Calculo Vectorial

Elaborado por Marina Salamé S. Página 1 de 32

APUNTE 1

CALCULO VECTORIAL


1.5 Gradiente, Divergencia, Rotacional y Laplaciano en coordenadas

curvilíneas.

En muchos problemas es común usar otras coordenadas además de las cartesianas,

por ejemplo cuando en un problema interviene simetría cilíndrica o esférica. Por esto es

necesario transformar el gradiente, la divergencia y el rotacional en estas nuevas

coordenadas.

1.5.1 Coordenadas curvilíneas generalizadas ortogonales

En muchos problemas es más cómodo determinar la posición de un punto P del espacio

no con tres coordenadas cartesianas (x,y,z) sino que con otros números (u1,u2,u3) que son

mas apropiados para el problema particular examinado.

En general, cualquier terna de familias de superficies puede definir un sistema de

coordenadas:

U1(x,y,z) = u1 U2(x,y,z) = u2 U3(x,y,z) = u3

Estas ecuaciones permiten transformar de coordenadas cartesianas al nuevo sistema.

Despejando x,y,z se realiza el paso inverso.

Supongamos que a cada punto P del espacio le corresponde una terna (u1,u2,u3),

viceversa, a cada terna le corresponde solo un punto P . En este caso las magnitudes

u1,u2,u3 se llaman coordenadas curvilíneas del punto P.

El vector posición se puede obtener a partir de las coordenadas cartesianas:

ˆ ˆ ˆr x x y y z z= + +

1u cte=

2u cte=

3u cte=

1u

2u

3u


En general las coordenadas no son distancias, un incremento infinitesimal de una

coordenada y el desplazamiento correspondiente se relacionan a través de un factor de

escala

i i i i i ii i

r r ˆ ˆ1 h u dl hu u∂ ∂

≠ ⇒ = ⇒ =∂ ∂

du u

expresión que permite obtener los vectores unitarios y sus factores de escala.

Se llaman superficies coordenadas en el sistema de coordenadas curvilíneas u1,u2,u3 las

superficies u1 = c1, u2 = c2, u3= c3

En las superficies coordenadas una de las coordenadas conserva su valor constante.

Si las superficies son ortogonales el sistema será curvilíneo y ortogonal.

1 2 2 3 3 1

1 2 3 2 3 1 3 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ û u 0 u u 0 u u 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ û u u u u u u u u⋅ = ⋅ = ⋅ =

× = × = × = 2

Las líneas de intersección de dos superficies coordenadas se llaman líneas coordenadas

Un desplazamiento infinitesimal se puede describir como:

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2 3 3 3

22 21 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆdl h du u h du u h du u

dl h du h du h du

= + +

= + +

Todos los coeficientes de transformación de los vectores unitarios de un sistema de

coordenadas ortogonal en otro ortogonal se repiten en la transformación inversa en

posición transpuesta.

Se puede definir una matriz de rotación [ ]R que es ortogonal ([ ] [ ]1 TR R− =

Como ejemplo de las coordenadas curvilíneas examinemos las coordenadas cilíndricas y

esféricas.


Coordenadas cilíndricas En coordenadas cilíndricas la posición del punto P

se determina por tres coordenadas: , ,zρ ϕ

coordenadas que deberán variar en los márgenes:

00 2

z

ρϕ π

≤ < +∞⎧⎪ ≤ <⎨⎪−∞ < < +∞⎩

Las superficies coordenadas son: 1) ρ = Constante, cilindros circulares con el eje OZ

2) ϕ = Constante, semiplanos adyacentes al eje OZ

3) z = Constante, planos perpendiculares al el eje OZ

Las líneas coordenadas son:

P z

ρ ϕ

ρ

ϕ

X

Y

Z

z

1) líneas ρ , rayos perpendiculares al eje OZ que tienen su origen en este eje.

2) líneas ϕ , circunferencias con el centro en el eje OZ.

3) líneas z , rectas paralelas al eje OZ.

