3, x2 ≤ y ≤ x3}. Se tiene que∫ ∫D
(y − x)dxdy =
∫ 3
2
(∫ x3
x2
(y − x)dy
)dx =
∫ 3
2
[y2
2− xy
]x3
x2
dx
=
∫ 3
2
(1
2(x6 − x4)− x(x3 − x2)
)dx
=
∫ 3
2
(1
2x6 − 3
2x4 + x3
)dx
=1
2
[x7
7
]3
2
− 3
2
[x5
5
]3
2
+
[x4
4
]3
2
=19911
140.
Tipo II
Corolario 6.6.5. Si D ={
(x, y) ∈ R2 : ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y), c ≤ y ≤ d}
dondeψ1, ψ2 son funciones continuas en [c, d] tales que ψ1(y) ≤ ψ2(y) para todo y ∈ [c, d].Entonces ∫ ∫
D
f =
∫ d
c
(∫ ψ2(y)
ψ1(y)
f(x, y)dx
)dy.
Ejemplo 6.6.6. Calcular la integral doble∫ ∫D
3xdxdy
donde D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2y}. Tenemos que∫ ∫D
3xdxdy =
∫ 2
1
(∫ 2y
y
3xdx
)dy =
∫ 2
1
[3x2
2
]2y
y
dy
=3
2
∫ 2
1
(4y2 − y2)dy =21
2.
Caso general
Nota 6.6.7. Todo recinto D limitado por una union finita de grafos de funcionescontinuas se puede descomponer en una union finita de recintos del tipo I y del tipoII.
Ejemplo 6.6.8. Calcular ∫ ∫D
2dxdy
siendo
D ={
(x, y) ∈ R2 : y ≤ x2, x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y − 2 ≤ 0, x− y − 1 ≤ 0}.
83
Integrando primero en la variable y hemos de considerar el recinto de integraciondividido en dos subrecintos D1 y D2, siendo
D1 = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x2, y ≥ 0, x ≤ 1} y
D2 = {(x, y) ∈ R2 : x+ y − 2 ≤ 0, x− y − 1 ≤ 0, x ≥ 1}.
En estas condiciones se tiene que∫ ∫D
2dxdy =
∫ 1
0
(∫ x2
0
2dy
)dx+
∫ 32
1
(∫ −x+2
x−1
2dy
)dx
= 2
(∫ 1
0
[y]x2
0dx+
∫ 32
1
[y]−x+2
x−1dx
)=
7
6.
6.6.2. Teorema de Fubini en recintos estandar de R3
Sea D ⊂ R3 un recinto estandar y sea f : D −→ R una funcion integrable enD, entonces la integral sobre D de f se puede calcular usando el Teorema de Fubinisobre un paralelepıpedo I ⊃ D. Dado que∫ ∫ ∫
D
f =
∫ ∫ ∫I
f y f(x, y, z) = 0 si (x, y, z) /∈ D.
84
Definicion 6.6.9. Diremos que un conjunto acotado D ⊂ R3 es un recinto si sepuede describir de alguna de las formas siguientes:
1) D1 ={
(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x),
ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)}
2) D2 ={
(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ z ≤ ϕ2(x),
ψ1(x, z) ≤ y ≤ ψ2(x, z)}
3) D3 ={
(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ y ≤ b, ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y),
ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)}
4) D4 ={
(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ y ≤ b, ϕ1(y) ≤ z ≤ ϕ2(y),
ψ1(y, z) ≤ x ≤ ψ2(y, z)}
5) D5 ={
(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ z ≤ b, ϕ1(z) ≤ x ≤ ϕ2(z),
ψ1(x, z) ≤ y ≤ ψ2(x, z)}
6) D6 ={
(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ z ≤ b, ϕ1(z) ≤ y ≤ ϕ2(z),
ψ1(y, z) ≤ x ≤ ψ2(y, z)}
donde ϕ1 y ϕ2 son funciones continuas de [a, b] en R y ψ1 y ψ2 son continuas en laregion plana correspondiente.
