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TRABAJO COLABORATIVO
FASE IIl
WILLIAM ANDRES ESTUPIÑAN NIÑO
CODIGO: 9375058
GRUPO: 100411_317
TUTOR
MIRYAN PATRICIA VILLEGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
CALCULO INTEGRAL
MARZO DE 2014
1. Hallar el área que hay entre las gráficas de f ( x )=x2+2 y f ( x )=1−x entre x = 0 y x = 1.
La fórmula del área bajo la curva es,
A=∫a
b
(f ( x )−g(x ))dx
Entonces, el área bajo la curva es
A=∫0
1
((x2+2 )− (1−x ) )dx
A=∫0
1
(x2+x+1 )dx
A= x3
3+ x2
2+x|10
A=116U 2
f ( x )=1−x
f ( x )=x2+2
2. Hallar el área de la región limitada por las graficas f ( x )= (x−1 )2 y g (x )=−x+3
Según la gráfica, los puntos de intersección (−1,4 ) y (2,1 ) representan las fronteras para hallar el área bajo la curva.
Según la fórmula de área bajo la curva, tenemos
A=∫−1
2
((−x+3 )−( x−1 )2 )dx
A=∫−1
2
(−x+3−x2+2 x−1 )dx
A=∫−1
2
(−x2+x+2 )dx
Integrando,
A=−x3
3+ x2
2+2 x| 2−1
g ( x )=−x+3
f ( x )= (x−1 )2
A=92U 2
3. Hallar el área de la superficie lateral del solido que se obtiene al rotar la gráfica de y=2√ x entre x=3 y x=8 alrededor del eje x
Para hallar el área de la superficie lateral se usa la formula,
Entonces,
f ( x )=2√ xf ´ ( x )= 1
√ x
Reemplazando en la formula
A=2π∫3
8
2√x √1+( 1√x )2
dx
A=2π∫3
8
2√x √1+( 1x )dx
A=4 π∫3
8 √ x(1+( 1x ))dx
A=4 π∫3
8
√ x+1dx
Integrando,
A=2∗4 π3
( x+1 )32|83
A=1523
π U 2
4. Hallar la longitud de y= x3
6+ 12 x
entre x=1 y x=3
La fórmula para la longitud de la función,
L=∫a
b
√1+[ f ´ ( x ) ]2dx
f ( x )= x3
6+ 12 x
f ´ ( x )= x2
2− 12 x2
Reemplazando en la formula,
L=∫1
3 √1+[ x22 − 12 x2 ]
2
dx
Despejando,
L=∫1
3
√1+ x4
4−12+ 1
4 x4dx
Simplificando,
L=∫1
3
√ 12+ x4
4+ 1
4 x4dx
Ordenando,
L=∫1
3
√ 2x4+x8+14 x4dx
L=∫1
3
√ ( x+1 )2
(2x2 )2dx
Simplificando,
L=∫1
3x+12 x2
dx
L=∫1
3x2x2
+ 12 x2
dx
L=∫1
312x
+ 12x2
dx
Integrando,
L= ln x2
− 12 x |31
L=0,8826U 2
Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.
5. La región limitada por las gráficas de f ( x )=xy f ( X )=0.5 x2gira alrededor del eje X. ¿Cuál es el volumen del sólido que resulta de esta rotación?
f ( X )=0.5 x2
La fórmula para hallar el volumen en revolución es,
V=∫a
b
π [ (R ( x ) )2−( r ( x ) )2 ]dxEntonces,
R ( x )=x
r ( x )=0.5 x2
V=∫0
2
π [ ( x )2−(0.5x2 )2 ]dx
V=π∫0
2
[ x2−0.25 x4 ] dx
Integrando,
V=π ( x33 −0.255
x5)|20V=16
15π U 3
6. La región limitada por las gráficas de y= (x−1 )2y y=1+xse hace girar alrededor del eje X. Hallar el volumen del sólido resultante.
