CALCULADORA GRFICA (TI-82, TI-83 y TI-83 Plus)

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NMEROS COMPLEJOS

Los nmeros complejos los hemos utilizado en esta unidad en forma binmica y en forma polar. Con ayuda de la calculadora, podrs pasar fcilmente de una forma a la otra. Adems, los modelos TI-83 y TI-83 Plus incorporan en el men MODE la posibilidad de que la calculadora trabaje con nmeros complejos en forma binmica o polar y el men MATH CPX otras posibilidades para pasar de una forma a otra.

De lo que viene a continuacin, los ejemplos 1, 2, 3 y 4 podemos ejecutarlos con cualquiera de los modelos. Los siguientes solo se pueden aplicar con TI-83 y TI-83 Plus. EJEMPLO 1. Mdulo de un nmero complejo Halla el mdulo de z = 3 4i. Las partes real e imaginaria de z son 3 y respectivamente. Para obtener su mdulo, 4, pulsa: 2nd [ANGLE] 5 3 , ( 4 ) ENTER . ) Aparecer en pantalla:

Por tanto, | z | = 5.

Unidad 6. Nmeros complejos.

1

EJEMPLO 2. Paso de forma binmica a forma polar Expresa en forma polar los nmeros complejos: a) 3 + i b) 3i c) 5 a) Identifica ( 3 , 1) .3 +i

con el par compuesto por su parte real y su parte imaginaria:

La forma polar est compuesta por el mdulo, r, y el argumento, . Con la calculadora funcionando en MODE Degree el valor del argumento, , lo obtendremos en grados. Para obtenerlo en radianes tenemos que pulsar MODE y seleccionar Radian. Para obtener el mdulo pulsa: 2nd [ANGLE] 5 Aparecer en la pantalla: r= 2 2nd [ ] 3 , 1 ) ENTER .

Para obtener el argumento, pulsa: 2nd [ANGLE] 6 Aparece en la pantalla: = 30

2nd [

] 3

,

1

)

ENTER .

Por tanto:

3 + i = 2 30

b) Identifica la parte real y la parte imaginaria de z = 3i: (0, 3) Obtn el mdulo pulsando: 2nd [ANGLE] 5 Aparecer en la pantalla: 0 , 3 ) ENTER .

Unidad 6. Nmeros complejos.

2

r= 3

Para obtener el argumento pulsa: 2nd [ANGLE] 6 Aparece en la pantalla: = 90

0

,

3

)

ENTER .

Por tanto: z = 3i = 390

c) Identifica la parte real y la parte imaginaria de ( 0). 5: 5, Obtn el mdulo pulsando: 2nd [ANGLE] 5 Aparecer en la pantalla: r= 5 ( ) 5 , 0 ) ENTER .

Para obtener el argumento, pulsa: 2nd [ANGLE] 6 ( 5 , 0 ) ) Aparece en la pantalla: = 180

ENTER .

Por tanto: 5 = 5180

EJEMPLO 3. Paso de forma polar a forma binmica Expresa en forma binmica:

Unidad 6. Nmeros complejos.

3

a) 3 240 b) 5 ( 6 ) rad

a) Si llamas x a la parte real del nmero complejo e y a la parte imaginaria, veamos cmo se obtiene cada una de ellas: Para obtener la parte real pulsa: 2nd [ANGLE] 7 Aparecer en la pantalla: x= 1,5 3 , 2 4 0 ) ENTER .

Para obtener la parte imaginaria, pulsa: 2nd [ANGLE] 8 Aparece en la pantalla: y 2,598 3 , 2 4 0 ) ENTER .

Por tanto: 3240 = 1,5 2 ,598 i

b)

Prepara la calculadora para trabajar en radianes, seleccionando la opcin Radian en MODE . (Pulsa MODE , sitate en Radian con la tecla y pulsa ENTER ). Llama x a la parte real del nmero complejo e y a su parte imaginaria. Para obtener la parte real, pulsa: 2nd [ANGLE] 7 Aparecer en la pantalla: x 4,33 5 , 2nd [ ] 6 ) ENTER .

Para obtener la parte imaginaria, pulsa:

Unidad 6. Nmeros complejos.

4

4

2nd [ANGLE] 8 Aparecer en la pantalla:

5

,

2nd [ ]

6

)

ENTER .

y = 2,5

Por tanto: 5 6 = 4 ,33 + 2 ,5i EJEMPLO 4. Races de una ecuacin Estudia, representando la parbola correspondiente, si las siguientes ecuaciones van a tener soluciones reales o no reales: a) 2 x 2 5 x +1 = 0 b) x 2 2 x + 5 = 0 a) Representa grficamente la funcin y = 2 x 2 5 x +1 . Para ello, pulsa Y= (borra las funciones que haya con CLEAR y muvete por la pantalla con , , . y ). Introduce la funcin escribiendo: 2 X, T, x2 5 X, T, + 1 .

