CONTENIDO

QUE ECUACION QIE VINCULAN LAS TRIGONOMETRICAS TIENEN IMPORTANCIA?2CREACIN DE LA REGLA DE HOPITAL4EJEMPLOS5Aplicacin sencilla5Aplicacin consecutiva5CONTROVERSIA DE LA REGLA DE HOPITAL5TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO DIFERENCIAL7Demostracin8EJEMPLOS9MOTIVACIN DE PROBLEMAS DE RECTAS TANGENTES10EJEMPLOS DEL TEOREMA (SI F ES UNA FUNCION DERIVABLE EN EL PUNTO A ENTONCES F ES CONTINUA EN A)11DE 1600 A 170014CUALES ERAN LOS TIPOS DE MONEDA?14BERNOULLI15

QUE ECUACION QIE VINCULAN LAS TRIGONOMETRICAS TIENEN IMPORTANCIA?Aplicacin en la vida diaria de funciones de trigonomtricasFsica: permite resolver un montn de problemas de mecnica clsica, es til en el pasaje de coordenadas polares. La fsica se aplica a la vida cotidiana, ejemplos especficos, ac estn: medir la altura de un rbol en base a su sombra.Juegos: En la construccin de juegos para consolas o computadoras, todo lo que se representa geomtricamente en pantalla se hace utilizando mucha trigonometra, para simular procesos naturales o fsicos.Juegos de Mesa: El pool tiene una gran aplicacin de trigonometra. En general en el choque de partculas, las direcciones y los ngulos de choque son muy importantes para determinar el movimiento posterior.Geografa: El clculo de distancias en un mapa, donde estamos hablando de paralelos y meridianos que no son ni mas ni menos que lneas en una circunferencia nos puede ayudar el clculo de su longitud.Electricidad/Electrnica: Muchas seales de aparatos elctricos, tienen usan funciones trigonomtricas para ser modeladas, las series de Fourier permiten casi definir cualquier seal como suma ponderada de senos y cosenos.Construccin: Para el diseo de planos, calculo de resistencia de materiales, tratamos con modelos geomtricos, en los cuales las funciones trigonomtricas son de gran ayuda.Aplicaciones CAD y Dibujo: las Curvas, Elipse, Crculos utilizan en su formulacin funciones trigonomtricas.Astronoma: Muy utilizada, para calcular orbitas de los planetas.Aunque no seas un fsico, astrnomo, o ingeniero, muchsimas cosas de las que te rodean se modelan matemticamente y la trigonometra es una de las ramas de la matemtica ms utilizada porque tendemos a simplificar los modelos matemticos a casos de geomtricos simples en los cuales se utiliza la trigonometra para el clculo de ciertas variables.Aplicaciones de las funciones realesGeneralmente se hace uso de las funciones reales, (an cuando el ser humanonose da cuenta),en el manejo de cifras numricas en correspondencia con otra,debido a que se est usando subconjuntos de los nmeros reales. Las funciones son de mucho valor yutilidadpara resolver problemas de la vida diaria, problemas definanzas, deeconoma, deestadstica, deingeniera, demedicina, dequmicayfsica, deastronoma, degeologa, y de cualquier rea social donde haya que relacionar variables.

Cuando se va almercadoo a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos oproductosalimenticios, con elcostoen pesos para as saber cunto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuacin de funcin "x" como elprecioy la cantidad deproductocomo "y".Funcin Afn

Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economa (uso de laofertay lademanda) los ecnomos se basan en la linealidad de esta funcin y lasleyesde la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier anlisis econmico. Por ejemplo, si unconsumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artculo est disponible. Una relacin que especifique la cantidad de un artculo determinado que los consumidores estn dispuestos a comprar, a varios niveles deprecios, se denominaleyde demanda. La ley ms simple es una relacin del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artculo y m y b son constantes.Muchas son las aplicaciones de la funcin lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso deecuacioneslineales para el entendimiento de ciertos fenmenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicolgico de Stenberg, sobre recuperacin deinformacin. Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son nmeros reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su grfica es una recta.Dada la ecuacin y=mx+b: Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la funcin constante, cuya grfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuacin tiene por grfica una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).Funcin Cuadrtica

