Calculo y Diseño Losa Postensada H28-20

8/18/2019 Calculo y Diseño Losa Postensada H28-20

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Memoria de cálculo para una losa postensada

Datos de diseño. Carga variable (viva):

Carga permanente (muerta):

rango de fuego:

dimensión de columnas:

altura entre pisos:

recubrimiento:

carga viva = ll 2.5kN

m2

adicional = al 2.68kN

m2

tf 2 hr

c1 55 cm c2 55 cm

h1 2.7m

r1 2.0 cm

r2 r1

Materiales:

Concreto de densidad normal:

Acero de refuerzo:

Pretensado:

Diámetro de vaina plásticaengrasada:

f́ c 28 MPa Ecs 57000 psif´c

psi 25044.6MP

fy 420 MPa Ecc Ecs

0.6 in cable (trenzado) no adherido de baja

relajaciónfpu 270 ksi

v3

4in

Ap 0.215in2

Coeficientes de ponderaciónsegún el ACI 318 (2008):

para carga permanente: d 1.4

para sobrecargas: l 1.7

Paso 1. Estimación del espesor de losa

L1 7 m eje x Novanox 5

L2 7 m eje y Novanoy 3

L1n L1 c1 6.45 m Luces libres

L2n L1 c2 6.5 m

hminL1

45 hmin 15.6 cm


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TABLA 11-1

Relación Luz/altura (L/h) sugeridos para losas post-tensadas

losa en una dirección 48

losa en dos direcciones 45

losa en dos direcciones con paneles descolgados

(panel descolgado mínimo por lo menos L/6 c/ lado) 50losa en dos direcciones con vigas en dos direcciones 55

entramado (5x5 malla) 35

vigas b =h / 3 20

vigas b = 3h 30

voladizo 20-24

TABLA 11-2

Espesor de losa requerida en (mm) para resistencia contra el fuego

Tipo de agregado 1 hr 1 1/2 hr 2 hr 3 hr 4 hr

Siliceo 89 108 127 159 178

Carbonato 83 105 117 146 168Aligerado 67 830 95 117 133

Asumiendo un concreto con siliceo como agregado, mínimo de espesor o altura para 2 horas, 127 [mm] Tab

Se escoge h0 20.0 cm


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valores de scolumnas interior borde esquina

psi 40 30 20

Mpa 3.33 2.5 1.67

si 4 sb 3 se 20 ==>

si1 3.33 sb1 2.5 se1 1.67

p0 min 3. 5 si d0 bo0

1. 5 p0 3.5 para psi

p10 min 0.29 si1d0

bo0 0.13

p10 0.3 para MPa

1era. condicionante:

fpc fpc1 fpc1 0.86 MP a fpc1 3.45 MP aif

"Eq11-14" otherwise

1.7 MP

var1 125 psi 0.9 MPa var2 500 psi 3.4 MPa

Se utiliza la siguiente fórmula si fpc < 0.86 MPa

Vc2 24

c

f1c bo dc

Vc0 0.85 p0 psifć

psi 0.3 fpc

bo0 d0 Vp 918.9k

Vu0 865.7 kN

2da condicionante:

Espesor "Necesita ser incrementado" Vc0 Vu0if

"VERIFICA" otherwise

"VERIFICA"

b) Columna exterior. Verificando la columna exterior B1, Vu se incrementa cerca del 50% para tomar en cuenta el

incremento en el esfuerzo de corte debido al momento transferido y disminuido en el área de contribución

VuE 1.5 L1L1

2 wu0 541 kN

boE c1 d0 2 c1d0

2

2 m

de la ecuación (11-14), para este cuadrado de columna en borde

3ra condicionante:Vc1 0.85 4 psi

fć

psi boE d0 540.5k

VC sbd0

boE 2

psi

fć

psi boE d0 745 k

VcE Vc1 Vc1 VCif

"No cumple" otherwise

540.5k

Por lo tanto VcE 540.5 kN VuE 541 kN


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Espesor1 "Necesita ser incrementado" VcE VuEif

"VERIFICA" otherwise

"Necesita ser incrementado"

c) Revisión del espesor de losa: h 20 cm


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altura de losa (espesor)

recubrimiento superior

recubrimiento inferior

diámetro de la barra Acero noPretensadodiámetro de la vaina

h 20 cm

r2 2 cm

r1 2 cm

b 12. mm 0.5 in 12.7 mm

v 19 mm

eEOh

2r2 b v

v

2 39.4mm Cables Distribuido

eNSh

2r2 b

v

2 58.5 mm Cables Uniformes

A media luz es posible usar la misma máxima excentricidad en las dos direcciones (fig. 11-29), así tenemos:

eMh

2r1

v

2 70.5 mm


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Paso 6. Determinación de los perfiles del tendón y la fuerza pretensora

a) Dirección E - O. Escogeremos la ubicación del punto de inflexión para que coincida con la sección crítica para punzonamiento decorte. (fig. 11-21). Esto es:

c1 55 cm c1

2

d

2

1

L1 0.0521 L1 365 mm

Para una luz interior típica la deflexión, f, del perfil equivalente del tendón, es

mL

L 20.5 para cables en losas intermedias

h21

meM eEO( ) 11.5 mm

f1 eM eEO h21 121.4 mm

(fig 11-30a) y por lo tanto la fuerza en el tendón requiere equilibrar 90% del peso propio de la losa que es:

P = w * L1^2 / ( 8 * e )

Peso propio: ol 4.8kN

m2

wo 90% ol 4. 3kN

m2

P1wo L1

2

8 f1218

kN

m

Para el final de las luces el punto bajo del perfil será fijado a 0.45*L del borde. La deflexión, f, del perfilequivalente del tendón (fig. 11-31b) es f2. Por lo tanto la fuerza del tendón en el final de luz equilibrará 90% d peso propio que es:

e 1 0.45 0.55 para cables en losas externas

h22

e eM eEO( ) 10.4 mm


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xL1

21 e( ) L1 35 cm

y1 eM eEO h22( )x

e L1 L1

2

1 mm

f2 eMeEO h22( )

2 y1 94.4 mm

L1 0.4 m

L1

2 L1 3.87m

L1 7m 1 e( ) L1 10.3 ft L1 e 3.85 m

P2wo L1

2

8 f2 280.3

kN

m

b) Dirección N-S. Se quiere usar la misma fuerza tensora para todas las luces en la dirección N-S. Usando laexcentricidad máxima en el final de la luz, determinaremos la fuerza pretensora requerida para equilibrar lacarga muerta en esta luz. Para esta luz la deflexión del perfil equivalente de tendón es f3, (fig 11-31a). Por lotanto la fuerza requerida del tendón para equilibrar 90% del peso propio de la losa es:

h23

eeM eNS( ) 12.2 mm

x 0.35 m

y2 eM eNS h23( )x

e L1 L1

2

0.1177cm

f3 eMeNS h23( )

2 y2 104.6 mm

P3wo L2

2

8 f3 252.8

kN

m

Ya que la fuerza del tendón permanecerá constante enla dirección N-S, la deflexión del tendón en la luz interientre los ejes B y C es f3.Con el punto de inflexión localizado en β L, desde el centro del apoyo, tenemos de la ecuación:

h2 = β (e1 + e2) / λ f3 10.5 cm


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L1

2 L1 e1 1 m h24 1 m 0.05214

Given

e1 eNS( ) h24

e1 eNS h24 f3

Find e1 h24( )36.3

9.9

m

e1 36.3mm


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L1 7m Tramo Interior:

m L1 3.5m m L1 3.5m

L1 36.5 cm L1 36.5 cm

h

2eM 3 cm

eEOh

2 13.9 cm

eEOh

2 h21 15.1 cm

Dirección N - S (BANDAS):Tramo Exterior: L2 7m

L1

2 L1 3.87m

L1 e 3.85 m

L1 36.5 cm

1 e( ) L1 3.2 m

h

210 cm

h

2eM 3 cm eNS

h

2 15.8

eNS h23h

2 17.1

L2 7 m Tramo Interior:

m L2 3.5m m L2 3.5m

L2 36.5 cm L2 36.5 cm

h

2e1 6.37 cm

eNSh

2 15.8 cm

eNSh

2 h24 16.8 cm


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Paso 7. Cálculo de las pérdidas de postesado.

a) Pérdidas por fricción y anclaje. Para tendones no adheridos en losas de piso, es suficientemente precisousar una pérdida por fricción aproximada de 7.5% de la fuerza pretensora por 30.5 [m] (100[ft]) longitud detendón. Todos los tendones serán pretensados sólo de un lado con el otro lado siendo anclaje (punto

muerto). Sin embargo, para hacer más uniformes las pérdidas por fricción, cada segundo tendón será pretensado a una terminación de la estructura mientras los tendones que faltan serán pretensados por laterminación opuesta.