Nota 6.6.10. La expresion de un recinto estandar puede no ser unico. Por ejemploun cubo es un recinto de tipo D1, D2, D3, D4, D5 y D6 siendo constantes todas lasfunciones que aparecen.
Corolario 6.6.11. Si D = D1, entonces∫ ∫ ∫D1
f(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
(∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)
(∫ ψ2(x,y)
ψ1(x,y)
f(x, y, z)dz
)dy
)dx.
Nota 6.6.12. Las integrales sobre los otros recintos estandar se calculan de modoanalogo.
Ejemplo 6.6.13. Sea
D ={
(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ x+ y}
85
y f(x, y, z) = xy + 2z. Como D es un recinto estandar se tiene que∫ ∫ ∫D
(xy + 2z)dxdydz =
∫ 2
0
(∫ x
0
(∫ x+y
0
(xy + 2z)dz
)dy
)dx
=
∫ 2
0
(∫ x
0
[xyz + z2
]z=x+yz=0
dy
)dx
=
∫ 2
0
(∫ x
0
(x2y + xy2 + (x+ y)2
)dy
)dx
=
∫ 2
0
[x2y
2
2+ x
y3
3+
(x+ y)3
3
]y=xy=0
dx
=
∫ 2
0
(5
6x4 +
7
3x3
)dx
=44
3.
6.7. Teorema del cambio de variable
Definicion 6.7.1. Un difeomorfismo (de clase Cp) g entre dos abiertos A y Bde Rn es una aplicacion g : A −→ B biyectiva y diferenciable (de clase Cp), tal quesu inversa g−1 : B −→ A es tambien diferenciable (de clase Cp).
Teorema 6.7.2. Sean A y B subconjuntos abiertos y acotados de Rn, y sea g :A −→ B un difeomorfismo C1. Entonces, para toda funcion integrable f : B −→ R,la funcion (f ◦ g)| det(Jg)| es integrable en A, y∫
B
f =
∫A
(f ◦ g)| det(Jg)|,
donde | det(Jg)| es el valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana de g.
6.7.1. Coordenadas polares
Sea la aplicacion
g : R2 −→ R2
(r, θ) −→ g(r, θ) =(r cos(θ), r sin(θ)
)= (x, y)
Aunque g es diferenciable de clase C∞, no es inyectiva en todo R2. Sin embargo, sila restringimos al abierto
U = {(r, θ) : r > 0, 0 < θ < 2π}
86
entonces sı que es inyectiva (compruebese), y su matriz jacobiana es
Jg(r, θ) =
∂g1∂r
(r, θ) ∂g1∂θ
(r, θ)
∂g2∂r
(r, θ) ∂g2∂θ
(r, θ)
=
cos(θ) −r sin(θ)
sin(θ) r cos(θ)
.
Por tanto su jacobiano (determinante de la matriz jacobiana) es
det(Jg(r, θ)
)= r cos2(θ) + r sin2(θ) = r > 0.
De esta manera, si B es cualquier subconjunto acotado de R2, y
A = g−1(B) ={
(r, θ) ∈ R2 : g(r, θ) ∈ B},
al aplicar el teorema del cambio de variables a la transformacion g, se obtiene lasiguiente formula:∫
B
f(x, y)dxdy =
∫A
(f ◦ g)(r, θ)∣∣∣ det
(Jg(r, θ)
)∣∣∣drdθ=
∫A
f(r cos(θ), r sin(θ)
)rdrdθ.
Ejemplo 6.7.3. Sea B = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1}, entonces se tiene que∫ ∫B
(x2 + y2)dxdy =
∫ ∫A
r2rdrdθ
donde A = g−1(B) = [0, 1]× [0, 2π]. Por tanto∫ ∫B
(x2 + y2)dxdy =
(∫ 2π
0
dθ
)(∫ 1
0
r3dr
)=π
2.
