INGENIERA AGRCOLA UNT VIII CICLO CCA

HidrologaEstadstica en HidrologaUno de los objetivos de la asignatura de Hidrologa, es mostrar a los alumnos, las herramientas de clculo utilizadas en Hidrologa Aplicada para diseo de Obras Hidrulicas. Una de esas herramientas de clculo que se utiliza es a travs del uso de las tcnicas estadsticas para determinar los eventos de diseo mximos, asociados a diferentes periodos de retorno.Enestadsticayprobabilidadse llamadistribucin normal,distribucin de Gaussodistribucin gaussiana, a una de lasdistribuciones de probabilidaddevariable continuaque con ms frecuencia aparece aproximada en fenmenos realesEnteora de probabilidadyestadsticaladistribucin de Gumbel(llamada as en honor deEmil Julius Gumbel(1891-1966) es utilizada para modelar la distribucin del mximo (o el mnimo), por lo que se usa para calcular valores extremos. Por ejemplo, sera muy til para representar la distribucin del mximo nivel de un ro a partir de los datos de nveles mximos durante 10 aos. Es por esto que resulta muy til para predecir terremotos, inundaciones o cualquier otro desastre natural que pueda ocurrir.La aplicabilidad potencial de la distribucin de Gumbel para representar los mximos se debe a lateora de valores extremosque indica que es probable que sea til si la muestra de datos tiene una distribucin normal o exponencial.Para extraer conclusiones estadsticas a partir de series de datos de precipitaciones o aforos, es necesario disponer de series histricas de ms de 20 30 valores, cuanto mayor sea la serie de datos, mayor ser la fiabilidad de las deducciones extradas. El tratamiento estadstico que veremos aqu est encaminado a solucionar dos tipos de cuestiones: Valor Probabilidad: Evaluar la probabilidad de que se presente en el futuro un caudal (o precipitacin) mayor o menor que un determinado valor. Por ejemplo: Qu probabilidad hay de que la aportacin anual del ro Santa supere los 900 Hm3 ? Probabilidad Valor: Evaluar qu caudal (o precipitacin) se superar un determinado % de los aos. Por ejemplo: Qu aportacin de un ro se superar el 10% de los aos? Utilizaremos dos tipos de datos que requieren distintos tratamientos: Valores medios. De una serie de aos dispondremos del caudal o precipitacin medio de cada ao. Valores extremos. De una serie de aos extraemos el caudal o precipitacin del da ms caudaloso o lluvioso de cada ao.

DISTRIBUCIONES ESTADSTICASPara qu sirve esto? Con frecuencia nos planteamos dos tipos de cuestiones relacionadas con la probabilidad de que se presente un cierto caudal o de que se produzca cierta precipitacin: 1. Cul es la probabilidad de que el caudal supere 40 m3 /seg? 2. Qu caudal ser superado un 2% de los aos? Vemos que una es la inversa de la otra: A patir del valor calcular la probabilidad o al revs. Y a veces en lugar de hablar de probabilidad se habla de periodo de retorno y la pregunta 2 se plantea como: Cul es el caudal con un periodo de retorno de 50 aos? Primero veremos conceptos bsicos, necesarios: muestra y poblacin, media aritmtica y desviacin tpica, etc. Despus abordaremos la manera de responder a cuestiones como las planteadas ms arriba con ejemplos concretos.Poblacin y muestra Poblacin es el conjunto total de individuos o sucesos que queremos estudiar. A veces disponemos de medidas de toda la poblacin estudiada, pero generalmente, esto sera muy difcil (medir la estatura de todos los espaoles) o imposible (estudiando el caudal de un ro tendramos que medir los caudales de todos los aos pasados y futuros). En estos casos debemos conformarnos con medir una parte de la poblacin (una muestra). En cualquier caso, consideramos los datos disponibles y con ellos intentamos extraer estimaciones vlidas para toda la poblacin. Muestra es una pequea parte de la poblacin elegida adecuadamente para que sea representativa del total de la poblacin. Si yo midiera la estatura de mis alumnos para conocer la estatura media del curso, ellos seran toda la poblacin estudiada. Pero si, a partir de ellos, yo quiero extraer conclusiones sobre la estatura de toda la juventud espaola, mis alumnos seran solamente una muestra representativa de la poblacin estudiada. Cmo abordaramos el problema sin la ayuda de los matemticos? Como una primera aproximacin, vamos a abordar el problema sin ms matemticas que las cuatro operaciones bsicas. Supongamos que hemos medido la estatura de 243 personas, los valores los hemos distribudo en grupos de 5 en 5 cm. y aparecen en la tabla adjunta . Su representacin grfica aparece al lado.