Los cables son tensados a 0.75 fpu y entonces anclados. El sistema de anclaje es asumido a ser 1/4[in](6.35 [mm]).La pérdida de el esfuerzo de pretensado por metro lineal debido a la fricción es:

relación de 3: rel17.5% 1

30.48m0.0025

1

m pérdida por metro lineal

fp rel1 75 % fpu 3.44MPa

m pérdida del esfuerzo por tesado

Por lo tanto de la ecuación 2-7 la longitud afectada por el anclaje es:

Lsetset Aps Ep

p

set

Donde:

Ep = Módulo de Young del cableAps = Área transversal del cableΔ set = Longitud afectada por el sistema de anclaje p = Pérdida por fricción, expresada como un cambio de fuerza por unidad de longitudLset = Longitud del tendón afectada por el anclaje

Entonces:set 6.35mm 0.25 i

Ep 200000 MPa 29007547.5 psi Módulo de elasticidad del cable


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N1a 1396.2 MPa

N2a 1330.1 MPa

N3a 1275.9MP

N1b 1264 MPa

L1 Novanox 35m

f1prom N1b N2a

2

Lset 100 %

L1 Novanox

N3a N2a

2

L1 Novanox Lset( ) 100 %

L1 Novanox 1299.8MPa

Cables continuos N - S:

N1 L2 Novanoy N1a N2a( )

Lset N23 N1a N1

N1a 1396.2 MPa N2a 1330.1 MPa

N23 1324 MPa

N1b 1264 MPa

L2 Novanoy 21m

f2prom N1b N2a

2

Lset 100 %

L2 Novanoy

N23 N2a

2

L2 Novanoy Lset( ) 100 %

L2 Novanoy 1299.6MPa

Cables adicionales E - O, en luces finales:

L3 L1L1

4 8. 8m


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b) Pérdida por acortamiento elástico. La fuerza de pretensado mayor está en la dirección N-S, es de:

var11 max P3 P2 P1( ) 280.3kN

m dirección N-S P3 0.3 m MPa

Esto corresponde a un tensado de compresión en el concreto de 1.70[MPa], asumiendo que la losa es postensacuando el concreto tiene 4 días de fraguado y tiene una fuerza compresiva de:

fcompr 20.7 MPa la deformación elástica en el concreto será:


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Acortamiento por restricciones axiales de losa en columnas del 1er piso.Si el borde de la columna fuera totalmente restringido a rotación arriba y abajo, la fuerza requerida para move1.2[mm] sería:

H12E I

h13

E

Donde:H = fuerza restrictiva horizontalh1= Altura de columnaEI= Rigidez flexora de la columna

Por lo tanto si el borde de la columna permanece no fisurada, la fuerza restrictiva sería:

f́ cof́ c

128 MPa resistencia característica de la columna de concreto


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tensión inicial: fpi 70% fpu 1303.1 MPa fpi 189 ksi

tiempo estimado: t 30 yr 262974.4hr

tensión última del cable: fpu 1861.6 MPa

valores típicos de fpy segúnCollins-Mitchell Pg. 89

fpy 0.9 fpu 1675.4 MPa (tensión de fluencia del cab

fp fpi 1

logt

hr

45

fpi

fpy0.55

1267.4MP

rel2fp

fpi0.973

rel3 1 rel2 0.027

perd2 rel3 fpi 35.7 MPa

Módulo de elasticidad del cable: Ep 200000 MPa

Módulo efectivo a largo plazo: ModEfec Ep rel2 194513.2MPa

De esta ecuación la pérdida por relajación después de 30 años para un tensado inicial de 189 ksi (1303 MPa) edel 2.7%, el cual corresponde a una pérdida de 35 MPa y a un módulo efectivo a largo plazo de

ModEfec 194513.2MPa

volumen sobre área total de la superficie(fig 3-18, Collins-Mitchell Pg.76)

rel5h 1 m 1 m

1m2

1m2

100 mm (valor para ks)

Humedad relativa promedio Altiplano 49 Porcentaje 2006 SENAMHI Valles 56 Porcentaje 2006 SENAMHI Llanos 72 Porcentaje 2006 SENAMHI

ks 0.74

Para La Paz 1.29otros 1

kh 1.2 para una humedad de 50%

t 10957.3day

sh ks kh

t

day

35 tday

0.0005 sh 0.00049

De esta ecuación la retracción por la deformación después de 30 años, si la humedad es de 50% puede ser esticomo ε sh, el cual corresponde a una fluencia lenta en la deformación de:

perd3 ModEfec sh 95 MPa

El coeficiente de fluencia lenta después de 30 años para la primera carga de la losa a una edad de 4 días puedeestimada con la siguiente ecuación:

kc 0.76


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kf

1

0.67

f́ c

MPa

62

0.89

ojo ver el dia de de apicación de tens

t 30 yr

ti 30 day aplicación de tensión (carga inicial), días después de que el concreto hvaciado

t ti 10927.3 day

Hu 80% humedad en porcentaje

tti 3.5 kc kf 1.58Hu

120

ti

day

0.118

t

day

ti

day

0.6

10t

day

ti

day

0.6

DefElas 0.00008 tti 2.42

El cual corresponde a una fluencia lenta de deformación de 2.2x0.08x10^-3.

deflu tti DefElas

Por lo tanto la pérdida en el tendón debido a la fluencia lenta será cerca de:

perd4 deflu ModEfec 37.7 MPa

La pérdida a largo plazo total es:

PerdT perd2 perd3 perd4 168.5 MPa

e) Tensión resultante en los tendones. La tabla siguiente resume las tensiones resultantes en los tendones inmediatamente después del anclajecuando solo la fricción y la pérdida por acortamiento elástico han ocurrido y las tensiones finales, fse, despuéde todas que todas las pérdidas han ocurrido. Notese que es una práctica común asumir que fse para talesestructuras es 0.6*fpu = 0.6 x 270 = 162 ksi (1117 MPa).En la tabla también se muestra la fuerza del tendón basado en una área de tendón de 0.215 in^2 (140 mm^2)

TABL

Tensión despuésdel anclaje

Tensión después detodas las pérdidas, fse

Fuerza del tendón despuéde todas las pérdidas

Tendón

Continuo E-O

Extra E-O

Continuo N-S

f1prom 1300MPa fse1 f1prom PerdT 1131 MPa fs1 fse1 Ap 157 kN

f3prom 1236 MPa fse2 f3prom PerdT 1068 MPa fs2 fse2 Ap 148 kN

f2prom 1300 MPa fse3 f2prom PerdT 1131 MPa fs3 fse3 Ap 157 kN


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a) Tipos comunes del PCI libro de diseño

Tipo de tendon Grado fpu Grado fpu Diam. Area Area Peso

ksi MPa in in^2 mm^2 plf

250 1724 1/4 0.036 23.2 0.12

270 1862 3/8 0.085 54.8 0.29

Cable trenzado 250 1724 3/8 0.08 51.6 0.27de 7 alambres 270 1862 1/2 0.153 98.7 0.53

250 1724 1/2 0.144 92.9 0.49

270 1862 0.6 0.215 138.7 0.74

250 1724 0.6 0.216 139.4 0.74

250 1724 0.196 0.0302 19.4 0.1

Enrollados de 240 1655 0.25 0.0491 31.6 0.17

pretensado 235 1620 0.276 0.0598 38.7 0.2

157 1082 5/8 0.28 180.6 0.98

Barras pretensadas 150 1034 1 0.85 548.4 3.01

deformadas 150 1034 1 1/4 1.25 806.5 4.39

150 1034 1 3/8 1.58 1019.4 5.56

b) Tipos comunes del CPCI manual de diseño métrico

Tipo de tendon Grado fpu Grado fpu Designación Diam. Area Masa

Mpa ksi de tamaño mm mm^2 kg/m

1860 270 9 9.53 55 0.432

1860 270 11 11.13 74 0.582

Cable trenzado 1860 270 13 12.7 99 0.775

de 7 alambres 1860 270 15 15.24 140 1.109

1760 255 16 15.47 148 1.173

1550 225 5 5 19.6 0.154

Enrollados de 1720 249 5 5 19.6 0.154

pretensado 1620 235 7 7 38.5 0.302

1760 255 7 7 38.5 0.302

1080 157 15 15 177 1.44

Barras pretensadas 1030 149 26 26.5 551 4.48

deformadas 1100 160 26 26.5 551 4.48

1030 149 32 32 804 6.53

1100 160 32 32 804 6.53

1030 149 36 36 1018 8.27

Paso 8: Cálculo del número y distribución de tendones.