La relación entre las coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto y sus coordenadas

cilíndricas ( , ,zρ ϕ ) se determinan por las formulas:

x cos

y senz z

ρ ϕ

ρ ϕ

=⎧⎪

=⎨⎪ =⎩


Vectores unitarios y factores de escala:

El vector de posición esta dado por: ˆ ˆ ˆr cos x sen y z zρ ϕ ρ ϕ= + +

Derivando con respecto a , ,zρ ϕ :

( )

r ˆ ˆcos x sen y

r ˆ ˆsen x cos y

r zz

ϕ ϕρ

ρ ϕ ϕϕ

∂= +

∂

∂= − +

∂

∂=

∂

Sus factores de escala son:

zr rh 1 h h

zρ ϕ ρρ ϕ∂ ∂

= = = = = =∂ ∂

r 1∂∂

Sus vectores unitarios son:

z

r

ˆ ˆ ˆcos x sen yh

r

ˆ ˆsen x cos yh

rzˆ ˆz z

h

ρ

ϕ

ρρ ϕ

ϕ ˆ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

∂∂

= = +

∂∂

= = − +

∂∂= =


En forma matricial :

[ ]ˆ xˆ ˆR yˆ ˆz z

ρϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

donde R es una matriz de rotación que es ortogonal.

ˆ ˆcos sen 0 xˆ ˆsen cos 0 yˆ ˆz 0 0 1

ρ ϕ ϕϕ ϕ ϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦z

T

La inversa de R es su traspuesta [ ] [ ]1R R− = entonces :

[ ] 1ˆx

ˆ ˆy Rˆ ˆz z

ρϕ−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ˆx cos sen 0ˆ ˆy sen cos 0ˆ ˆz 0 0 1 z

ϕ ϕ ρϕ ϕ ϕ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Entonces podemos volver a escribir el vector de posición ˆ ˆ ˆr cos x sen y z zρ ϕ ρ ϕ= + +

como:

( ) ( )x yˆ ˆx y

ˆ ˆˆ ˆ ˆr cos cos sen sen sen cos z zρ ϕ ϕ ρ ϕϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕϕ= − + + +

z

multiplicando y simplificando:

ˆ ˆr zρ ρ= +


Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas la posición del punto P

se determina por tres coordenadas: r, ,θ ϕ

coordenadas que deberán variar en los márgenes:

0 r00 2

θ πϕ π

≤ < +∞⎧⎪ ≤ ≤⎨⎪ ≤ <⎩

Las superficies coordenadas son: 1) = constante , esferas con centro en el punto O; r2) θ = constante , semiconos circulares con el eje OZ

3) ϕ = constante , semiplanos adyacentes al eje OZ

Las líneas coordenadas son: 1) líneas r , rayos que parten del punto O.

2) líneas θ , meridianas de la esfera.

3) líneas ϕ , paralelos de la esfera.

θ

r

θ

Z

X

Y

ϕ

z

rϕ

θ


La relación entre las coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto y sus coordenadas

esféricas ( r, ,θ ϕ ) se determinan por las formulas:

x r cos sen

y r sen senz r cos

ϕ θ

ϕ θθ

=⎧⎪

=⎨⎪ =⎩

Vectores unitarios y factores de escala:

El vector de posición esta dado por: ˆ ˆ ˆr r sen cos x r sen sen y r cos zθ ϕ θ ϕ θ= + +

Derivando con respecto a r, ,θ ϕ :

( )

( )

r ˆ ˆ ˆsen cos x sen y cos zr

r ˆ ˆ ˆr cos cos x sen y sen z

r ˆ ˆr sen ( sen x cos y )

θ ϕ ϕ θ

θ ϕ ϕ θθ

θ ϕ ϕϕ

∂= + +

∂

∂= + −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

∂= − +

∂

Sus factores de escala son:

rr r rh 1 h r h r sr θ ϕ enθ

θ ϕ∂ ∂ ∂

= = = = = =∂ ∂ ∂

Sus vectores unitarios son:

( )

( )

r

rrˆ ˆ ˆ ˆr sen cos x sen y cos z

h

rˆ ˆ ˆ ˆcos cos x sen y sen z

h

r

ˆ ˆ ˆsen x cos yh

θ

ϕ

θ ϕ ϕ θ

θθ θ ϕ ϕ θ

ϕϕ ϕ ϕ

∂∂= = + +

∂∂= = + −

∂∂

= = − +


En forma matricial :

[ ]r xˆ ˆR yˆ zθϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

donde R es una matriz de rotación que es ortogonal.

r ˆsen cos sen sen cos xˆ ˆcos cos cos sen sen yˆ ˆsen cos 0 z

θ ϕ θ ϕ θθ θ ϕ θ ϕ θϕ ϕ ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T

La inversa de R es su traspuesta [ ] [ ]1R R− = entonces :

[ ] 1

rxˆy Rˆzθϕ

−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

rx sen cos cos cos senˆy sen sen cos sen cosˆz cos sen 0

θ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ θ ϕ ϕ θ

θ θ ϕ

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Entonces podemos volver a escribir el vector de posición

ˆ ˆ ˆr r sen cos x r sen sen y r cos zθ ϕ θ ϕ= + + θ como:

