Universidad Nacional de Ingeniería P.A 2008 I Facultad de Ingeniería Mecánica 03/06/2008 Dpto de Ciencias Básicas y Humanidades MB148

Los Profesores 1

EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL

Nombre:__________________________Código:________ Secc: ____ ***************************************************************************

PREGUNTA 1 Dada la siguiente función

=

≠+=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;2),( 44

22

yx

yxyx

yxyxf

a) Calcule las funciones D1f (x, y) y D2f (x, y) si es que existen.

b) ¿La función f es diferenciable en (0, 0)?

SOLUCION

a)

( )

=

≠+

−

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;44),( 244

256

1

yx

yxyx

yxyxyxfD

( )

=

≠+

−

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;44),( 244

526

2

yx

yxyx

yxyxyxfD

b) Primero veremos que pasa con la continuidad en (0, 0)

Consideremos el conjunto S: y = m x, ε R

( )

( )4

2

)0,0(),(

44

42

00),(

)0,0(),()0,0(),(

12),(lim

12lim),(lim),(lim),(lim

mmyxf

mxxmxmxfyxfyxf

yx

xxSyx

yxyx

+=

+===

→

→→∈→→

el Limite no es único (depende del valor de m) por tanto no existe.

La función no es continua en (0, 0).

La función no es diferenciable en (0, 0).

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Los Profesores 2

PREGUNTA 2: Calcule la razón de cambio de f (x, y, z) = y2 + x z en el punto (2, 4, 8) siguiendo la dirección de la curva C: x = t, y = t2, z = t3. SOLUCION

Calculamos el gradiente de f en el punto (2, 4, 8)

)1,4,4(2)8,4,2(),2,(),,(

=∇=∇

fxyzzyxf

Considerando la curva ( )32 ,,)(: ttttC =r , para x = 2, y = 4, z = 2 se tiene t = 2.

( )

( )

)12,4,1(1611

)2()2(

161)2(;12,4,1)2(

3,2,1)( 2

=′′

=

=′=′

=′

rrU

rr

r ttt

El vector unitario U fija la dirección de la curva C

16164)8,4,2()8,4,2( =⋅∇= UffDU

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