Calculos -Aproximacion Por Minimos Cuadrados

Aproximacin Polinomial de Mnimos Cuadrados Ciclo 2007III

INTRODUCCION

El presente trabajo forma parte de los objetivos y contenidos de aprendizaje del curso de clculos en ingeniera qumica, que pretende desarrollar las habilidades para la utilizacin de los mtodos lineales y estimacin de mnimos cuadrados. En este trabajo bsicamente se habla de cmo desarrollar la aplicacin de los mtodos lineales y estimacin por mnimos cuadrados, adems de inferencia prediccin y correlacin. Se desarrolla un problema de aplicacin mediante el cual se trata de presentar de manera ms sencilla el uso de este mtodo, incluyendo fundamentos tericos de fisicoqumica para una evaluacin ms certera del problema as mismo la discusin de resultados y llegando a una conclusin en general.

Clculos en Ingeniera Qumica 1


TEMA: APROXIMACION POLINOMIAL DE MINIMOS CUADRADOS

Cuando se asocia un error sustancial a los datos, la interpolacin polinomial es inapropiada y puede llevar a resultados no satisfactorios cuando se usa para predecir valores intermedios. Los datos experimentales a menudo son de ese tipo. Una estrategia mas apropiada en estos casos es la de obtener una funcin aproximada que ajuste adecuadamente el comportamiento o la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente con cada punto en particular. Una lnea recta puede usarse en la caracterizacin de la tendencia de los datos sin pasar cobre ningn punto en particular. Una manera de determinar la lnea, es inspeccionar de manera visual los datos graficados y luego trazar la mejor lnea a travs de los puntos. Aunque este enfoque recurre al sentido comn y es valido para clculos a simple vista es deficiente ya que es arbitrario. Es decir, a menos que los puntos definan una lnea recta perfecta (en cuyo caso la interpolacin seria apropiada), cada analista trazara rectas diferentes. La manera de quitar esta subjetividad es considerar un criterio que cuantifique la suficiencia del ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la diferencia entre los datos y la curva y el mtodo para llevar a cabo este objetivo es al que se le llama regresin con mnimos cuadrados. SUPOSICIONES DE LA REGRESIN LINEAL

Los valores de la variable independiente X son fijos, medidos sin error. La variable Y es aleatoria Para cada valor de X, existe una distribucin normal de valores de Y

(subpoblaciones Y) Las variancias de las subpoblaciones Y son todas iguales. Todas las medias de las subpoblaciones de Y estn sobre la recta. Los valores de Y estn normalmente distribuidos y son estadsticamente

independientes. PROBLEMAS AL AJUSTAR UN MODELO DE REGRESION LINEAL SIMPLE Al ajustar un modelo de regresin lineal simple de pueden presentar diferentes problemas, bien porque no existe una relacin lineal entre las variables o porque no se verifican las hiptesis estructurales que se asumen en el ajuste del modelo. Estos problemas son los: Falta de Linealidad, porque la relacin entre las dos variables no es lineal o porque las variables explicativas relevantes no han sido incluidas en el modelo. Existencia de valores atpicos e influyentes, existen datos atpicos que se separan de la nube de datos muestrales e influyen en la estimacin del modelo. Falta de Normalidad, los residuos del modelo no se ajustan a una distribucin normal Heterocedasticidad, La heterocedasticidad es la existencia de una varianza no constante en las perturbaciones aleatorias de un modelo economtrico. Dependencia (auto correlacin), existe dependencia entre las observaciones.



MTODOS DE MNIMOS CUADRADOS. El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersin se conoce como "el mtodo de los mnimos cuadrados". El ejemplo mas simple de una aproximacin por mnimos cuadrados es el ajuste de una lnea recta a un conjunto de parejas de datos observadas: , ( 1 1 y x , ) , ( 2 2 y x , ) , ( 3 3 y x ,,) , ( n n y x ). La recta resultante en donde a y b son coeficientes que representan la interseccin con el eje de las abscisas y la pendiente, E es el error o residuo entre las observaciones y el modelo, y presenta dos caractersticas:

Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste

Es mnima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna

otra recta dara una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado



REGRESIN LINEAL El ejemplo mas simple de una aproximacin por mnimos cuadrados es el ajuste de una lnea recta a un conjunto de parejas de datos observadas: (x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn). La expresin matemtica de una lnea recta es:

Exaay ++= 10 (1) En donde a0 y a1 son coeficientes que representan la interseccin con el eje de las abscisas y la pendiente, respectivamente y E es el error o residuo entre el modelo y las observaciones, que se puede representar reordenando la ecuacin (1) como: xaayE 10 += (2) Por lo tanto, el error o residuo es la diferencia entre el valor real de y y el valor aproximado, a0+a1x, predicho por la ecuacin lineal.

