CAMINOS DE LA MATEMÁTICA HACIA EL FUTURO

MIGUEL DE GUZMÁN

Universidad Complutense de Madrid

Las páginas que siguen constituyen el guión de las ideasfundamentales de un texto que se puede ver en su versiónmás detallada, en formato html, en el disco que acompañaeste libro.

PROBLEMAS MATEMÁTICOS COMO GUÍA

HACIA EL FUTURO

En 1900, en el Segundo Congreso Internacional de Ma-temáticos que se celebró en París, David Hilbert tuvo oca-sión de proponer, para todos los matemáticos del mundo,su visión sobre las líneas de desarrollo de la matemática desu tiempo a través de una famosa colección de 23 pro-blemas. Esta conferencia, que se encuentra disponible enla red en su traducción al inglés, tuvo el acierto de seña-lar una importante serie de líneas de desarrollo que enbuena parte ha marcado la investigación realizada du-rante el siglo XX. Al principio de su conferencia, Hilbertseñala elocuentemente el papel de los problemas mate-máticos pendientes para el desarrollo de la matemática:

¿A quién de nosotros no le complacería levantar el velobajo el que el futuro yace escondido, para echar una miradaa los progresos venideros de nuestra ciencia y a los secretos desu desarrollo durante los próximos siglos? ¿Cuáles serán los ob-jetivos especiales a los que los espíritus matemáticos más in-fluyentes de las generaciones futuras se consagrarán? ¿Quénuevos métodos y resultados descubrirán los nuevos siglos enel amplio y rico campo del pensamiento matemático?

La historia nos enseña la continuidad del desarrollo de laciencia. Sabemos que cada época tiene sus propios proble-mas, los cuales son resueltos o bien echados a un lado comoinútiles y los reemplaza por otros nuevos. Si queremos ob-tener una idea sobre el probable desarrollo del conocimientomatemático en el futuro inmediato tenemos que hacer pa-sar ante nuestra mente las cuestiones aún no resueltas y con-templar los problemas que la ciencia de hoy propone y cuyasolución esperamos del futuro. Para tal revisión el día dehoy, a medio camino entre dos siglos, me parece especial-mente adaptado. Porque el final de una gran época no sólonos invita a mirar hacia el pasado sino también dirige nues-tro pensamiento hacia el desconocido futuro...

Hilbert fue ciertamente uno de los últimos matemáti-cos capaz de identificar, en los diversos campos de la ma-temática de su tiempo, los problemas más importantes. Suobjetivo de tratar de señalar con ellos líneas posibles de de-sarrollo para el futuro sigue siendo tan válido hoy comoentonces. Por ello la Unión Matemática Internacional de-cidió nombrar una comisión de expertos que hiciera paranuestro tiempo lo que Hilbert hizo para el suyo. El frutode este trabajo conjunto de muchos de los más eminen-tes matemáticos de nuestros días ha sido una interesantepublicación, Mathematics: Frontiers and Perspectives, dondese tecogen sus observaciones relacionadas con este pro-pósito. Cada uno de los autores ha respondido a su modo,algunos desde la perspectiva de los problemas de su pro-pio campo de especialización, otros tratando de contem-plar los problemas desde un punto de vista más amplio,otros tratando de identificar tendencias generales más queproblemas concretos al modo de Hilbert. Pero de la lec-tura de este libro tanto el especialista como el que no loes puede obtenet una visión amplia de los problemas queen el momento ocupan a la comunidad matemática y asíbarruntar por dónde discurrirá el quehacer matemáticoen el futuro próximo.

Por orra parte, bajo el amparo de las celebraciones queen todo el mundo están teniendo lugar con motivo delAño Mundial de las Matemáticas, como la Unión Mate-mática Internacional, la Unesco y otros organismos in-ternacionales declararon este año 2000, han sido bastan-tes los matemáticos eminentes que para diversos públicoshan comentado su visión de los más importantes logros dela matemática actual y sobre cuáles serán, previsiblemen-te, sus líneas de desarrollo para el futuro. Entre las mag-níficas exposiciones que se han hecho yo destacaría, porsu claridad y accesibilidad, la de Phillip Griffiths, publi-cada originariamente en American MathematicalMonthlyy que ha sido traducida al castellano y publicada por la RealSociedad Matemática Española en la Gaceta Matemática.