( )r

ˆ ˆ ˆr r sen cos x sen y cos zθ ϕ ϕ θ= + +⎡ ⎤⎣ ⎦

por lo tanto:

ˆr r r=


1.5.2 Gradiente en coordenadas ortogonales

Curvilíneas 1 21 1 2 2 3 3

U U U1 1 1ˆ Û u uh u h u h u

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ 3u

Cartesianas U U Uˆ ˆ Û x y zx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ hx= hy= hz= 1

Cilíndricas U U1ˆ ˆ Û z

zρ ϕ

ρ ρ ϕ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

U 1

zh h

hρ

ϕ ρ

= =⎧⎪⎨ =⎪⎩

Esféricas U U U1 1ˆˆ Û rr r r sen

θ ϕθ θ

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ϕ

rh 1h rh r senθ

ϕ θ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

1.5.3 Divergencia en coordenadas ortogonales

Curvilíneas 1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 2 3

A h h A h h A h h1Ah h h u u u

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ ⋅ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Cartesianas yx zAA AA

x y z∂∂ ∂

∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂

hx= hy= hz= 1

Cilíndricas zA A A1 1Az

ρ ϕρρ ρ ρ ϕ∂ ∂ ∂

∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂

1

zh h

hρ

ϕ ρ

= =⎧⎪⎨ =⎪⎩

Esféricas 2

r AA senr A1 1 1Ar2 r r sen r sen

ϕθ θθ θ θ

∂∂∂∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ϕ

rh 1h rh r senθ

ϕ∂

θ

⎧ =⎪

=⎪ =⎩

⎨


1.5.4 Rotacional en coordenadas ortogonales Curvilíneas

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆh u h u h u1A

h h h u u uA h A h A h

∂ ∂ ∂∇ × =

∂ ∂ ∂

Cartesianas

y yx xz z

x y z

ˆ ˆ ˆx y zA AA AA Aˆ ˆ Â x y

x y z y z z x x yA A A

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂∇ × = = − + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

z⎞⎟⎠

Cilíndricas

z

ˆ ˆ z1A

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

∂ ∂ ∂∇ × =

∂ ∂ ∂

Esféricas

2

r

ˆˆ ˆr r r sen1A

rr senA r A r sen Aθ ϕ

θ θ ϕ

θ ϕθθ

∂ ∂ ∂∇ × =

∂ ∂ ∂


1.5.5 Laplaciano de un escalar en coordenadas ortogonales

Curvilíneas 2 3 3 1 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

h h h h h hU U1Uh h h u h u u h u u h u

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Δ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

U

Cartesianas 2 2 2

2 2U U Uˆ ˆ Û x yx y z

∂ ∂ ∂Δ = + +

∂ ∂ ∂ 2 z

Cilíndricas

2 2

2 2

2 2

2 2 2

U U1 1Uz

U U1 1z

ρ ρρ ρ ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ρ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂Δ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

U

U

Esféricas

22

2 2

22

2 2 2

U U1 1U r sen senr r senr sen

U U1 1 1r senr rr r sen r sen

θ θθ θ θθ ϕ

θθ θ 2 2

U

Uθ θ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂Δ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂


2. CALCULO INTEGRAL VECTORIAL

2.1 Integrales de línea El concepto de integral de línea es una generalización del concepto de la integral definida.

b

a

f ( x )dx∫

Se integra sobre el eje x de a hasta b y el integrando f es una función definida en todos

los puntos entre a y b. En el caso de una integral de línea se integrara sobre una curva C en el espacio (o en el

plano) y el integrando es una función definida en todos los puntos de C. A la curva C se

le llama la trayectoria de integración.

A la curva C se le llama curva suave si C tiene una representación:

ˆˆ ˆr( t ) x( t ) i y( t ) j z ( t ) k= + + para a t b≤ ≤

Se llama a A: r( el punto inicial y a B: a ) r( b ) el punto terminal de C y se dice que C

esta orientada de A a B siendo la dirección positiva de A a B a lo largo de C. Los puntos

A y B pueden coincidir en este caso se dice que es una curva cerrada.

