Calculo Integral

UNAC-FIEE PRACTICA N 1 A) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES: 1.-

MATEMTICA II

xdxSolucin:

xdx !2.-

x2 c 2

(x

5

3)dx

Solucin:5 5 ( x 3)dx = x dx 3dx =

x6 x6 3 dx c = 3x c 6 6

3.-

( x 2)

4.-

(x

2

( x 2 x 1) 3 ! x 6 3 x 5 6 x 4 7 x 3 6 x 2 3 x 1

3x 2 x 7 x 6 6x5 7x 4 3 ( x 3x 6 x 7 x 6 x 3x 1)dx ! 7 2 5 4 2 x 2 x c6 5 4 3 2

5.-

x(3x

2 3 x(3x 5)dx ! (3x 5 x)dx !

6.-

x(ax

2 3 x(ax b)dx ! (ax bx)dx !

7.-

x

2

(x

2) 3 dx Solucin:3

dx ! ( x 3 6 x 2 12 x 8)dx

= x 3 dx 6 x 2 dx 12 xdx 8 dx = x 1) 3 dx

x4 2x 3 6 x 2 8x 4

Solucin:

2

5) dx

Solucin: 3x 4 5 x 2 c 4 4

2

b )dx

Solucin: ax 4 bx 2 c 4 2

(a bx )dx

1

UNAC-FIEE Solucin:2 2 3 x (a bx)dx ! (ax bx )dx !

MATEMTICA II

ax 3 bx 4 c 3 4

8.-

(x

m

x n ) 2 dx

Solucin:

(x

x n ) 2 dx ! ( x 2 2 x

=(x xn )2 x

x 2 m 1 x 2 n 1 2 x m n 1 c 2m 1 m n 1 2 n 1

9.-

dx

2m m n x 2n x 2x 1 x2

1 1 1 2m 2 n m n 2 x 2 )dx dx ! ( x 2 2 x

=

x

1 2m 2

10.- ( x x 1)( x 1)dx Solucin:5

2x 2 ( x x 1)( x 1)dx ! ( x x 1)dx = ( x 1)dx ! xc 5 11.-

xdx 1 x2 Solucin:

Sea:

Q ! 1 x2

dQ ! 2 xdx p dx !

xdx 1 x21

!

xdQ Q 2x1

!

dQ Q

= 2 Q 2 ! 2(1 x 2 ) 2

n

x 2 n )dx

Solucin:

2m

1 2

2x

m n

1 2

1 mn 2

x

2 n

1 2

1 2n 2

c

3 2

dQ 2x 1 2

! Q

dQ

2

UNAC-FIEE

MATEMTICA II

12.-

( x 1)dx x2 2x 3 Solucin:

Q ! x 2 2x 3 dQ ! ( 2 x 2) dx p ( x 1) dx !1

dQ 2

( x 1)dx x2 2x 31

!

1 dQ 1 Q ! 2 Q 2 dQ 2 1

1 = ( 2 Q 2 ) ! ( x 2 2 x 3) 2 2

13.-

x

2

x 1 dx 2x

Solucin: x 2 2x ! Q (2 x 2)dx ! dQ dQ 2 1 ( x 1) 1 dQ 1 dx ! ! ln Q ! ln x 2 2 x 2 x 2x 2 2 Q 2p ( x 1)dx !

14.-

x3 1 x 4 dx Solucin:1 x4 ! Q 4 x 3 dx ! dQ p x 3 dx ! dQ 4

1 dQ 1 1 x3 4 1 x 4 dx ! 4 Q ! 4 ln Q c ! 4 ln 1 x c 15.-

x(5 3x

2 8

) dx Solucin:

5 3 x 2 ! Q p xdx !

dQ 6

1 1 Q9 5 3x 2 Q9 ! Q 8 dQ ! c! c! 6 6 9 54 54

c9

16.-

x .

2 5

7 4 x 3 dx

Solucin:

3

UNAC-FIEE dQ 12 6/5 1 1 5 6/5 5 7 ! Q 1 / 5 dQ ! Q c ! 4 x 3 c 12 12 6 72

MATEMTICA II

7 4 x 3 ! Q p x 2 dx !

17.-

x

2

1 x dx

Solucin: 1 x ! Q p dx ! dQ! Q 1 Q2 1/ 2

dQ ! 2 2 Q 1 1 / 2 dQ Q Q

! Q 5 / 2 2 Q 3 / 2 Q 1 / 2 dQ ! 2x 1 ! 77/2

4x 1 5

5/2

2Q 7 / 2 2 Q 5 / 2 2Q 3 / 2 2 c 7 5 3 3/ 2 2x 1 c 3

3

18.- ( ax b) 2 dx Solucin:dQ a 1 1 2 5/2 ! Q 3 / 2 dQ ! Q c a a 5 2 ! ax b 5 / 2 c 5a ax b ! Q p dx !