El estudio de las funciones cuadrticas resulta deintersno slo enmatemticasino tambin en fsica y en otras reas delconocimientocomo por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada alaire, la trayectoria que describe un ro al caer desde lo alto de una montaa, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto altiempotranscurrido, cuando una partcula es lanzada con unavelocidadinicial.Puede ser aplicada en la ingeniera civil, para resolver problemas especficos tomando como punto de apoyo la ecuacin de segundo grado, en la construccinde puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.Los bilogos utilizan las funciones cuadrticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos.Existen fenmenos fsicos que elhombrea travs de lahistoriaha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus clculos la ecuacin cuadrtica. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partcula lanzada verticalmente hacia arriba desde elsueloest dada por S= V0t - gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partcula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.La funcin cuadrtica responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su grfica es una curva llamada parbola cuyas caractersticas son: Si a es mayor a 0 es cncava y admite un mnimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un mximo. Vrtice: Puntos de la curva donde la funcin alcanza el mximo o el mnimo. Eje de simetra: x = xv. interseccin con el eje y. Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuacin de segundo grado.Funcin Logartmica

La geologa comocienciarequiere del planteamiento de ecuaciones logartmicas para elclculode la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto est definida como R= Log (A/A0) en laescalade Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismgrafo estndar, que est a 100 kilmetros del epicentro del terremoto).Los astrnomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos clculos decarcterlogartmico. La ecuacin logartmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.En la fsica la funcin logartmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el clculo delvolumen"L" en decibeles de un slido, para el cual se emplea la siguiente ecuacin L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad delsonido(la energa cayendo en una unidad de rea por segundo), I0 es la intensidad de sonido ms baja que elodohumano puede or (llamado umbral auditivo). Una conversacin en voz alta tiene unruidode fondo de 65 decibeles.El logaritmo en base b de un nmero a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a.

Logb a = N si bN = a

Notacin logartmica Notacin exponencial

CREACIN DE LA REGLA DE HOPITALEsta regla recibe su nombre en honor almatemticofrancsdelsiglo XVIIGuillaume Franois Antoine, marqus de l'Hpital(1661-1704), quien dio a conocer la regla en su obraAnalyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes(1696), el primer texto que se ha escrito sobreclculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe aJohann Bernoulli, que fue quien la desarroll y demostr.Laregla de L'Hpitales una consecuencia delTeorema del valor medio de Cauchyque se da slo en el caso de las indeterminaciones del tipoo.234Seanfygdosfuncionescontinuasdefinidas en elintervalo[a,b],derivablesen (a,b) y seacperteneciente a (a,b) tal quef(c)=g(c)=0yg'(x)0 sixc.Si existe el lmiteLdef'/g'enc, entonces existe el lmite def/g(enc) y es igual aL. Por lo tanto,

EJEMPLOSLa regla de l'Hpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numrico al llevar al lmite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originalesf(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendr:f'(x)/g'(x).Aplicacin sencilla

Aplicacin consecutivaMientras la funcin seanveces continua y derivable, la regla puede aplicarsenveces:

CONTROVERSIA DE LA REGLA DE HOPITAL

Dos personajes, dos matematicos: Johann Bernoulli y Guillaume De LHospital; dos tierras, Suiza y Francia; una misma epoca de la Matematica, la llamada La Edad dorada del cero pequeo, Edad en que el Axioma de Arquimedes pareciera permanecer suspendido en el tiempo; un resultado en particular, La Regla de LHospital; una amarga controversia sobre su verdadero creador y un dictamen historico y academico que tardo casi tres siglos en dar su veredicto.Al recibir Johann Bernoulli un ejemplar de la obra Analyse des infiniment petits pour Lntelligence des lignes courbes enviada por su autor, le agradece el haberlo mencionado en su obra prometiendole devolver el cumplido en su proxima publicacion; ademas, de resaltar lo adecuadamente realizada que esta y alabar la disposicion de los enunciados y las proposiciones en una inteligente presentacion. Por otra parte, Bernoulli, en una carta dirigida a Leibniz en 1698, se lamenta con honda amargura y desesperacion, de que el marques DE LHospital haya plagiado tan descaradamente sus descubrimientos. Hara lo mismo en otra misiva dirigida a Brook Taylor poco despues de la muerte del marques Varignon, uno de los mejores amigos de Bernoulli, quien preparo un comentario sobre esta controversial obra de LHospital, pero muy oscurantistas causas hicieron que no se publicara hasta 1725. Esta triste controversia sobre la honestidad del autor permanecio sepultada en el curso de los aos y rodeada de una envolvente misteriosa y asfixiante. En 1704 con la muerte del marques, y considerandose honestamente libre, Bernoulli realizo una serie de declaraciones publicas de sus numerosos resultados, y en particular el de La Regla De LHospital. Desde esos momentos parte del ambito matematico interesado en esta clase de dilemas, estuvo filosofando sobre la supuesta dependencia etica-academica entre LHospital y Bernoulli, valorando la grandeza matematica incuestionable de Bernoulli frente a la impecable reputacion personal del marques. El tiempo fue el peor enemigo de Bernoulli, y solamente hasta muchos aos despues, en el s.XX, en 1922 al aparecer un manuscrito de el sobre el Calculo Diferencial, fechado entre 1691 y 1692 y otro sobre el Calculo Integral titulado Opera, este ultimo publicado en vida del autor en 1742, muy pocos aos antes de su muerte y ya muy envejecido, es cuando comienzan a despejarse las agobiantes dudas. As, se inician las comparaciones de estos manuscritos de Bernoulli con la obra de LHospital, revelando al mundo de la ciencia Matematica una considerable interseccion que no poda pasar desapercibida a ninguna mirada y mucho menos a la del mundo matematico. Pero la aclaracion mas imperiosa se realizo en 1955, cuando fueron publicadas las primeras correspondencias de Bernoulli y LHospital. Entonces es descubierto un trato entre ellos, el marques y el joven tutor, realizado en Marzo 17 de 1694. Yo le dare con placer a Ud. una pension de 300 libras, la cual comienza desde el 0l de Enero del presente ao, y le mandare 200 libras para la primera parte del ao, por las revistas que Ud. ha mandado, y le dare otras 150 libras por la otra parte del ao y as en el futuro. Le prometo incrementar estas pensiones pronto, pues reconozco que son moderadas, y lo hare tan pronto como mis negocios sean menos confusos. . . Yo no soy tan irrazonable como para pretender de Ud. todo su tiempo, pero s pretendo que de el me de ocasionalmente algunas horas para trabajar en lo que le pregunte, y tambien, para que me comunique sus descubrimientos, con la condicion de no nombrarlos a otros. Tambien le digo que no enve ni a Varignon ni a otros copias de estas notas, pues no me agradara. Enveme su respuesta a todo esto y creame: Monsieur tout a vous La respuesta de Bernoulli a esta carta-proposicion no ha sido aun hallada, lo que es casi obvio, aunque de una carta suya del 22-07-1694 se deduce que el habra aceptado la propuesta.Pero tambien, lo desagradable e irritante que le resulto, la impotencia que embargaba su ser en la pobreza, recien casado y sin trabajo, y las para el deslumbrantes cantidades ofrecidas despues de los viajes a las diferentes mansiones del marques, todo esto contribuyo a sumirlo en un silencio abrumador. Para bien del joven tutor, varias cartas de Bernoulli dirigidas a LHospital, con claras transcripciones de las preguntas que este ultimo le diriga a fin de que Bernoulli se las contestara dentro del compromiso, fechadas el 22-07-1694 contienen la Regla De LHospital para 0/0, y por coincidencia, es casi similar a la hallada en la obra del marques, ademas, los ejemplos proporcionados por LHospital son tambien variaciones muy pequeas de los creados por Bernoulli. Aparece tambien una misiva de LHospital dirigida a Bernoulli que data de 1695, donde le seala que esta trabajando sobre las conicas y un pequeo tratado de Calculo Diferencial, ademas de subrayar su intencion de hacer justicia a su maestro Johann Bernoulli. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO DIFERENCIALElteorema fundamental del clculoconsiste (intuitivamente) en la afirmacin de que laderivacineintegracinde unafuncinson operaciones inversas. Esto significa que toda funcin acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un nmero finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de lasmatemticasdenominadaanlisis matemticoo clculo.El teorema es fundamental porque hasta entonces el clculo aproximado de reas -integrales- en el que se vena trabajando desdeArqumedes, era una rama de las matemticas que se segua por separado al clculo diferencial que se vena desarrollando porIsaac Newton,Isaac BarrowyGottfried Leibnizen elsiglo XVIIIy dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiarreasyvolmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "rea bajo una funcin" estaba ntimamente vinculado al clculo diferencial, resultando la integracin, la operacin inversa a la derivacin.Una consecuencia directa de este teorema es laregla de Barrow, denominada en ocasionessegundo teorema fundamental del clculo, y que permite calcular la integral de una funcin utilizando laintegral indefinidade la funcin al ser integrada.Dada unafuncinfintegrable sobre elintervalo, definimosFsobrepor. Sifescontinuaen, entoncesFesderivableenyF'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del clculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una funcin integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.DemostracinLemaSeaintegrable sobrey

Entonces

Demostracin del lemaEst claro quepara toda particin . Puesto que, la desigualdad se sigue inmediatamente.DemostracinPor definicin se tiene que.Sea h>0. Entonces.Se defineycomo:,

Aplicando el 'lema' se observa que.Por lo tanto,

Sea. Sean,.