C

AB

A C

B


Teorema 1: La integral de línea como integral definida

Sea f continua en una región que contiene una curva suave C. Si C está

dado por , para ˆ ˆr( t ) x( t ) i y( t ) j= + a t b≤ ≤ , entonces:

b 2 2, ,

C a

f ( x, y )ds f ( x( t ), y( t )) x ( t ) y ( t ) dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Si C esta dada por ˆˆ ˆr( t ) x( t ) i y( t ) j z( t ) k= + + para a t ,

entonces:

b≤ ≤

b 2 2, , ,

C a

2f ( x, y,z )ds f ( x( t ), y( t ),z( t )) x ( t ) y ( t ) z ( t ) dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ +

Si la trayectoria de integración de C es una curva cerrada, entonces en

lugar de se escribe también C∫

C∫

Ejemplo 1: Calcular la masa de un resorte de densidad ρ(x,y,z) = 2 y y tiene forma de

espiral definida paramétricamente por x = 2cos t, y = t , z = 2 sen t, para

0 t 6π≤ ≤

Solución :

La densidad es ρ(x,y,z) = 2 y = 2 t

2 2, , ,

ds x ( t ) y ( t ) z ( t ) dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

[ ] [ ] [ ]2 2 22 sent 1 2 cos t dt

5 dt

= − + +

=

( )26 6

C 0 0

2

6masa = ( x, y,z ) ds 2 t 5 dt 2 5 t dt 2 5

2

36 5

π π πρ

π

= = =

=

∫ ∫ ∫


Teorema 2: C C

f ( x, y,z ) ds f ( x, y,z ) ds−

=∫ ∫

Ejemplo 2: Evaluar la integral de línea donde C esta dado por: 2

C

2x y ds∫

a) Parte de la parábola y = x2 desde (-1,1) hasta (2,4)

b) Parte de la parábola y = x2 desde (2,4) hasta (-1,1)

Solución :

a) C: x = t, y = t 2, 1 t 2− ≤ ≤ , 2ds 1 4 t dt= +

2

2 4 2

C 1

2x y ds 2t 1 4t dt 45,391−

= + ≈∫ ∫

b) C: x =- t, y = t 2, 2 t 1− ≤ ≤ , 2ds 1 4 t dt= +

1

2 4 2

C 2

2x y ds 2t 1 4t dt 45,391−

= + ≈∫ ∫

Teorema 3: Si C es suave a trozos, con 1 2 3C C C C Cn= ∪ ∪ ∪ ∪…… , donde

son todas suaves, se tiene: 1 2 3 nC ,C ,C , , C……

C C C C1 2 n

f ( x, y,z )ds f ( x, y,z )ds f ( x, y,z )ds f ( x, y,z )ds= + +∫ ∫ ∫ ∫……


Ejemplo 3: Evaluar la integral de línea alrededor del triangulo con vértices (0,0),(1,0) y

(0,1), en sentido antihorario.

Solución :

C1: x = t, y = 0, 0 t 1≤ ≤ , ds 1 0 dt dt= + =

C2: x = 1 - t, y = t, 0 t 1≤ ≤ , ds 1 1 dt 2 dt= + =

C3: x = 0, y = 1 - t, 0 t 1≤ ≤ , ds 1 0 dt dt= + =

Entonces:

( ) ( ) ( )

( ) (

(0,1)

(1,0) (0,0)

y

x C1

C2 C3

)

( )

2 22 2 2 2

C C C C1 2 31 1 1

2 2

0 0 0

2

x y ds t dt 1 t t 2 dt 1 t dt

t dt 2 1 2t 2t dt 1 2t t dt

2 1 23

⎡ ⎤+ = + − + + −⎣ ⎦

= + − + + − +

= +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


Teorema 4: Si f ( x es continua en una región D que contiene la curva C y que C

se describe paramétricamente por

, y,z )

x( t ), y( t ) y z( t ) , para a t ,

donde tienen primeras derivadas continuas.

b≤ ≤

b ,

C a

b ,

C a

b ,

C a

f ( x, y,z )dx f ( x( t ), y( t ),z( t )) x ( t ) dt

f ( x, y,z )dy f ( x( t ), y( t ),z( t )) y ( t ) dt

f ( x, y,z )dz f ( x( t ), y( t ),z( t )) z ( t ) dt

=

=

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Ejemplo 4: Evaluar la integral de línea ( )C

4xz 2y dx+∫ donde C esta dado por la recta

a) desde (2,1,0) hasta (4,0,2) y b) desde (4,0,2) hasta (2,1,0).

Solución:

a) C: x = 2+ 2 t, y =1- t, z = 2 t 1 t 2− ≤ ≤ , dx 2 dt=

( ) ( ) ( )1

2

C 0

864xz 2y dx 16 t 14 t 2 2 dt3

+ = + + =∫ ∫

b) C: x = 2+ 2 t, y =1- t, z = 2 t 1 t 2− ≤ ≤ , dx 2 dt=

( ) ( ) ( )0

2

C 1

864xz 2y dx 16 t 14 t 2 2 dt3

+ = + + =−∫ ∫


Teorema 5: Si f ( x, y,z ) es continua en una región D que contiene la curva C.