Conducidos por éstas y otras publicaciones interesantesvamos a hacer aquí un pequeño recorrido en torno a al-gunos de los problemas que ocupan actualmente a la co-munidad matemática, para tratar así de vislumbrar algu-

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nos de los posibles desarrollos en los métodos y resultadosdel futuro.

¿UNA ETAPA ESPECIALMENTE FECUNDA

DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA?

El siglo XX ha sido sin duda especialmente fértil en loque a la actividad matemática se refiere. En número y enprofundidad los logros de la matemática han sido impre-sionantes a lo largo de todo el siglo. Pero cuando uno con-sidera la acumulación de resultados importantes en susúltimas décadas, parece que se pudiera hablar de un flo-recimiento esplendoroso que augura que el nuevo milenioserá de una espectacularidad sin precedentes en lo que aldesarrollo matemático se refiere. Examinaremos breve-mente tres de estos resultados que son significativos por-que, aparte de representar soluciones a problemas que handesafiado por mucho tiempo a la comunidad matemáti-ca, con sus intensos esfuerzos para resolverlos, son indi-cativos de nuevas posibles formas de proceder en lo quese refiere a los métodos mismos de investigación en ma-temáticas.

Solución del problema de los cuatro colores (1976)

La solución obtenida por Appel y Haken en 1976 alcentenario problema de los cuatro colores constituyó unanovedad muy especial que ya comenzaba a presagiar cam-bios importantes en la actividad matemática. Fue el pri-mer problema de resonancia mundial, por ser bien con-creto, conocido y trabajado por muchos y desde muydiversos puntos de vista, del que se consiguió una soluciónmediante la interacción muy fundamental con el orde-nador.

La resolución del problema de los cuatro colores cons-tituyó una novedad importante en la metodología de la in-vestigación matemática que suscitó en un principio fuer-tes controversias, aunque hoy, en general, nos parecen yasuperadas: ¿Es verdaderamente solución matemática a unproblema una respuesta un tanto opaca que tiene que pa-sar a través de una programación de un ordenador que, sibien es controlable hasta cierto punto por la mente hu-mana, su realización completa sobrepasa con mucho las ca-pacidades mentales del hombre? La comunidad matemá-tica tuvo que redefinir lo que entendía por demostraciónmatemática teniendo en cuenta la posible interacción con elordenador, algo que parece estar ya plenamente asumidopor la mayor parte de los matemáticos.

Solución del problema de Fermat (1995)

La solución del problema de los cuatro colores tuvo susecos interesantes en algunos segmentos de la sociedad,pero su resonancia no se puede comparar con el revueloque causó el anuncio de la resolución del problema deFermat en 1993 por Andrew Wiles. La prensa de todos los

países divulgó el hecho en primera plana. Era un proble-ma muy fácil de entender y con una historia muy intere-sante que había sido afrontado sin éxito por muchos de en-tre los matemáticos más famosos de los últimos tres siglos.

La historia de la solución, anunciada en 1993, pasó a serun drama cuando los expertos encontraron un fallo quea muchos les parecía insalvable. Wiles y un alumno suyo,R. Taylor, consiguieron solucionarlo tras un año más detrabajo. Por fin, la demostración publicada en 1995 con-taba con la aprobación de los expertos.

La conjetura de Fermat que Wiles demostró ser ciertaconstituye claramente uno de esos casos en los que la co-munidad matemática ha trabajado con ahínco con la úni-ca finalidad de coronar una cumbre que ella misma se hapropuesto. Para quienes contemplan la actividad mate-mática desde el exterior tal vez esto pueda parecer que co-rresponde a una imagen del matemático encerrado en sutorre de marfil y resolviendo enigmas que nadie va a apli-car. Pero lo cierto es que al tratar de ascender, a veces,como en este caso, bien penosamente hasta la cima, sehan ido creando herramientas potentísimas, en este casorelacionadas con la geometría algebraica, muchas de lascuales han encontrado o encontrarán aplicaciones prácti-cas bien interesantes.