Aplicando el 'lema' se observa que.Como,entonces,.Puesto que, se tiene que.Y comoes continua encse tiene que,y esto lleva a que.EJEMPLOS

MOTIVACIN DE PROBLEMAS DE RECTAS TANGENTESEcuaciones diferenciales en el mundo fsico. Integracin elemental Las ecuaciones diferenciales ordinarias constituyen el objetivo natural del anlisis matemtico y son una disciplina fundamental para analizar, desde la ptica de las Matemticas, fenmenos fsicos, qumicos, biolgicos, econmicos o de ingeniera. El estudio de problemas relacionados con las ecuaciones diferenciales ha motivado la creacin, y posterior desarrollo, de partes muy significativas del Anlisis Matemtico. La obtencin de la ecuacin de la recta tangente a una curva determinada, fue uno de los problemas que se planteaban los matemticos hasta finales del siglo XVII cuando tuvo lugar el nacimiento del clculo diferencial. A partir de los descubrimientos de Newton y Leibniz, el problema de hallar la ecuacin de la recta tangente a cualquier curva pas a ser un problema resuelto, ya que se contaba con una poderosa herramienta para calcularla. Sin embargo surgi tambin el problema inverso que result ser mucho ms difcil de resolver. Se trataba de calcular la curva, conocidas las ecuaciones de las rectas tangentes en cada uno de sus puntos, es decir, lo que en la actualidad se conoce como la resolucin o integracin de una ecuacin diferencial de primer orden. Este problema se generaliz al resolver una ecuacin diferencial de orden n. Los primeros mtodos de resolucin, tales como la separacin de variables o los factores integrantes, surgieron antes de finales del siglo XVII. Durante el siglo XVIII se desarrollaron otros mtodos ms sistemticos, pero pronto fue evidente que eran pocas las ecuaciones que podan resolverse mediante estas reglas. Los matemticos se dieron cuenta de que era intil intentar descubrir nuevos procedimientos para resolver todas las ecuaciones diferenciales y sin embargo s pareca fructfero investigar si una ecuacin diferencial concreta tena solucin, determinar si era nica y analizar algunas de sus propiedades. Este cambio de perspectiva coincidi con la poca del rigor, que comenz a partir del siglo XIX con los trabajos de Cauchy. Por otra parte se desarrollaron mtodos numricos que permiten calcular, con la exactitud deseada, la solucin numrica de una ecuacin diferencial de primer orden, con una condicin inicial fijada, siempre que verifique unas determinadas condiciones de regularidad, y estos mtodos se pueden aplicar a problemas concretos, sin que importe si es o no posible resolver la ecuacin diferencial en trminos de funciones elementales. Pasados dos siglos resulta evidente que no se pueden obtener resultados muy generales, en lo que se refiere a determinar las soluciones de una ecuacin diferencial, excepto para unos pocos tipos muy concretos entre los que estn las ecuaciones diferenciales lineales. Esto ha motivado que los mtodos numricos sigan siendo un elemento indispensable para resolver problemas tcnicos. La finalidad bsica de las ecuaciones diferenciales es analizar el proceso de cambio en el mundo fsico. En el estudio de los fenmenos naturales aparecen las variables relacionadas con los ndices de cambio mediante las leyes generales de la naturaleza que rigen estos fenmenos. Cuando estas relaciones se expresan matemticamente el resultado es, casi siempre, una ecuacin diferencial y por esta razn aparecen de forma constante en problemas cientficos y tcnicos.EJEMPLOS DEL TEOREMA (SI F ES UNA FUNCION DERIVABLE EN EL PUNTO A ENTONCES F ES CONTINUA EN A).-f(x) = x2en x = 0.La funcin es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

En x = 0 la funcin es continua y derivable.

Si f es diferenciable en a, entonces es continua en a.PruebaSupongamos que f es diferenciable en el punto x = a. Entonces sabemos quelimh0f(a+h)-f(a)

hexiste, e igual f'(a).

