CURVAS DE NIVEL EN EL TRAZADO DE VIAS Y CARRETERAS

Jhonatan Chavarro P. Elkier Viloria Oquendo, Luis Llach Castaño, Jampier Pabon Suarez, Nicolás villa.Universidad de la Costa CUC

Barranquilla - Colombia

Resumen--El eje de una vía esta constituido tanto en el sentido horizontal como en el vertical, por una serie de rectas unidas sucesivamente por curvas.El alineamiento horizontal es la representación en planta del eje de la vía, y esta constituido por rectas o alineamientos rectos que se conectan entre si generalmente por medio de curvas circulares que proporcionan el correspondiente cambio de dirección que mejor se acomode al correcto funcionamiento de la vía.La noción de curva es la formalización matemática de la idea intuitiva de la trayectoria de una partícula que se mueve en el espacio, por lo tanto el uso de vectores ya sea en R2 o en R3 nos permite tanto identificar las longitudes de arco como diseñar curvas graduales.

Palabras claves—Curvas, Transición, ejes, longitud, Arcos, Radioide, Tangencia, Integración.

Abstract--The axis of one via this constituted both the horizontally and vertically, by a series of straight lines on United by curves. Horizontal alignment is the representation on floor of the axis of the road, and this formed by straight lines or straight alignments that connect each other usually through circular curves that provide corresponding change of direction that best fits the correct operation of the route. The notion of curve is the mathematical formalization of the intuitive idea of the trajectory of a particle that moves in space, therefore the use of vectors either R2 or R3 identifies us both the arc lengths of as design gradual curves.

Key Word--Curves, Transition, axes, length, Arcos, Radioide, Tangency.

I. INTRODUCCION

El diseño geométrico de una carretera es la ordenación de sus elementos físicos: Alineamientos horizontal y vertical distancias de visibilidad, peralte, ancho de canal, geométricamente una carretera queda definida por el trazado de su eje en planta y por la sobrasarte en perfil.Las curvas de transición o cambio gradual son alineamientos rectos a curvos que controlan los cambios continuos de fuerza centrifuga sobre los vehículos en movimiento.Entre las curvas de transición frecuentemente empleadas pueden citarse la clotoide o espiral de Euler, la espiral cubica, la lemniscata de Bernouilli y la parabólica cubica.La clotoide, radioide a los arcos o espiral de Euler cuya representación matemática es P*L=C donde P es el radio de la curva en un punto cualquiera, L es la longitud de curva que hay desde su comienzo hasta el punto

considerado y C es una constante.La lemniscata de Bernoulli o radioide a las cuerdas, cuya ecuación es p*c = C en que c es la cuerda desde el origen de la curva hasta el punto considerado.La clotoide o espiral de Euler es muy usada en carreteras, cuya forma se ajusta a la trayectoria recorrida por un vehículo que viaja a velocidad constante y cuyo volante es accionado de manera uniforme.El radio de curvatura de la clotoide varia proporcionalmente con la longitud de su desarrollo, disminuyendo del valor ∞ Al iniciarse hasta el radio ( R ) de la curva circular. Posee, en razón de esta característica, la propiedad de que un móvil que la recorra a velocidad constante experimenta una variación uniforme de la aceleración centrifuga. Permite también esa espiral hacer la transición, en la sección transversal de la carretera, del plano horizontal en la tangente del plano inclinado al entrar en la curva circular determinado por el peralte que contrarresta en parte la fuerza centrifuga.

II.FUNDAMENTOS

A es el punto de tangencia de la espiral con el alineamiento recto; se llama TE (tangente espiral)y allí el radio de la curva es infinito.El punto de tangencia con la curva circular se llama EC (espiral circular) allí el radio de la curva es R (p=R) y su grado de curvatura es G10.En un punto intermedio P el radio de la espiral o clotoide es p. En un sistema de coordenadas con origen en A y la prolongación del alineamiento recto como eje x las coordenadas de P son x i y; en cambio, las coordenadas del EC son los limites máximos de coordenadas de todos los puntos de la curva y se llaman Xs y Ys´.

En un punto P, a una distancia L de TE:

ρ*L = CPero en el punto EC siendo Ls la longitud total dela clotoide:

R*Ls= CCombinando las dos ecuaciones, resulta:

ρ=R∗Ls

LEn el punto P

ρ=dLρ

= LR∗Ls

dL

Integrando esta ecuación resulta que.

θ= L2

2 R Ls

Longitud del arco sobre una superficie.

d s2=E d u2+2Fdu dv+G d v2

Donde.

E=( ∂r∂ u )2 ;F=

∂ r∂ u

∗∂ r

∂ v;G=( ∂ r

∂ v )2

A. Matemática y Ecuaciones

Dada la superficie ellugar geométrico de los puntos extremos del vector.

r=ucosvi+u senvj+¿¿

Demostrar que las curvas v cualesquiera de la superficie para las que u1 y u2constantes interceptan longitudes iguales de las curvas.

(ds )2=dr∗dr=[ ∂ r∂ u

du+ ∂ r∂ u

dv ]∗[ ∂r∂ u

du+ ∂ r∂ v

dv ]

(ds )2=( ∂ r∂u

∗∂ r

∂u )(du)2+2

∂ r∂ u

∗∂r

∂ vdu dv+( ∂ r

∂ v∗∂r

∂ v )(dv )2

Cuando u o v se mantienen constantes obtenemos las diferenciales de longitud de v o u:

(ds)v= √ ∂ r∂ v

∗∂ r

∂ vdv ;

(ds)u= √ ∂ r∂ u

∗∂ r

∂ udu

Las longitudes de las curvas u interceptadas por dos curvas v para las que u=u1 y u=u2

∫u1

u2

( ds ) u=∫u1

u2 √ ∂ r∂u

∗∂ r

∂ udu

Para el caso propuesto:

∂ r∂ u

=cos vi+sen vj− senucosu

k

∂ r∂ u

∗∂ r

∂ u=cos2 v+sen2 v+sen2 v+

sen2u

cos2u=

1

cos2u

Que no depende del valor v= constante para la curva u considerada, por lo tanto:

∫u1

u2

(ds)u=∫u1

u2

√ 1

cos2udu=¿∫

u1

u2

ducosu

=[¿ 1+tgu2

1−tgu2

]u1

u2

¿

III.CONCLUSIONES

Desde el punto de ingeniero civil nos damos cuenta del alcance que tiene el cálculo vectorial en nuestra formación, cada uno de nosotros como estudiantes dependemos de cada una de las enseñanzas de esta asignatura para poder comprender en este caso los vectores en el trazado de vías.

REFERENCIAS

1. RON LARSON, ROBERT P. HOSTETLER, BRUCE H. EDWARDS - 2002 – CALCULO II

2. Guia de construcción de carretera: publicación de Dgose (2007-2008)

3. Calculo Edicion 7a leithotd