INSTITUTO TECNOLOGICO DE URSULO GALVÁN

CALCULO INTEGRAL

UNIDAD I

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

DOCENTE: JOSÉ LUIS CORDERO SÁNCHEZ

ÚRSULO GALVÁN, VER. SEPTIEMBRE 2013

ÍNDICE

1.1 Medición y aproximada de figuras

amorfas……………………………………..3

1.2 Notación sumatoria………………………………………………………………..4

1.3 Sumas de Riemann……………………………………………………………...14

1.4 Definición de integral

definida…………………………………………………..21

1.5 Teorema de

existencia…………………………………………………………..34

1.6 Propiedades de la integral

definida…………………………………………….35

1.7 Función primitiva…………………………………………………………………41

1.8 Teorema fundamental del cálculo………………………………………………

46

1.9 Calculo de integrales definidas…………………………………………………49

1.10 Integrales impropias………………………………………………………….54

Cálculo Integral 2

Unidad I

Teorema Fundamental del Cálculo

1.1Medición aproximada de las figuras amorfas

Las figuras amorfas, “son aquellas figuras   que no tienen forma   porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deformes". Y su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa”.

La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto “n” tiende a cualquier número dado. Existen dos tipos de notación sumatoria: la notación sumatoria abierta y la notación sumatoria pertinente. La suma de Riemann es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean unas series de fórmulas para una aproximación del área total bajo la gráfica de una curva. La integral definida es utiliza para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas, también son llamadas así porque dada una ecuación su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podría decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa función. Las propiedades de la integral definida son 10 la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernarda Riemann.

Mediciones De Figuras Amorfas Introducción.

Las figuras amorfas, “son aquellas figuras   que no tienen forma   porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deformes". Y su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa”. La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto “n” tiende a cualquier número dado. Existen dos tipos de notación sumatoria: la notación sumatoria abierta y la notación sumatoria pertinente. La suma de reman es igual al de las figuras amorfas solo

Cálculo Integral 3

que en esta se emplean una series de fórmulas para una aproximación del área total bajo la grafica de una curva. La integral definida se utiliza para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas, también son llamadas así porque dada una ecuación su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podría decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa función.

MEDICIONES APROXIMADAS DE FIGURAS AMORFAS

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.                Para un polígono irregular (figuras con curvas)  trazas diagonales y resuelves por triángulos.

NOTACION DE SUMATORIA

En el estudio del área se trataran sumas de muchos términos, de modo que se introduce una notación, llamada notación sigma, para facilitar la escritura de estas sumas. Esta notación requiere el uso del símbolo  ( Σ ),la letra sigma mayúscula del alfabeto griego.

1.2Notación científica

Notación Sigma

El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega

sigma (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma”). La notación sigma es de la siguiente manera:

Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i.

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:

Cálculo Integral 4

Algunos jemplos adicionales:

Propiedades:

Fórmulas Interesantes:

En estadística se requiere la suma de grandes masas de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben

Cálculo Integral 5

En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1, ..., n.

 

La letra griega sigma mayúscula ( ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.

La notación se lee:

Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.

La letra debajo del operador se llama índice de la suma; en la expresión

note que el índice de la suma es i.

Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:

Notación suma abierta.- Esta notación va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen, por ejemplo:

Notación suma pertinente.- Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su

representación matemática resumida, por ejemplo: .

 

Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11

Encontrar:

Cálculo Integral 6

Solución:

Ejemplo 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1

Encontrar:

Solución:

Ejemplo 3. Si X1 = 9 X2 = 6 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 12

Encontrar:

Solución:

Ahora bien, cuando se trabajan estas expresiones en forma algebráica se necesita  identificar variables y constantes, así sí X es una variable, a y b son dos constantes, probar que:

1.- De lo anterior es evidente que la suma de una expresión que es la suma de dos ó más términos es igual a la suma de las sumas de los términos por separado.

Por ejemplo:

Cálculo Integral 7

2.- La suma de una constante multiplicada por una variable es lo misma que la constante multiplicada por la suma de la variable, esto es

3.- La suma de una constante, es igual a n veces la constante, esto es:

A continuación se explicara paso a paso como resolver un ejercicio de este tema.

1.- Identificar cual es el numero con el que vas a empezar a sumar. Ese número esta debajo de este signo: ∑.

2.-Despues de haber identificado el número tienes que identificar otro número para saber hasta que numero vas a terminar de sumar. Ese número está arriba de este signo: ∑.

3.- Después de haber identificado los números, entonces pones los números que vas a sumar delante del signo igual que debes de poner enseguida del signo: ∑.

