Cambio de Base

Contenido1 INTRODUCCIÓN..........................................................................................................................2

2 OBJETIVOS..................................................................................................................................3

3 CAMBIO DE ORIGEN DE LA TENDENCIA......................................................................................4

4 CAMBIO DE PERIODO DE TIEMPO..............................................................................................7

4.1 CAMBIO ANUAL A MENSUAL..............................................................................................7

4.2 CAMBIO ANUAL A TRIMESTRAL..........................................................................................8

5 TENDENCIAS...............................................................................................................................9

5.1 TENDENCIA PARABÓLICA...................................................................................................9

5.2 TENDENCIA EXPONENCIAL...............................................................................................14

5.3 TENDENCIA POTENCIAL....................................................................................................19

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBESFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICASESCUELA DE ECONOMIA

1 INTRODUCCIÓN

2

En el presente trabajo hallaremos la manera de cómo cambiar el año de origen de las ecuaciones de tendencia, así también podremos aprender a cambiar la unidad de tiempo en que se encuentre la tendencia estimada. De la misma manera desarrollaremos el tema de tendencia no lineal, clasificando sus distintos métodos de desarrollo como: tendencia no lineal cuadrática, tendencia no lineal exponencial y la tendencia no lineal potencial. Los cuales nos sirven también para hallar la curva de la tendencia.


2 OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL1. Poner en práctica los conocimientos adquiridos, para comprender los

temas de estudio o aplicación. OBJETIVOS ESPECIFICOS

2. Analizar e interpretar cada uno de los métodos para poder aplicarlo en alguna entidad o empresa.

3. Comprender mejor los temas en estudio a través de la utilización del Excel.

3


3 CAMBIO DE ORIGEN DE LA TENDENCIA

Cuando se elige el origen de una serie de tiempo (Y), el origen preciso es el centro del periodo inicial.

Ejemplo:

Los datos de la siguiente tabla son la producción anual de una fábrica (millones de unidades).

AÑO X Y X^2 X.Y2007 0 5 0 02008 1 7 1 72009 2 9 4 182010 3 12 9 362011 4 14 16 562012 5 19 25 95

6 15 66 55 212

En este caso la serie se origina en el año 2007 y el origen preciso es el 1 de junio del 2007. Para cambiar el origen de la tendencia se utiliza la siguiente expresión:

Dónde:

K: número de unidades de tiempo combinadas.

Si K es +: entonces la serie se cambia hacia adelanteSi K es - : entonces la serie cambia hacia atrás

Tendencia lineal:

4


Método de mínimos cuadrados:

Ecuación de la tendencia:

Dónde:

Origen: (1/07/2007)Período: 1 año

a) Cambiar el origen de la tendencia del año 2007 al 2011

K = 4 hacia adelante

5



b) Cambiar el origen de la tendencia del año 2007 al 2005

K = -2 hacia atrás


4 CAMBIO DE PERIODO DE TIEMPO

6


4.1 CAMBIO ANUAL A MENSUAL

Para este caso se utiliza la siguiente formula de transformación:

Ejemplo:

En base al ejemplo anterior la ecuación de la tendencia es:


Origen: (01/07/2011) Período: 1 mes

4.2 CAMBIO ANUAL A TRIMESTRAL

7


Para este caso se utiliza la siguiente formula de transformación:

Ejemplo:

En base al ejemplo anterior la ecuación de la tendencia es:


Origen: (01/07/2011) Período: 1 trimestre

5 TENDENCIAS

8


5.1 TENDENCIA PARABÓLICA

Ejemplo:

Supongamos las producciones anuales (en millones de unidades) de una empresa durante

los años 2004 al 2010 los cuales se presentan en la siguiente tabla:

Años X Producción (Y )

