TÍTULO DEL PROYECTO:  

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

CALCULO III

INTEGRANTES: 

CASTAÑEDA GUSMAN, HUGO RABANAL IBAÑEZ, ROSA SAIRA

VILLANUEVA SANCHEZ, ALEJANDROVILLANUEVA SANCHEZ, JHON

INTRODUCCIÓN

• Las palabras ecuaciones y diferenciales ciertamente sugieren alguna clase de ecuación que contiene derivadas y´, y”,… Al igual que en un curso de algebra y trigonometría, en los que se invierte bastante tiempo en la solución de ecuaciones tales como x 2+ 5x+4 = 0 para la incógnita x, en este proyecto una de las tareas será resolver ecuaciones diferenciales del tipo y” + 2y´+ y = 0 para la función incógnita y = φ (x).

• Para el desarrollo de una ecuación diferencial hay varios métodos y técnicas. Para leer, estudiar y platicar, de este tema se tiene que aprender la terminología de esta disciplina. Se examinara brevemente y vinculo de las ecuaciones diferenciales y el mundo real. Las preguntas prácticas como: ¿Que tan rápido se propaga una enfermedad? ¿Qué tan rápido cambia una población? Implican razones de cambio o derivadas. Así la descripción matemática o modelo matemático de experimentos, observaciones o teorías puede ser una ecuación diferencial.

OBJETIVOS

• Aplicar todos los conocimientos previos, para la solución de problemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

• Resolver problemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes, empleando los tres casos para obtener sus respectivas soluciones.

• Resolver problemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes, empleando el método de operadores anuladores o el método del Wronskiano.

• Demostrar las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden en problemas de vibraciones mecánicas.

• 2.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

NO HOMOGENEOS

INTRODUCCIÓNLas ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes no homogéneas son de la forma:

donde a, b y c son constantes y es una función continua. La ecuación homogénea corresponde a:

recibe el nombre se ecuación diferencial homogénea (EDH) asociada y juega un importante papel en la resolución de la ecuación deferencial original.

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficiente constante y término g (x ) variable es de la forma:

ay ′′ + by ′ + cy = g (x)

La Solución General es la suma de dos tipos de soluciones, una solución complementaria (yc) y una solución particular (yp).

La Solución complementaria yC satisface la ecuación homogénea:Ayc″ + byc ′ + cyc = 0

La Solución particular yP satisface la ecuación no homogénea:ayp” + byp’ + cyp = g (x)

Esta solución, si es de forma polinómica o exponencial o trigonométrica de senos y cosenos, se la puede determinar empleando el llamado Método de los coeficientes indeterminados

resumen

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

Para esta ecuación debemos tener en cuenta el discriminante:

Según el resultado aplicaremos:

• Caso I

> 0

• Caso II

= 0

• Caso III

< 0 β

ECUACIÓN PARTICULAR

Utilizaremos dos métodos:

1. Método de los Coeficientes Indeterminados

g(x) Forma1 1(cualquier constante) A2 3x + 7 Ax + B3 2 A4

5 Sen4x Acos4x + Bsen4x6 Cos4x Acos4x + Bsen4x78 (9x-2) (Ax + B)9 (

10

11 5 (A12

13

14 A

15

ECUACIÓN PARTICULAR

2. Método del Wronskiano

ECUACIÓN generalYg = yc + yp

EJERCICIOS

Solución

Hacemos

Hallar ecuación diferencial característica.

• Hallamos la solución particular

• Derivamos por primera vez • Derivamos nuevamente por segunda

vez

• Como G(x) es un polinomio de grado 2 buscamos la solución particular de la forma

• Remplazamos y en la ecuación diferencial no homogénea.

• Luego la solución general es :

=

Solución

• Hacemos:

Hallamos la ecuación característica.

