Pilas! PAGINA 951Frmulas para curvas en el espacioVector tangente unitario:Vector normal principal unitario:Vector binormal:Curvatura:

Torsin:Componentes escalares tangencial y normal de la aceleracin:

EJERCICIOS 13.5Calculo de la torsin y el vector binormalEn la seccin 13.4 ( ejercicios 9 a 16), ya se calcularon 1 a 8 para estas curvas en el espacio.1.2.3.4.5.6.7.8.

Componentes tangencial y normal de la aceleracin En los ejercicios 9 y 10, escriba en la forma atT + AnN sin encontrar Ty N9.10.En lps ejercicios 11 a 14, escriba a en la forma a= atT + AnN en el valor dado de t, sin encontrar T y N.11.12.13.14.En lo ejercicios 15 y 16 determine, r, T, N y B en el valor dado de t. Luego, determine las ecuaciones para los planos osculador, normal y rectificante en ese valor de t.15.16.Aplicaciones fsicas17. El velocmetro de su auto mide a 35 mi/h constantemente Podra estar acelerado? Explique.18. Puede decirse algo acerca de la aceleracin de la partcula que se mueve con rapidez constante? Justifique su respuesta.19. Puede decirse algo acerca de la rapidez de una partcula cuya aceleracin es siempre ortogonal a su velocidad? Justifique su respuesta.Pilas! PAGINA 95220.Un objeto de masa m viaja a lo largo de la parbola y= x^2 con una rapidez constante de 10 unidades/s Cuales la fuerza neta sobre el objeto debida a su aceleracin en (0,0)? Y en (2^1/2,2) ? Escriba su respuesta en trminos de i y j. (Recuerde la segunda ley de Newton, f=m*a).21. La siguiente es una cita del artculo publicado por The American Mathematical Monthly, llamado Curvatura en los ochentas, por Robert Osserman (octubre 1990, pagina 731):La curvatura tambin juega un papel fundamental en la fsica. La magintud de la fuerza necesaria para mover un objeto con rapidez constante a lo largo de una trayectoria curva es, de acuerdo con las leyes de Newton, un mltiplo constante de la curvatura de dicha trayectoria.Explique matemticamente por que la segunda frase de la cita es cierta.22.Muestre que una partcula en movimiento continuara movindose en lnea recta si la componente lineal de su aceleracin se anula.23.Un atajo para la curvatura si usted ya conoce /aN/ y/v/, entonces la formula An=K/v/^2 proporciona una manera conveniente de determinar la curvatura y radio de curvatura de la curva.r(t)=(cos t + t sent)i + (yo+Bt)j +(zo+Ct)k t>0.(Tome An y /v/ del ejemplo 1).24.Muestre que k y t se anulan para la rectar(t)=(xo+A)i+ (yo+Bt)j+ (zo+Ct)k.

Teora y ejemplos25.Que puede decirse acerca de la torsin de curva plana regular r(t) f(t)i+ g(t)j? Justifique su respuesta.26. La torsin de una hlice En el ejemplo 2 calculamos la torsin de una hlice.r(t) =(a cos t)i + (a sent)j +btk, a,b>=0.Como t=b/(a^2+b^2).Cual es el mximo valor que puede tener t para un valor dado de a? Justifique su respuesta.27. Las curvas diferenciales con torsin nula que estn en planosQue una curva suficientemente diferenciable con torsin nula este en un plano, es un caso particular del hecho de que una partcula cuya velocidad permanece perpendicular a un vector fijo C se mueve en un plano perpendicular a C. Esto a su vez , puede considerarse com la solucin del siguiente problema de calculo.Suponga que Pilas! r(t)=f(t) + g (t) j + h(t) k es dos veces diferenciable para toda t en un intervalo [a,b] que Pilas! r=0 cuando Pilas! t=a y que Pilas! v.k=0 para toda r en [a,b]. Entonces , h(t)=0 para toda t en [a,b].Resuelva este problema.(Sugerencia: Comience con a= d^2r/dt^2 y aplique las condiciones iniciales en sentido contrario).28. Una formula que calcula t a partir de B y v Si comenzamos con la definicin Pilas! t=-(dB/ds). N y aplicamos la regla de la cadena para escribir Pilas! dB/ds comoPilas! dB/ds = dB/dt dt/ds dB/dt 1/ /v/Obtenemos la formulaPilas! t=-1//v/ (dB/dt.N)La ventaja de esta formula sobre la ecuacin (6) es que es mas fcil de derivar y establecer. La desventaja es que su evaluacin puede requerir mucho trabajo sin una computadora. Use la nueva formula para determinar la torsin de la hlice del ejemplo 2.EXPLORACIONES CON COMPUTADORACurvatura, torsionm y el marco TNB Redondee las respuesta a cuatro cifras decimales. Use un software matematico para determinar v,a, la raidez, T,N,B, k,t, y las componentes tangencial y normal de la aceleracin para las curvas de los ejercicios 29 a 32 con los valores dados de t.29.30.31.32.