6.7.2. Coordenadas esfericas
Sea la aplicacion
g : R3 −→ R3
(r, ϕ, θ) −→ g(r, ϕ, θ) =(r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ)
)= (x, y, z)
Como sucedıa en el caso de las coordenadas polares, g es C∞ pero no es inyectivaen todo R3. No obstante, restringiendola al abierto
U ={
(r, ϕ, θ) : r > 0, 0 < θ < 2π, 0 < ϕ < π},
87
g sı es inyectiva (no es difıcil comprobarlo), y su jacobiano es
det(Jg(r, ϕ, θ)
)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
sin(ϕ) cos(θ) r cos(ϕ) cos(θ) −r sin(ϕ) sin(θ)
sin(ϕ) sin(θ) r cos(ϕ) sin(θ) r sin(ϕ) cos(θ)
cos(ϕ) −r sin(ϕ) 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= r2 sin(ϕ) > 0.
Este caso, si B es cualquier subconjunto acotado de R3, y A = g−1(B), aplicandoel teorema del cambio de variables a g, obtenemos la siguiente formula:∫
B
f(x, y, z)dxdydz =
∫A
(f ◦ g)(r, ϕ, θ)∣∣∣ det
(Jg(r, ϕ, θ)
)∣∣∣drdϕdθ=
∫A
f(r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ)
)r2 sin(ϕ)drdϕdθ.
Ejemplo 6.7.4. Para calcular ∫ ∫ ∫B
xyzdxdydz
siendo B la region de la esfera x2 + y2 + z2 ≤ 9 contenida en el primer octante, esdecir, x, y, x ≥ 0, se efectua el cambio de variable a coordenadas esfericas y al
A = g−1(B) ={
(r, ϕ, θ) : 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ ϕ ≤ π
2, 0 ≤ θ ≤ π
2
},
se tiene que∫B
xyzdxdydz =
∫A
r sin(ϕ) cos(θ)r sin(ϕ) sin(θ)r cos(ϕ)r2 sin(ϕ)drdϕdθ
=
∫A
r5 sin3(ϕ) cos(ϕ) cos(θ) sin(θ)drdϕdθ
=
(∫ 3
0
r5dr
)(∫ π2
0
sin3(ϕ) cos(ϕ)dϕ
)(∫ π2
0
cos(θ) sin(θ)dθ
)=
243
16.
6.7.3. Coordenadas cilındricas
El cambio a coordenadas cilındricas consiste en hacer un cambio a polares enlas coordenadas x, y de cada punto (x, y, z) ∈ R3, mientras que la coordenada zpermanece fija.
88
La transformacion adecuada es pues
g : R3 −→ R3
(r, θ, z) −→ g(r, θ, z) =(r cos(θ), r sin(θ), z
)= (x, y, z)
donde g esta definida en el abierto
U ={
(r, θ, z) : r > 0, 0 < θ < 2π},
y su imagen es todo R3 excepto los puntos del plano y = 0 con coordenada x ≥ 0(puntos que forman un subconjunto de medida cero de R3).
El jacobiano de g es en este caso
det(Jg(r, θ, z)
)= r > 0 en U.
Ası, si B es cualquier subconjunto acotado de R3, y A = g−1(B), tenemos lasiguiente formula de cambio de variables:∫
B
f(x, y, z)dxdydz =
∫A
f(r cos(θ), r sin(θ), z
)rdrdθdz.
Ejemplo 6.7.5. Sea B el recinto de R3 limitado por el cono z2 = x2 + y2 y losplanos z = 0 y z = 3.
La integral ∫ ∫ ∫B
dxdydz
(que representa el volumen del cono) se puede expresar en coordenadas cilındricas,como una integral sobre
A = g−1(B) ={
(r, θ, z) : 0 ≤ r ≤ z, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 3}.
Por tanto
∫ ∫ ∫B
dxdydz =
∫ ∫ ∫A
rdrdθdz =
∫ 2π
0
∫ 3
0
∫ z
0
rdrdθdz
=
∫ 2π
0
∫ 3
0
z2
2dzdθ =
∫ 2π
0
27
6dθ =
27
62π = 9π.