CRITERIO PARA UN MEJOR AJUSTE Una estrategia que obtiene la mejor lnea a travs de los puntos debe minimizar la suma de los errores residuales, como en:

= =

=n

i

n

iiii xaayE

1 110 )(

Otro criterio seria minimizar la suma de los valores absolutos de las diferencias, esto es:

[ ] = =

=n

i

n

iiii xaayE

1 110

Una tercera estrategia en el ajuste de una lnea ptima es el criterio de mnimas. En este mtodo, la lnea se escoge de tal manera que minimice la distancia mxima a la que se encuentra un punto de la lnea recta. Esta estrategia esta mal condicionada para regresin ya que influye de manera indebida sobre un punto externo, aislado, cuyo error es muy grande. Se debe notar que el criterio mnimas algunas veces esta bien condicionado para ajustar una funcin simple a una funcin complicada. Una estrategia que ignora las restricciones anteriores es la de minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, Sr, de la siguiente manera:

( ) = =

==n

i

n

iiiir xaayES

1 1

210

2 (3)

Este criterio tiene muchas ventajas, incluyendo el que ajusta una lnea nica a un conjunto dado de datos. Antes de analizar estas propiedades, se muestra un mtodo que determina los valores de a0 y a1 que minimizan la ecuacin (3). AJUSTE DE UNA RECTA UTILIZANDO MNIMOS CUADRADOS. Para determinar los valores de las constantes a0 y a1, se deriva la ecuacin (3) con respecto a cada uno de los coeficientes:

( )( )

( )

=

=

=

iir

iirr

xaayaS

xaayaS

aS

100

1000

2

120

( )( )

( )[ ]

=

=

=

iiir

iiirr

xxaayaS

xxaayaS

aS

101

1011

2

20



Ntese que se han simplificado los smbolos de la sumatoria; a menos que otra cosa se indique, todas las sumatorias van desde i=1 hasta n. Igualando estas derivadas a cero, se genera un mnimo Sr. Si se hace as, las ecuaciones anteriores se expresaran como:

=

=2

10

10

0

0

iiii

ii

xaxaxy

xaay

Ahora considerando que 0a = n 0a , las ecuaciones se pueden expresar como un conjunto de dos ecuaciones lineales simultaneas con dos incgnitas (a0 y a1): =+ ii yxana 10 (4)

=+ iiii xyxaxa 210 (5) A estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones normales. Se pueden resolver simultneamente y obtener:

( )221

=

ii

iiii

xxn

yxyxna (6)

Este resultado se puede usar junto con la ecuacin (4) para obtener:

_

1

_

0 xaya = (7)

En donde __xyy son la media de y y x, respectivamente, quedndonos

entonces la siguiente ecuacin para a0:

( )

=

22

2

0

ii

iiiii

xnx

xyyxxa (8)

EL ERROR ESTNDAR DE LA ESTIMACIN El error estndar de la estimacin designado por SYX mide la disparidad "promedio" entre los valores observados y los valores estimados de Y ^. Se utiliza la siguiente formula: Como esta medida trata de resumir la disparidad entre lo observado y lo estimado, es decir, trata de medir la diferencia promedio entre lo observado y lo estimado esperado de acuerdo al modelo, puede considerarse como un indicador del grado de precisin con que la ecuacin de regresin, describe la relacin entre las dos variables. Este error estndar se ve afectado por las unidades y sus cambios ya que es una medida absoluta, pues, se da en la misma unidad de medida que esta dada la variable Y. COEFICIENTE DE DETREMINACION El cambio de la variable Y generalmente depende de muchos factores, en ocasiones, difciles de identificar; con el modelo lineal simple, slo tenemos presente uno. El coeficiente de determinacin mide o interpreta la cantidad relativa de la variacin que ha sido explicada por la recta de regresin, es decir, la proporcin de cambio en Y explicado por un cambio en la variable X



(X es el factor que se utiliza para calcular la recta de ajuste o ecuacin de regresin) Vea algunos componentes de la variabilidad en el anlisis de regresin: La diferencia entre cada valor de Y observado y Y media se denomina variacin de Y. (Yo Y-)=Variacin de Y. La diferencia entre Y^ estimado y Y media, es la variacin tenida en cuenta por la ecuacin de regresin, razn por la cual se denomina variacin explicada de Y. (Y^-Y-)= variacin explicada de Y. La diferencia entre Yo observado y Y^ estimado, son variaciones consideradas debidas a factores diferentes al tenido presente por la ecuacin de regresin por eso se llama: variacin no explicada de Y.