4.-Sumas los numero y está terminado tu ejercicio

5.- Si hay letra debajo del símbolo de suma, sustituyes la letra por el valor numérico hasta que llegues al número que está arriba del símbolo de suma.

A continuación se te muestra un ejemplo:

1.- ∑4n=0 n=0+1+2+3+4= 10

2.- ∑7k=1 k (k +1) = 1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+5(5+1)+6(6+1)+7(7+1)= 143

Notación Sigma

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.

Cálculo Integral 8

Dada una sucesión:

Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se

denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma”). La notación sigma es de la siguiente manera:

La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros , y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.

Ejemplos

Ejemplo # 1

Calcule la siguiente Serie:

Solución:

Ejemplo # 2

Solución:

Ejemplo # 3

Cálculo Integral 9

Solución:

Ejemplo # 4

Solución:

Ejemplo # 5

Exprese cada suma en notación sigma:

(a)

Solución:

Ejemplo # 5

(b)

Solución:

Sin embargo, no hay forma única de escribir una suma en notación sigma también la podemos representar de la siguiente manera:

Solución

(a)

(b)

Cálculo Integral 10

Las siguientes propiedades son resultado natural de las propiedades de los números naturales.

Propiedades de las sumasSean las sucesiones

Y

Entonces, para todo entero positivo y todo número real , sabemos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Demostración

Para la demostración de la 1 propiedad escribiremos el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera:

Cálculo Integral 11

Para obtener:

Sabemos que la suma es asociativa y conmutativa por lo que los términos se reordenan y queda de la siguiente manera:

Y sabemos que la sucesión y se puede escribir en notación sigma de la siguiente manera:

Y

Por lo que al sustituir obtendremos la 1 propiedad: La demostración de la 2 propiedad es similar por lo que no la llevaremos a cabo. Para la 3 propiedad utilizaremos la propiedad distributiva de la suma:

como se mencionó antes por la distributividad de la suma sabemos que:

y por notación sigma sabemos que:

por lo que al momento de sustituir obtendremos la 3 propiedad:

Cálculo Integral 12

NOTACIÓN SUMATORIA

Mas información:

Con frecuencia una serie se representa por medio de la notación de sumatoria de esta manera

Sn=∑k=1

n

ak=a1+a2+a3… que se lee asi:

“la sumatoria de los a sub k cuando k varía desde 1 hasta n”

Los términos de la serie que aparecen a la derecha se obtienen a parte de la expresión del centro al sustituir sucesiva mente k en a por entero positivos desde 1 hasta n.

Ejemplo

La serie corresponde an= 1

2n esta dada por:

Sn=12+ 14+ 18+ 116

+… 1

2n

La serie corresponde a la sucesión an=¿ 1

2n es

∑k=1

n12k

Ejemplos: sin la notación de sumatoria

S8=∑k=1

n

2K n

Sustituimos k por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 respectivamente y posterior mente sumamos, así.

2¿ 2¿

Luego= 2+8+18+32+50+72+98+128 es la forma desarrollada de la sumatoria dada.

Cálculo Integral 13

NOTACIÓN SUMATORIA

Representa frecuentemente una serie ∑

n=1

n

¿a .n

1.3Suma de Riemann.

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Introducción

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la

región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:

La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que:

Podemos obtener las siguientes igualdades:

Cálculo Integral 14

Su símbolo es

∑

Se cambia n por k

(donde C es constante)

Ejemplos

Ejemplo # 1

Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

,límites

La suma de Riemann representa la suma de las áreas sobre el eje , menos la suma de las áreas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje .

Ejemplo # 2

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente función:

,límites

Cálculo Integral 15

Ejemplo # 3

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

,límites

Ejemplo # 4

Evaluando la suma de Riemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente función:

,límites

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

Suma de Riemann (mas conceptos e información)

Cálculo Integral 16

Definición y representación

Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).

Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes:

. Una suma de Riemann se

interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura común y

de alturas situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).

Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.

Teorema fundamental

El teorema más elemental es el siguiente:

Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo:

Prueba

Cálculo Integral 17

El intervalo I = [0,1] es un espacio métrico compacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe :

es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x de I:

Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior. Luego

existe un natural n tal que (basta con tomar , la parte

entera de ).

Para todo x en luego

, lo que también se escribe:

Integrando la relación anterior en se obtiene la siguiente:

Luego sumando los con k variando de 0 a n - 1 se obtiene:

lo que equivale a: . El valor de ε puede ser arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y

da:

Cálculo Integral 18

Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de

Riemann, pues en también tenemos .