19.- x n 1 a bx n dx Solucin: a bx n ! Q p bnx n 1 dx ! dQ 1 1 2 3/ 2 1/ 2 ! Q dQ ! bn 3 Q c bn 2 a bx n 3 / 2 c ! 3bn 20.-

3 ln x dx x

Solucin:3 Lnx ! Q p dx ! dQ x 3 Lnx 2 c Q2 ! QdQ ! c! 2 2

4

UNAC-FIEE

MATEMTICA II

21.-

ln(ln x ) dx x ln x

Solucin: Q ! ln(ln x) dQ !

1 1 ! (ln x)d dx ln x x.ln x ln(ln x) 2 Q2 Q .dQ ! 2 c ! 2 c

22.-

1 x

x dx x

Solucin: Q ! 1 x x dQ ! ! 3 x.dx 2

2dQ 2 dQ 2 2 ! ! ln Q c ! ln 1 x x c 3Q 3 Q 3 3xdx2

23.-

1 x 2 (1 x 2 ) 3

Solucin: 1 x 2 ! Q p xdx ! dQ 2 1 dQ 1 dQ ! ! 3/ 2 1/ 2 2 2 Q 1 Q 1/ 2 QQ dQ 1 Q 1 / 2 ! Y p 1 / 2 ! 2dY Q 2 dY ! ! 2Y 1 / 2 c 2 Y! 2 1 Q 1/ 2

1/ 2

c ! 1 1 x2

1/ 2 1/ 2

c

24.-

x( x

dx 7 1) Solucin:

x 1 dx x dx ! xx 1 x 1 x7 7 7 7

dx x 7 1 x 7 dx ! x x7 1 x x7 1

5

UNAC-FIEEdx x6 7 dx x x 1 1 ! Ln x Ln x 7 1 c 7

MATEMTICA II

!

25.-

x

3

cos x 4 dx Solucin:

Q ! x 4 dQ ! 4 x 3 dx 1 1 dQ 1 4 cos Q 4 ! 4 cos Q.dQ ! 4 senQ c ! 4 senx c

26.- cos 2 xsenxdx Solucin: cos x ! Q p senxdx ! dQ! Q 2 dQ ! Q3 cos 3 x c ! c 3 3

27.-

sen x dx x

Solucin: dx ! 2dQ x ! 2 senQdQ ! 2 cos Q c ! 2 cos x!Qp 28.-

x cSolucin:

x x

2

dx 4 x 13

2

dx dx 1 x2 ! ! arc tg c 2 2 4 x 13 x 2 3 3 3 dx 2 3

29.-

7x! !

Solucin: dx 1 ! 2 7x 3 7

7 x 3 !2 2

7 dx

7x 1 1 arc tg 3 c 7 3

6

UNAC-FIEE

MATEMTICA II

30.-

4x 4x

dx 4 9 Solucin:

dx 1 2dx 1 2x ! ! arc tg c 2 2 2 9 2 2 x 3 6 3

31.-

x

4

x dx 81 Solucin:

x2 xdx 1 2 xdx 1 ! ! arc tg x 4 81 2 x 2 2 9 2 18 9

c

32.-

x x

2

dx 4x 6 Solucin:

2

dx dx 1 x2 ! ! arc tg c 2 2 4x 6 2 2 x 2 2x5 dx 6 x 12

33.-

x

2

Solucin:1 2 x 6 8 x5 dx dx ! 2 2 x 2 6 x 12 x 6 x 12 1 dx 2 x 6 dx 8 ! 2 x 2 6 x 12 2 x 6 x 12 1 1 x 3 ! Ln x 2 6 x 12 8 arc tg c 2 2 2 1 x 3 ! Ln x 2 6 x 12 4arc tg c 2 2

34.-

e

4x

e 2 x dx 6e 2 x 34

Solucin: 1 2e 2 x dx e 2 x dx ! e 4 x 6e 2 x 34 2 e 2 x 32 5 2 !! e2x 3 e2x 3 1 1 1 c ! arc tg arc tg 5 5 c 2 5 10

7

UNAC-FIEEx2 3 x 2 ( x 2 9) dx

MATEMTICA II

35.-

Solucin:2 1 1 2 x 9 x2 ! x2 x2 9 3 3 3 2 2 2 x 3 1 2x x 9 ! 2 2 dx dx ! 2 2 x x 9 3 x x 9 x3 3 ! x2

2

!

1 2x x 9 x 2 x 2 9 x 2 x 2 9dx ! 3 2

dx 1 2 1 2dx x 1 ! 2 2 ! arc tg c x 3 3 3 x 9 3 x

36.-

x x

2

dx 4

Solucin: dx 1 x2 Ln ! c 2 22 x 2 2 dx 2 3 Solucin:

2

37.-

5x 5x

dx 1 ! 2 3 5dx 6x 7

5dx

5x 2

3

2

!