La siguiente tabla resume la elección del número y distribución de los tendones. En la distribución delos tendones E - O, fue decidido concentrar cerca del 70 a 75% de los tendones en la faja de las columnas.Todos los tendones N - S están concentrados en la faja de las columnas. Notese que la tensión resultante decompresión promedio en la losa varia de 173 psi (1.19 MPa) a 260 psi ( 1.79 MPa). Típicamente los nivelesde rango en pre tensado son aproximadamente de 125 psi (0.86 MPa) a 500 psi (3.4 MPa)

El área del concreto será la longitud de su luz, multipicada por la altura de la losa:

Ac L1 h 14000cm2


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Fuerza total Requerida [kN]

F de columnas (No. de cables)

Fnja media (No. cables)

Total cables Tramo

Interior E-O

Final E-O

N-S

Ptotal P/A

dentro col

fuera col

L1 P1 1526 kN 6 4 3 T1 13 Pt1 T 1 fs1 PA1Pt1

Ac1.5M

Pt1 2040 kN T2 T1

L1 P2 1962 kN 6 4+2 3+2 T3 4 Pt2 T3 fs2 T2 fs1

Pt2 2632.3 kN PA2

Pt2

Ac1.9M

L1 P3 1770 kN 9 6 0 T4 15 Pt3 T 4 fs3 PA3

Pt3

Ac1.7M

Pt3 2353.5 kN

Paso 9: Cálculo de las propiedades del pórtico equivalente.

El análisis se llevará acabo usando el método del pórtico equivalente descrito anteriormente.

a) Rigidez equivalente en columna Kec, El método de pórtico equivalente idealiza las columnas comomiembros flexionados con una rigidez flectora uniforme sobre la altura clara de la columna y con la rigidezinfinita asumida sobre el espesor de la losa. Esto resulta en un miembro no prismático. Un métodoaproximado sugerido por Rice y Hoffman nos da la rigidez de la columna, Kc,

Kc4 Ec I

h1 2 h

Ec

donde: Ec = modulo de elasticidad para una columna de concretoI = momento de inercia de la columnah1 = altura entre pisos (centro a centro de losas)h = espesor de losaLa columna equivalente ( rigidez = Kec) se asume que consiste en las columnas reales de arriba y

abajo de la losa más un miembro transversal torsor sujeto a la dirección en la cual los momentos estánsiendo determinados y limitado por las lineas centrales de los paneles.

El cálculo de estas rigideces de columnas efectivas, están resumidas a continuación.

Ks4 Ecs I

L1c1

2

113592.7m kN

Datos: h1 2.7m

I 762552.1cm4

Inercia de la columna

X h X y Y son iguales a h y c1 para el caso de una losa sin vigas

Y c1

Ec1 1 psi módulo de elasticidad para la columna de concreto * Asumiendo EcEcs =1psi para c

Ecs1 1 psi módulo de elasticidad para la losa de concreto

1 2 se asumen dos columnas (arriba y abajo)

donde: Kc es la rigidez de la columna en la juntaKt es la rigidez torsional


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I [in^4] Kc C Kt Kec

c1*c2^3/12 Kc4 Ec1 I

h1 2 h Cc 1 0.63

X

Y

X3

Y

3 in3

Kt1 9 Ecs1 Cc in

3

L2 1c2

L2

3

Kec11

1 Kc

I 0.008m4

Kc

N m91.4 * Ec Cc 2716.4 in

Kt

N m25.6 Ec Kec

1

Kec1

Kec

N m22.5 * Ec

b) Rigidez en la losa, Ks.

El método del pórtico equivalente idealiza las LOSAS COMO VIGAS, teniendo una rigidezuniforme flexora a lo largo del claro del tramo y teniendo un incremento en la rigidez flectora desde la carade cada columna al centro de esa columna. Referencias sugieren un cálculo simplificado aproximado paraestimar Ks como:

IsL2 h

3

12 Ks 4 Ecs1 Is

L1c1

2

19.1 N m Ks1 4 Ecs1 IsL1

2

c1

2

39.9 N m

donde Ecs = Módulo de elasticidad de la losa de concretoIs = Mommento de inercia de la losa limitada por las lineas centrales de los panelesL1 = Luz de centro a centro entre las columnas en la dirección en la cual los

momentos son determinados.c1 = Dimensión de la columna en la dirección en la cual los momentos son

determinadosPara una franja ancha interior tipica L1.

Ks

N m19.1

Ecs

Ks1

N m39.9

Ecs

c) factores de distribución.

El factor de distribución para los momentos distribuidos en cada junta es:

Ks

Ks Kec

Los factores de distribución todos son tomados como 0.5

Paso 10. Cálculo de los momentos equivalentes debidos al pretensado.

Los cálculos de los momentos equivalentes debidos a el pretensado para los tramos E - O, sonresumidos en la Fig 11-34. Los cálculos de los momentos equivalentes debidos al pretensado para los tramos N - S son resumidos en la fig 11-35.

Momentos finales debido al pretensado en tramos E - O

a) Tramo interno: F12

3f1 eEO h2 1( ) 1.182i

Pt1 F1 61.2 kN m

b) Tramo final: F22

3f2 2.478i


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Pt2 F2 165.6 kN m

F72

3f2 eEO h2 1( ) 0.474 i

Pt2 F7 31.7 kN m No se toma en cuenta

Momentos finales debido al pretensado en tramos N - Sa) Tramo final: F4

2

3f3 2.747i

Pt3 F4 164.2 kN m

F62

3f3 eNS h 23( ) 1 mm

Pt3 F6 2.2 kN m

b) Tramo interno: F52

3f3 eNS h 24( ) 1 mm

Pt3 F5 3.3 kN m

Paso 11. Análisis del pórtico equivalente.

Para demostrar los procedimientos de análisis analizaremos el pórtico central equivalente en la lineade columna B y la linea de la columna 2. Calcularemos los momentos en la losa debido a la restricción de lasdeformaciones de pretensado, debido a la carga muerta y debido a la carga viva.

Si bien la carga viva que actúa sobre la losa es menor que 75%de la carga muerta, el patrón de cargaviva no necesita ser tomado en cuenta

La distribución de momentos para estos dos pórticos equivalentes son mostrados a continuación.

k1Ks

Ks Kec0.46 k2

Ks

2 Ks Kec0.315

Pt2 F2 165.6 kN m Pt2 F7 31.7 kN m Pt1 F1 61.2 kN m

-67 -59.8

0.039 0.217

0.435 0

-1.38 -0.168

-0.34 0

1.069 5.999

12 0

-38.1 -4.646

-9.29 0

-32 0.315 -61.2 0

0.46 165.6 0.315 61.2

-76.18 -9.29

-4.646 0

2.1373 12

5.9989 0

-2.759 -0.34

-0.168 0

0.0774 0.435

0.2173 0

90.28 64

1 2 3


20/44

m11 90.28kN m m12 67 kN m m13 64kN m m14 59.8 kN m

Momentos de empotramiento:

wu1 10kN

m2

ww1 wu1 L2 69.9kN

m wu 14.7

kN

m2

ww2 wu L2 103.1k

ww1 L12

12285.3 kN m

ww2 L12

12420.8 kN m

332 275

0 -0.374

-0.75 0

2.377 0

0 0

0 -10.33

-20.7 0

65.62 0

0 0

285 0.315 285.3 0

0.46 -285 0.315 -285

131.24 0

0 0

0 -20.7

-10.33 0

4.7541 0

0 0

0 -0.75

-0.374 0

-160 -307

1 2 3

489 405

0 -0.552

-1.1 0

3.506 0

0 0

0 -15.24

-30.5 0

96.78 0

0 0

421 0.315 420.8 0

0.46 -421 0.315 -421

193.57 0

0 0

0 -30.5

-15.24 0

7.012 0

0 0

0 -1.1

-0.552 0

-236 -452

1 2 3


21/44

Momentos de losa, debido a la carga muerta y a la carga viva:

m21 160 kN m m22 332kN m m23 307 kN m m24 275kN m

Momentos de losa, debido a la carga muerta y a la carga viva, ponderadas 1.4D +1.7L:

m31 236 kN m m32 489kN m m33 452 kN m m34 405kN m

Momentos en losas del análisis del pórtico equivalente para un ancho igual a L2, en la franja de diseño E-O la linea de columna B.