Ejemplos

1) Históricamente se ha sabido calcular sumas muy antes de medir áreas mediante integrales. Por esta razón el primer ejemplo utiliza el teorema en el sentido original de definir una integral gracias a las sumas de Riemann. El primer área que necesitó cálculos elaborados fue la definida por la parábola: la cuadratura de la parábola fue resuelta por Arquímedes en el siglo III adC aproximando una porción de parábola por triángulos cuyas superficies forman una sucesión geométrica. Utilizar rectángulos en vez de triángulos permite utilizar las sumas de Riemann.

Se establece por inducción la relación muy conocida que da la suma de los

primeros cuadrados:

Luego:

2) ¿Hacia qué valor tiende la sumas de los n inversos empezando por ? En

otras palabras, ¿cuál es el límite de la sucesión cuyos primeros

términos son:

y así sucesivamente?

El término general es , es

acotado por y 1 (se mira el número de términos multiplicado por el menor y el mayor respectivamente), es decreciente (al pasar de un a un+1 se añade

Cálculo Integral 19

pero se quita que es mayor) luego la sucesión converge.

3) Hallar el límite del producto cuando n tiende hacia el infinito.

Para trasformar un producto de factores estrictamente positivos en una suma se usa el logaritmo:

. El factor n tiende hacia el infinito, mientras que

que es estrictamente

negativo porque la función integrada es estrictamente negativa en [0,1] salvo en el punto aislado 0 donde es nula. Luego

y por tanto .

Generalizaciones

A otros intervalos

Si en vez de trabajar con una función definida en [0, 1] escogemos un intervalo compacto cualquiera [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de

misma longitud obtenemos una aproximación del área bajo la curva de f por n rectángulos de área total

, aproximación que se vuelve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el siguiente:

Cálculo Integral 20

La prueba es idéntica a la con el intervalo [0, 1] porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de variable para pasar de una función f definida en [a, b] a otra, g, definida en

[0, 1]: Concretamente: .Así

por el teorema en [0, 1],

y: con el cambio de variable:

.

Ejemplo:

A otras subdivisiones

Hasta el momento se ha descompuesto el intervalo de estudio, [0, 1] o [a, b] en n segmentos de misma longitud, es decir que se ha utilizado una subdivisión regular del intervalo. Una subdivisión cualquiera σ de [a, b] es definida por los

números x0, x1 ... xn tales que Se denota δ(σ) la mayor longitud de los intervalos [xk-1, xk] (k entre 1 y n):

Con una subdivisión dada σ se puede definir naturalmente dos sumas que denotaremos

El teorema que generaliza el teorema fundamental es el siguiente:

Para toda función continua en un intervalo [a, b] las sumas de Riemann convergen hacia la integral de f cuando δ(σ) tiende hacia cero:

A otros puntos de cálculo

Cálculo Integral 21

Hasta ahora se ha calculado la función a uno u otro extremo de cada segmento, por sencillez; sin embargo la demostración del teorema sigue válida sin esta restricción, lo que permite generalizar aún más las sumas de Riemann escogiendo en cada intervalo [xk-1, xk] el punto de cálculo de la función,

. La suma es entonces .

Funciones escalonadas

. El área rojo oscuro mide

, el área total coloreada (rojo + verde) mide

El teorema es, sin sorpresa, el mismo:

Los puntos de cálculo también pueden ser implícitos, ya que para hallar la

suma se precisa conocer las imágenes y no los mismos.

Cálculo Integral 22

La función f siendo continua en cada intervalo [xk-1, xk], cada valor vk entre el ínfimo

y el supremo

es la imagen de un punto (por lo menos) del intervalo

por lo que es una

suma de Riemann, donde los son implícitos (y de hecho, desconocidos). En

particular son las sumas de Riemann de menor y mayor valor respectivamente asociadas a la subdivisión σ. Se llaman sumas de Darboux y corresponden a integrales de funciones escalonadas

que mejor acotan a f:

y, por definición misma de la integral de Riemann,

es el límite común de

, es decir de

cuando δ(σ) tiende hacia cero.

Rapidez de Convergencia

Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano, ¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo

Cálculo Integral 23

de n escoger? (hay que tener en cuenta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo que consumirá dicho cálculo). Más importante aún: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera de escoger los puntos ξk de cálculo de la función en cada intervalo [xk-1, xk].

Método de los rectángulos

El llamado método de los rectángulos es el caso más sencillo, la de la subdivisión regular del intervalo [a, b] en n segmentos, con los puntos de cálculo de la función a un extremo de cada segmento: Sea

el valor máximo de la derivada en valor absoluto.

