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Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales
• Separación de raíces reales • Método de bisección • Método de la falsa posición (regula falsi) • Método de Newton-‐Raphson • Método iterativo de punto Gijo • El caso de las raíces múltiples
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Separación de raíces reales Teorema de Bolzano Enunciado:
Sea f una función real con.nua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0.
a b
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales:
Las ecuaciones no lineales del tipo trascendente contienen funciones que pueden desarrollarse en serie inGinita y pueden tener inGinitas soluciones.
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales:
Para ecuaciones que pueden representarse mediante un polinomio de grado n (>1), existen n raíces. Pero estas raíces pueden ser: a) Todas reales b) Todas complejas, (n=2m, xk=ak ± bki, k=0,1,...n) c) Mixtas Multiplicidad de las raíces
)())()(()(
210
2
210
)(
n
n
n
n
xxxxxxxxxaxaxaaxp
−−−−=
++++=
…
…
∑ =−−−=r
r
m
r
mmn nmxxxxxxxp r ;)()()()( 10
10
)( …
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Separación de raíces reales
4204092513)( 234)4( ++−−= xxxxxp
7680)15(990)10(420)0(600)3(16830)10(
)4(
)4(
)4(
)4(
)4(
+=
−=
+=
−=−
+=−
ppppp
)12)(7)(1)(5()()4( −−++= xxxxxp
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Método de bisección
4204092513)( 234)4( ++−−= xxxxxp
7680)15(990)10(420)0(600)3(16830)10(
)4(
)4(
)4(
)4(
)4(
+=
−=
+=
−=−
+=−
ppppp
600)3(44.2060)5.6(
16830)10(
)4(
)4(
)4(
−=−
+=−
+=−
ppp
600)3(51.184)75.4(44.2060)5.6(
)4(
)4(
)4(
−=−
−=−
+=−
ppp
51.184)75.4(21.643)625.5(44.2060)5.6(
)4(
)4(
)4(
−=−
+=−
+=−
ppp
51.184)75.4(47.164)1875.5(21.643)625.5(
)4(
)4(
)4(
−=−
+=−
+=−
ppp
51.184)75.4(19.25)96875.4(47.164)1875.5(
)4(
)4(
)4(
−=−
−=−
+=−
ppp
19.25)96875.4(72.65)078125.5(47.164)1875.5(
)4(
)4(
)4(
−=−
+=−
+=−
ppp
00.0)0.5()4( =−→ p
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Método de la falsa posición (regula falsi)
bbfaf
afaafbf
bfabafbf
afax)()(
)()()(
)()()()(
)(−
+−
=−−
−=
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Método de la falsa posición (regula falsi)
4204092513)( 234)4( ++−−= xxxxxp
600)3(1170)6(
)4(
)4(
−=−
+=−
pp
600)3(34.523)4(
1170)6(
)4(
)4(
)4(
−=−
−=−
+=−
ppp
34.523)4(87.259)6.4(
1170)6(
)4(
)4(
)4(
−=−
−=−
+=−
ppp
87.259)6.4(22.94)9.4(
1170)6(
)4(
)4(
)4(
−=−
−=−
+=−
ppp
22.94)9.4(23.30)96.4(
1170)6(
)4(
)4(
)4(
−=−
−=−
+=−
ppp
00.0)0.5()4( =−→ p
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Método de Newton-‐Raphson (método de iteración de un solo punto)
,...2,1,0;)()()(
)()()1( =
ʹ′−=+ n
xfxfxx
n
R
n
Rn
R
n
R
40950394)(
4204092513)(
23
234
+−−=ʹ′
++−−=
xxxxf
xxxxxf
x(n) f(x) f'(x) x(n+1) -‐6.0 1170.00 -‐1559.00 -‐5.2495 -‐5.2 224.05 -‐981.92 -‐5.0213 -‐5.0 17.56 -‐829.71 -‐5.0002 -‐5.0 0.14 -‐816.11 -‐5.0000 -‐5.0 0.00 -‐816.00 -‐5.0000
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Método de Newton-‐Raphson (Variante Newton-‐secante)
)()()(
)( )1()(
)1()(
)()()1( −
−
+ −−
−= n
R
n
Rn
R
n
R
n
Rn
R
n
R xxxfxf
xfxx
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Método iterativo de punto Gijo (método de iteración de un solo punto)
)(
0)()(
)()1( n
R
n
R xFx
xFxxf
=
=−=
+
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
22)()(2)(
2
2
++−=
−=−−=
xxxFxFxxxxf
Ecuaciones no lineales: Método iterativo de punto Gijo x(n) F(x) f(x) 1.0 3.00 -‐2.00 3.0 -‐1.00 4.00 -‐1.0 -‐1.00 0.00
x(n) F(x) f(x) 3.0 -‐1.00 4.00 -‐1.0 -‐1.00 0.00
x(n) F(x) f(x) 4.0 -‐6.00 10.00 -‐6.0 -‐46.00 40.00 -‐46.0 -‐2206.00 2160.00
-‐2206.0 ######## ########
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Cómo detectarlos i) Valores de f(xR
(n)) muy pequeños con n crecientes, en tanto que |xR
(n)-xR(n-1)| permanece relativamente grande.
ii) La velocidad de convergencia de |xR(n)-xR
(n-1)| 0 se muestra excesivamente lenta.