Se mencion anteriormente, que el coeficiente de determinacin es la proporcin de cambio explicado en Y, por cambio en X, es decir, la proporcin que representa la variacin explicada de la variacin total. Recuerde una proporcin es la relacin de una parte con el total, por tanto, el coeficiente de determinacin ser: En otras palabras el coeficiente de determinacin es la relacin entre la variacin explicada y la variacin total. Su valor siempre estar 0 r 2 1 EL COEFICIENTE DE CORRELACIN LINEAL Este Coeficiente como ya se dijo mide la fuerza de la relacin entre las variables. El coeficiente tiene el signo que tiene b y su valor estar 1 r 1 El signo menos en el ndice significa una relacin negativa y un signo ms una correlacin positiva. El coeficiente se obtiene sacando la raz cuadrada al coeficiente de determinacin y se simboliza con "r".



A continuacin se da, a modo de orientacin, como podran interpretarse los valores de r (positivo o negativo)

a 0.2 Correlacin muy dbil, despreciable 0.2 a 0.4 Correlacin dbil. Bajo 0.4 a 0.7 Correlacin moderada 0.7 a 0.9 Correlacin fuerte, alto, importante 0.9 a 1.0 Correlacin muy fuerte, muy alto

La correlacin entre los valores de dos variables es un hecho. El que lo consideremos satisfactorio o no, depende de la interpretacin. Otro problema que representa la correlacin es cuando se pregunta si una variable, de algn modo causa o determina a la otra. La correlacin no implica causalidad. Si las variables X e Y estn correlacionadas, esto puede ser por que X causa a Y, o porque Y causa a X o porque alguna otra variable afecta tanto a X como Y, o por una combinacin de todas estas razones; o puede ser que la relacin sea una coincidencia. PROBLEMA DE APLICACIN: Durante la saponificacin en serie entre cantidades equimolares de hidrxido de sodio y acetato etlico, la concentracin c (gm.moles/litro) vara con el tiempo t (tiempo) de acuerdo con la ecuacin:

ktc

+=0

1c1

Donde 0c es la concentracin inicial, y k (litro /gm.mol.min) es la constante de reaccin. Los resultados siguientes fueron obtenidos en el laboratorio, a una temperatura de o77 F: Obtener por mnimos cuadrados (a) la constante de reaccin, y (b) la concentracin inicial. Referencias y observaciones previas:

Antes de iniciar la solucin del problema necesitamos reconocer el contexto de la reaccin qumica es por eso que describo de una manera breve algunos puntos importantes:

Reaccin de saponificacin:

La saponificacin es una reaccin qumica entre un cido graso (o un lpido saponificable, portador de residuos de cidos grasos) y una base o lcali, en la que se obtiene como principal producto la sal de dicho cido y la base. Estos compuestos tienen la particularidad de ser anfipticos, es decir tienen una parte polar y otra apolar (o no polar), con lo cual pueden interactuar con sustancias de propiedades dispares. Por ejemplo, los jabones son sales de cidos grasos y metales alcalinos que se obtienen mediante saponificacin.

1/c 24.7 32.4 38.4 45 52.3 65.6 87.6 102 135 154 192 t 1 2 3 4 5 7 10 12 15 20 25



En nuestro caso es una reaccin del acetato etlico con el hidrxido de sodio mediante la siguiente reaccin:

CH3COOC2H5 +NaOH CH3COONa + C2H5OH

Obtencin de datos: Para obtener los datos de la tabla descrita al inicio del problema ,se pudo haber realizado deferentes mecanismo en el laboratorio para conseguir el cambio de concentracin con el tiempo, procedemos a describir los mas importantes :

o Se mezclan soluciones de acetato de etilo y de hidrxido de sodio de concentraciones iguales. A tiempos determinados se extraen muestra del sistema y se determina la concentracin del oxidrilo las muestras se vierten sobre un exceso de acido valorado para interrumpir la reaccin y se halla la concentracin del lcali, titulando por retorno el exceso de acido

o Se muestra la instalacin experimental utilizada para la saponificacin del

acetato de etilo. La reaccin se llevar a cabo en un reactor de mezcla perfecta (1) agitado continuamente (3). La temperatura de dicho reactor se

Mantendr constante mediante una camisa conectada a un bao termostatizado (4). El pH-metro (2) indicar la evolucin del pH durante la reaccin.