Entonces el error entre la suma de Riemann S y la integral verifica:

Prueba: Tomemos n = 1; en tal caso, la suma es S = (b-a)f(a). Tenemos

(por integración)

luego:

Al pasar del caso n = 1 al caso n cualquiera se remplaza el intervalo [a, b] por otro de longitud n veces menor, es decir se remplaza en la

fórmula b - a por , luego se multiplica por n el error porque hay n pequeños intervalos con la longitud anterior:

es el error máximo.

Cálculo Integral 24

Este error se alcanza con una función tan sencilla como la lineal f(x) = mx (aquí M1 = |m|) lo que implica que este método dista mucho de ser eficaz: un error en

se considera enorme: tiende muy lentamente hacia cero.

Los puntos donde se calculan la función son los centros de los intervalos

Método de los puntos medios

El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular. La suma es

.

Sea

el valor máximo de la segunda derivada en valor absoluto. Entonces el error

verifica: .

Prueba: Tomemos como anteriormente n = 1, por tanto la suma de

Riemann es .

da, integrando entre c y x (si hace falta, se remplazan los valores absolutos por una desigualdad doble)

Cálculo Integral 25

y luego

. Observamos que .

Luego

 : desigualdad triangular en integrales, luego (1) da:

.

Con n cualquiera, se vuelve que se multiplica por n porque hay n intervalos.

El error es acotado por un término en lo que es mucho mejor que el del método anterior porque converge hacia cero mucho más de prisa.

Cálculo Integral 26

Áreas equivalentes

El área del trapecio azul es el mismo que el del rectángulo verde y de los rectángulos adyacientes rojos

Método de los trapecios

El método de los trapecios consiste en aproximar la integral por el área total de los trapecios que tocan la curva en los dos vértices que no están sobre el eje horizontal (ver figura azul). La suma es La suma es

.

Tres interpretaciones del área obtenida por el método de los trapecios

A primera vista (ver figura azul) no corresponde a una suma de Riemann; sin embargo como todo trapecio tiene la misma área que un rectángulo de misma base, esta suma corresponde a la figura verde, donde los puntos de cálculo de la función son abscisas de puntos de intersección de la curva con los lados horizontales de los rectángulos verdes (por ejemplo el punto A); estos puntos siempre existen, en cada intervalo [xk-1, xk], por el teorema de los valores

intermedios: , que es la altura del rectángulo, es un valor

alcanzado por f porque pertenece al intervalo . Para estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente roja. El área total (color rosado) está compuesta por:

Cálculo Integral 27

* dos rectángulos de media anchura, el error es acotado como en el

caso de un intervalo de longitud en el método de los rectángulos (punto de cálculo en un extremo del intervalo), es decir por

   y

* n - 1 rectángulos de anchura con puntos de cálculo centrales (como el punto B de la figura) luego el error es acotado por

Luego el error total es inferior o igual a

; por tanto es acotado por un término

en .Sin embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de M1:

, es decir que el error máximo es exactamente el doble del error máximo cometido en el método de los puntos medios. A pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los puntos medios de no obligar a calcular otros valores de la función salvo los

que a menudo ya se han calculado previamente a la estimación de la integral.

Cálculo Integral 28

1.4Definición de Integral Definida

Integral definida

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Teoría

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

Cálculo Integral 29

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Notación

Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se

confundía fácilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.2 3 Para indicar summa (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822.4 5 En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral

invertido .6

Terminología y notación

Los chelos también poseen el símbolo de la Integral

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen,

Cálculo Integral 30

una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee.

Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.

Conceptos y aplicaciones

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Cálculo Integral 31

Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).

Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1, suponiendo que f(x) = √x. La pregunta es:

¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?

Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será

.

Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √1⁄5, √2⁄5, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

Cálculo Integral 32

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x) = 2⁄3x

3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo

Cálculo Integral 33

reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.

1.5Teorema de Existencia

En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguage matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O.

Una controversia que data del temprano siglo XX concierne el tema de teoremas de existencia puros, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta (ver demostración no constructiva). El punto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran alcance, mayor que el del análisis numérico.

Teorema Existencia Integrales Definidas

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:

El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

Cálculo Integral 34

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta. Para una primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hipótesis de nuestro teorema.

La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente: Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.

El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más pequeño que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de error.

3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES

Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de funciones. Aquí el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la familia de funciones exponenciales que estudiamos, también con dominio en todos los números reales y fácilmente integrables, se caracteriza por su monotonía. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuación general

en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [−0.5 , 0.5], lo que hace que la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse de una función constante el teorema carece de interés.

En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos según los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido.