C C

1 2 3 n 1 2 3 n

C C C C1 2 n

a ) f ( x, y,z )dx f ( x, y,z )dx

b ) Si C C C C C , donde C ,C ,C , , C

f ( x, y,z )dx f ( x, y,z )dx f ( x, y,z )dx f ( x, y,z )dx

−

= −

= ∪ ∪ ∪ ∪

= + + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

…… ……

……

Este teorema también se enuncia para las integrales de línea respecto de y

o z

Ejemplo 5: Evaluar la integral de línea ( ) ( )C

2x y dx x 3y dy− + +∫ a lo largo de la

trayectoria parabólica x = t, y =2 t2 de (0,0) a (2,8)

Solución:

La trayectoria de C esta dada por : x = t, y =2 t2 con ,

por lo tanto:

0 t 2≤ ≤

dx dt y dy 4t dt= =

( ) ( ) ( ) ( )

( )

22 2

C 02

2 3

0

2x y dx x 3 y dy 2t 2 t dt t 6 t 4tdt

2t 2 t 24 t dt

3163

− + + = − + +

= + +

=

∫ ∫

∫


Integral de línea de campos vectoriales

Definición 1 : Una integral de línea de una función vectorial F( r ) en una curva C esta

definida por

b

C a

drF( r ) dr F( r( t )) dtdt

⋅ = ⋅∫ ∫

En términos de componentes

( )

( )C C

b , , ,

a

F( r ) dr P dx Q dy R dz

P x Q y R z dt

⋅ = + +

= + +

∫ ∫

∫

Propiedades de la integral de línea:

( )

C C

C C C

C C C1 2

C C

1) k F dr k F dr k cons tante

2 ) F G dr F dr G dr

3 ) F dr F dr F dr

4 ) F dr F dr−

⋅ = ⋅

+ ⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ = − ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫


Ejemplo 6: Evaluar la integral de línea si ˆF( r ) y i xy j=− + ˆ alrededor del arco C

mostrado en la figura desde A a B. Solución :

B

A

C

x

y

ˆ ˆr( t ) cos t i sent j= + 0 t2π

≤ ≤

ˆ ˆ ˆF( r( t )) y( t )i x( t )y( t ) j sent i cos t sen t j= − + = − + ˆ

)

, ˆ ˆr ( t ) sen t i cos t j= − +

( ) (

( )

2

C 0

22 2

0

ˆ ˆ ˆF( r ) dr sent i cos t sen t j sent i cos t j dt

sen t cos t sen t dt

14 3

π

π

π

⋅ = − + ⋅ − +

= +

= +

∫ ∫

∫

ˆ


2 ˆˆ ˆF( r ) 5zy i xy j x zk= + +Ejemplo 7: Evaluar la integral de línea si a lo largo de dos

trayectorias diferentes C1: segmento de recta dado por

con 0 t1ˆˆ ˆr ( t ) t i t j t k= + + 1≤ ≤ y C2: el arco parabólico

con 0 t22

ˆˆ ˆr ( t ) t i t j t k= + + 1≤ ≤ , con el mismo punto inicial A (0,0,0)

y el mismo punto terminal B (1,1,1)

Solución:

C2

z

y

x

B

A C1

Para C1

2 3

1ˆˆ ˆF( r ( t )) 5t i t j t k= + +

,

1ˆˆ ˆr ( t ) i j k= + +

( ) (

( )

)1

2 3

C 011

2 3

0

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆF( r ) dr 5t i t j t k i j k dt

5t t t dt

5 1 1 132 3 4 12

⋅ = + + ⋅ + +

= + +

= + + =

∫ ∫

∫


Para C2

2 2 4

2ˆˆ ˆF( r ( t )) 5t i t j t k= + +

,

2ˆˆ ˆr ( t ) i j 2t k= + +

( ) (

( )

)1

2 2 4

C 021

2 2 5

0

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆF( r ) dr 5t i t j t k i j 2t k dt

5 t t 2t dt

5 1 2 123 3 6 3

⋅ = + + ⋅ + +

= + +

= + + =

∫ ∫

∫

Este ejemplo nos muestra que depende de la trayectoria a lo largo de la

que se integre de A a B

2.2 Integrales de líneas independientes de la trayectoria Teorema 1: Teorema fundamental de las integrales de línea.

Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta D y dada por

,ˆˆ ˆr( t ) x( t )i y( t ) j z ( t )k= + + a t b≤ ≤ .