Pulsa ZOOM 6 (esto hace que x e y tomen valores entre y 10 con escala 10 1), y te aparecer la grfica de la parbola. Vers que corta en dos puntos al eje X; por tanto, la ecuacin tiene dos soluciones reales. b) Representa la funcin y = x 2 2 x + 5 . Para ello, pulsamos Y= , borra las funciones que haya con CLEAR , y escribe: X, T, x2 2 X, T, + 5 .

Pulsamos GRAPH y te aparecer la grfica de la funcin. Observa que la parbola no corta al eje X, por tanto, las soluciones de la ecuacin son complejas no reales. EJEMPLO 5. Introducir en la calculadora nmeros complejos en forma binmica y en forma polar

Unidad 6. Nmeros complejos.

5

Para trabajar con nmeros complejos hemos de pulsar la tecla MODE , bajar a la penltima lnea y colocar el cursor sobre la opcin a+bi (forma binmica) o re^ i (forma polar). Podemos seleccionar cualquiera de los dos formatos. En los dos casos es posible introducir nmeros como a+bi, o bien como re^ i, obteniendo los resultados en la forma que tengamos seleccionada. Forma binmica Forma polar a + bi re ^ i Parte real Parte imaginaria Mdulo Argumento

Adems, tener seleccionado Radian o Degree implicar que los argumentos, , que introduzcamos debern estar en radianes o grados, respectivamente, y los resultados que obtengamos tambin estarn expresados en esa unidad de ngulos. Pulsando MODE y desplazando el cursor selecciona Degree y a+bi. Pulsa 2nd [QUIT] CLEAR para situarte en la primera lnea de la pantalla principal. a) Introducir el nmero complejo 1 - 3i . Teclea 1 2nd 3 ) 2nd [i] 7 ENTER .

Pulsa MATH para seleccionar cpx, y Obtendrs el nmero en forma polar:

En la expresin 2e^( 60i), 2 es el mdulo y = 300 es el argumento. 60 Vamos a obtener ahora el conjugado, el mdulo y el argumento a partir de la forma binmica. Teclea: MATH MATH MATH 1 5 4 1 1 1 2nd 2nd 2nd 3 3 3 ) ) ) 2nd [i] ENTER . 2nd [i] ENTER . 2nd [i] ENTER .

Vemos en la pantalla:

b) Introducir el nmero complejo en forma polar 3120

Unidad 6. Nmeros complejos.

6

El mdulo del nmero es 3 y su argumento 120. Tendremos que introducirlo como 3e^(120i). Teclea 3 2nd [ex] 1 2 0 2nd [i] ) .

Al pulsar ENTER aparece un nmero complejo en forma binmica que no es igual a 3120 EJEMPLO 6. Operaciones con nmeros complejos Efecta las operaciones2 a) 6 3 5 + i 5 b)

( 3i ) 2 ( 1 2i )2 + 2i

Con la calculadora en modos Degree y a+bi, teclea a) 6 3 ( 5 + ( 2 5 ) 2nd [i] ) ENTER .

El resultado de la operacin en forma polar lo conseguimos tecleando: 2nd [ENTRY] MATH 7 ENTER .

El mdulo es > r = 21,03... y para ver el argumento pulsamos varias veces. Este ir apareciendo a la derecha de la pantalla, = 172,4...

b) ( +

( 3 2nd [i] ) x2 ( ) 2 2nd [i] ) ENTER .

1

2

2nd [i] )

(

2

.

El resultado es 2.25+6.75i. Si quieres ver las partes real e imaginaria en forma de fraccin, pulsa MATH ENTER : 1 .

Unidad 6. Nmeros complejos.

7

Si ahora pulsas MATH

7

ENTER , vers el resultado en forma polar.

El mdulo es r = 7,11..., y el argumento, = 71,56... Efectuar la operacin3

1 i 1 +i

Averiguamos primero el valor del cociente tecleando: ( 1 2nd [i] ) ( 1 + 2nd [i] ) ENTER .

Lo pasamos a forma polar pulsando: MATH 7 .

Por tanto, hemos de hacer Teclea MATH 4

3

190 .

2nd [ANS] MATH

7

ENTER .

La calculadora devuelve el resultado 1e^(30i), es decir, 130, que es una de las tres races cbicas de i. Las otras dos las obtenemos sumndole al argumento = 30 los ngulos 360o 2. 3 Obtenemos las tres races, que son: 130 190 1210 ACTIVIDADES PROPUESTAS Puedes realizar o comprobar los resultados de los ejercicios de la unidad. Por ejemplo, de los nmeros 3, 14, 18, 19 y 20. 360o y 3

Unidad 6. Nmeros complejos.

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