1.- Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas

un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:

a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.

b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

Solución:

Círculo

Ac = (pi/4) D^2 = (pi/4) (Per/pi)^2 = (1/4pi) Per^2

Triángulo equilátero

Lt = Per/3

Altura = ( raíz(3)/2) * Lt = (raíz(3)/6)*Per

At = (1/2) L*H = (raíz(3)/36) * Per^2

A = (1/(4*pi)) x^2 + (raíz(3)/36) * (L - x)^2

A = 0.0796 x^2 + 0.0481 (100 - x)^2

dA/dx = 2 [(1/4pi) x - (raíz(3)/36) * (L - x)]

Mínimo

x = [(raíz(3)/36) * L] / ( (1/4pi) + (raíz(3)/36)]

x = 37.64 cm

Amín = 0.0796 (37.64)^2 + 0.0481 (62.36)^2 = 299.8 cm^2

Los máximos relativos los tenemos en los extremos del intervalo

El mayor coeficiente de área con respecto al perímetro es el del círculo (resultado clásico).

Entonces, máximo en x = 0 (todo el alambre para el círculo)

Amax = 0.0796 (100) ^2 = 796 cm^2

2) Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm. de lado y se quiere hacer una caja sin

tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser

la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea

máximo?

cortando los cuadrados de lado a de las esquinas,

nos queda una base cuadrada de lado (50 - 2 a) = 2 (25-a)

y altura a

V = [2*(25 - a)]*(2 a)

V = 8 * a*(25 - a)^2

V = 8 ( 625 a - 50 a^2 + a^3)

dV/da = 8 ( 625 - 100 a + 3a^2) = 0

a^2 - 100/3 a = - 625/3

a^2 - 2*(50/3) a + 2500/9 = 2500/9 - 625/3 = (2500 - 1875)/9 = 625/9

a - 50/3 = +/- 25/3

a1 = 25/3(máximo) ; a2 = 75/3 = 25 (mínimo)

L =25cm/3 =8.33 cm

3) Calcular los máximos y mínimos de la función: F(x) = x 3- 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

F'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de

derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f (1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)

4. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

Solución:

Se debe maximizar el área A de un rectángulo:

Designemos con "x", "y" las

longitudes de los lados del

rectángulo.

A=xy

Luego

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es

2x+2y =120

: de donde y=60 -x.

Luego A(x)=x (60-x) =60x-x2

Como A, (x) =60-2x y A

, (x) = 0 x =30

Entonces x=30 es un valor crítico.

Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada.

Como A”(x) = -2x y A” (30) = -2(30) =-60<0, entonces es un valor máximo.

Si entonces y =30 por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área

y perímetro 120m.

5. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible

Solución:

Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos.

Sean estos números: x, y

Luego P=xy

Como la suma de esos números es 10, entonces x+y =10 es la ecuación auxiliar, de

donde y=10-y.

Entonces: p(x)=x (10-x)=10x-x2

Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función P(x)

Derivando: P(x) =10-2x

Valores críticos; (x) =010-2x=0-5

En X=5 se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo o un valor

máximo.

Como P”(X)

=-2 entoces P”(x) -2<0 entonces por lo que en X=5 se tiene un valor

máximo.

Si X=5 entonces Y=10-5=5. Luego, los números positivos cuyo producto es

máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.