Por otra parte el método de trabajo de Andrew Wiles havenido a poner de manifiesto la plena vigencia de los mé-todos tradicionales de investigación. Una persona, vo-luntariamente aislada por más de 7 años, pone en cone-xión todo un mundo de herramientas mentales creadaspara diversos objetivos dando al fin con la solución delproblema. Es claro que la solución de Wiles sobrepasa conmucho el conocimiento matemático de la época de Fer-mat y muchos piensan seriamente que la demostraciónque Fermat pensó haber encontrado, como dejó escrito enel margen de su copia del libro de Diofanto que estabaleyendo, tan sólo fue un espejismo.

La solución del problema de Kepler (1998)

El llamado problema de Kepler tiene una historia decuatro siglos, por lo que resulta así más antiguo que cual-quiera de los otros dos. Su solución es aún más reciente.El matemático inglés Thomas Harriot preguntó a Keplera comienzos del siglo XVII si podía calcular cuál sería la for-ma óptima de apilar esferas del mismo tamaño. La preguntaprovenía originariamente de sir Walter Raleigh, el famo-so personaje de la escena política y militar, quien le habíapreguntado a Harriot cómo podría calcular la municiónapilada para los cañones de sus barcos.

Kepler formuló entonces la conjetura de que la formade apilar esferas en el espacio con la máxima densidad po-sible era la que han venido usando los fruteros para api-lar las naranjas en una caja. Se coloca una fila de naran-jas tangentes cada una a las dos naranjas contiguas y a lapared de la caja (naturalmente las naranjas de los extremosde esta fila no son tangentes a dos naranjas). A continua-ción se coloca otra fila de modo que cada naranja de la se-

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gunda fila sea tangente a dos de la primera y así sucesiva-mente se va ocupando el nivel inferior de la caja. Sobre estenivel, utilizando los huecos que van quedando, se colocauna naranja tangente a cada tres del primer nivel y asíse rellena el segundo nivel. Y así sucesivamente hasta que sellega al nivel superior. Kepler pensó que este apilamientoera el que proporcionaba la mayor densidad, es decir, queel volumen ocupado por las esferas dividido por el volu-men de la caja sería así máximo. Sin embargo no dio deello ninguna demostración.

Han sido muchos los matemáticos que han tratado dedemostrar la conjetura de Kepler a lo largo de la Historia,entre ellos nada menos que Gauss, en el siglo XIX, quiendemostró que entre los apilamientos reticulares éste esefectivamente el más denso, lo cual no llega a resolver elproblema del todo ya que hay apilamientos no reticularescuya densidad de empaquetamiento es muy próxima aotros reticulares.

El resultado inicial más importante en el siglo XX fue de-bido a Laszlo Toth, un matemático húngaro que en 1953consiguió reducir el problema a una enorme colección decálculos relativos a casos específicos. En 1994, ya con las ca-pacidades de cálculo del ordenador a su disposición, Tho-mas Hales, de la Universidad de Michigan, se enfrentó conel problema siguiendo la línea de pensamiento de Toth.Trabajando junto con su estudiante de doctorado SamuelFerguson, pensó por fin en 1998, tras cinco años de traba-jo, que había conseguido una solución satisfactoria del pro-blema y la colocó en la red para que cualquiera pudiera re-correrla y verificar su corrección, una tarea nada sencilladada su complejidad y la cantidad de pasos que hay quecomprobar. Los expertos que la han examinado parecen estarde acuerdo en que la demostración tiene todos los indiciosde ser correcta, aunque tendrá que pasar algún tiempo paraque se pueda tener plena seguridad de que así es.

Para más información sobre este tema se puede acudir,por ejemplo, a la propia página de Thomas Hales, y a lasexposiciones claras y sencillas, no técnicas, de Keith Dev-lin o de Ivars Peterson.