k3Ks

2Ks1 Kec0.187 k4 2 k3 0.374 Ks1 353.2 lbf in

Pt3 F5 3.3m kN Pt3 F6 2.2 m kN Pt3 F4 164.2m kN

24.4

-0.01

-0.61

1.62

0.09

-0.24

-14.1

37.8

2.06

0.374 -2.2

-3.3 0.187 -164 0.46

1.029 75.532

0 1.0285

-7.06 -0.473

0 -7.062

0.044 3.2486

0 0.0442

-0.3 -0.02

0 -0.304-9.59 -92.2

AB

OJO *** m41 9.59 kN m m42 24.4kN m m43 92.2 kN m -328

1.06

-2.82

0

0

24.5

-65.6

0

0.374 -285285 0.187 285.3 0.46

0 -131.2

0 0

12.27 0

0 12.271

0 -5.645

0 0

0.528 0

0 0.5278

298 161

AB


22/44

-484

0

1.56

-4.16

0

0

36.2

-96.8

0

0.374 -421

42 1 0.187 420.8 0.46

0 -193.6

0 0

18.1 0

0 18.099

0 -8.325

0 0

0.778 0

0 0.7784

440 238

AB

Momentos de losa, debido a la carga muerta y a la carga viva:

m51 298kN m m52 328 kN m m53 161kN m

Momentos de losa, debido a la carga muerta y a la carga viva, ponderadas 1.4D +1.7L:

m61 440kN m m62 484 kN m m63 238kN m

Paso 12: Cálculo de los momentos bajo cargas en servicio y bajo cargas mayoradas.

Por la combinación de los resultados del análisis de pórtico resumidos en la fig 11-36 y 11-37, losmomentos en las secciones críticas de la losa bajo cargas especificas y bajo cargas factoradas o de diseño son

obtenidasSuperposición de momentos Dirección, E-WMomentos por pretensado + cargas, no ponderadas y ponderadas (en ese orden)

Superposición de momentos Dirección, N-SMomentos por pretensado + cargas, no ponderadas y ponderadas (en ese orden)

M11 m11 m21 617.1 in kip M31 m41 m51 2552.6 in kip M12 m12 m22 2345.4 in kip M32 m42 m52 2687.1 in kip M13 m13 m23 2150.7 in kip M33 m43 m53 608.9 in kip M14 m14 m24 1904.7 in kip

M21 m11 m31 1289.7 in kip M41 m41 m61 3809.4 in kip M22 m12 m32 3735 in kip M42 m42 m62 4067.8 in kip M23 m13 m33 3434.1 in kip M43 m43 m63 1290.4 in kip M24 m14 m34 3055.3 in kip

Para los momentos medios se utiliza la aiguiente ecuación, no es el valor real pero se aproximación es muyconfiable al real

M1wu1 L2( )L1

2

8

M11 M12( )

2 260.5kN m

M2wu1 L2( )L1

2

8

M13 M14( )

2 198.8kN m


23/44

Momentos bajo cargas de servicio:

M12 265m kN M13 243 m kN M14 215.2 kN m

M11 69.7 kN m

M2 198.8 kN m M1 260.5 kN m

M3wu1 L2( ) L1

2

8

M32 M33( )

2 241.7kN m

M4 wu1 L2( ) L12

8M32 M31( )

2 131.9kN m

M32 303.6 m kN M31 288.4m kN

M33 68.8m kN

M4 131.9 kN m M3 241.7 kN m

Momentos bajo cargas ponderadas:

M5wu L2( )L1

2

8

M21 M22( )

2 347.3kN m

M6wu L2( )L1

2

8

M23 M24( )

2 264.6kN m

M22 422m kN M23 388 m kN

M24 345.2m kN

M21 145.7 m kN

M6 264.6 kN m M5 347.3 kN m


24/44

M7

wu L2( )L12

8

M4 3 M4 2( )

2 328.5kN m

M8wu L2( )L1

2

8

M4 1 M4 1( )

2 200.8kN m

M42 459.6 m kN M41 430.4m kN

M43 145.8m kN

M8 200.8m kN

M7 328.5 kN m

Paso 13: Verificación del tensado bajo cargas de servicio.

El cálculo de la tensión esta resumido a continuación.Cuando se calcula la tensión en la cara de una columna, la exentricidad del tendón en esta posición

necesita ser determinada. Esta excentricidad es la excentricidad en el centro de la columna menosh2(0.5c/L)^2

Se puede notar que ninguna de las tensiones excede al límite esfuerzo tensor Código ACI de 6(500) ^0.5 = 424 psi (2.93 MPa).

ybgh

210 cm

SeIs

ybg46666.7cm

3

eM 70.475 mm

1) Dirección E-O : ee1 eEO h210. 5c1

L1

2

3.29 cm

ee2 eEO h220. 5c1

L1

2

3.35 cm

Pt1 2040 kN

Pt2 2632.3 kN

p1Pt2 ee2

Se1890203.1Pa p3

Pt2 eM

Se4 MPa

p2Pt1 ee1

Se1. 4 MPa p4

Pt1 eM

Se3.1 MPa

mm1M12 0.78

Se4.4 MPa


25/44

mm2

M14 0.78

Se3.6 MPa

mm3M1

Se5.6 MPa

mm4M2

Se4.3 MPa

ff1 PA2 p1 mm1 0.7 MPa




2) Dirección N-S : ee3 eNS h230. 5c1

L1

2

5.15 cm

e1 3.63 cm Pt3 2353.5 kN

p5Pt3 ee3

Se2. 6 MPa p7

Pt3 e1

Se1. 8 MPa

p6Pt3 eM

Se3. 6 MPa

mm5M32 0.75

Se4.9 MPa

mm6

M3

Se5.2MPa

mm7M4

Se2.8 MPa


f < 2*(f`c)^0.5 ff6 PA3 p6 mm6 0.1 MPa

ff7 PA3 p7 mm7 0.7 MPa Max 2 psif´c

psi 0.88M

Franja de diseño

Ubicación -P/A -Pe/S M/S f

Cara sup B2 PA2 1.9 MPa p1 1.9 MPa mm1 4.4 MPa ff1 0.66 MPa Cara sup B3 PA1 1.5 MPa p2 1.4 MPa mm2 3.6 MPa ff2 0.7 MPa E - OCara inf tramo1-2 PA2 1.9 MPa p3 4 MPa mm3 5.6 MPa ff3 0.27 MPa

Cara inf tramo2-3 PA1 1.5 MPa p4 3.1 MPa mm4 4.3 MPa ff4 0.28 MPa

Cara sup B2 PA3 1.7 MPa p5 2.6 MPa mm5 4.9 MPa ff5 0.6 MPa

N - S Cara inf tramoA-B PA3 1.7 MPa p6 3.6 MPa mm6 5.2 MPa ff6 0.06 MPa

Cara inf tramoB-C PA3 1.7 MPa p7 1.8 MPa mm7 2.8 MPa ff7 0.69 MPa


26/44

Paso 14: Provisión del refuerzo para control de fisura.

Como ninguno de los esfuerzos tensores calculados sobre la cara inferior de la losa excede 2 ( 500) ^0.5 = 141 psi (0.98 MPa), el refuerzo de borde no es requerido en las áreas de momento positivo.

2 psi 5000 1 MPa

En las áreas de momento negativo cerca a las columnas, el área de refuerzo limite requerido en cada dirección

Ass1 0.00075h L1 10.5 cm2

se asume Ass 5 16mm( ) 2

4 10.05 cm

2 ARMADURA SUPERIOR <

Por lo tanto se usará 6 barras #5 ( = 16 mm) localizadas sobre un ancho de c1 + 3*h.Se proveerá refuerzo inferior con barras perpendiculares a todos los borde libres como se muestra a continuacEn la dirección E - O la relación de armadura, s , requerida de la ecuación:

Aps T 2 T 3( ) Ap 23.58cm2

ver paso 8

dp d

b L1

p Aps

b dp0.002

s1 0.0015 0.5 p 0.0006 pero no menor que 0.0005

condicionante:s s1 s1 0.0005if

0.0005 otherwise

0.00056

Por lo tanto el área mínima de refuerzo inferior, teniendo una altura efectiva d igual a 7 in (178 mm) es

dn h r1 18 cm altura útil del Aº no pretensado


27/44

dn1 dn 1.3 cm

Asinf s b dn 7.11 cm2

Asi 712mm( )

2

4 7.92 cm

2 ARMADURA INFERIOR

Según Collins & Mitchell, se propone una disposición de barras inferiores de un mismo largo y en los panelesexteriores. Debido a que la Armadura en fomra de pez representa una mejor opción se tomará esta disposicónarmadura. (ver detalle de planos)

Paso 15: Verificación de los requerimientos de resistencia a la flexión.