Movimiento de planetas y satlites En esta seccin deduciremos las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas a partir de las leyes de movimiento gravitacin de Newton, y analizaremos las orbitas de los satlites de la Tierra. La deduccin de las leyes de Kepler a partir de las leyes de Newton es uno de los triunfos del clculo. Estas se basan en casi todo lo que hemos estudiado hasta ahora, incluyendo el algebra y la geometra de los vectores en el espacio, el calculo de las funciones vectoriales, las soluciones de las ecuaciones diferenciables y los problemas con valores inciales, as como la descripcin en coordenadas polares de las selecciones cnicas .

Pilas! PAGINA 960TABLA 13.3 Datos numricos Constante de gravitacin universal: ..Masa del Sol:Masa de la Tierra:Rdio del ecuador de la Tierra:Periodo de rotacin de la Tierra:Periodo orbital de la Tierra:Sycom 3 es parte de una serie de satlites de telecomunicaciones del departamento de Defensa de los Estados Unidos. Tiros II (satlite de observacin infrarroja por televisin) es un satlite para analizar el clima. GOES4 ( satlite ambiental operacional geoestacionario) forma parte de una serie de satlites diseados para reunir la informacin sobre la atmosfera terrestre. Su periodo orbital de 1436.2 minutos, es casi igual al periodo de rotacin de la Tierra de 1436.1 minutos y su orbita es casi circular (e= 0.0003). Intelsat 5 es un satlite comercial de telecomunicaciones de alta capacidad.

EJERCICIOS 13.6 Recordatorio: Cuando un calculo necesite la constante de gravitacin G, exprese la fuerza en newtons, la distancia en metros, la masa en kilogramos y el tiempo en segundos.1. Periodo del Skylab 4 Como la orbita de Skylab 4 tenia un semieje mayor de a =6808 km km, la tercera ley de Kepler debe dar el periodo. Considere M igual a la masa de la Tierra. Calcule el periodo y compare su resultado con el valor que aparece en su tabla 13.22. Rapidez de la tierra en el perihelio La distancia de la Tierra al sol en el perihelio es de aproximadamente 149.577.000 Km. La excentricidad de la orbita de la Tierra alrededor del Sol es 0.0167.Calcule la rapidez vo de la Tierra en el perihelio de su orbita.[Use la ecuacin(15)].3. Semi eje mayor del Proton I En julio de 1965, la URS lanzo el Proton I, con unn peso de 12.200 kg (en el lanzamiento), con una altura del perigeo de 183 km, una altura de apogeo de 589 km y un periodo de 92.25 minuto. Use los datos de la masa de a Tierra y la constante gravitacional G para determinar el semieje mayor a de la orbita, a parir de la ecuacin(3). Compare su respuesta con e numero obtenido al sumar las alturas de perigeo y apogeo con el dimetro de la Tierra.4.Semi eje mayor del Viking I La nave orbitante Viking I, que hizo un reconocimiento de Marte de agosto de 1975 a junio de 1976 tuvo un periodo de 1639 minutos. Use esto y la masa de Marte 6.418x10^23 Kg, para calcular el semieje mayor de la orbita del Viking I.5. Diametro promedio de Marte (Continuacion del ejercicio 4).La nave Viking I estaba a 1499 km de la superficie de Marte en su punto mas cercano y a 35.800 km de la superficie en el punto mas lejano. Use esta informacin y el valor obtenido en el ejercicio 4 para estimar el dimetro promedio de Marte.6.Periodo del Viking 2 La nave orbital Viking 2 , que izo un reconocimiento de Marte de septiembre de 1975 a agosto de 1976, describi una elipse cuyo semieje mayor era de 22.030 km Cul fue su propio periodo orbital? (Exprese su respuesta en minutos).7. Orbitas geosncronas Varios satlites en el plano ecuatorial de la Tierra tiene orbitas casi circulares cuyos periodos son iguales al periodo de rotacin de la Tierra. Tales orbitas son geosncromas o geoestacionarias, pues mantienen al satlite sobre el mismo punto de las superficie terrestre.a. Aproximadamente Cul es el semieje mayor de una orbita geosncrona? Justifique su respuesta.b. Cual es la altura aproximada de una orbita geosncrona sobre la superficie Terrestre?c. Cuales de los satlites de la tabla 13.2 tienen orbitas (casi) geosincronas?8.La masa de Marte es de 6.418x10^23 kg. Si un satlite que gira alrededor de Marte debe mantener una orbita estacionaria (tener el mismo periodo que el de rotacin de Marte, que es de 1477.4 minutos)Cul debe ser el semieje mayor de su orbita? Justifique su respuesta.9. Distancia de la Tierra a la Luna El periodo de rotacin de la Luna alrededor de la Tierra es de 2.36055x10^6 segundos Aproximada mente a que distancia se encuentra la Luna?10. Calculo de la rapidez de un satlite U satlite se mueve alrededor de la Tierra em una orbita circular. Exprese la rapidez del satlite como una funcin del radio de la rbita.11. Periodo orbital Si T se mide en segudos y a en metros,? Cual es el valor de T^2/a^3 ara los planetas de nuestro sisema solar? Para los satlites que orbitan en la Tierra?Para los satlites que orbitan en la Luna? (la masa de la Luna es 7.354x10^22 kg).12. Tipo de orbita Para que valores de vo en la ecuacin(15) ocurre que la orbita de la ecuacin (16) sea una circunferencia? Una elipse? Una parbola?Una hiprbola?13.Orbitas circulares Muestre que un planeta en orbita circular se mueve con rapidez constante (Sugerencia: Esto es una consecuencia de una ley de Kepler).14. Suponga que r es el vector posicin de una partcula que se mueve a lo largo de una curva plana, y Da/dt es la razn con que el vector barre el area. Sin usar coordenadas y suponiendo que las derivadas necesarias existen, proorcione un argumento geomettrico basado en incremetos y limites para demostrar la validez de la ecuacin dA/dt1/2 /rxr/15. Tercera ley de Kepler Complete la deduccin de la tercera ley de Kepler [lo que continua despus de la ecuacin (34)]En los ejercicios 16 y 17, dos planetas, Ay B, orbitan su sol en trayectorias circulares, de modo que A es el planeta interior y B el mas lejano. Suponga que las posiciones de Ay B en el instante son:y.Respectivamente, donde se supone que el sol esta en el origen y las distancias se miden en unidades astronmicas. (Observe que el planeta A se mueve ms rpido que el planeta B)Los habitantes del planeta A consideran a su planeta y no al sol como el centro de su sistema planetario.16.Use el planeta A como origen de un nuevo sistema de coordenadas y de ecuaciones paramtricas para la posicin del planeta B en el instane t, Escriba su respuesta en trminos de cos (t) y sen (t)17. Use el planeta A como origen y grafique la trayectoria del planeta BEste ejercicio muestra que en la poca anterior a Kepler(con una visin geocntrica-planeta A del sistema solar) se tubo para comprender los movimientos de los planetas (por ejempo el planeta B podra ser Marte) Al respecto vea el articulo de D.G.Saari en American Mathematical Monthly, Vol 97 (febrero, 1990) , paginas 105-109.18.Kepler descubri que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con el Sol de uno de los focos. Sea r(t) el vector posicin del centro del Sol al centro de la Tierra, en el instante t. Sea w el vector que va desde el Polo Sur al Polo Norte de la Tierra. Se sabe que w es constante y no ortogonal al plano de la elipse (el eje de rotacin de la Tierra est inclinado). En trminos de r(t)y w , de el significado matemtico de (i) afelio (ii) equinoccio (iv) solsticio de verano (v) solsticio de invierno.