Si es conservativo en D, y P y Q

son continuas en M, entonces:

ˆˆ ˆF P( x, y,z )i Q( x, y,z ) j R( x, y,z )k= + +

( )b

c C a

F dr f dr P dx Q dy R dz f ( b ) f ( a )⋅ = ∇ ⋅ = + + = −∫ ∫ ∫

F f= ∇ siendo f una función potencial de. Esto es,


Recuerde que afirmar que un campo vectorial es

conservativo es equivalente a decir que la forma diferencial

es exacta. Podemos concluir del teorema 1 que

la integral de línea es independiente de la

trayectoria C si el integrando es una diferencial exacta.

ˆˆ ˆP( x, y,z )i Q( x, y,z ) j R( x, y,z )k+ +

P( x, y,z )dx Q( x, y,z )dy R( x, y,z )dz+ +

c

P( x, y,z )dx Q( x, y,z )dy R( x, y,z )dz+ +∫

Definición 1: Una región del plano (o del espacio) es conexa si dos puntos arbitrarios de

la región pueden unirse mediante una curva suave a trozos, toda ella

situada en el interior de la región.

AC

B

•

•

Region conexa Region no conexa

FTeorema 2: Si el campo vectorial es continuo en una región conexa y abierta D.

Entonces, la integral de línea, es independiente de la trayectoria si y solo si

el campo vectorial F es conservativo.

Decimos que una curva que tiene el mismo punto inicial y final es cerrada. Por el teorema

fundamental podemos concluir que si F es continuo y conservativo en una región abierta

D, entonces la integral de línea sobre toda la curva cerrada en D es 0.

FTeorema 3: Si es continuo en una región conexa y abierta D. Entonces F es

conservativo si y solo si, para cualquier curva cerrada suave a trozos C

situada en D.


x x ˆˆ ˆF e cos y i e sen y j 2k= − +Ejemplo 1: Dado el campo de fuerzas , probar que

es independiente del camino, y calcular el trabajo realizado por FC

F dr⋅∫

sobre un objeto que se mueve por una curva de ( )0, ,1 a 1, ,32π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Solución :

Las funciones componentes son , y y xP e cos y= xQ e sen y= R = 2

x

R Q 0y zR P 0x zQ P e sen yx y

∂ ∂= =

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂∂ ∂

= =−∂ ∂

Entonces F es conservativo.

F , entonces: Si f es una función potencial de

( )( )( )

xx

xy

z

f x, y,z e cos y

f x, y,z e sen y

f x, y,z 2

=

=−

=

Integrando con respecto a x,y y z separadamente, obtenemos:

( ) xf x, y,z e cos y 2z K= + +

F a lo largo de C de Por lo tanto el trabajo realizado por

( )0, ,1 a 1, ,32π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

es:

( )1, ,3x0, ,1

2C

W F dr e cos y 2z ( e 6 ) (0 2 ) 4 eππ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤= ⋅ = + = − + − + = −⎣ ⎦∫


2.3 Teorema de Green en el plano. Teorema 1: Teorema de Green

Sea C una curva del plano cerrada, simple, suave a trozos y con

orientación positiva, y sea D la región encerrada por C, junto con C.

Supongamos que P (x,y) y Q (x,y) son continuas y tienen primeras

derivadas parciales continuas en alguna región abierta M, con D ⊂ M.

Entonces:

C R

Q PP( x, y )dx Q( x, y )dy dAx y

⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫

Teorema 2: Área de una región.

Si C es una curva cerrada simple que acota una región para la cual se

aplica el teorema de Green, entonces el área de la región D acotada por

C es :

C

1A x dy y dx2

= −∫

Teorema 3: Forma vectorial del teorema de Green

Sea D ⊂ una región para la cual se aplica el teorema de Green, sea C

su frontera (orientada en sentido contrario al que giran las manecillas del

reloj), y sea un campo vectorial C en D. Entonces

2

ˆ ˆF Pi Q j= +

( ) ( )D DC

ˆ ˆF ds rot F k dA F k dA⋅ = ⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫ ∫∫


Teorema 4: Teorema de la divergencia en el plano.

Sea D ⊂ una región para la cual se aplica el teorema de Green, sea C

su frontera. Sea n la normal unitaria exterior a C, n esta dada por :

2

( ), ,

2 2, ,

y ( t ) , x ( t )n

x ( t ) y ( t )

−=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Sea un campo vectorial C sobre D. Entonces ˆ ˆF Pi Q j= +

D

C

F n ds div F dA⋅ =∫ ∫∫

2.4 Integrales de superficies Representaciones de superficies en el espacio xyz son z = f (x,y) o g(x,y,z) = 0.

Para las curvas C en las integrales de línea se uso una representación paramétrica

r r ( t )=

De manera similar usaremos una representación paramétrica, para superficies S en

integrales de superficies.