X2

X3X 4 XY X2Y

2001 0 2 0 0 0 0 0

2002 1 3 1 1 1 3 3

2003 2 5 4 8 16 10 20

2004 3 9 9 27 81 27 81

2005 4 12 16 64 256 48 192

2006 5 16 25 125 625 80 400

2007 6 13 36 216 1296 78 468

2008 7 10 49 343 2401 70 490

2009 8 17 64 512 4096 136 1088

2010 9 14 81 729 6561 126 1134

∑ 45 101 285 2025 15333 578 3876

SE PIDE:

a) Determinar la ecuación de tendencia parabólica: →Y=a+bX+c X2

Ecuaciones normales del sistema:

na+b∑ X+c∑ X2=∑ Y

9


a∑ X+b∑ X2+c∑ X3=∑ XY

a∑ X2+b∑ X3+c∑ X 4=∑ X 2Y

Reemplazamos los datos hallados, en el sistema de ecuaciones normales:

Donde n=10

10a+45b+285c=10145 a+285b+2025c=578285a+2025b+15333c=3876

Se calculan los valores de “a, b, c” por el método de gauss:

Entonces:

I ¿528c=−114c=−0.2159090909

II ¿ 1652b+ 1485

2(−0.21590909 )=247

2165b=567.6249987b=3.440151507

10

-285/10

-1485/165

10

45

285

45

285

2025

285

2025

15333

101

578

3876

10

0

0

45

165/2

1485/2

285

1485/2

14421/2

101

247/2

1995/2

10

0

0

45

165/2

0

285

1485/2

528

101

247/2

-114

-45/10


III ¿10a+45 (3.440151507 )+285 (−0.21590909 )=10110a=7.727272835

a=0.7727272835

⇛ Y=0.7727272835+3.440151507 X−0.2159090909 X2

b) Grafica la curva de tendencia parabólica sobre la serie de tiempo:

11


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

f(x) = − 0.244318181818182 x² + 3.76401515151515 x

Producción

Producción Curva de Tendencia

Años

Prod

ucció

n (m

illon

es d

e un

idad

es)

X=0 ⇛=0.77+3.44 (0 )−0.22 (0 )2=0.77

X=9 ⇛=0.77+3.44 (9 )−0.22(9)2=14.25

X=4 ⇛=0.77+3.44 (4 )−0.22 (4 )2=11.08

X=6 ⇛=0.77+3.44 (6 )−0.22 (6 )2=13.64

c) Proyectar la producción del 2015 al 2025

AÑOS X Y

12


2015 14 6.6184

2016 15 3.7974

2017 16 0.5447

2018 17 -3.135

2019 18 -7.256

2020 19 -11.8

2021 20 -16.78

2022 21 -22.19

2023 22 -28.03

2024 23 -34.31.

2025 24 -41.02

5.2 TENDENCIA EXPONENCIAL

Este es un método de proyección apropiado en el caso de que la serie de tiempo describe

datos que crecen o decrecen en proporción constante a lo largo del tiempo.

13


Su ecuación es:

Y=a .bx

Linealizando la ecuación se tiene:

logY=log a+X logb


n¿

¿

Se obtiene el log a y log b , entonces para obtener los valores de “a” y de “b”:

a=antilog ¿

b=antilo g¿

Ejemplo:

Supongamos la producción anual (millones de unidades) de una empresa durante los años

del 2008 al 2017, los cuales se presentan en la siguiente etapa:

AÑOS X Y

2008 0 8

14


2009 1 5

2010 2 2

2011 3 10

2012 4 15

2013 5 9

2014 6 13

2015 7 17

2016 8 15

2017 9 10

a. Determinar la ecuación de tendencia exponencial

b. Graficar la curva de tendencia sobre la serie.

Solución:

AÑOS x y x2 log y x . log y

2008 0 8 0 0.9031 0

2009 1 5 1 0.6990 0.6990

2010 2 2 4 0.3010 0.6021

2011 3 10 9 1 3

15


2012 4 15 16 1.1761 4.7044

2013 5 9 25 0.9542 4.7712

2014 6 13 36 1.1139 6.6837

2015 7 17 49 1.2304 8.6131

2016 8 15 64 1.1761 9.4087

2017 9 10 81 1 9

∑ 45 ∑ 104 ∑ 285 ∑ 9.5538 ∑ 47.4822

Remplazando en las ecuaciones de regresión tenemos:

10 log a+45 log b=9.5538

45 log a+285 log b=47.4822

Resolvemos mediante Gauss:

