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CALCULO MECANICO,fisica mecanica, ejemplos dede calculo mecanicos

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Ecuacion de la Flecha, como calcular y obtener resultados, para profesionalesque estudia fisica avanzada, graficos de los clculos

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  • x

    CLCULO MECNICO

    1. ECUACIN DE LA FLECHA

    1.1. Planteamiento de la ecuacin de la flecha

    Un conductor de peso uniforme, sujeto entre dos apoyos por los puntos A y B situados a la

    misma altura, forma una curva llamada catenaria. La distancia f entre el punto ms bajo

    situado en el centro de la curva y la recta AB, que une los apoyos, recibe el nombre de flecha.

    Se llama vano a la distancia "a" entre los dos puntos de amarre A y B.

    Los postes debern soportar las tensiones TA y TB que ejerce el conductor en los puntos de

    amarre. La tensin T = TA = TB depender de la longitud del vano, del peso del conductor, de

    la temperatura y de las condiciones atmosfricas.

    Para vanos de hasta unos 500 metros podemos equipararla forma de la catenaria a la de una

    parbola, lo cual ahorra unos complejos clculos matemticos, obteniendo, sin embargo, una

    exactitud suficiente.

    La catenaria deber emplearse necesariamente en vanos superiores a los 1000 metros de

    longitud, ya que cuanto mayor es el vano, menor es la similitud entre la catenaria y la

    parbola.

    Calculamos a continuacin la relacin que existe entre la flecha y la tensin. Para ello

    representamos el conductor de un vano centrado en unos ejes de coordenadas:

    O

    y

    TB TA

    a

    f

    C

    PL y

    TB TA

    f

    2x

    x

  • Consideramos un trozo de cable OC que tendr un peso propio P aplicado en el punto medio y estar sometido

    a las tensiones TO y TC aplicadas en sus extremos.

    Tomando momentos respecto al punto C tendremos:

    02T

    xPy L

    Por lo tanto el valor de y ser:

    02T

    xPy L

    Si llamamos P al peso unitario del conductor, el peso total del conductor en el tramo OC,

    que hemos llamado PL, ser igual al peso unitario por la longitud del conductor, que

    cometiendo un pequeo error denominaremos x.

    Por lo tanto admitiendo que:

    xPPL

    y sustituyendo esta expresin en la frmula anterior del valor de y resulta:

    0

    2

    2T

    Pxy

    Si ahora consideramos el punto A correspondiente al amarre del cable en vez del punto C,

    tendremos que:

    2

    axfy

    Por lo tanto al sustituir queda:

    0

    2

    8T

    Paf

    Podemos despejar el valor de la tensin TO y tendremos que:

    0

    2

    0

    2

    12

    1

    2

    2

    2

    08

    *4*

    8

    )(*4*

    8

    *4*

    8

    )(*4*

    T

    xP

    T

    xaPffh

    f

    xP

    f

    xaPT

    0

    2

    0

    222

    0

    22

    2

    )2(

    8

    )2(*4

    8

    *4*)(*4*

    T

    axaP

    T

    PxxaxaP

    T

    xPxaPh

    O

    C

  • Pa

    hTa

    Pa

    hTaaxa

    Pa

    hTax

    Pa

    hTxa 0000

    222

    22

    La ecuacin [1 nos relaciona la flecha f en funcin de la tensin TO, del peso unitario del conductor P y de la longitud del vano a.

    Si comparamos esta ecuacin de la parbola con la de la catenaria:

    0

    2

    8T

    Paf

    1

    2cosh

    0

    0

    T

    aP

    P

    Tf

    podemos observar la complejidad de sta, y como demostraremos ms adelante, los resultados

    sern prcticamente iguales.

    Nos interesa trabajar con la tensin TA en lugar de la empleada hasta ahora TO. Observamos

    el tringulo de fuerzas compuesto por TO, TA y PL:

    0

    2

    2T

    Pxy

    y aplicando el Teorema de Pitgoras tenemos:

    220

    2 )2

    (a

    PTTA

    En los casos prcticos que se nos presentan en las lneas areas de alta tensin, el valor del

    ngulo formado por TO y TA es muy pequeo, por lo que podemos asegurar que TO TA, aproximacin que emplearemos en clculos posteriores. Esto equivale a afirmar que la tensin

    a lo largo del conductor es constante.

    Referente a TA, podemos decir que esta tensin no debe sobrepasar nunca el valor de la

    carga de rotura del conductor Q , pues de lo contrario se rompera:

  • SQ

    siendo el coeficiente de resistencia a la traccin del conductor utilizado y S la seccin del mismo.

    Puesto que un conductor no debe trabajar nunca en condiciones prximas a las de rotura, se

    deber admitir un cierto coeficiente de seguridad n tal que:

    n

    Q

    n

    STA

    max

    El Reglamento de Lneas de Alta Tensin admite coeficientes de seguridad mnimos de 2,5

    y en algunos casos obliga que sea del orden de 5 6.