En orden de satisfacer los requerimientos de resistencia a la flexión del código ACI el diseño deresistencia a la flexión Mn debe ser mayor o igual al momento ponderado (momento de diseño) Mu, cuandose calcula Mn se tomará en cuenta la presencia de acero de refuerzo.

Los cálculos de resistencia a la flexión están resumidos a continuación. Una ilustración detallada delos cálculos implicados estan dados en el paso 7 del anexo 6. De la tabla 11 - 9 se puede ver que la resistenciaa la flexión de la losa es adecuada para todos los lugares.

Dirección E - O:

A1 T 2 T 3( ) Ap 23.6 cm2

s2 0.0015 0.5 A1 b dp 0.0006 As1 s2 b dn 7.1 cm2

A2 T 1 Ap 18 cm2

s3 0.0015 0.5A2

b dp 0.0008 As2 s3 b dn 9.9 cm

2

A3 T 4 Ap 20.8 cm2

s4 0.0015 0.5A3

b dp 0.0007 As3 s4 b dn 8.5 cm

2

ee1 3.3 cm dp1 ee1h

2 13.3 cm

ee2 3.4 cm dp2 ee2h

2

13.4 cm

eM 7 cm dp3 eMh

2 17 cm

e1 3.63 cm dp4 e1h

2 13.6 cm

ee3 5.154 cm dp5 ee3h

2 15.2 cm

fps1T2

T2 T3fse1

T3

T2 T3fse2 10 ksi

f́ c

300 A1

dp2 b

1222.2MPa

fps2 fse1 10 ksif́ c

300 A2

dp1 b

1248.4MPa

fps3T2

T2 T3fse1

T3

T2 T3fse2 10 ksi

f́ c

300 A1

dp3 b

1232.5MPa


300 A2

dp3 b

1262 MPa


28/44

fps5 fse3 10 ksi

f́ c

300 A3

dp5 b

1247.7MPa


300 A3

dp3 b

1253.6MPa


300 A3

dp4 b

1242.9MPa

1 0.85 f́ c 4000 psiif

0.85f́ c

psi4000

0.00005 otherwise

0.8

pero no menor a 0.65

1A1

b dp2

fps1

f́ c

dn1

dp2

Ass

b dn1

fy

f́ c

0.1263 no mayor a 0.36 1 0.3049

2A2

b dp1

fps2

f́ c

dn1

dp1

Ass

b dn1

fy

f́ c

0.1026

3A1

b dp3

fps3

f́ c

dn1

dp3

Asi

b dn1

fy

f́ c

0.0969

4A2

b dp3

fps4

f́ c

0.0681

5A3

b dp5

fps5

f́ c

dn

dp5

Ass

b dn

fy

f́ c

0.1016

6A3

b dp3

fps6

f́ c

dn

dp3

Asi

b dn

fy

f́ c

0.088

7A3

b dp4

fps7

f́ c

0.0968

a1A1 fps1 Ass fy

0.85 f́ c b2 cm Mn1 0.9 A1 fps1 dp2

a1

2

Ass fy dn1a1

2

380.3m kN

a2A2 fps2 Ass fy

0.85 f́ c b1.6 cm Mn2 0.9 A2 fps2 dp1

a2

2

Ass fy dn1

a2

2

313.5m kN

a3A1 fps3 Asi fy

0.85 f́ c b1.9 cm Mn3 0. 9 A1 fps3 dp3

a3

2

Asi fy dn1a3

2

467.5m kN

a4A2 fps4

0.85 f́ c b1.4 cm Mn4 0. 9 A2 fps4 dp3

a4

2

335.2m kN

a5A3 fps5 Ass fy

0.85 f́ c b1.8 cm

Mn5 0. 9 A3 fps5 dp5a5

2

Ass fy dna5

2

397.8m kN


29/44

a6A3 fps6 Asi fy

0.85 f́ c b1.8 cm

Mn6 0. 9 A3 fps6 dp3a6

2

Asi fy dna6

2

430.7m kN

a7A3 fps7

0.85 f́ c b1.6 cm Mn7 0. 9 A3 fps7 dp4

a7

2

299.2m kN

TABLA DE RESISTENCIA A LA FLEXIÓN

Franja de

Diseño

Ubicación Aps As dp d fps p p

d

d

M- cara col. B2 A1 23.6 cm

2 Ass 10 cm

2 dp2 13.4 cm dn1 fps1 1222.2 MPa 1 0.1263

M- cara col. B3 A2 18 cm

2 Ass 10 cm

2 dp1 13.3 cm dn1 fps2 1248.4 MPa 2 0.1026

E - OMax M+ tramo1-2 A1 23.6cm

2 Asi 7.9 cm

2 dp3 17 cm dn1 fps3 1232.5 MPa 3 0.0969

Max M+ tramo2-3 A2 18 cm

2 0 dp3 17 cm 0 fps4 1262 MPa 4 0.0681

M- cara col. B3 A3 20.8 cm

2 Ass 10 cm

2 dp5 15.2 cm dn fps5 1247.7 MPa 5 0.1016

Max M+ tramo1-2 N - S A3 20.8 cm

2 Asi 7.9 cm

2 dp3 17 cm dn fps6 1253.6 MPa 6 0.088

Max M+ tramo2-3 A3 20.8 cm

2 0 dp4 13.6 cm 0 fps7 1242.9 MPa 7 0.0968

Φ Mn mayor a >>> Mu

Franja de

Diseño

Ubicación Mn Mu

M- cara col. B2 Mn1 380.3 kN m 0.8 M22 337.6 kN m


E - OMax M+ tramo1-2 Mn3 467.5 kN m 1.2M5 416.8 kN m

Max M+ tramo2-3 Mn4 335.2 kN m 1.2M6 317.5 kN m


Max M+ tramo1-2 N - S Mn6 430.7 kN m 1.2M7 394.2 kN m

Max M+ tramo2-3 Mn7 299.2 kN m 1.2M8 241 kN m


30/44

Paso 16: Verificación del corte y los requerimientos de resistencia a la transferencia de momentos.

a) Columna interior crítica. la columna B2 tiene la más grande corte directo, vu, y un momento importante ser transferido. La área de aporte para corte en esta columna puede ser estimada desde el punto del máximomomento mostrados en la fig. Esta área de aporte es:

L11L1

2 L21

L2

2

Aumiendo corte cero en linea

de panelesL12 L12

L22 L22

Acoin L11 L12( ) L21 L22( ) 49m2

Está área de aporte es 13% mayor que el área de aporte asumiendo corte cero a lo largo de las lineas centrales panel. Se usará un altura efectiva,

d 18 cm

para el cálculo de la resistencia a corte, por lo tanto la fuerza de corte de diseño actuante sobre el corte crítico periférico es:

Vu1 1.4 ol al( ) 1.7 ll( )[ ] Acoin c1 d( ) c2 d( )[ ] 713.5 kN

El componente vertical de pretensado se puede hallar al asumir las contribucioines de los tendones qu pasana a travez de la sección crítica en las dos direcciones. Hay 5 tendones pasando a travez de 30.4 in (772mm) sección ancha crítica en la dirección E - O y 10 tendones en la dirección N - S. Por lo tanto de la ecuació

h22 1.042 cm h23 1.223 cm

fs1 156.9 kN fs3 156.9 kN

Vp12 5fs1( ) h22

L1( ) 2c1 d( )

2 10fs3( ) h23

L1( ) 2c2 d( ) 299.8 kN


31/44

Los momentos no balanceados en cada lado de la columna, causan un pandeo biaxial en la columna ytransferencia de los momentos en 2 direcciones como son mostrados en la figura.