• Hallamos la solución particular

• Remplazamos en:

4=

• Luego la solución general será:

3)

Solución:

0

•

3.- APLICACIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

3.1. Vibraciones mecánicas

Podemos encontrar ejemplos de vibraciones mecánicas en los rebotes de un coche debido a los baches, en las vibraciones de un puente debido al tráfico y al viento, o en las alas de

un avión debido a la vibración de los motores y al viento. Como modelo para estudiar las vibraciones mecánicas vamos a considerar un sistema masa-resorte. Estudiaremos el tipo de soluciones que se obtienen desde el caso más

sencillo, el de un sistema libre sin amortiguación, hasta un sistema con amortiguación y forzado, viendo qué tipo de movimiento describen las distintas soluciones en función de los

parámetros que intervienen en la ecuación de este sistema.

Figura 3.2: Sistema masa-resorte.

• Veamos ahora las diversas fuerzas que actúan sobre la masa m:

Gravedad: la fuerza de la gravedad, F1, es una fuerza dirigida hacia abajo y de magnitud mg, donde g es la aceleración debida a la gravedad,

F1 = mg.

Fuerza de restitución: el resorte ejerce una fuerza de restitución, F2, cuya magnitud es proporcional al alargamiento del resorte y de sentido opuesto al movimiento:

F2 = −k (x + l).

Observemos que cuando x = 0, es decir en la posición de equilibrio, la fuerza de la gravedad y la fuerza ejercida por el resorte se equilibran entre sí, por tanto, mg = kl y podemos expresar la fuerza de restitución como:

F2 = −kx − mg.

Fuerza de amortiguación: puede existir una fuerza de amortiguación o fricción, F3, sobre la masa, por ejemplo la resistencia del aire o bien la fricción debida a un amortiguador. En cualquier caso, suponemos que la fuerza de amortiguación es proporcional a la magnitud de la velocidad de la masa, pero en sentido opuesto al desplazamiento:

F3 =

Donde b > 0 es la constante de amortiguación dada en unidades de masa/tiempo.

Fuerzas externas: la resultante de todas las fuerzas externas, F4, que actúen sobre la masa (por ejemplo, una fuerza magnética o las fuerzas ejercidas sobre un automóvil ocasionadas por los baches del pavimento) vendrán representadas por:

F4 = f (t).

Suponemos que dichas fuerzas sólo dependen del tiempo y no de la posición ni velocidad.

Aplicando ahora la segunda ley de Newton, tenemos que:

Obteniéndose la ecuación diferencial lineal de segundo orden:

(1.1)

(I) MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Algunos ejemplos físicos de este tipo de problemas son los muelles helicoidales.

En este caso la ecuación (1.1) se reduce a:

.

Dividiendo por m, se tiene:

Donde . La ecuación obtenida es homogénea con ecuación auxiliar asociada:

r2 + ω2 = 0.

Puesto que sus raíces son complejas conjugadas, r = ±ωi, obtenemos la solución general:

x(t) = C1 cos (ωt) + C2 sin (ωt).

Si cambiamos a unas nuevas constantes A y φ dadas por:

C1 = A sin φ,

C2 = A cos φ,

es decir,

Y

se tiene que:

x(t) = C1 cos (ωt)+C2 sin (ωt) = A sin φ cos (ωt)+A cos φ sin (ωt) = A sin (ωt + φ);

es decir, podemos expresar la solución general de la forma:

x(t) = A sin(ωt + φ). (1.2)

(II) MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

• En la mayoría de las aplicaciones existe algún tipo de fuerza de fricción o amortiguación que desempeña un papel importante. En este caso, la ecuación

• (1.1) queda:

•

• Al resolverla obtenemos distintos tipos de soluciones dependiendo de las raíces del polinomio característico:

(II.1) MOVIMIENTO OSCILATORIO O SUBAMORTIGUADO:

Se presenta cuando

b2 < 4mk,

es decir, cuando la amortiguación es pequeña. En este caso, a partir de

(3.28) se obtienen dos raíces complejas conjugadas, α ± iβ donde:

y la solución general es:

x(t) = eαt(C1 cos (βt) + C2 sin (βt)).

En esta fórmula no aparece oscilación; para comprender el movimiento descrito por (3.29) analicemos el comportamiento de x(t) cuando t tiende a infinito:

Además

es idénticamente 0 cuando C1 = C2 = 0 o a lo sumo se anula en un punto.