Ahora vamos a contarlos de un modo acumulado: nmero total de casos hasta 150 cm, hasta 160 cm, etc. Efectuamos esa suma acumulada tanto con el nmero de casos como con los porcentajes. En esta tabla repetimos a la izquierda la tabla anterior y a la derecha los valores acumulados; al lado, su representacin grfica (en abcisas las estaturas, en ordenadas la ltima columna de la tabla). En este grfico podemos leer qu porcentaje de la muestra es inferior p.ej. a 175 cm, o qu estatura deja por debajo, p.ej., al 80% de los casos. Trabajando con caudales o precipitaciones el nmero de datos puede ser de 30 40, o a veces menos, y no son suficientes para agruparlos en intervalos (caudales entre 5 y 10, entre 10 y 15, etc.). Pero s podemos realizar un grfico acumulado como el anterior con los datos individuales. Veamos como ejemplo 21 precipitaciones anuales en Central Park, New York . A la izquierda de la tabla aparecen en orden cronolgico. A la derecha se han clasificado de mayor a menor, y en la ltima columna se refleja el porcentaje de datos que supera ese valor. Por ejemplo, para n=4, n/N=4/21*100=19 %. Quiere decir que el 19% de los datos es igual o menor que 896 mm. (En realidad se divide por n/(N+1) o por (n0,5)/N, para evitar que al llegar al mayor salga el 100%. La ltima columna de la tabla es correcta para esta muestra: el 100% son iguales o menores que 1703 mm., el ao ms lluvioso registrado; pero no podemos suponer que nunca en el futuro se vaya a presentar un ao mayor que 1703 mm). Representando grficamente las dos ltimas columnas, obtenemos un grfico equivalente a la Figura 2, que habamos preparado con las estaturas acumuladas; no tiene la misma suavidad, al tratarse de un nmero reducido de datos reales, pero la lectura de ambos grficos ha de ser la misma: En este ltimo podramos leer directamente la probabilidad de que la precipitacin sea 1,41 es 0,07927)Para valores de z negativos, tomar 1-tabla. Ejemplo: Probabilidad de que z sea 1,41 es 1 0,07927 = 0,92073Para probabilidades > 0,50, el valor de z ser el indicado por la tabla para la probabilidad complementaria, pero con signo Ejemplo : Valor de z con probabilidad de ser superado de 0,80. Para la probabilidad complementaria (0,20) la tablaindica z=0,84. Por tanto para probabilidad 0,80 adoptaremos 0,84

Representacin grfica de la probabilidad proporcionada por esta tabla: Si toda el rea bajo la curva de Gauss vale 1 (ya que bajo la curva se encuentran el 100% de los casos), la tabla nos da la parte de dicha rea superior a la puntuacin dada.A la derecha vemos un ejemplo: para z = 1,5 la tabla nos proporciona el valor 0,0668 que es la parte rayada del dibujo (el 6,68% de la superficie total bajo la curva) y representa los casos que superan a la media en 1,5 desviaciones tpicas.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICASAparicio, F.J.1997.Fundamentos de Hidrologa de Superficie. Limusa, 303 pp Chow, V.T.; D.R. Maidment & L.W. Mays.1993. Hidrologa Aplicada. McGraw-Hill, 580 pp.Viessman, W. & G. L. Lewis.2003.Introduction to Hydrology. Pearson Education Inc., 5 ed., 612 pp.Wanielista, M.1997Hydrology and Water Quality Control 2 edicin. Ed. WileyHIDROLOGA 1 | 24