Mm1 M22 M23 34m kN

Mm2 M42 M41 29.2m kN

Los términos requeridos para calcular las tensiones de corte factorados, son:

Acol 2 d c1 c2 2 d( ) 5256 cm2

E1c1 d( )

20.4m E2 E1

j1 c1 d( )d

3

6 c1 d( )

3 d

6 d c2 d( )

c1 d( )2

2 j1 0m4 j2 j1

v1 11

12

3

c1 d

c2 d

0.4 v2 v1

De la ecuación la tensión máxima de corte debido a Vu, Mu1, y Mu2 es:

vuVu1

Acol

v1 Mm1 E1

j1

v2 Mm2 E2

j2 1.6 MPa

La tensión permisible de corte puede ser hallada de la ecuación 11-13 y 11-17. De la Tabla 11-6, el fpc promedos direcciones es:

fpcpPA2 PA3( )

21.8 MPa

por lo tanto la tensión permisible de corte es:

sid

bo 1.5 4

f́ c 28 MPa fpc 1.7 MPa

1 0.85

p2 min 3. 5 sid

bo 1.5

3. 5 para psi

vc 1 p2 psi f´c

psi 0.3 fpc

Vp1

bo d

2.2 MP

Se tiene que el esfuerzo de corte permitido vc es mayor que el esfuerzo de corte factorado, entonceslos requerimientos para la resistencia al corte están cumplidos.

La porción del momento no balanceado transferido por flexión es 0.60 veces los momentos no

balanceados. De aqui que en la dirección E - O el momento resistente factorado requerido es 0.60 x 418 =251 in-kips (28 kN-m). Este momento debe ser resistido en una losa de ancho 24 + 3 x 8 = 48 in (1219 mm).En este ancho hay 5 tendones pasando a través de la columna más un tendón en cada lado de la columna. enadición hay 10 barras #4 ( =13 mm) en este ancho. Como se determinó previamente el esfuerzo en el pretensado, fps, último es 184.7 ksi (1274 MPa). La altura del bloque tensor rectangular equivalente es:

bAs c2 3 h 115 cm

a117 Ap fps1 Ass( ) fy

0.85 f́ c bAs5.9 cm

El diseño de resistencia a la flexión de esta parte de la losa es:


32/44

Mn 0 .9 7 Ap fps1 dp2a11

2

Ass( ) fy dn1a11

2

163.5 kN m

Por lo tanto no hay dificultad en transferir el momento no balanceado por la flexión

b) Columnas críticas exteriores. La columna B1 tiene un área de aporte de cerca de:

Acoex 27ft L11( ) L1 33.1m2

Por lo tanto la fuerza de corte factorada actuante sobre el corte periférico crítico es.

Vu2 1.4 ol al( ) 1.7 ll( )[ ] Acoex c1d

2

c2 d( )

480.5 kN

No se tomará en cuenta la componente vertical del pretensado. El momento a ser transferido en la dirección E

M21 145.7 m kN

Los términos requeridos para calcular la tensión de corte factorado, son:

A4 d 2c1 c2 2 d( ) 3618 cm2

E3

c1d

2

2

2 c1 c2 2 d 20.4 cm

E4c2 d

236.5 cm

j3

c1d

2

d3

c1d

2

3

d

6 c2 d( ) d E3( )

2

2 c1d

2

d

c1d

2

2 E3

2

0.01705m4

v3 11

12

3

c1d

2

c2 d

0.384

v4 11

12

3

c2 d

c1d

2

0.416

El valor del momento, Mu en el centroide de la sección crítica puede ser hallado desde Mu en la linea centrala columna menos el numero de veces de corte la distancia desde la linea central de la columna a el centroidela sección crítica = 6.48 in (165 mm). De aqui que:

ddc1

2E3

d

2

16.12 cm

Mu M21 Vu2 dd 68.3 kN m

De la ecuación 11-16 la tensión máxima de corte debido a Vu y Mu es:


33/44

vu1

Vu2

A4

v3 Mu E3

j3 1.6 MPa

El pequeñó momento adicional actuante en la dirección N - S no ha sido considerado en los cálculosanteriores.Para este lado de la columna el código ACI requiere que los efectos benéficos de pretensado sean omitidos y

por lo tanto, de las ecuaciones 11-14 y 11-17, la tensión de corte permisible, vc, es:1 0.85

cc1

c2 relación de lados de columna, larga entre corta

vc1 24

c

psi

fć

psi 2.6MP

1 vc1 2.2 MPa

bo1 c1 d 2 c2d

2

201 cm

vc1 debe ser menor o igual a :

vcc 1sb d

bo12

psifć

psi 1.8 MP

vcb 1 4 psifć

psi 1.5 MP

Por lo tanto: min vc1 vcc vcb( ) 1.5 MPa y la resistencia al corte es satisfactoria.

La porción del momento no balanceado o no equilibrado transferido por el momento en la losa es (1 - 0.387)

x 1157 in-kips = 709 in - kips (80 kN-m). Como se calculó previamente, el diseño de resistencia a flexión delas losa sobre un ancho de 24 + 3 x 8 )= 48 in /(1219 mm) es 1875 in-kips (212 kN-m). Por lo tanto, losrequerimientos del momento transferido son cumplidos.

c) Columnas en esquinas. Como se ve en la figura, las provisiones de corte en una viga en una dirección pueden ser utilizadas para determinar la resistencia al corte en la esquina de la losa. La geometría de lasección crítica es mostrada a continuación:


34/44

La fuerza de corte factorada actuante en la sección crítica es:

Solo para columnas cuadradas c1 = c2:

c12

c22

h

2 87.8 cm

bb c12

c22

77.8 cm

aa c12

c22

h

2

2

c12

c22

h

2

2

124.1 cm

Vu3 1. 4 ol al( ) 1. 7 ll( )[ ] L1 25cm( ) L11[ ] L2 25cm( ) L21[ ]aa aa

2

195.7 kN

El diseño de resistencia al corte es: bw aa aa 248.3 cm Longitud de la sección crítica

c1 c2 d 128 cm

Vc11 1 2 psif´c

psi bw d 333.8k

por lo tanto, se provee una resistencia adecuada al cortePaso 17: Análisis de requerimientos integrales estructurales.

El código ACI, requiere que una losa en dos direcciones sin vigas contenga por lo menos dos barras inferioresen cada dirección las cuales pueden ser continuas, empalmadas (longitud de empalme igual a 1.3 Ld) oancladas en los soportes.

Estas barras deben pasar a través de la columna y deberian ser colocadas dentro del núcleo de la columna.Estas barras inferiores tratan de proveer un nivel mínimo de "integridad estructural" permitiendo que la losase cuelgue de los soportes después de que una falla incial ocurra. debido a la falla tensional de punzonamiento, la barras superiores tienden a desprenderse de la superficie superior de la losa y por lo tantoson consideradas inefectivas. Mitchell y Cook recomiendan que el acero pretensado deformado, pasando a

través de las columnas o soportes, sean considerados como efectivos evaluando los requerimientos para unaestructura integra. Debido a que por lo menos 2 tendones deformados pasen a través de las columnas en cadadirección, los requerimientos para una estrucutra integral puede considerarse cumplida.Paso 18: Cálculo de deflexiones.

En el cálculo de las deflexiones a largo plazo solo se necesita considerar aquella carga sostenida (30%sobrecarga) en exceso de aquella balanceada por el postesado.

La máxima deflexión de la losa de piso ocurrirá en una de las esquinas de los paneles. Las deflexionesinstantáneas de carga viva para un panel de esquina debido a un patrón de cargas vivas puede ser aproximado por:

f́ c 28 MPa Resistencia característica de la columna Hº

Ecs 25044.6 MPa Fórmula para concreto de peso normal según el A= tangente de rigidez cuando la deformación ε ccero, fc/ε c.

ll 2.5kN

m2

Sobrecarga sin ponderación

W1 ll L2 17.5kN

m

Cargas totales por metro lineal, debidas a lasobrecarga, para deflexión instantánea.

W2 ll L1 17.5kN

m


35/44

d13.80W1 L1

4

384 Ecs Is

3.80W2 L24

384 Ecs Is 7.1mm DEF. por sobrecarg

defMinL1

36019 mm Deformación admisible

Verif "VERIFICA" d1 defMin( )if "NO VERIFICA" otherwise

"VERIFICA"

El total de la carga muerta es ol y el pretensado ha sido elegido para balancear 90% ol = 0.9*ol . Asumiremos el 30% de la carga viva es sostenida (0.3 x ll). Por lo tanto una carga uniforme W3 causará una deflexión en laesquina del panel igual a:

ol 4.8kN

m2

90% ol 4. 3kN

m2

90% del peso propio de la losa, balanceado por postesado.

ll 2.5kN

m2

30% ll 0. 8kN

m2

40% del peso total de la sobrecarga (sostenida)

dl al ol 7. 5kN

m2

suma carga adicional y peso propio

W3 dl 90% ol 30% ll 3.9kN

m2

Carga total para la deflexión a largo plazo.

d22.60 W3 L2( ) L1

4

384 Ecs Is

2.60 W3 L1( ) L24

384 Ecs Is 7. 6 mm DEF. a largo plazo.

La deflexión de fluencia lenta debido a la carga sostenida puede ser aproximada asumiendo un factor de fluenigual a λ =2. Asi tenemos que, la deflexión por fluencia lenta se espera que sea igual a:

2 d2 15.2 mm Deflexión a largo plazo.