Si no tenemos en cuenta la solución trivial, se deduce que x(t) tiene a lo sumo un máximo o un mínimo local para t > 0, por tanto, no oscila.

Cualitativamente tenemos tres posibilidades de movimiento dependiendo de las condiciones iniciales (ver Figura 3.4)

.

En el caso (a) la masa m no pasa por la posición de equilibrio ni alcanza un desplazamiento extremo relativo para t > 0. Simplemente se aproxima al equilibrio monótonamente cuando t tiende a +∞.

En el caso (b) la masa no pasa por la posición de equilibrio para t > 0, pero su desplazamiento alcanza un extremo ´único para t = t1 > 0. Después, la masa tiende monótonamente a la posición de equilibro cuando t tiende a +∞.

En el caso (c) la masa pasa por su posición de equilibrio una vez, en t = t2 > 0; luego alcanza su desplazamiento extremo en t = t3, tendiendo al equilibrio de forma monótona cuando t tiende a +∞.

Este movimiento se llama críticamente amortiguado porque si b disminuyese de valor aparecería la oscilación.

Movimiento sobremortiguadoObtenemos cuando b2 > 4mk

m ^2+ br + k = 0 , luego, resolviendo esta ecuación algebraica, tenemos en este caso, existen dos 𝑟raíces reales distintas en la ecuación auxiliar:

Luego, se debe cumplir la siguiente condición:

y la solución general es:

x(t) = C1er1 t + C2er2 t.

r2 < 0 y, se tiene que b>) y r1 < 0. Luego ambas raíces son negativas, por tanto:

Además:

x´(t) = e t(C1r1 + C2r2e(r2−r1 )t);

Vibraciones forzadasConsideremos ahora las vibraciones de un sistema masa-resorte cuando se aplica una fuerza externa, definida por f (t); es de particular interés la respuesta del sistema a un terminó de forzamiento periódico. Por ejemplo:

CASOS DE VIBRACIONES FORZADAS:

En el caso de un movimiento subamortiguado

puesto que , las raíces de la ecuación auxiliar son α ± iβ con α = − b/2m y B = y la solución de la ecuación homogénea asociada es:

Hallemos ahora una solución particular por el método de los coeficientes indeterminados.

xp(t) = A1 cos (γt) + A2 sin (γt),

con A1 y A2 constantes a determinar. Para ello, derivamos dos veces,

x´(t) = −γA1 sin (γt) + γA2 cos (γt),

x”(t) = −γ2A1 cos (γt) − γ2A2 sin (γt)

y sustituimos en la ecuación diferencial,

(k−γ2m) (A1 cos (γt) + A2 sin (γt))+γb (−A1 sin (γt) + A2 cos (γt)) = F0 cos (γt).

Igualando términos, llegamos a un sistema con incógnitas A1 y A2:

y

Por tanto, una solución particular viene dada por:

Podemos escribir la solución de la forma:

llegamos a la solución general:

El primer sumando de esta expresión es el término transitorio, que tienden a cero cuando t tiende a +∞, debido al factor de amortiguación e− b/2m t;; por eso recibe el nombre de solución transitoria.

El segundo sumando es el terminó estacionario, función senoidal con frecuencia angular γ.

El terminó estacionario se encuentra desfasado con respecto a la fuerza externa

f (t) = cos γt por el ´ángulo θ – π/2 :

Estudiemos ahora el caso de las vibraciones forzadas cuando no hay amortiguación.

La ecuación que describe el movimiento es:

Una solución particular es:

Si , haciendo b = 0.

O bien es de la forma:

xp(t) = A1t cos (γt) + A2t sin (γt)

Aplicando el método de los coeficientes

indeterminados, llegamos a:

Así, si γ = ω, la solución general es:

La aplicación de una fuerza periódica de frecuencia cercana o igual a la frecuencia de las oscilaciones libres no amortiguadas puede causar un serio problema en cualquier sistema mecánico oscilatorio.