El desarrollo de la reaccin se sigue a partir de la variacin de pH con el tiempo. El valor de pH est relacionado directamente con la concentracin de NaOH en el medio de reaccin en cada momento segn la ecuacin:

CNaOH(t) = 10(pH-14)

o La reaccin se pude realizar mediante un reactor qumico que tiene por caractersticas las siguientes : Es intermitente, discontinuo o por cargas (batch),

comportamiento no estacionario y funciona por ciclos. Por la forma de circular o de poner en contacto la mezcla

reaccionante: Es un tanque de agitado, la agitacin provoca



una homogeneizacin del sistema no encontrndose variaciones en la composicin (cj f(x, y, z))

Por la forma de intercambiar calor: Es no adiabtico, q 0; y a su vez es isotermo.

Por la naturaleza de las fases presentes: es homogneo, una sola fase gas o lquida.

Nos encontramos ante un reactor discontinuo de tanque de agitado (RDTA), isotermo y homogneo

Motor del agitador

Reactor Resistencia Refrigerador Conductmetro Bao termostatizado Balance de materia en un RDTA En los reactores de tanque de agitado podemos aplicar la ecuacin (1) como balance de materia ya que la concentracin y la temperatura son uniformes, y por lo tanto tambin lo ser la velocidad de reaccin.

Fj - Fjo + dt

dNj= Rj V (j = 1, 2, ..., s) (1)

S - E + A = G El RDTA es un modelo ideal de reactor qumico, en el que no hay entrada ni salida de reactantes o productos, mientras tiene lugar la reaccin o reacciones qumicas. Adems como en nuestro caso las reacciones tienen lugar en fase lquida homognea, normalmente el sistema puede considerarse que opera a V y P constante. La velocidad de reaccin, Rj, se define como el nmero de moles de Aj que reaccionan por unidad de tiempo y por unidad de volumen. Si se desarrolla una sola reaccin qumica, la velocidad neta de reaccin, Rj, de cualquier especie qumica Aj puede calcularse mediante la expresin: Rj =vj r (j = 1, 2, ..., s) (2) Sustituyendo esta expresin en la ecuacin (1), y teniendo en cuenta que en estos reactores los caudales molares Fjo y Fj son nulos (porque no hay entrada ni salida) y que el volumen es constante, se obtiene:

vj r = dtc d j

(3)

Donde la velocidad de reaccin, r, es funcin de la concentracin de Aj y de la temperatura.



Cintica de la reaccin: La ecuacin que nos presenta en el enunciado del problema tiene un sentido cintico qumico para la reaccin de saponificacin veamos de donde proviene dicha ecuacin:

Considrese una reaccin del tipo:

(-vA) A + (-vB) B PRODUCTOS

Hay que recordar que los coeficientes estequiometricos, vA y vB son negativos, por lo tanto, -vA y -vB son nmeros positivos, si la concentracin instantneas de A y B son cA y cB y suponiendo que la reaccin es de primer orden respecto a A y B, el orden global es dos y la velocidad puede expresar como :

BACkC=dt

/V)( d (I)

Obsrvese que:

=dt

/V)( d=

dtC d1 A

AV dtC d1 B

BV

De manera que la ley de velocidad de la ecuacin (I) podr escribirse en funcin de la velocidad de descomposion de A o de B

BAA

CkCV

=dtC d1 A O bien BA

B

CkCV

=dtC d1 B

Aun cuando estas formas son fsicamente significativas no son apropiadas para la integracin de la ley de velocidad, para dar la ecuacin (I) una forma integrable, expresamos CA y CB en funcin de ( v/ ) dividiendo la ecuacin siguiente:

+= ioii vnn

representa el avance de la reaccin, esto da:

V

vCC AoAA

+= Y

VvCC B

oBB

+=

En la que oAC y oBC son concentraciones iniciales de Ay B sustituyendo

estos valores de CA y CB en la ecuacin (I) tenemos

))((dt

/V)( dV

vCV

vCk BOBA

OA

+

+=



Despus factorizamos el producto de (-va)(-vb) en el lado derecho para obtener

))(())((dt

/V)( dVv

CVv

CkvvB

OB

A

OA

BA

=

Para simplificar la notacin definimos:

A

OAO

A vCy

= , vB

CyOBO

B = ,

Vy =

Entonces la ley de velocidad resulta ser:

))((dt

y d yyyykvv OBOABA =

Separando variables obtenemos:

kdtvvyyy BAOB

= ))((y

y dOA

(II)

Para nuestro problema nos menciona que es una reaccin equimolar, entonces correspondera a lo siguiente: OB

OA yy = En este caso las

sustancias A y B estn presentes en relacin estequiometrica requerida, la

ecuacin se convierte en: kdtvvy BA

= 2OA )(yy d

Integrando desde (y=0, t=0) =t

BA

y

dtkvvy 00

2OA )(y

y d

Esto se pude escribir en funcin de las concentraciones de A y B

ktvC AA

)(1C1

A

+= O ktvC BB

)(1C1

B

+=

CALCULOS Y RESULTADOS:

Para obtener los valores de k y Co, primero presentamos en una grafica los puntos, en el eje X los valores de t y en el eje Y los valores de 1/C. Se obtienes la siguiente grafica

t 1/c 1 24.7



Observamos que los puntos se acomodan a una recta, como nos piden ajustar el grupo de puntos a la ecuacin:

ktc

+=0

1c1

Dicha ecuacin tiene la forma de una recta y=a0 +mx; comparando ambas ecuaciones nos da:

Y= 1/C; a0 =1/Co; m=K; x=t .. (III)

Recurrimos al mtodo de mnimos cuadrados para calcular los valores pedidos:

==

=+m

ii

m

iio XfXama

111 )(

i

m

ii

m

ii

m

iio XXfXaXa

===

=+11

21

1)(

Obtenemos: 11 a0+104 a1=929

104 a0 + 15998 a1 =13110.4

Finalmente resolviendo:

Presentando grficamente la ecuacin de la recta que ajusta los datos:

2 32.4 3 38.4 4 45 5 52.3 7 65.6 10 87.6 12 102 15 135 20 154 25 192

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30

TIEMPO (min)1/

C (l

itro/

gm.m

ol)

Y=17.903046+7.0391X ktc

+=0

1c1



Teniendo la ecuacin de recta es posible conseguir los valores de K y CO , por medio de la relacin (III) conseguimos lo siguiente:

17.903046=1/Co CO=5.5856E-2 gm.mol

K= 7.0391 (litro/gm.mol.min)

DISCUCION DE LOS RESULTADOS:

III... Para nuestra reaccin de saponificacin:

A + B C + D

CH3COOC2H5 + NaOH CH3COONa + C2H5OH t = 0 a a

t = t a - x a- x x x

Si inicialmente tenemos cierta cantidad de A y B (Ca =Cb) y nada de de C y D la variacin de concentracin con el tiempo se indica en siguiente grafico:

t C

y = 7.0391x + 17.903R2 = 0.9947

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30

TIEMPO (min)

1/C

(litr

o/gm

.mol

)

RECTANTES (A, B)

TIEMPO

[ ]

PRODUCTOS (C, D)



Con los datos iniciales de 1/c los invertimos para ver la tendencia que tienen dichos datos con el tiempo

Se puede observar que la concentracin de acetato de etilo e hidrxido de sodio disminuye con una tendencia proporcional al aumento del tiempo.

Fsicamente se puede inferir que a medida que avanza el tiempo la reaccin se va completando mas y mas hasta llegar al punto de equilibrio, es decir, que el acetato se hidroliza mas conforme avanza la reaccin.

IIII.. En los datos se pudo observar que el coeficiente de correlacin para el orden global de dos con respecto a la reaccin general ofrece un valor muy cercano a uno ( 9947.0=r ), es decir que su ajuste a una recta es muy bueno, se deduce que es este orden que mejor correlaciona los datos Por lo tanto concluimos que una reaccin de saponificacin tiene orden global de reaccin dos. Adems interpretamos el valor de 2r , en nuestro caso lo expresamos como porcentaje ( %466.992 =r ),se entender que el 99.466% de los datos se explica a travs de la recta y el 0.534% se encuentra explicada por otros motivos que no encajan en la ecuacin , por ejemplo la desviacin de estos puntos de pude explicar que al momento de medirlo un ligero cambio en la temperatura ,presin o volumen .