Una representación paramétrica de una superficie S en el espacio es de la forma:

ˆˆ ˆr( u,v ) x( u,v )i y( u,v ) j z ( u,v )k= + + (u,v) en R . R es una región del plano uv.

Para definir una integral de superficie, se toma una superficie S, dada por una

representación paramétrica (u,v) en R, S es

suave por secciones, por lo que S tiene un vector normal:

ˆˆ ˆr( u,v ) x( u,v )i y( u,v ) j z ( u,v )k= + +

uN r rv= × y el vector unitario

normal 1n NN

=

FEntonces la integral de superficie de una función vectorial sobre S esta dada por:

[ ]S R

F n dA F r( u,v ) N( u,v )du dv⋅ = ⋅∫∫ ∫∫

La integral de superficie puede llamarse la integral de flujo.


Si hacemos , ˆˆ ˆF Pi Q j R k= + + ˆˆ ˆn cos i cos j cos kα β γ= + + 1 2 3ˆˆ ˆN N i N j N k= + + y

Podemos escribir

( ) ( )1 2 3S S R

F n dA P cos Q cos R cos dA PN QN R N du dvα β γ⋅ = + + = + +∫∫ ∫∫ ∫∫

2.5 Teorema de Gauss de la divergencia Sea T una región cerrada y acotada en el espacio cuya frontera es una superficie S suave

por secciones y orientable. Sea F( x, y,z ) una función vectorial que es continua y tiene

primeras derivadas parciales continuas en algún dominio que contiene a T. Entonces:

T S

div F dV F n dA= ⋅∫∫∫ ∫∫

donde es el vector unitario normal exterior a S. n

Si hacemos , ˆˆ ˆF Pi Q j R k= + + ˆˆ ˆn cos i cos j cos kα β= + + γ donde α, β, y γ son los

ángulos entre n y los ejes x,y y z n

Podemos escribir :

( )T T S

P Q Rdiv F dV dx dy dz P cos Q cos R cos dAx y z

α β γ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫


2.6 Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada y suave por secciones en el espacio y sea la frontera de S

una curva cerrada simple y suave por secciones C. Sea F( x, y,z ) una función vectorial

que es continua y tiene primeras derivadas parciales continuas en algún dominio que

contiene a S. Entonces:

( ) Cˆrot F n dA F r( s )ds⋅ = ⋅∫∫ ∫

Donde es el vector unitario normal a S y, dependiendo de , la integración alrededor

de C se toma en el sentido indicado, además

n n

, drrds

= es el vector tangente unitario y s la

longitud de arco de C.


Ejercicios Propuestos

1-. Dibuje un mapa de contorno de la función dada mostrando varias curvas de nivel.

x y+ a) f (x, y) =

b) f (x, y) = − −2 2x yec) f (x, y) = x2 - y3

d) f (x, y) = x2 - 3x2

e) f (x, y) = x2 + 3y7

xy

f) f (x, y) =

2-. Una placa metálica delgada, localizada en plano xy, tiene una temperatura T(x,y) en

el punto (x,y). Dibuje algunas isotermas si la función de temperatura esta dada por :

2 2100T

1 x 2y=

+ +

3-. Si V(x,y) es el potencial eléctrico en un punto (x,y) del plano xy. Dibuje algunas

curvas equipotenciales sí V(x,y) = c

x y+

4-. Dibuje varias superficies de nivel de la función dada.

a) f (x, y,z) = x + y + z

b) f (x, y,z) = x2 + y2 - z

2 2+x y c) f (x, y,z) = z -

5-. El campo de presión en el espacio dado por f (x, y,z) = x2 + y2 – z.

a) Dibujar las superficies de nivel.

b) Dibujar las curvas de nivel en el plano z= 2


6-. Determinar la derivada direccional del campo escalar f en el punto dado en la

dirección indicada por el Angulo θ proporcionado.

3π

θ=1.- f (x,y) = x2 y3 + 2 x4 y, (1,-2),

2π

θ=x2.- f (x,y) = y , (1,2),

7-. Dado los campos escalares:

a) Determinar el gradiente de f.

b) Evaluar el gradiente en el punto dado P.

c) Encontrar la razón de cambio de f en P en la dirección del vector dado . u

=3 4u ,5 5

1) f(x,y)= x3 - 4x2 y + y2, P(0,-1),

−=

1 1 1u , ,3 3 3

2) ) f(x,y,z)= x y2 3 z , P(1, -2, 1),

8-. Dado los campos escalares determinar la derivada direccional en el punto

v indicado en la dirección del vector proporcionado.