Cálculo Integral 35

El control k permite variar la función exponencial considerada. Los controles a y b representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes estudiar diferentes intervalos en cada función que representes

1.6 Propiedades de la Integral Definida

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los l ímites de integración.

2. Si los l ímites que integración coinciden, la integral definida vale cero .

3. Si c es un punto inter ior del intervalo [a, b] , la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b] .

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Regla de Barrow

La regla de Barrow d ice que la integral def in ida de una función cont inua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a

Cálculo Integral 36

la di ferencia entre los valores que toma una función pr imit iva G(x) de f (x) , en los extremos de dicho intervalo.

Teorema fundamental del cálculo

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la der ivación y la integración son operaciones inversas

.

Al integrar una función cont inua y luego der ivar la se recupera la función or ig inal .

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es cont inua en un intervalo cerrado [a, b] , existe un punto c en el inter ior del intervalo tal que:

Ejemplos

Cálculo Integral 37

Cálculo Integral 38

Cálculo Integral 39

Cálculo Integral 40

Cálculo Integral 41

1.7Función primitiva

Integración indefinida (Función primitiva)

El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las infinitas primitivas de ƒ(x) que se pueden obtener variando la constante de integración C.

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

  ó  

Cálculo Integral 42

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Ejemplo

Una primitiva de la función f(x) = cos(x) en es la función F(x) = sin(x) ya que

. Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sen(x), sen(x) + 5, sen(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sen(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

Constante de integración

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F '. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) sea la derivada de otra función F (x) quiere decir que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.

Otras propiedades

Linealidad de la integral indefinida

La primitiva es lineal, es decir:

1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.

Cálculo Integral 43

2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

La linealidad se puede expresar como sigue:

La primitiva de una función impar es siempre par

En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0

En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.

Cálculo de primitivas

Cálculo Integral 44

Integrales inmediatas

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales funciones primitivas:

Función : primitiva de función : derivada de

Cálculo Integral 45

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3

+ k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

1.8Teorema Fundamental del Cálculo

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálclo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Cálculo Integral 46

Intuición geométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

Cálculo Integral 47

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b]

por . Si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables

Ejemplos

Segundo teorema fundamental del cálculo

También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton-Leibniz.

Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función

Cálculo Integral 48

primitiva de f, es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:

Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.

Ejemplos

1.9Calculo de Integrales Definidas

Integral definida

La integral definida se representa por .

∫ es el s igno de integración.

a l ímite infer ior de la integración.

l ímite super ior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x , e indica cuál es la var iable de la función que se integra

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la i ntegral definida cambia de signo si se permutan los l ímites de integración.

2. Si los l ímites que integración coinciden, la integral definida vale cero .

Cálculo Integral 49

3. Si c es un punto inter ior del intervalo [a, b] , la i ntegral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Regla de Barrow

La regla de Barrow d ice que la integral def in ida de una función cont inua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la di ferencia entre los valores que toma una función pr imit iva G(x) de f (x) , en los extremos de dicho intervalo.

Teorema fundamental del cálculo

F'(x) = f(x)

El t eorema fundamental del cálculo nos indica que la der ivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función ccont inua y luego der ivar la se recupera la función or ig inal .

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es cont inua en un intervalo cerrado [a, b] , existe un punto c en el inter ior del intervalo tal que:

Cálculo Integral 50

Ejemplos

Cálculo Integral 51

Cálculo Integral 52

Cálculo Integral 53

1.10 Integrales Impropias

Integral impropia

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.

Introducción

Cálculo Integral 54

Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.

La integral

puede interpretarse como:

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Cálculo Integral 55

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.

Límites infinitos de integración

Las integrales impropias más básicas son integrales como:

Como dijimos anteriormente éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de computar esta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de la función que está siendo integrada es arctan x. La integral es

Asíntotas verticales en los límites de integración

Considera

Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.

Cálculo Integral 56

Uno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior función es

3x1 / 3,

la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor

El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.

Valores principales de Cauchy

Considera la diferencia en los valores de dos límites:

La primera es el valor principal de Cauchy

Similarmente, tenemos

pero

La primera es el valor principal

Todos los límites anteriores son casos de la forma de indeterminación ∞ − ∞.

Cálculo Integral 57

Carácter y valor de las Integrales Impropias

Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:

Primera especie

Son del tipo: ó

Para poder determinar su carácter realizamos la Si existe el

y es finito y en ese caso

Segunda especie

Son del tipo: y que f(x) no esta definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a):

Si el existe y es finito y en este caso

, entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.

Tercera especie

Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.

Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos

Cálculo Integral 58

seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.

Cálculo Integral 59