10 4545 285

9.553847.4822

10 45

01652

9.55384.4901

16

-9/2


Entonces:

1652

log b=4.4901

log b=0.05442545455

10 log a+45(0.054425455)=9.5538

log a=0.7104654545

Ahora encontramos los valores de “a” y “b”:

a=antilog (0.7104654545 )=5.1346

b=antilog (0.05442545455 )=1.1335

Reemplazamos obtendremos la ecuación:

y=5.1346∗1.1335x

GRÁFICA:

Si x=0

Y=5.1346

Si x=9

Y=15.8599

17


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

f(x) = 5.13459009576268 exp( 0.125304096785591 x )

Y

YExponential (Y)

AÑOS

PROD

UCCIO

N

5.3 TENDENCIA POTENCIAL

Su ecuación es:

Y=a . xb

Linealizando la ecuación se tiene:

18


logY=log a+b log x


n¿

¿

Se obtiene el log a y log b , solo se busca obtener el valor “a”:

a=antilog ¿

Ejemplo:

Con los datos del ejemplo anterior:

AÑOS X Y

2008 1 8

2009 2 5

2010 3 2

2011 4 10

19


2012 5 15

2013 6 9

2014 7 13

2015 8 17

2016 9 15

2017 10 10

c. Determinar la ecuación de tendencia potencial

d. Graficar la curva de tendencia sobre la serie.

Solución:

AÑOS x y log x log y log x . log y ¿¿

2008 1 8 0 0.9031 0 0

2009 2 5 0.3010 0.6990 0.2104 0.0406

2010 3 2 0.4771 0.3010 0.1436 0.2276

2011 4 10 0.6021 1 0.6021 0.3625

20


2012 5 15 0.6990 1.1761 0.8221 0.4886

2013 6 9 0.7782 0.9542 0.7425 0.6055

2014 7 13 0.8451 1.1139 0.9414 0.7142

2015 8 17 0.9031 1.2304 1.1112 0.8156

2016 9 15 0.9542 1.1761 1.1223 0.9106

2017 10 10 1 1 1 1

∑ 55 ∑ 104 ∑ 6.5598 ∑ 9.5539 ∑ 6.9656 ∑ 5.2152

Remplazando en las ecuaciones de regresión tenemos:

10 log a+6.5598b=9.5539

6.5598 log a+5.2152b=6.9656

Resolvemos mediante Gauss:

10 6.55986.5598 5.2152

9.55396.9656

10 6.55980 0.912102396

9.55390.428432678

Entonces:

0.912102396b=0.428432678

21

-0.65598


b=0.4697

10 log a+6.5598(0.4697)=9.5539

log a=0.647276194

Ahora encontramos los valores de “a”

a=antilog (0.647276194 )=4.4389

b=0.4697

Reemplazamos obtendremos la ecuación:

y=4.4389∗x0.4697

GRÁFICA:

Si x=0

Y=0

Si x=10

Y=13.0911

22


0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

14

16

18

f(x) = 4.43882361719938 x^0.46971641994178

Y

YPower (Y)

AÑOS

PRO

DUCC

ION

CONCLUSIONES

Nos ayuda a tener una visión con precisión acerca del cambio de origen de la tendencia, en algunos problemas.

23


Gracias a estos temas podemos entender, organizar y tomar decisiones al proyectarnos hacia nuevas inversiones que se pueden venir a una empresa.

Podemos predecir qué beneficios, ganancias o pérdidas puede tener una empresa en algún proyecto, inversión o cambio que se de en la empresa.

BIBLIOGRAFIA

https://books.google.com.pe/books? id=2XCAdzmz8HwC&pg=PA210&lpg=PA210&dq=cambio+de+origen+de+la+tenden

24

https://books.google.com.pe/books?id=2XCAdzmz8HwC&pg=PA210&lpg=PA210&dq=cambio+de+origen+de+la+tendencia&source=bl&ots=tx_aGPh_v1&sig=XwTwUUH8AcIrq63y-FAeXGtFGcg&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjhoK_uja_JAhWFSiYKHYAAB8IQ6AEIKjAD#v=onepage&q=cambio%20de%20origen%20de%20la%20tendencia&f=false



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