Cálculo variacional

FORMULACION DEL PROBLEMA DEL CALCULO VARIACIONAL.UN POCO DE HISTORIA.

LA CATENARIABRAQUISTOCRONA

PRINCIPIO DE ACCION MINIMADE EULER A NUESTROS DIAS

REFERENCIAS

CALCULO VARIACIONAL, 20x20 ANOS NO ESNADA.

Cristina [email protected]

Facultad de Matematica, Astronomıa y Fısica - CIEM (CONICET)Universidad Nacional de Cordoba, Cordoba, Argentina

SEMINARIO DE MATEMATICA APLICADAEPISODIO II, El rescate del Calculo variacional

por la Princesa LEIA ORGANA

Cristina Turner CALCULO VARIACIONAL, 20x20 ANOS NO ES NADA.




REFERENCIAS

1 FORMULACION DEL PROBLEMA DEL CALCULO VARIACIONAL.

2 UN POCO DE HISTORIA.

3 LA CATENARIA

4 BRAQUISTOCRONA

5 PRINCIPIO DE ACCION MINIMA

5 DE EULER A NUESTROS DIAS

6 REFERENCIAS





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Calculo variacional-Formulacion.

Uno de los problemas tıpicos en calculo diferencial es el de encontrarel valor de x para el cual la funcion f (x) alcanza un valor extremo(maximo o mınimo). En el calculo de variaciones el problema esencontrar una funcion f (x) para la cual un funcional J[ f ] alcance unvalor extremo. El funcional J[ f ] esta compuesto por una integral quedepende de x, de la funcion f (x) y algunas de sus derivadas.

J[ f ] =Z b

aF(x, f (x), f ′(x))dx

Donde la funcion f (x) pertenece a algun espacio de funciones y tantoella como sus derivadas pueden tener restricciones. Esta formulaintegral puede ser mas complicada permitiendo a x ser un vector, ypor lo tanto incluyendo derivadas parciales para f .





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CATENARIA

Galileo Galilei 1564-1642





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CATENARIA

GALILEO GALILEI

Galileo Galilei (Pisa, 1564-1642 ), fue un astronomo, filosofo, matematico yfısico que estuvo relacionado estrechamente con la revolucion cientıfica.Eminente hombre del Renacimiento, mostro interes por casi todas las cienciasy artes (musica, literatura, pintura). Su trabajo experimental es consideradocomplementario a los escritos de Francis Bacon en el establecimiento delmoderno metodo cientıfico y su carrera cientıfica es complementaria a la deJohannes Kepler. Su trabajo se considera una ruptura de las asentadas ideasaristotelicas y su enfrentamiento con la Iglesia Catolica Romana sueletomarse como el mejor ejemplo de conflicto entre la autoridad y la libertad depensamiento en la sociedad occidental.





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GALILEO GALILEI 1564-1642

La curva formada por una cadena uniforme que cuelga libremente sellama Catenaria (del latın catena cadena).





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CATENARIA

En tanto que Galileo penso que la catenaria era una parabola,Huygens, a quien la curva debe su nombre, mostro que es una curvano algebraica, es decir, no hay una ecuacion sencilla que larepresente. La palabra deriva del latın catenarus (propio de lacadena). En matematicas se denomina catenaria a la curva queadopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, conmasa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendidapor sus extremos y sometida a la accion de un campo gravitatoriouniforme. . Los primeros matematicos que abordaron el problemasupusieron que la curva era una parabola. Huygens, demostro que nolo era, pero no encontro la ecuacion de la catenaria. La ecuacion fueobtenida por Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoullien 1691, en respuesta al desafıo planteado por Jakob Bernoulli.





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Johann Bernoulli 1667-1748, hermano de Jakob, padre deDaniel





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BERNOULLI-L’HOPITAL-LEIBNIZ-NEWTON

Braquistocrona

La braquistocronaJohann Bernoulli, en la Actas de Leipzig, propuso el siguienteproblema:Dados dos puntos A y B situados en un plano vertical, entre todas lascurvas situadas en el plano vertical, que unen los puntos A y B,determinar la que es recorrida en el menor tiempo posible por unpunto movil M, de masa puntual, sometido a la accion de la gravedad.