1 1 5x 3 c Ln 5 2 3 5x 3

38.-

x x

2

Solucin: dx dx x 3 2 1 c ! ! Ln 2 2 6x 7 x 3 2 2 2 x 3 2dx 2x

2

39.-

3x 3x!

2

Solucin: 1 dx dx dx ! ! ! 2 2x 3 2 x / 3 3 x 1 / 32 / 32 x 1

2

1 x 2/3 Ln c 2 x

8

UNAC-FIEE

MATEMTICA II

40.-

x x

2

xdx 5x 3 Solucin:

x 1 2 x 5 5 / 2 dx ! dx ! 2 5x 3 2 x 5x 3 1 2 x 5dx 5 dx 2 ! 2 2 x 5 x 3 2 x 5x 3 5 1 dx ! Ln x 2 5 x 3 2 2 2 2 5 13 x 2 2 5 13 x 1 5 1 2 2 2 c ! Ln x 5 x 3 Ln 2 13 2 5 13 x 2 2 2 2 2

!

5 2 x 5 13 1 Ln x 2 5 x 3 Ln 2 4 13 2 x 5 13 dx

41.-

25 x 5

2

Solucin:x5 dx 1 5 x 1 Ln Ln c ! ! 2 x 5 x 25 5 x 10 dx 42.- 5 2x2 Solucin:2

5 2x43.-

dx

2

!

1 2 dx 5 2 2x 22

2

!

5 2x 1 1 c Ln 5 2x 2 2 5

1 (3x 1) 1 (3x 1)dx

dx

Solucin:! 1 3 x 1 1 3x 1 3dx 1 1 12 3x 12 ! 3 21Ln 1 3x 1 ! 6 Ln 2 3x c 3

2

44.-

25 4 x

dx

2

Solucin:

9

UNAC-FIEEdx 5 2x 1 2dx 1 1 52 2 x 2 ! 2 10 Ln 5 2 x c 2

MATEMTICA II

25 4 x45.-

2

!

4 2x x

3dx

2

Solucin:

4 2x x46.-

3dx

2

! 3

dx

2 2 x 22

2

! 3

1 4 2

Ln

2 2 x2 c 2 2 x2

24 2 x

xdx2

x4

Solucin: xdx 28 x 2 2 1 2 xdx 1 1 ! ! Ln 24 2 x 2 x 4 2 28 2 x 2 22 2 2 28 28 x 2 2 47.-

11 4 x 11 4 x2x 3

2x 32

dx Solucin:

2 xdx 3dx 2 11 4 x 11 4 x 2 3 2dx 1 ! Ln 11 4 x 2 2 2 11 2 x 2 42

dx !

11 2 x 3 1 1 Ln c ! Ln 11 4 x 2 2 2 11 4 11 2 x

48.-

cos cos

2

sen 3 x dx 3 x 2 cos 3 x 3

Solucin: sen 3 x sen3 x 1 cos 3 x 1 2 c ! dx ! dx ! Ln 2 2 3 x 2 cos 3 x 3 22 cos 3 x 1 2 cos 3 x 1 2

2

1 cos 3 x 3 ! Ln c 4 cos 3 x 1 49.-

cos cos

senx cos x dx 2 2x 4

Solucin: sen 2 x 1 1 1 senx cos x cos 2 x ! arc tg dx ! 2 2 2 2 2x 4 2 cos 2 x 2 2 2

10

UNAC-FIEE e arctgx x ln( x 2 1) dx 1 x2 Solucin: e arctgx x ln( x 2 1) e arc tgx xLn 2 1 x dx dx ! 2 dx dx 2 2 2 x 1 x 1 1 x x 1 2 2 1 Ln x ! e arc tgx arctgx c 4

MATEMTICA II

50.-

11

UNAC-FIEE PRACTICA N 2 A) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES: 1.-

MATEMTICA II

sen( x

2

4 x 5)( x 2)dx

Solucin:

sen ( x

2

4 x 5)( x 2) dx = sen x 2 1 dx2 2

u ! x 2 1 du ! 2x 2 dx dQ 1 1 1 2 senQ 2 ! 2 senQdQ ! 2 cos Q c ! 2 cos x 2 1 c

2.- cos( senx x 2 )(2 x cos x)dx Solucin:Q ! senx x 2 dQ ! cos x 2 x dx2

cos Q.dQ ! senQ c ! sensenx x c3.-

tg ( x 2 4 ) x x2 4

dx

Solucin:Q ! x2 4

dQ !

1 2x dx ! 2 x2 42

xdx x2 4

tgQ .dQ ! ln cos Q c ! ln cos x4.- ctg (ln x )dx x

4 c

Solucin:dx x ctgQ .dQ ! ln senQ c ! ln senln x c Q ! ln x dQ !