Por lo tanto,limh0f(a+h)-f(a)=limh0f(a+h)-f(a)

h.h=f'(a).0 = 0. Lmite del producto = producto de los lmites

Esto dalimh0f(a+h)=limh0[f(a+h)-f(a)] + f(a)=0 + f(a) = f(a). Lmite de la suma = suma de los lmites

Si tomamos x = a+h, entonces h = x-a, y el resultado anterior puede escribirse comolimx-a0f(x)=f(a).

En otras palabras,limxaf(x)=f(a),

que significa que f es continua en x = a.

Si g derivable en x0 y k una constante, f(x) = k g(x) es derivable en x0 y f 0 (x0) = k g0 (x0). En efecto, basta aplicar la frmula del producto, f 0 (x0) = 0g(x0) + k g0 (x0) = k g0 (x0). ? La funcin f(x) = x 3 es derivable en cada x IR, por ser producto de funciones derivables. f(x) = x 3 = x 2x = g(x)h(x), y f 0 (x) = (gh) 0 (x) = g 0 (x)h(x) + g(x)h 0 (x) = 2x x + x 2 1 = 3x 2 . En general, f(x) = x n es derivable en IR con f 0 (x) = nxn1 y los polinomios son derivables en IR. ? f(x) = x 21 x , cociente de derivables, es derivable en su dominio y f 0 (x) = (2x)(x)(x 21)(1) x2 = x 2+1 x2 .

La funcin f(x) = e x 2 , continua y derivable en IR, presenta un maximo local en 0, pues su derivada f 0 (x) = e x 2 (2x) es positiva si x < 0 y negativa si x > 0.

DE 1600 A 1700 CUALES ERAN LOS TIPOS DE MONEDA?Con Francisco I (1515-1547), Francia tuvo un verdadero soberano renacentista, que amaba el arte y la literatura y se rodeaba de artistas y de hombres de cultura. El rey consigui animar el comercio interior, apoyar el nacimiento de nuevas actividades y adecuar la produccin monetaria a las nuevas y cada vez ms urgentes exigencias de una buena divisa. Precisamente en aquellos aos, la enorme circulacin de metales preciosos procedentes del Nuevo Mundo cre una gran inflacin, que muy pronto llev a una vertiginosa intensificacin de las actividades de los falsificadores. Esto no impidi que durante el reinado de Francisco I la produccin monetal conociera un momento de particular pujanza: recordemos la reforma financiera de 1540, el gran impulso dado al testn, producido al principio con un ttulo elevadsimo, 958/000 (a partir de 1521 descendi a 899/000), con un peso de 9,59 g y con una variedad de retratos y una aceptacin verdaderamente dignos de una gran potencia econmica, adems de poltica y militar. El estilo no es en verdad digno de los grandes artistas que frecuentaron la corte y residieron cerca del rey (Leonardo da Vinci, Benvenuto Cellini), pero las monedas de este perodo revelan de todos modos un particular cuidado, como demuestra la reforma de 1540: considerando poco claro y legible el sistema de lospuntos secretos(que por lo dems continuaron siendo utilizados), se decidi que cada taller estuviera caracterizado por una letra en el exergo, sistema que se ha mantenido hasta nuestros das (por ejemplo, la letra de la ciudad de Pars es laA, la que designa Burdeos es laK, laMcorresponde a Toulouse, y Estrasburgo viene caracterizado por dosBextraamente ligadas). Otra disposicin prevista por la reforma era que todas las pruebas deban efectuarse en Pars, en la Chambre des Monnaies. El sistema de Francisco I comprenda escudos y medios escudos de oro (que en el reverso presentan una cruz acompaada de coronas o de grandesF), testones,docinas,sextinas,liards(de aleacinblanca),dobles tornesesytorneses(de aleacinnegra). Entre las novedades, ladecinay las piezasde la crucecitaode la cruz blanca. El smbolo de este soberano era la salamandra, que aparece en sus monedas.La acuacin mecanizadaEn tiempo de Enrique II (1547-1559), y ms concretamente a partir de 1551, se introdujo en Pars un nuevo sistema de acuacin mecanizado, con la utilizacin de un laminador (mquina que reduce el metal a una lmina uniforme), de una cortadora para obtener piezas regulares y de una prensa de tornillo para conseguir una acuacin ms precisa y bien centrada. El taller se situ a orillas del Sena (donde hoy se encuentra la plaza Dauphine), a fin de aprovechar la fuerza motriz de la corriente. Los resultados fueron muy positivos: las monedas de Enrique se cuentan entre las ms hermosas de finales del siglo XVI, y su factura es Inmejorable. Entre las innovaciones de estos aos, cabe recordar la introduccin del canto trabajado, expediente muy til para hacer desistir de la prctica del esquileo. En 1600 elmolinode las monedas se traslad al Louvre, donde unos grabadores de indudable competencia y notable vala se dedicaron con denuedo a la produccin de monedas y medallas para la familia Borbn. En 1640 Luis XIII (1610-1643) introdujo elluisde oro (moneda de unos 6,75 g) y elluisde plata o escudo blanco (equivalente a 60 sueldos), con sus submltiplos de 30,15 y 5 sueldos. Slo con el Rey Sol, Luis XIV (1643-1715), se trat de uniformizar seriamente las monedas francesas: coexistan en efecto producciones basadas en diversos sistemas, y fuera de Pars las monedas an se acuaban a mano.