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Braquistocrona





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Cicloide

No se trataba de un enigma nuevo. Ya en 1638, Galileo habıapresentado como solucion a la curva descripta por un arco decircunferencia. En 1696 se obtuvo la respuesta: fue la curva cicloide,que se obtiene de observar las posiciones de un punto fijo en unacircunferencia que rueda sin deslizar en un plano horizontal.





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Cicloide

En efecto, cinco matematicos respondieron al problema. Ellos fueron:el propio Johann Bernoulli, su hermano Jacob, de L’Hopital y Leibniz.La quinta respuesta era anonima y estaba escrita en latın, era IsaacNewton. De hecho, Bernoulli y Leibniz habıan concebido todo eldesafıo tan solo para llamar la atencion de Newton, ya que suresolucion requerıa del calculo diferencial, cuya prioridad de invencionse encontraba en disputa entre Leibniz y Newton.





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Cicloide

x = R(θ− sin(θ))

x = R(1− cos(θ))





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Mecanica Analıtica!!

Entre 1772 y 1788, Joseph Lagrange re-formulo la mecanica clasicade Isaac Newton para simplificar formulas y facilitar los calculos. Estamecanica se llama mecanica Lagrangiana o mecanica analıtica. Enlugar de seguir el movimiento de cada parte individual de un sistemamaterial, como D’Alembert y Euler habıan hecho, mostro que, sideterminamos su configuracion por un numero suficiente de variablescuyo numero es igual que los grados de libertad que posee el sistema,entonces pueden expresarse las energıas cineticas y potenciales delsistema en funcion de esas variables y las ecuaciones diferencialesdel movimiento se deducen por la diferenciacion.





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Mecanica Analıtica.

En la dinamica de un sistema rıgido Lagrange reemplaza laconsideracion del problema particular por la ecuacion general que seescribe ahora normalmente con la formula

ddt

∂T∂θ′− ∂T

∂θ+

∂V∂θ

= 0

T es la energıa Cinetica y V la energıa Potencial.Entre otros resultados se puede mencionar la proposicion de que laenergıa cinetica de un sistema material bajo las restricciones dadases un maximo, y el principio de mınima accion.





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Leonhard Euler 1707-1783





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Leonhard Euler

Leonhard Euler nacio el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murioel 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Fue unrespetado matematico y fısico, y esta considerado como el principalmatematico del siglo XVIII y como uno de los mas grandes de todoslos tiempos. Vivio en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida yrealizo importantes descubrimientos en areas tan diversas como elcalculo o la teorıa de grafos. Tambien introdujo gran parte de lamoderna terminologıa y notacion matematica, particularmente para elarea del analisis matematico, como por ejemplo la nocion de funcionmatematica. Tambien se le conoce por sus trabajos en los campos dela mecanica, optica y astronomıa.





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Joseph Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange (bautizado como Giuseppe LodovicoLagrangia) (25 de enero de 1736 en Turın - 10 de abril de 1813) fue unmatematico, fısico y astronomo italiano que despues vivio en Prusia yFrancia. Lagrange trabajo para Federico II de Prusia, en Berlın,durante veinte anos. Lagrange demostro el teorema del valor medio,desarrollo la mecanica Lagrangiana y tuvo una importantecontribucion en astronomıa.





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Joseph Louis Lagrange 1736-1813





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Carl Gustav Jakob Jacobi

Ecuacion de Hamilton-Jacobi: La ecuacion de Hamilton-Jacobi es unaecuacion diferencial en derivadas parciales usada en mecanicaclasica y mecanica relativista que permite encontrar las ecuaciones deevolucion temporal o de ”movimiento”. La ecuacion deHamilton-Jacobi (EHJ) permite una formulacion alternativa a lamecanica lagrangiana y la mecanica hamiltoniana (y por tanto a lamecanica newtoniana, basada en el intento de integracion directa delas ecuaciones de movimiento). El empleo de la ecuacion deHamilton-Jacobi resulta ventajoso cuando se conoce alguna integralde movimiento.