La suma de deflexión por fluencia lenta y la deflexión debida a la carga viva no sostenida (con un factor de 70la sobrecarga es:

d3 2 d2 0.7 d1 2.02 cm

defMiL1

4801.46 cm

varDe d3 d3 defMiif

"No verifica" otherwise

"No verifica" cm d3 defMi 5.6 mm

8. Analisis de las flechas instantáneas y a largo plazo de un panel de esquina Losa diseñada con el MétoDiseño Directo.

10. Momentos bajo cargas de servicio y momento de fisur ación:

wd ol al( ) 7.5kN

m2

CARGAS SIN PONDERACI N

cargas sin ponderaciónll

Mod0 .1o l a l( ) L2 L1n

2

8115 kN m

ol 4.8kN

m2

peso propio

al

Modl0 .1o l a l ll( ) L2 L1n

2

8206 kN m

ol al 7. 5kN

m2

peso propio + carga adicionalmuerta

Mosos a l 0 .1o l

0.4ll

( ) L2

L1n

2

8151.4kN m


36/44

wd ll 10kN

m2

peso propio + carga adicional

Los momentos se distribuyen a los extremos y a los centros de la columna y a las franjas de columna eintermedia de acuerdo con los coeficientes dados en las tablas de las Secciones 13.6.3.3, 13.6.4.1, 13.6.4.2 y

13.6.4.4. En este caso, la relación de luces, ℓ 2 /ℓ 1, es igual a 1,0. En la siguiente tabla se indican losmultiplicadores del momento del panel, Mo, que se utilizan para hacer la distribución en un tramo extremo ofinal:

Para momentos debidos al peso propio

Mod = 116.8 kN-m

Ext. Negativo Positivo Int. Negativo

Total del panel 30.37 60.74 81.76

Franja de columna 30.37 36.44 61.32

Franja intermedia 0.00 24.29 19.86

Para mom debidos al peso propio y carga adicional muertaModl = 207.8 kN-m


Total del panel 54.03 108.06 145.46

Franja de columna 54.03 64.83 109.10


Para mom debidos a peso propio, carga ad y 40% sobrecarga

Mosos = 153.2 kN-m


Total del panel 39.83 79.66 107.24Franja de columna 39.83 47.80 80.43



37/44

fr 7.5 psi

f´c

psi 3.3 MP Ec 9-1

Ecs0c

lbf

ft 3

1.5

33 psi f́ c

psi 27381MPa Elast. para la losa

Ecs 25044.6 MPa

Ecc0c

lbf

ft3

1.5

33 psi f́ c

psi 27381MPa Elast. para las columnas

Ecc 25044.6 MPa

nEcs

Ecs1 relación módulo de elasticidad del Aº sobre la el módulo de elasticidad de la losa

12. Inercia alrededor del eje x, Ix para momentos negativos y positivos: yt = distancia desde el eje centroidal de la sección bruta a la fibra extretracción, sin tomar en consideración el refuerzo.yt

h

210 cm

Inercia del pórtico en estudio.Ipor Is 466666.7cm

4

Ipor = Momento de inercía Ix, de todo la franja de diseño (viga T), L1 7 m

Para momentos positivos: Análisis de vigas para los momentos positivos

Para momentos negativos:


38/44

Para este caso, el momento de inercia de una franja de columna o de una franja intermedia es igual a la mitad momento de inercia de la totalidad del pórtico equivalente:

IgIpor

2233333.3cm

4

El momento de fisuración ya sea de una franja de columna o de una franja intermedia se obtiene a partir de lasfórmulas habituales usadas para flexión, en base a la sección no fisurada, de la siguiente manera:

Mcr fr Ig

yt76.9 kN m

13. Momentos efectivos de inercia:

Comparando los momentos aplicados de las tablas con el momento de fisuración se puede ver que elmomento asignado en todas las ubicaciones, excepto en el apoyo interior de las franjas de columna para loscasos de carga permanente y carga sostenida, es menor que el momento de fisuración bajo las cargasimpuestas. Por lo tanto, el momento de inercia de la sección fisurada sólo se requiere para las franjas decolumna en las zonas de momento negativo. Las fórmulas para calcular el momento de inercia de la secciónfisurada se obtienen de la Tabla 10-2:

AS1 8 10mm( ) 2 4

6.3 cm 2

En caso de tratarse como una viga T, tenemos las siguientes fórmulas:

B

L1

2

n AS15570.4

1

m Ig1

L1

2h3

12233333.3cm

4 Ig 233333.3cm

4

Sin Aº de compresión:

kd12 d B( ) 1 1

B0.8 cm

1.2m

2

12.9 ft

2

Icr b kd1

3

3n AS1 d kd1( )

2 1975.2cm

4

Ig 233333.3cm4

Para obtener un momento de inercia equivalente para la ubicación fisurada, se debe aplicar la modificación deBranson a los momentos de inercia para secciones fisuradas y no fisuradas. El momento de inercia aproximaden las secciones fisuradas está dado por la fórmula general de la Ecuación (9-8) de ACI 318. A partir de lastablas desarrolladas en la Sección 4 anterior, las relaciones entre el momento debido a la carga permanentemás la sobrecarga, y el momento debido a la carga sostenida, y el momento de fisuración se determinan de lasiguiente manera:


39/44

Mcr 76.9m kN

a) Para peso propio + carga adicional:

Mcr

Ma20.641

Mcr

Ma2

3

0.263 < 1

b) Para peso propio + adicional + sobrecarga:

Mcr

Ma30.869

Mcr

Ma3

3

0.657 < 1

Ahora el momento de inercia equivalente para los tres casos se calcula ahora usando la Ecuación (9-8) de AC318):Para la carga por peso propio + carga adicional:

Ie1Mcr

Ma2

3

Ig 1Mcr

Ma2

3

Icr 62825.4cm

4

Para peso propio + carga adicional + sobrecarga:

Ie2Mcr

Ma3

3Ig 1

Mcr

Ma3

3

Icr 154018.8cm4

Finalmente, el momento de inercia equivalente para las secciones no fisuradas es simplemente el momento deinercia de la sección bruta, Ig.

Luego, para obtener un momento de inercia promedio para calcular las flechas, los valores correspondientes alos "extremos" y al "centro de la luz" se combinan de acuerdo con la Ecuación (1).

Para peso propio + carga adicional:

Iepr1 0.85 Ig 0.15 Ie1 207757.1cm

Para peso propio + carga adicional + sobrecarga:

Iepr2 0.85 Ig 0.15 Ie2 221436.2cm

Para obtener el momento de inercia equivalente para el "pórtico equivalente," el cual está formado por una frade columna y una franja intermedia, se deben sumar los momentos de inercia promedio de las respectivasfranjas. Para las franjas intermedias, el momento de inercia es el correspondiente a la sección bruta, Ig, y parafranjas de columna se utilizan los valores promedio calculados:

Para carga permanente solamente:

Iepo1 Ig Ig 466666.7cm4

Para carga permanente adicional:

Iepo 2 Ig Iepr1 441090cm

Para carga permanente más sobrecarga:

Iepo 3 Ig Iepr2 454769cm

Nota: En este caso, en el cual estamos considerando un panel de esquina, sólo hay la mitad de una franja decolumna a lo largo de los dos bordes exteriores. Sin embargo, las propiedades de la sección para la mitad deuna franja son iguales a la mitad de aquellas para una franja entera; además, los momentos aplicados a unafranja de borde son la mitad de los aplicados a una franja interior. En consecuencia, las flechas calculadas para la mitad de una franja son iguales a las calculadas para una franja entera. Estrictamente, estas relacionessólo son aplicables porque todos los paneles tiene las mismas dimensiones en ambas direcciones. Si los paneles no fueran cuadrados, o si algunos paneles adyacentes tuvieran diferentes dimensiones, seríanecesario efectuar cálculos adicionales.

14. Rigidez f lexional (Kec) de una columna exterior equivalente.


40/44

Kb 0 (no hay vigas)

La rigidez de la columna exterior equivalente se determina combinando la rigidez de las columnas superior einferior en el borde exterior del entrepiso con la rigidez torsional de una franja de la losa de entrepiso, paralela al borde normal a la dirección del pórtico equivalente y que se extiende en toda la longitud del panelentre las columnas. En el caso de una columna de esquina, obviamente la longitud es solamente la mitad de lalongitud del panel. El ancho de la franja es igual a la dimensión de la columna normal a la dirección del pórtico equivalente (ACI 318, R13.7.5).

