Calculo Vectorial: Examen Parcial y Solucionario 2008-2

Universidad Nacional de Ingeniería P.A 2008 II Facultad de Ingeniería Mecánica 21/10/2008 Dpto. de Ciencias Básicas y Humanidades MB148

Los Profesores 1

(4;1) C1

C2

EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL

_________ ___________________________ ______ _____ CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES SECC FIRMA ***************************************************************************************************

PREGUNTA 1

Una autopista tiene una rampa de salida que empieza en el origen de un sistema coordenado y sigue la curva 25

1 321: xyC = hasta el punto (4; 1). como

se indica en la figura adjunta. Después sigue una trayectoria circular C2 cuya curvatura igual a la curvatura C1 en el punto (4;1).

a. Calcule el radio de la trayectoria circular. b. Determine el centro de la trayectoria circular.

SOLUCION

Parte A

( )

=γ

32;

2/5ttt

( )

=γ

645;1

2/3` t

t ,

=γ

21``

12815;0 t

,

==γγ

21

21

23

12815;0;0

0128150

06451``` t

t

tkji

x

4

2

2 4 6

x

y

Arco circular

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Los Profesores 2

centro

(4;8)

N→

T

En t =4, ( )332

3`

``

89

120

851

6415`)4( =

+

=γ

γγ=

xK

1208989)4(

)4(1)4( =ρ⇒=ρ

K

Caso B:

( )( )( ) 89

5844

4);(

``

T ==→

γγ

89)8;5()4( −

=N

( ) )4()4(1;4 Nρ+=C

( ) ( ) ( )8;5120891;4

898;5

1208989)1;4( −+=

−+=C

=

15104;

247C





Los Profesores 3

PREGUNTA 2

Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto ( )12 , de una placa metálica cuya temperatura en (x, y) es yxyxT −= 2),( . Determine la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura. SOLUCION

( )1,2),( −= xyxTdgra Representamos la trayectoria por la función posición

( ))(,)()( tytxt =r Un vector tangente en cada punto ( ))(),( tytx viene dado por

=′

tdyd

tdxdt ,)(r

Puesto que la partícula busca el crecimiento más rápido de temperatura, la dirección de )(tr ′ y ),( yxTdgra son las mismas en cada punto de la trayectoria. Luego

1y2 −==tdydx

tdxd

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para t = 0 y tyx −== 1,2 se tiene la trayectoria

( )tet t −= 1,2)( 2r

−=

= −

2ln

211)(

2)( )1(2

xxy

eyx y





Los Profesores 4

PREGUNTA 3 Para un fabricante de cámaras y rollos fotográficos, el costo total C (en dólares), de producir cq cámaras y, fq rollos fotográficos está definida por:

9000015030 +++= ffcc qqq,qC Las funciones de demanda para las cámaras y los rollos fotográficos están

dadas por fc

cpp

q 9000= y fcf ppq 4002000 −−= respectivamente.

Siendo cp es el precio por cámara y fp es el precio por rollo fotográfico. a) Determine la tasa de cambio del costo total con respecto al precio de la cámara cuando 50=cp y 2=fp SOLUCION

Primero se debe determinar cpC ∂∂ por la regla de la cadena,

c

f

fc

c

cc pq

qc

pq

qc

pc

∂

∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

)1(1015.0(9000)015.030( −++

−+=

∂∂

cfc

fc

qPP

qpc

Cuando Pc =50 y Pf =2 entonces qc = 290 y qf = 1150. Después de

sustituir eso valores en 207,123

2

50−≈

∂∂

=

=

f

c

pPcp

C





Los Profesores 5

PREGUNTA 4

Considera la función definida por

=

≠+

−=

);();(;

);();(;)():(

000

0022

22

yx

yxyxyxxy

yxf

a) Calcule D1 f(0;0) y D2f(0;0)

b) Calcule D12 f(0:0) y D21f(0:0)

SOLUCION a)

( )

=

≠+

−+=

),(),(;

),(),(;(),(

000

004

222

4224

1

yx

yxyx

yyxxyyxfD

( )

=

≠+

−−=

),(),(;

),(),(;)(

),(000

004

222

4224

2

yx

yxyx

yyxxxyxfD

b)

10)0;0()0;()0;0(

10)0;0()0;0(lim)0;0(12

limlim

lim

0

22

0

21

0

110

=

−

=

−

==

−=

−−

−+

=

→→

→→

hh

hfDhfDfD

hh

hfDhfD

fD

hh

hh





Los Profesores 6

PREGUNTA 5

Jorge acaba de recibir S/.300 como regalo de cumpleaños y ha decidido gastarlos en discos DVD y juegos de video de computadora. El ha determinado que la utilidad (satisfacción) obtenida por la compra de “x” discos DVD e “y” juegos de video es

( )yxln)y,x(U 2= Si cada DVD cuesta S/.20 y cada juego de video cuesta S/.30, ¿cuántos DVD y juegos de video debe comprar para maximizar la utilidad? SOLUCION

)()();;( 30030202 −+−= yxyxyxF λλ

Usando el Método de Multiplicadores de Lagrange.

=−+

=

=

)(

)(

)(

303003020

23021

1202

yxy

x

λ

λ

De las ecuaciones (1), y (2) se tiene

λλ 601

101

== yx , , luego

reemplazamos estos valores en la ecuación (3) obtenemos

030060

10310

120 =−

+

λλ

resolviendo se tiene

1201

=λ .

Por lo tanto Jorge debe comprar x = 12 discos DVD y = 2 juegos de video de computadora.




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