EJERCICIOS

Sustituyendo x(0) = 70, tenemos que 70 = C1. Para sustituir la otra condición inicial debemos derivar x(t) :

Sustituyendo ahora x´(0) = 10, se tiene:

y la solución del problema de valor inicial es:

Al cabo de 10 segundos, el desplazamiento será:

• Ejemplo 1. En el estudio de un resorte vibratorio con amortiguación se llega a un problema de valor inicial de la forma

siendo x(t) el desplazamiento medido a partir de la posición de equilibrio en un instante t y donde:• m = masa sujeta al sistema,• b = constante de amortiguación,• k = constante del resorte,• x0 = desplazamiento inicial,• v0 = velocidad inicial.• Determinemos la ecuación del movimiento de este

sistema cuando m = 36

kg, b = 12 kg/sg, k = 37 kg/sg2, x0 = 70 cm y v0 = 10 cm/sg. Halla el desplazamiento al cabo de 10 segundos.

Solución: Buscamos la solución de la ecuación diferencial:

36x” + 12x´ + 37x = 0

con condiciones iniciales x(0) = 70 y x´(0) = 10. La ecuación auxiliar asociadas:

36r2 + 12r + 37 = 0

cuyas raíces son r = −1/6 ± i. Por tanto, la solución general es:

0 = X(0) = C1cos0 + C2sen0 = C1

X(t) = C2sen

La velocidad inicial está dada como Vo = 150 cm/seg = 1.5 m/seg. Derivando, obtenemos:

V(t) = (t) = cos

1.5 = V(0) = cos0 =

C2 = = 0.6708

X(t) = 0.6708 sen

Como la posición de la masa en cualquier tiempo t.

• ’ Ejemplo 2.- Una masa de 2kg se suspende de un resorte que tiene una constante conocida de 10N/m y se le permite llegar a la posición de reposo. Luego se le pone en movimiento dándole una velocidad inicial de 150cm/seg. Encuentre una expresión para el movimiento de la masa, asumiendo que no hay resistencia del aire.

X(t) = C1cos + C2sen

Solución:

En t = 0, la posición de la bola es la posición de equilibrio Xo = 0 m. aplicando esta condición, encontramos:

= sen (t) - cos (t)

La solución general es:

X = + = C1 + C2+ sen (t) - cos (t)

Aplicando condiciones iniciales, obtenemos:

X = (-90 + 99+ 13sen (t) - 9cos (t))

• Ejemplo 3.- Una masa de 10kg se une a un resorte que tiene una constante de 140N/m. la masa se pone en movimiento desde su posición en equilibrio con una velocidad inicial de 1m/seg en la dirección ascendente y con una fuerza externa aplicada F(t) = 5sen(t). encuentre el movimiento posterior de la masa si la fuerza debida a la resistencia del aire es -90N.

Solución:

+ 9 + 14x = sen (t)

+ 9 + 14x = 0

= C1 + C2

Usando el método de coeficientes indeterminados, encontramos que:

• Ejemplo4.- Verificar que el sinusoide con amortiguamiento exponencial dado por

y(t) = cos4t en una solución de la ecuación m + b + ky = Fext (t). Si = 0, m = 1, k = 25 y b = 6.

• Solución:

Las derivadas de Y son:

(t) = -3cos4t - 4sen4t

(t) = 9cos4t + 12sen4t + 12sen4t - 16cos4t

= -7cos4t + 24sen4

Y al sustituir en (m + b + ky) se tiene:

m + b + ky = (1) + 6 + 25y

= -7cos4t + 24sen4t + 6(-3cos4t - 4sen4t + 25cos4t

= 0

• Ejemplo5.- Una bola de acero que pesa 180lb se suspende de un resorte, que luego se estira 2 pies de su longitud natural. La bola es puesta en movimiento sin velocidad inicial, despezándola 6 pulgadas por encima de su posición de equilibrio. Asumiendo que no hay resistencia del aire, encuentre: a) una expresión para la posición de la bola en cualquier tiempo t y b) la posición de la bola en t=π/12seg.

Solución:

X(t) = C1cos + C2sen

En t=0, la posición de la bola es = -pie.