En general,
0)(;0)()()()( )()1( ≠==ʹ′ʹ′=ʹ′= −
R
j
R
j
RRR xfxfxfxfxf …
)()()( xgxxxf j
R−=
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Métodos para determinar la multiplicidad 1) Crear una función auxiliar
[ ]
…,3,2,1,0;)()(
1,01)(lim;)()()(1)(
0)(;)()()(
)(
)()()1(
2
=ʹ′
−=
>≠=ʹ′ʹ′
ʹ′ʹ′−=ʹ′
=ʹ′
=
+
→
nxxxx
jj
xxfxfxfx
xxfxfx
n
R
n
Rn
R
n
R
xx
R
R
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Métodos para determinar la multiplicidad 1) Crear una función auxiliar
[ ]2
2
23
)()()()(
)()()(
68)(364)(133)(
xfxfxfx
xfxfx
xxfxxxfxxxxf
ʹ′ʹ′ʹ′
=ʹ′
ʹ′=
−=ʹ′ʹ′
+−=ʹ′
−+−=
ϕ
ϕ
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Métodos para determinar la multiplicidad 1) Crear una función auxiliar
[ ]2
2
23
)()()()(
)()()(
68)(364)(133)(
xfxfxfx
xfxfx
xxfxxxfxxxxf
ʹ′ʹ′ʹ′
=ʹ′
ʹ′=
−=ʹ′ʹ′
+−=ʹ′
−+−=
ϕ
ϕ
n x(n) f(x) f'(x) f"(x) ϕ(x) ϕ'(x) x(n+1) 0 0.00 -1.00 3.00 -6.00 -0.33 0.67 0.50 1 0.50 -0.13 1.00 -2.00 -0.13 0.25 1.00 2 1.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 #¡DIV/0!
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Métodos para determinar la multiplicidad 2) Suponer g(x)≈ cte Usando el método de Newton-‐Raphson
)()(
)()()(
)(
)()()1(
n
R
n
Rn
R
n
R
R
xfxfjxx
jxx
xfxf
ʹ′−=
−≈
ʹ′
+
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Métodos para determinar la multiplicidad 3) Estimación de una multiplicidad j2 Tomando dos valores x y x’ separados de xR y efectuando las aproximaciones
( ))~/()~(ln))(/)(ln(~
)~()~(~
)()(
)~(~)()~(~)(
)1()1(21
1
1
1
2
2
2
2
RRj
R
jR
jR
jR
xxxxxfxfj
xxxx
xfxf
xxctexfxxctexf
−ʹ′−
ʹ′→
−ʹ′−
ʹ′→
⎩⎨⎧
−ʹ′ʹ′
−
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones: lineal (no homogéneo)
nrr
bxaxa
bxaxa
nnnnn
nn
==
=
=++
=++
)ˆ()ˆ(
ˆ
11
11111
bAA
bxA
………
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Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones: lineal (no homogéneo) Método de Gauss con pivote
83252322325
321
321
321
−=−−
+=++
−=+−
xxxxxxxxx
112325
3
32
321
+=
+=+
−=+−
xxxxxx
101
3
2
1
+=
+=
−=
xxx
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Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones: no lineal Por simplicidad se utilizará un sistema formado sólo por dos ecuaciones 1. Método de Newton-‐Raphson 2. Método del gradiente
⎩⎨⎧
=
=
0),(0),(
yxgyxf
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Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones: no lineal Método de Newton-‐Raphson
⎩⎨⎧
+≈−
+≈−→
⎩⎨⎧
+=
+=
+
+
),(),(),(),(),(),(
1
1
nnynnnxnnn
nnynnnxnnn
nnn
nnn
yxgkyxghyxgyxfkyxfhyxf
kyyhxx
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Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones: no lineal Método de Newton-‐Raphson
⎩⎨⎧
+=
+=
yxyxgyxyxf
21
),(cos),(
21
21
1
−=
∂∂
=∂∂
xxgxf
1
sin
=∂∂
−=∂∂
xg
yyf
n x(n) y(n) f(x,y) g(x,y) df/dx df/dy dg/dx dg/dy hn kn 0 0.10 0.00 1.10 0.32 1.00 0.00 3.16 1.00 -‐0.10 0.78 1 0.0 0.78 0.71 0.78 1.00 -‐0.71 #¡DIV/0! 1.00 #¡DIV/0! #¡DIV/0!
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Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones: no lineal Método del gradiente
n
n
x
nnn
x
nnn
ySyy
xSxx
yS
xSSS
yxgyxfS
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=
∂∂
+∂∂
=∇=
=+=
+
+
λ
λ
1
1
22
ji grad
0)),(()),((
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Sistemas de ecuaciones: no lineal Método del gradiente
Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
⎩⎨⎧
+=
+=
yxyxgyxyxf
21
),(cos),(
yxyyyxyS
yxyxxS
yyxxyyxxS
22cossin2sin2
1cos22
2coscos2
21
21
22122
++−−=∂∂
+++=∂∂
+++++=
λn= 0.001
x y dS/dx dS/dy 0.05 0.80 2.67 0.98 0.05 0.80 2.66 0.97 0.04 0.80 2.65 0.96 0.04 0.80 2.64 0.94 0.04 0.80 2.64 0.93 0.04 0.80 2.63 0.92 0.03 0.79 2.62 0.91 0.03 0.79 2.61 0.90 0.03 0.79 2.60 0.88 0.03 0.79 2.59 0.87 0.02 0.79 2.58 0.86 0.02 0.79 2.56 0.84 0.02 0.79 2.55 0.82 0.02 0.79 2.54 0.81 0.01 0.79 2.53 0.79 0.01 0.79 2.52 0.77 0.01 0.79 2.50 0.74 0.01 0.79 2.49 0.72 0.00 0.78 2.47 0.68 0.00 0.78 2.44 0.63 0.00 0.78 #¡NUM! #¡NUM!
Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)