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La ecuacion de Hamilton-Jacobi

En un sistema mecanico de N grados de libertad, representado por elhamiltoniano H(q, p, t) la forma general de la ecuacion deHamilton-Jacobi es

∂S(q,α, t)∂t

+H(q,∂S(q,α, t)

∂q, t) = 0

donde Nyα son constantes del movimiento, que se determinanmediante las condiciones iniciales. La solucion de esta ecuacion,S(q, t) se denomina funcion principal de Hamilton, y se puedeinterpretar como la accion del sistema. A partir de ella se puedeencontrar completamente la trayectoria del sistema en el espacio defases (q, p).





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La ecuacion de Hamilton-Jacobi

Ademas la formulacion basada en EHJ es la unica formulacion de lamecanica en la que el movimiento de una partıcula y el de una ondase describen en los mismos terminos. Es por esto que la EHJconstitute una meta largamente perseguida de la fısica teorica, desdeJohann Bernoulli en el siglo XVIII busco una analogıa entre lapropagacion de ondas y partıculas. Esta razon fue la que llevo aSchrodinger iut +uxx + |u|2u = 0 a buscar una ecuacion para la”mecanica ondulatoria” o mecanica cuantica generalizando laecuacion de Hamilton-Jacobi. Incluso la primera ecuacion paramecanica cuantica relativista, la ecuacion de Klein-Gordonutt −uxx + sin(u) = 0, se baso en la EHJ relativista en lugar de otrosenfoques alternativos.





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Carl Gustav Jakob Jacobi 1804-1851





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William Rowan Hamilton 1805-1865





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William Rowan Hamilton

Sir William Rowan Hamilton (4 August 1805 – 2 September 1865) wasa physicist, astronomer, and mathematician, who made importantcontributions to classical mechanics, optics, and algebra. His studiesof mechanical and optical systems led him to discover newmathematical concepts and techniques. His greatest contribution isperhaps the reformulation of Newtonian mechanics, now calledHamiltonian mechanics. This work has proven central to the modernstudy of classical field theories such as electromagnetism, and to thedevelopment of quantum mechanics. In mathematics, he is perhapsbest known for his discovery of quaternions.





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Andrien Marie Legendre 1752-1833





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Adrien-Marie Legendre

Adrien-Marie Legendre (Parıs, 18 de septiembre de 1752 - Auteuil,Francia, 10 de enero de 1833), hizo importantes contribuciones a laestadıstica, la teorıa de numeros, el algebra abstracta y el analisismatematico. Gran parte de su trabajo fue perfeccionadoposteriormente por otros: sus trabajos en las raıces de los polinomiosinspiro la teorıa de Galois; los trabajos de Abel en las funcioneselıpticas se construyeron sobre los de Legendre; parte de la obra deGauss sobre estadıstica y teorıa de numeros complementaba la deLegendre. En 1830 dio una prueba del ultimo teorema de Fermat parael exponente n = 5, casi simultaneamente con Dirichlet en 1828. Enteorıa de numeros, conjeturo la ley de la reciprocidad cuadractica,probada posteriormente por Gauss. Tambien realizo trabajos pionerosen la distribucion de los numeros primos, y en la aplicacion delanalisis a la teorıa de numeros. Su conjetura, en 1796, del teorema delos numeros primos fue probada cierta por Hadamard y de laVallee-Poussin en 1898. Legendre realizo una cantidad impresionantede trabajo en las funciones elıpticas, incluyendo la clasificacion de lasintegrales elıpticas, pero se necesito la genialidad de Abel al estudiarlas inversas de las funciones de Jacobi para solucionar el problemacompletamente. Se le conoce por la Transformada de Legendre,utilizada para pasar de la formulacion lagrangiana a la hamiltonianade la mecanica clasica. Tambien se usa en termodinamica paraobtener la entalpıa de las energıas libres de Helmholtz y Gibbspartiendo de la energıa interna.





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Wave diffraction in the manner of Huygens.Huygens–Fresnel principle

The Huygens–Fresnel principle is a method of analysis applied toproblems of wave propagation(both in the far field limit and in near fielddiffraction). It recognizes that each point of an advancing wave front isin fact the center of a fresh disturbance and the source of a new trainof waves; and that the advancing wave as a whole may be regarded asthe sum of all the secondary waves arising from points in the mediumalready traversed. For example, if two rooms are connected by anopen doorway and a sound is produced in a remote corner of one ofthem, a person in the other room will hear the sound as if it originatedat the doorway. As far as the second room is concerned, the vibratingair in the doorway is the source of the sound. Huygens principlefollows formally from the fundamental postulate of quantumelectrodynamics – that wavefunctions of every object propagate overany and all allowed (unobstructed) paths from the source to the givenpoint. It is then the result of interference (addition) of all path integralsthat defines the amplitude and phase of the wavefunction of the objectat this given point, and thus defines the probability of finding the object(say, a photon) at this point.