La rigidez de la columna se calcula en base a la rotación resultante de la aplicación de un momento alextremosimplemente apoyado de un voladizo apuntalado, M = 4EI/L. En este caso el resultado es:I 762552.1cm4

Kc = 4*Ic*Ecc/hpiso Kc 4I

h1 11297.1cm

3 *Ecc

Debido a que las columnas por encima y por debajo de la losa tienen las mismas dimensiones, la rigidez total columnas es el doble de la rigidez de una sola columna:

2

Kc 22594.1cm3

*Ecc

La rigidez torsional de la franja de losa se calcula de acuerdo con la metodología indicada en R13.7.5 de ACI Kt =Σ 9Ecs / L2 (1− c2/L2)^3 . La constante torsional de la sección transversal, C, se define en la Sección 13.ACI 318.

x h y c1 Collins-Mitchell Pg. 538

C 1 0.63x

y

x3

y

3

113066.7cm

4

Kt= 9 C Ecc

L1 1c2

L2

3

Kt 9 C

L2 1c2

L2

3

3716.4cm3

*Ecc

Para un Pórtico Exterior, Kt1Kt

21858.2cm

3 *Ecc Ecc1

Ecc

Ecs1 *Ecs

La rigidez de la columna equivalente se obtiene tratando la rigidez de la columna y la rigidez de los elementostorsionales como si fueran resortes en serie:

Kec =1

1

Kc

1

Kt

Kec

Ecs

1

Kc Ecc1

1

Kt

79929 kNm

rad

Para un Pórtico Exterior,Kec1

Ecs

1

Kc Ecc1

1

Kt1

43001 kNm

rad

15. Flechas usando las ecuaciones (7) a (14).

Δ pórtico, extremos fijos, d pEd0.1ol al( ) L2 L1

4

384 Ecs Ipor 0.12 cm


41/44

Δ pórtico, extremos fijos, d + l pEdl

0.1ol al ll( ) L2 L14


Δ pórtico, extremos fijos, d +0.4l pEsos0.1ol al 0.4ll( ) L2 L1

4


Δ c,m (extremos fijos) = (LDF)c,m (Δ pórtico extremos fijos) (I pórtico/Ic,m)

pEd0ol L2 L1

4


pEdl0al( ) L2 L1

4

384 Ecs Ipor 0.1 cm

pEsos0ll( ) L 2 L1

4


L1

480

1.5 cm LT 3 pEd0 3 pEdl0 pEsos0 0.9 cm( )

Estas flechas se distribuyen a las franjas de columna e intermedias en función a la relación entre el momentototal aplicado y la rigidez (M/EI) de las respectivas franjas y la del pórtico completo. Como se puede ver enel Paso 4 anterior, la fracción de momento flector asignada a las franjas de columna o intermedias varía entrelos extremos y el centro del tramo. Por lo tanto, al aproximar las flechas mediante este método, se utiliza lafracción de distribución de momentos promedio (Factor de Distribución Lateral - LDF). Además, debido aque el momento de inercia equivalente varía cada vez que se supera el momento de fisuración, se utiliza unmomento de inercia promedio. Este momento de inercia promedio se calcula en base a la Ecuación (9-8) deACI 318 y la Ecuación (1) de este capítulo. Finalmente, como el módulo de elasticidad es constante en todala losa, el término E aparece tanto en el numerador como en el denominador y por lo tanto se cancela. Losfactores de distribución lateral se calculan de la siguiente manera:

Para la franja de columna:Mint 0.7 Mext 1 M 0.6

LDFc1

2

1

2Mint Mext( ) M

0.7

Para la franja intermedia:

LDFm 1 LDFc 0.3

Flecha en la franja de columna:

Δ c, extremos fijos, d ced LDFc pEd Iepo1

Ig 0.17 cm

Δ c, extremos fijos, d + l cedl LDFc pEdlIepo2

Iepr1 0.33 cm

Δ c, extremos fijos, l cel cedl ced 0.16 cm

Δ c, extremos fijos, sos d +0.4l ces LDFc pEsos Iepo3

Iepr2 0.24 cm


42/44

Flecha en la franja intermedia: med LDFm pEd

Iepo1

Ig 0.06 cm

medl LDFm pEdlIepo2

Iepr1 0.12 cm

mel

medl

med

0.06 cm

mes LDFm pEsosIepo3

Iepr2 0.08 cm

Además de los desplazamientos de los extremos fijos hallados, es necesario sumar un incremento o flechaadicional a cada uno debido a la rotación real que ocurre en los apoyos. La magnitud del incremento es iguala qL/8. Las rotaciones, q, se determinan como los momentos netos en las ubicaciones de las columnasdivididos por las rigideces efectivas de las columnas. En este caso, el momento de la franja de columna en lacolumna de la esquina del entrepiso es igual a la mitad del 100% de 0,26 × Mo (ACI 318, Secciones13.6.3.3 y13.6.4.2). Debido a que la franja de columna en el borde del entrepiso tiene sólo la mitad del ancho de lasfranjas de columna interiores, sólo actúa la mitad del momento asignado. Los momentos netos en las otrascolumnas son muy pequeños o nulos, y por lo tanto se desprecian. Los momentos netos en una columna deesquina para los tres casos de carga son:

Mnd1

20.26 1 Mod 15 k N m

M netoMndl

1

20.26 1 Modl 26.8 kN m

Mnsos1

20.26 1 Mosos 19.7 kN m

Tanto para la franja de columna como para la franja intermedia

deMnd

Kec10.000348rad

θ extremo = dleMndl

Kec10.000623rad

soseMnsos

Kec10.000458rad

Δ θ = θ extremo (L/8)(Ig/Ie)pórticod de

L1

8

Ig

Ig0.03 cm

dl dleL1

8

Ig

Iepr10.06 cm

l dl d 0.03 cm

sos soseL1

8

Ig

Iepr20.04 cm

Estas flechas debidas a las rotaciones que hemos calculado corresponden a las franjas de columna. Las flechadebidas a las rotaciones de los extremos para las franjas intermedias se supondrán iguales a las de las franjas dcolumna. Por lo tanto, las flechas de las franjas se calculan mediante la relación general:

Δ c,m = Δ c,m (extremos fijos) + (Δ θ ) cd ced d 0.2 cm

md med d 0.09 cm

cl cel l 0.19 cm


43/44

ml mel l 0.09 cm

cs ces sos 0.28 cm

ms mes sos 0.13 cm

Δ c,m = Δ cx + Δ my = flecha en el centro de un panel de esquina

id cd md 0.3 cm

il cl ml 0.27 cm

is cs ms 0.4 cm

La flecha a largo plazo se puede calcular usando la Ecuación (9-11) de ACI 318 (Nota: ρ ' = 0):Sólo para carga permanente:

para 5 años: 2

´AS1

L1 d 0.0005

1 50´2

Δ (cp+sh) d = 2*Δ id d 2 id 0.6 cm

Para carga sostenida (carga permanente + 40% de la sobrecarga):

Δ (cp+sh) sos = 2*Δ isos s 2 is 0.81 cm

La flecha a largo plazo debida a la carga sostenida más la sobrecarga se calcula como:

Δ (cp+sh) sos + Δ il sos s il 1.08 cm


44/44

Estas flechas calculadas se comparan con las flechas admisibles de la Tabla 9.5(b) del código de la siguientemanera:Cubiertas planas que no soportan, ni están unidas a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños poefecto de las flechas:

L1n

1803.6 cm il 0.3 cm

Δ il < Ln o L/180V1 "Verifica"

L1n

180ilif


"Verifica" L1n( ) 6.5 m

Entrepisos que no soportan, ni están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecde las flechas:

L1n

3601.8 cm il 0.3 cm

Δ il < Ln o L/360 V2 "Verifica"L1n

360 ilif


"Verifica"

Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños efecto de las flechas:

L1n

4801.34 cm sos 1.08 cm sos

L1n

480 2. 6 mm

V3 "Verifica"L1n

480sosif


"Verifica" Δ cp+sh + Δ il < Ln/480

Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales que no son susceptibles de sdaños por efecto de las flechas:

L1n

2402.7 cm sos 1.08 cm

V4 "Verifica"L1n

240sosif "Verifica"

Δ cp+sh + Δ il < Ln/240

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Calculo y Diseño Losa Postensada H28-20