y= (x−1 )2
y=1+x
R ( x )=1+x
r ( x )=( x−1 )2
V=∫0
3
π [ (1+x )2−( ( x−2 )2 )2 ]dx
V=∫0
3
π [ (1+x )2−(x2−4 x+4 )2 ]dx
V=∫0
3
π [(1+2x+x2)−(x4−8x3+24 x2−32 x+16 ) ]dx
V=π∫0
3
[1+2 x+x2−x4+8x3−24 x2+32 x−16 ]dx
V=π∫0
3
[−15+34 x−23x2+8 x3−x4 ]dx
Integrando,
V=π [−15 x+17 x2−233 x3+2x4− x5
5 ]|30V=801
5π
7. Hallar el centroide de la región limitada por la grafica y=x2, el eje x y la recta x=2
X=2y=x2
Las fórmulas para hallar el centroide de la región limitada:
x=∫a
b
x [ f ( x )−g (x)] dx
A
y=
12∫a
b
[ f ( x )2−g ( x )2 ]dxA
El Área mencionada se halla así:
A=∫0
2
x2dx= x3
3 |20=83Hallando el centroide,
x=∫0
2
x [ x2 ] dx
8/3
x=∫0
2
x3dx
8/3=
x4
4 |208/3
=16/48 /3
x=32
y=
12∫0
2
[ (x2 )2 ]dx8 /3
y=
12∫0
2
[ x4 ] dx
8/3=
12 [ x55 ]|208/3
=
12 ( 2
5
5 )8/3
=
12 ( 2
5
5 )8 /3
=
12∗32
58 /3
y=65
El centroide es: (3/2, 6/5)
8. Hallar el centro de masa (Ce) de un objeto cuya función densidad es: ρ ( x )= x6+2 para
0 ≤ x ≤ 6.
La fórmula para hallar el centro de masa es,
C e=∫a
b
x ρ (x )dx
∫a
b
ρ ( x )dx
Reemplazando en la ecuación,
C e=∫0
6
x ( x6 +2)dx∫0
6
( x6 +2)dx
C e=∫0
6
( x26 +2x )dx∫0
6
( x6 +2)dxIntegrando,
C e=
x3
18+x2|60
x2
12+2 x|60
C e=4815
=165
C e=3,2Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales.
9. Un objeto se empuja en el plano desde x=0, hasta x=10, pero debido al viento la fuerza que debe aplicarse en el punto x es F ( x )=3 x2−x+10 ¿Cuál es el trabajo realizado al recorrer esta distancia? Especificar el trabajo en Julios.
El trabajo es,
W=∫a
b
F ( x )dx
W=∫0
10
3x2−x+10dx
W=x3− x2
2+10x|100
W=1050 julios
10. Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte 1/2 pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.
W=∫a
b
F ( x )dx ,donde F (x )=kx
Al aplicar las 20 libras, el resorte se estira de 0.5 pulgadas. Por consiguiente la ley de Hook es igual a
35=K (0,5 )
k=70 libras / pulgadas
Planteando la ecuación de trabajo,
W=∫8
11
70x dx
W=35 x2|118 =35 (11 )2−35 (8 )2
W=1995ergios
11. Dadas las funciones demanda D=50− x2
2y oferta S ( x )=26+x , el excedente del
consumidor en el punto de equilibrio es:
El excedente del consumidor es,
E .C=∫0
6
50− x2
2dx−QP
E .C=50x− x3
6 |60−(6 ) (32 )
Punto intersección (6,32)
S ( x )=26+x
D=50− x2
2
E .C=264−192
E .C=72
12. Hallar el Excedente del Productor (EP), el Excedente del consumidor (EC) y el Punto de
Equilibrio (PE) de S ( x )=xy D ( x )=−x3
+4.
El punto de equilibrio es,
S ( x )=D ( x )
x=−x3
+4
x=−x+123
3 x=−x+12
4 x=12
X E=124
=3
Y E=−33
+4=3
Y E=3
El punto de equilibrio es P (3,3)
El excedente del consumidor,
E .C=∫0
3−x3
+4 dx−Q∗P=4 x− x2
6 |30−(3 ) (3 )
E .C=10.5−9
E .C=1.5
El excedente del productor,
E . P=Q∗P−∫a
b
s ( x )dx=9−∫0
3
x
E . P=9− x2
2 |30=9−92E . P=4.5