IIIIII.. La reaccin qumica queda explicada con una ley de velocidad de la siguiente manera : Velocidad= 21CkC para nuestro caso

Velocidad = 2kC

0 0.05586 1 0.04049 2 0.03086 3 0.02604 4 0.02222 5 0.019 7 0.015 10 0.01142 12 0.009804 15 0.007407 20 0.006494 25 0.005208



En la siguiente tabla muestra las velocidades instantneas para diferentes tiempos:

Si presentamos en una grafica la velocidad vs. Concentracin .El hecho de que esta grafica sea una cuadrtica indica que la velocidad como lo habamos mencionado antes es directamente proporcional al cuadrado

de la

concentracin es decir de orden 2

IIVV.. El ajuste lineal nos ha permitido verificar el orden de reaccin ,esto nos permite analizar de manera no solo cualitativa, sino cuantitativa ,el comportamiento de la reaccin con respecto a cada reactivo en

t [ 523 HCOOCCH ] [NaOH] Velocidad 0 0.05586 0.05586 0.02196438 1 0.04049 0.04049 0.01154018 2 0.03086 0.03086 0.00670361 3 0.02604 0.02604 0.00477308 4 0.02222 0.02222 0.0034754 5 0.019 0.019 0.00254112 7 0.015 0.015 0.0015838 10 0.01142 0.01142 0.00091801 12 0.009804 0.009804 0.00067659 15 0.007407 0.007407 0.00038619 20 0.006494 0.006494 0.00029685

25 0.005208 0.005208 0.00019092

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

0.00E+00 1.00E-02 2.00E-02 3.00E-02 4.00E-02 5.00E-02 6.00E-02

CONCENTRACION

VE

LO

CID

AD



particular.La cintica es muy compleja con formacin de productos intermedios que transcurre mediante etapas elementales , no obstante a concentraciones pequeas de reactantes las velocidades de las reacciones inversas son despreciables frente a las reacciones directa .Por lo que se puede admitir que la reaccin es irreversible .Esta reaccin como es de tipo elemental se podra inferir que el orden de cada reactivo es igual a su coeficiente estequimetrico .Como esto reactivos interactan de manera de manera directa en la reaccin , se supone que la frecuencia con que estos dos colisionan afectara directamente la velocidad de reaccin y esta misma con la que los mismos colisionan es funcin de la concentracin en que se encuentran y del numero de molculas de cada uno por lo tanto se espera que los ordenes sean uno

Velocidad=k[ 523 HCOOCCH ][NaOH]

[NaOH]=orden uno; [ 523 HCOOCCH ] =orden uno

VV.. La constante de velocidad es una constante de proporcionalidad entre la velocidad de reaccin y la concentracin de los reactivos nuestro resultado se obtuvo (k= 7.0931).Es importante que k no se ve afectada por la concentracin, la velocidad ser mayor cuando la concentracin es mayor y ser menor a menor concentracin, K permanece constante he igual mientras no cambie la temperatura.

BIBLIOGRAFIA:

Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera Autor: Antonio Nieves Hurtado Federico C. Domnguez Snchez Tema: Aproximacin polinomial con mnimos cuadrados Segunda Edicin 2003 Pg. 362-370

Qumica Orgnica Autor: L.G.Wade Tema: Hidrlisis de Esteres Segunda Edicin Pg. 1014-1223

Fisicoqumica Autor: Gilbert W. Castellan Tema: Cintica Qumica Segunda Edicin Pg. 841-855

Fundamento de Fisicoqumica Autor: Samuel H. Maron



Carl F. Pruton Tema: Cintica de las Reacciones Qumicas Pg. 556-568

Mtodos Numricos para Ingenieros Steven Chapra Mc Graw-Hill

SITIO WEB:

http://www.revistaciencias.com/secciones/Ingenieria.html fisicoqumica/archivos/fisicoqumica/saponificacion.pdf www.textoscientificos.com/jabon/fabricacion

PROGRAMAS UTILIZADOS:

Microsoft Office Word 2003 Microsoft Office Excel 2003


REGRESIN LINEAL

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