= −ˆ ˆv 3i 4= +2 1) 2f ( x, y ) x y j P (3, 4)

= + − ˆˆ ˆv 2i j k= + +f ( x, y,z ) xy yz xz 2) P (1, 1, 1)

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 yf ( x, y,z ) x tanz

= + − ˆˆ ˆv i j k 3) P (1, 2, -2)

9-. Hallar la derivada direccional del campo escalar f dado en el punto P en la dirección

de Q.

= +2 1) 2f ( x, y ) x 4 y P (3, 1) Q (1,-1)

= +f ( x, y,z ) x y y z 2) P (2,4,4) Q (6, -4, 8)

= + +3 2 2f ( x, y,z ) x y z 3) P (1,-3, 4) Q (1, -2, 3)


10-. El campo escalar de la temperatura en un punto (x,y,z) esta dada por :

− − −=2 2 2x 3 y 9zT ( x, y,z ) 200 e donde T se mide en y x, y, z en metros. C

a) Encuentre la razón de cambio de la temperatura en el punto P(2, -1, 2) en

dirección hacia el punto (3, -3, 3).

b) ¿ En que dirección aumenta mas rápidamente la temperatura en P ?

c) Encuentre la máxima razón de aumento de T en P.

11-. El campo escalar del potencial eléctrico sobre cierta región del espacio esta dado

por: . = − +2V ( x, y,z ) 5x 3xy xyz

a) Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P(3, 4, 5) en la

dirección del vector = + − ˆˆ ˆv i j k .

b) ¿ En que dirección aumenta mas rápidamente el potencial en P ?

c) ¿ Cuál es la máxima razón de cambio en P?.

12-. El campo escalar de la temperatura en un punto (x,y,z) esta dada por :

donde T se mide en y x, y en metros. Desde el

punto (2,-3), ¿ en qué dirección crece la temperatura mas rápidamente?. ¿ a que

ritmo se produce este crecimiento?

2T ( x, y,z ) 20 4x y= − − 2 C

13-. Graficar los siguientes campos vectoriales:

2 2

ˆ ˆy i xjF( x, y )x y

+=

+ˆF( x, y,z ) y j= a) b) ˆ ˆF( x, y ) y i j= + c)

14-. Determinar el campo vectorial gradiente de f :

5 2 a) 3f ( x, y ) x 4x y= − f ( x, y,z ) x y z= b)

15-. Hallar las líneas vectoriales de los siguientes campos vectoriales:

a) b) ˆF( x, y ) x i 4 y j= + ˆˆF 2 z j 3 y k= +ˆ


2 3 2 ˆˆ ˆF( x, y,z ) x i y j z k= − +16-. Hallar la línea vectorial del campo que pasa por el

punto M1 1, ,12 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

ˆF y i x= − + j17-. Hallar la línea vectorial del campo que pasa por el punto

M ( ) . 3,4, 1−

18-. Encontrar el rotacional y la divergencia de los siguientes campos vectoriales :

a) b) ˆˆ ˆF( x, y,z ) x i y j z k= + + ˆˆ ˆF( x, y,z ) yz i xz j xy k= + +

c) d) ˆˆF( x, y,z ) xy i xyz k= + xyz xy ˆˆ ˆF( x, y,z ) e i sen( x y ) j kz

= + − −

19-. Determinar si el campo vectorial dado es conservativo o no. Si es conservativo,

encuentre una función f tal que.

a) b) ˆˆ ˆF( x, y,z ) y i x j k= + + ˆˆ ˆF( x, y,z ) cos y i senx j tan z k= + +

( )2 ˆˆ ˆF( x, y,z ) yz i y xz j xyk= + + + c) d) 2 2 ˆˆ ˆF( x, y,z ) yz i z j x k= + +

G20-. Determinar si existe un campo vectorial en tal que:

rot =

3

G 2 2 ˆˆ ˆ 2x y i y z j z x k+ + . Explique.

21-. Demuestre que cualquier campo vectorial de la forma

, en donde f, g, h son funciones diferenciables,

es irrotacional.

ˆˆ ˆF( x, y,z ) f ( x )i g( y ) j h( z )k= + +

22-. Demuestre que cualquier campo vectorial de la forma

, en donde f, g, h son funciones

diferenciables, es incompresible.

ˆˆ ˆF( x, y,z ) f ( y,z )i g( x,z ) j h( x, y )k= + +


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Calculo Vectorial