- = X(0) = C1cos0 + C2sen0 = C1

X(t) = - cos + C2sen

La velocidad inicial esta dada como = 0 pies/seg. Derivando, obtenemos:

V(t) = (t) = 2sen + 4C2cos

De esta manera C2 = 0, se simplificará así:

X(t) = - cos

Como la ecuación de movimiento de la bola de acero en cualquier tiempo t. En

t=π/12seg.

X( ) = - cos = - pie

Ejemplo5.- Una bola de acero que pesa 180lb se suspende de un resorte, que luego se estira 2 pies de su longitud natural. La bola es puesta en movimiento sin velocidad inicial, despezándola 6 pulgadas por encima de su posición de equilibrio. Asumiendo que no hay resistencia del aire, encuentre: a) una expresión para la posición de la bola en cualquier tiempo t y b) la posición de la bola en t=π/12seg.

Solución:

En t=0, la posición de la bola es = -pie.

La velocidad inicial esta dada como = 0 pies/s. Derivando, obtenemos:

De esta manera C2 = 0, se simplificará así:

Como la ecuación de movimiento de la bola de acero en cualquier tiempo t. En

t=π/12s.

Ejemplo 6.- Un peso de 128lb se une a un resorte que tiene una constante de 64lb/pies. El peso se pone en movimiento sin velocidad inicial desplazándolo 6 pies hacia arriba de la posición de equilibrio y aplicándole simultáneamente una fuerza externa de f(t) = 8sen4t. Asumiendo que no hay resistencia del aire, encuentre el movimiento subsiguiente del peso.

Solución:

La solución a la ecuación es:

Una solución particular se encuentra por medio del método de los coeficientes

Indeterminados: x_p = - 1/4t cos4t, entonces la solución es:

Aplicando condiciones iniciales X(0) = - 1/2 y X (0) = 0, obtenemos: #

Ejemplo 7.- Una fuerza de 400 N estira un resorte 2 m. Una masa de 50 kg se sujeta al extremo del resorte y se la suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 10 m/s. Halle la ecuación del movimiento.

Ecuación del movimiento

Ejemplo 8.- Resolver e interpretar el problema de valor inicial:

Solución:

Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución:

Resulta

De modo que y por lo tanto

La ultima ecuación implica que =0 y por lo tanto la ecuación de movimiento es x(t)=10cos 4t.

La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es

2π/4 = π /2 segundos.

Ejemplo 9. teniendo en cuenta las condiciones iniciales a x(0)=0 y x´(0)=, determine x(t).

Solución. La solución general sigue siendo

x(t)=.

Sin embargo, las condiciones iniciales nos conducen a los valores de y .

En consecuencia x(t)=.

Se tiene que x´(t)=

De donde se observa que x(t) alcanza un desplazamiento maximo en t= 1/8 s igual a

Ejemplo 10. Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 4 lb estira un resorte de 6 pulgadas. El medio ofrece una resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2.5 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación del si el peso se desplaza 4 pulgadas por debajo de la posicion de equilibrio y se suelta.

Solucion. La ecuación diferencial del movimiento es:

=-8x-2.5

O equivalentemente

+20 +64x=0

Las condiciones iniciales son

X(0)= , x´(0)=0.

La ecuación auxiliar es y sus raíces son de modo que

X(t)= +

La condición x(0)= implica que

+ ,

En tanto que x´(0)=0 nos lleva a

-4-16=0.

Haciendo sumatoria de las 2 ecuaciones obtenemos los siguientes valores:

𝑐1𝑒− 4 𝑡

Por consiguiente X(t)=

Como se observa no ocurre oscilaciones ya que el peso tiene tanto amortiguamiento que solo retorna gradualmente a la posición de equilibrio sin pasar por esta. Se trata de un movimiento sobreamortiguado .

=-

CONCLUSIONES

• Aprendimos cuales son los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Esto se logró leyendo, resumiendo y practicando en los casos que se presentaron.

• Se resolvió problemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes, a través de tres casos obteniendo sus respectivas soluciones.

• Se resolvió problemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes, empleando el método de operadores anuladores o el método del Wronskiano.

• Se resolvió y demostró la aplicación de las ecuaciones diferenciales de segunda orden en problemas de vibraciones mecánica.