    2. LONGITUD DEL CONDUCTOR

    Dada la flecha que se produce en un vano, la longitud del conductor no es igual a la

    distancia entre los postes. Por lo tanto, para hallar el valor exacto del conductor empleado,

    obtendremos la expresin de la longitud del conductor en un vano, en funcin de la flecha y

    de la distancia entre los postes.

    Tomamos un elemento diferencial de longitud dl, para el que se verifica:

    222 dydxdl

    Podemos multiplicar y dividir por dx2:

    2

    22

    2

    2

    2

    222222 211

    )(dx

    dx

    T

    Pxd

    dxdx

    dy

    dx

    dydxdxdydxdl

    Del apartado anterior sabemos que (T = TO = TA):

    222222

    2 11 2 dxxdldxT

    xPdl

    x

    y

    TP

    y derivando respecto a x podemos obtener el valor de dy/dx:

    T

    xP

    T

    xP

    dx

    dy

    2

    2

  • Por lo tanto al sustituir dx/dy en la expresin de dl2, nos queda:

    dxxdl 21

    ))(1( 2

    Para no arrastrar expresiones llamamos a:

    T

    P

    x

    y

    2

    2

    y la expresin de dl resulta:

    dxdl 21

    ))(1( 2

    Para resolver el corchete empleamos la frmula del binomio de Newton:

    ...!2

    )1(

    !11)1( 42

    121

    221

    2 21

    xxx

    La longitud del conductor en la mitad del vano se obtiene integrando dl desde 0 hasta x:

    xx

    dxxdllongitud0

    22

    0

    21

    )1(

    x

    dxxxlongitud0

    448122

    21 ..1

    x

    dxxxLlongitud0

    448122

    21 ..1

    Integrando cada sumando resulta:

    ..5440132

    61 xxxlongitud

    Sustituyendo por su valor (2

    2

    x

    y ) queda:

    3

    425

    4

    24013

    2

    261

    5

    2

    3

    2..

    22

    x

    y

    x

    yxx

    x

    yx

    x

    yxl

    Como x = a / 2 y la flecha es y = f queda:

  • La longitud del conductor en la totalidad del vano ser el doble que en la mitad, por lo tanto L

    = 2 l, es decir:

    2__*2

    axvanomediolongitudlongitud

    222

    8

    )2/(

    22

    2 a

    f

    a

    f

    x

    yflechay

    ax

    ..

    222*2

    5

    4

    401

    3

    2

    61

    aaalongitud

    ..2

    8*2

    2

    8*2

    542

    2401

    322

    261

    a

    a

    fa

    a

    falongitud

    Para vanos normales, slo se emplean los dos primeros trminos, pues la aproximacin es

    ms que suficiente:

    ..5

    32

    3

    84

    3

    2

    a

    f

    a

    falongitud

    Teniendo en cuenta la ecuacin de la flecha:

    2

    3222

    2483

    8

    T

    aPaL

    T

    Paf

    a

    falongitud

    la longitud total del conductor queda:

  • 232

    24T

    aPaL

    3. ACCIONES SOBRE LOS CONDUCTORES

    Para efectuar el clculo mecnico de un conductor es fundamental conocer cules son las

    fuerzas que actan sobre el mismo. En principio, se puede pensar que la nica fuerza que

    acta sobre el conductor es la fuerza de tensado, pero es necesario tener presente que sta es

    la consecuencia equilibradora de las dems acciones, ya que, si el conductor estuviera en el

    suelo, la tensin para mantenerlo recto sera nula.

    De esta forma se ve que es el peso de un conductor el que crea la tensin a la que est

    sometido. As pues, el primer dato que debe considerarse es su propio peso, pero adems

    existirn acciones importantes debidas a las inclemencias atmosfricas (hielo, fro, calor o

    viento).

    El Reglamento de Lneas Elctricas de Alta Tensin, divide el estudio de las acciones sobre

    los conductores en tres zonas segn la altitud.

    ZONA A 0 a 499 m. de altitud

    ZONA B 500 a 1000 m. de altitud

    ZONA C Ms de 1000 m. de altitud

    3.1. Accin del peso propio

    Como hemos admitido en apartados anteriores, la curva que forma el conductor es una

    parbola y la ecuacin que relaciona la flecha con la tensin es:

    T

    Paf

    8

    2

    La longitud del conductor es

    2

    3

    8

    a

    faL

    Al sustituir el valor de la flecha f en la longitud total L resulta:

    2

    32

    24T

    aPaL

  • En esta frmula vemos la relacin existente entre el peso unitario por unidad de longitud y

    la tensin a la que est sometido.

    3.2. Accin del viento

    Se puede decir que la fuerza ejercida por el viento sobre un cuerpo es directamente

    proporcional al cuadrado de la velocidad del viento y a la superficie expuesta. La constante K

    depende de la forma geomtrica y de la posicin relativa del obstculo respecto a la direccin

    del viento.

    SkvF 2

    siendo:

    * F: Fuerza total ejercida sobre el cuerpo (kg): direccin v.

    * k: Constante.

    * v: Velocid