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Christian Huygens 1629-1695





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Korteweg de Vries

John Scott Rusell, 1834....¨ La observacion precede a la ecuacion¨Ondas dispersivas !!

ut +uux +6uxxx = 0

L =12

wxwt −wx3 +

12

wxx2

con u = wx.





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Clasificacion de datos-Genoma-Tumores, Indice de rechazoa transplantes de corazon

Genoma, Probalidades, Data mining, Ecuaciones Diferenciales,Calculo variacional!!!Dados datos ( los valores de como se expresan los genes enpacientes) como saber que distribucion de densidad de probabilidadtienen?Para poder luego clasificar, agrupar esos datos en conjuntos.Para clasificar tumores, para clasificar ındice de rechazo detransplante de corazon.Martın Cadeiras, Esteban Tabak y Grupo de Analisis Numerico enpleno pensando.





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Kullback S. and Leibler, R. A.

Kullback S. and Leibler, R. A. On information and suffciency, Annals ofMathematical Statistics 22, 79–86, 1951. In probability theory andinformation theory, the Kullback–Leibler divergence (also informationdivergence, information gain, or relative entropy) is a non-commutativemeasure of the difference between two probability distributions P andQ. KL measures the expected number of extra bits required to codesamples from P when using a code based on Q, rather than using acode based on P. Typically P represents the ”true” distribution of data,observations, or a precise calculated theoretical distribution. Themeasure Q typically represents a theory, model, description, orapproximation of P. It is a special case of a broader class ofdivergences called f-divergences. Although it is often intuited as adistance metric, the KL divergence is not a true metric since it is notsymmetric (hence ’divergence’ rather than ’distance’) and does notsatisfy the triangle inequality.

DKL(Q,P) = ∑Q ji log

Q ji

P ji





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Variacion de L

Lρ[φt ] =Z

log(Jφt )+ log(µ(φt)ρdt

∂(Lρ)∂φt

= Jφt (∇µ)

µ−∇ρt) = Jφt ut

ρt +∇(ρtut) = 0





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HAY VIDA EN LA GALAXIA DEL CALCULOVARIACIONAL?

Control y Optimizacion son dos disciplinas que frecuentemente secruzan en las mismas revistas de investigacion junto con otras afinescomo elCalculo de Variaciones, el Diseno Optimo, los ProblemasInversos o la Teorıa de Juegos.





REFERENCIAS

REFERENCIAS

1)Gelfand, I.M. and Fomin, S.V.: Calculus of Variations, Dover Publ.,2000.2)Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations andFunctional Analysis with Optimal.3)Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003,pages 1-98.4)Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, DoverPubl., 1987.5)Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960.6)Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.





REFERENCIAS

REFERENCIAS

7)Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications toPhysics and Engineering, Dover, 1974.8)Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc.,1968.9)Courant, R.: Dirichlet’s principle, conformal mapping and minimalsurfaces. Interscience, 1950.10)Courant, R. and D. Hilbert: Methods of Mathematical Physics, Vol I.Interscience Press, 1953.11)Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962.12)Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. CambridgeUniversity Press, 1998.





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LEIA ORGANA

She is one of the main protagonists of the original Star Wars trilogy. InReturn of the Jedi, it is revealed that she is the twin sister of LukeSkywalker, and thus the daughter of Darth Vader. In the Star Warsprequel films, her mother is identified as Padme Amidala. Her adoptivefather is Bail Organa, the head of Alderaan’s royal family and asupporting character in the prequels; in later Star Wars literature shemarries Han Solo.





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LEIA ORGANA





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EPISODIO III

Y sigue Episodio III, 30 de abril 15 hs a cargo de German Torres......

TANGO: VOLVER, 1934, letra: Alfredo Le Pera, musica: Carlos Gardel

FIN


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