En 1648 se orden la supresin de las antiguas monedas (aunque slo en 1752 desaparecieron efectivamente las antiguas piezas), y en 1653 apareci un tipo, elliriode oro, de 7 libras, y el de plata, de 20 sueldos, con sus submltiplos. El Rey Sol llev a cabo cuatro reformas monetarias, que apuntaban a obtener beneficios del lanzamiento al mercado de piezas nuevas, reacuadas sobre las viejas ya retiradas de la circulacin. Es hermosa la produccin de Luis XV (1715-1774), muy cuidada y refinada, con una atencin acaso excesiva al lujo y a las apariencias, que costara cara a su sucesor, Luis XVI (1774-1792), guillotinado en 1793: nos hallamos ya en puertas de la Revolucin francesa, con los profundos cambios que determin, como se pondr de manifiesto en la posterior produccin numismtica.

BERNOULLI Daniel Bernoulli provena de lasaga familiar de Bernoulli, que gener grandes avances matemticos a lo largo de la historia. Era hijo deJohann Bernoulliy naci enGroninga,Pases Bajos, donde su padre era entonces profesor de matemticas. En 1705, su padre obtiene una plaza en la Universidad deBasileay la familia regresa a la ciudad suiza de donde era originaria.Por deseo de su padre estudiMedicinaen laUniversidad de Basilea, mientras que a la vez, en su casa, su hermano mayor Nicolau y su padre ampliaban sus conocimientos matemticos. Daniel finaliz los estudios de Medicina en 1721. En principio intent entrar como profesor en la Universidad de Basilea, pero fue rechazado.En 1723, gan la competicin anual que patrocinaba laAcademia de Cienciasfrancesa. Ese mismo ao, el matemtico prusianoChristian Goldbach, despus de quedar impresionado por el nivel matemtico de Bernoulli, decide publicar la correspondencia que haban mantenido. En 1724, las cartas publicadas se haban extendido por todo el mundo, yCatalina I de Rusiale propuso ser profesor de la recin fundada Academia de Ciencias deSan Petersburgo. Su padre logr que la oferta se ampliara tambin a su hermanoNicolau, que morira detuberculosisen San Petersburgo en 1726. En la Academia, Daniel trabaj en la ctedra deFsica. Permaneci ocho aos enSan Petersburgoy su labor fue muy reconocida. Durante ese tiempo comparti vivienda con el tambin gran matemticoLeonhard Euler, que haba llegado a la Academia recomendado por el propio Daniel y al que ya conoca por ser un aventajado alumno de su padre en la Universidad de Basilea.En el ao 1732, vuelve a Basilea, donde haba ganado un puesto de profesor en los departamentos deBotnicayAnatoma. En 1738 public su obraHydrodynamica, en la que expone lo que ms tarde sera conocido como elPrincipio de Bernoulli, que describe el comportamiento de un fluido al moverse a lo largo de un conducto cerrado. Daniel tambin hizo importantes contribuciones a lateora de probabilidades.Es notorio que mantuvo una mala relacin con su padre a partir de 1734, ao en el que ambos compartieron el premio anual de la Academia de Ciencias de Pars. Johann lleg a expulsarlo de su casa y tambin public un libroHydraulicaen el que trat de atribuirse los descubrimientos de su hijo en esta materia.En 1750 la Universidad de Basilea le concedi, sin necesidad de concurso, la ctedra que haba ocupado su padre. Public 86 trabajos y gan 10 premios de la Academia de Ciencias de Pars, slo superado por Euler que gan 12.Daniel Bernoulli fue elegido miembro de laRoyal Societyel 3 de mayo de 1750.Al final de sus das orden construir una pensin para refugio de estudiantes sin recursos. Muri de un paro cardiorrespiratorio.

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