Capitulo Preguntas de repaso1. Enunsie las reglas para derivar e integrar funciones vectorialesDe ejemplos.2.Como se define y se calcula la velocidad, la rapidez, la direccin de moviento y la aceleracin de u cuerpo que se mueve a lo largo de una curva en el espacio, suficientemente diferenciable?De un ejemplo.3. Que tienen de particular las derivadas de las funciones vectoriales con longitud constante?De un ejemplo.

4.Cuales son las ecuaciones vectoriales y parametricas para el movimiento de un proyectil ideal? Como se encuentra la altura mxima, el tiempo de vuelo y el alcance de un proyectil?De ejemplos.

5. Como se define y se calcula la longitud de un segmento de una curva regular en el espacio? De un ejemplo Qu hiptesis matemticas estn implicadas en la definicin?6.Como se mide la distancia a lo largo de una curva regular en el espacio, a partir de un punto base? De un ejemplo.

7.Que es un vector tangente unitario a una curva diferenciable? De un ejemplo.

8. Defina curvatura, circulo de curvatura (circulo osculador), centro y radio de la curvatura para curvas dos veces diferenciables en el plano. De ejemplos. Cules curvas tienen curvatura cero? Cules tienen curvatura constante?9.Que es un vector normal principal de una curva plana?Cundo est definido?En que direccin apunta? De un ejemplo.10.Cmo se define a N y a k de las curvas en el espacio? Cul es la relacin entre ambas? De ejemplos.

CIENTIFIC

En los ejercicios 16 y 17, dos planetas, Ay B, orbitan su sol en trayectorias circulares, de modo que A es el planeta interior y B el mas lejano. Suponga que las posiciones de Ay B en el instante son: r_{A}(t)=2cos(2t)i+2sen(2t)j y