El método que Hales ha seguido en la construcción desu resultado ha estado abierto a la inspección de muchaspersonas durante el proceso de su elaboración, por unaparte a través de conferencias en las que el propio Halesexponía las fases de su trabajo y por otra proponiendo pú-blicamente sus resultados parciales en la red a fin de reci-bir las reacciones de todos los matemáticos interesados enel tema y enriqueciendo así sus ideas. Esta forma de tra-bajo posiblemente constituye un prenuncio de lo que enel futuro será cada vez más frecuente. En años recientes hahabido inmensos equipos trabajando conjuntamente através de Internet para resolver retos específicos muy cu-riosos, como por ejemplo la factorización del número co-nocido como RSA129 y la consiguiente descriptación delmensaje propuesto en 1977 por Rivest, Shamir y Adle-man, los creadores de uno de los sistemas de encriptaciónmás usado actualmente, el sistema RSA, del que despuésse expondrán algunas ideas.

RETOS PARA EL FUTURO

El primero de los objetivos de la declaración de Rio deJaneiro en la que se proclamó el año 2000 como AñoMundial de las Matemáticas consistía en identificar losgrandes retos de la matemática actual.

Estos grandes retos se pueden señalar al estilo de Hilbert,mediante una colección de problemas concretos cuyasolución se puede esperar que ilumine muy substancial-mente un cierto campo. Pero para ello se requiere que elcampo mismo se encuentre en un estadio suficentemen-te elaborado para permitir la proposición concreta de unaserie de problemas clave que los expertos coincidan en se-ñalar como tales. Hay campos de la matemática profun-damente importantes e interesantes que no están aún ental estadio o que son de naturaleza un tanto difusa, y enlos que hasta ahora no se ha logrado ni siquiera establecercuáles puedan ser esos problemas clave. Más adelante trata-remos de señalar algunos.

De la lista de problemas propuestos por Hilbert, algu-nos no parecen de tanto interés como parecieron en suépoca. Ya él mismo afirmaba en su discurso que cada ge-neración se plantea sus propios problemas y que de ellosunos serán resueltos por generaciones futuras mientrasque otros serán arrumbados por parecer de poco interés.Pero es cierto que de esa lista de problemas de Hilbert hayunos cuantos que siguen atrayendo el interés y los inten-sos esfuerzos de los matemáticos después de cien años y que,como veremos a continuación, siguen siendo considera-dos entre los problemas más importantes de la matemá-tica actual.

En mayo de 2000 el Clay Mathematics Institute anun-ció en París, para conmemorar solemnemente el aniver-sario de la conferencia de Hilbert en la misma ciudad, elestablecimiento de un premio de un millón de dólarespara quien resolviera uno cualquiera de los siete proble-mas, que han venido a llamarse los problemas del milenio.

El Clay Mathematics Institute fue fundado en 1998por Landon T. Clay, un hombre de negocios de Boston,gran admirador de la matemática. Está dirigido por ArthurJaffe, profesor en Harvard University, y su equipo asesorestá constituido por algunos de los más eminentes ma-temáticos del momento. Los problemas del milenio hansido elegidos por ellos y son los siguientes, enunciadosbrevemente:

El problema P = NP

Un problema pertenece a la clase /Me problemas cuan-do se puede resolver mediante un algoritmo cuyo tiempode ejecución está acotado por una función polinomial delnúmero de elementos que intervienen en el problema. Unproblema está en la clase NP si se puede verificar en tiem-po polinómico si una solución propuesta es correcta. De-terminar si P = NP.

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La conjetura de Riemann

Todo cero no trivial de la función t, de Riemann tieneparte real igual a 1/2.

La conjetura de Poincaré

Toda variedad tridimensional simplemente conexa eshomeomorfa a la superficie esférica tridimensional.

La conjetura de Hodge

Toda clase de Hodge de una variedad algebraica pro-yectiva compleja es una combinación lineal de clases de ci-clos algebraicos.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Para cada curva elíptica sobre los racionales el rango delgrupo de puntos racionales sobre la curva está determinadopor el comportamiento de la función t, asociada a la cur-va en 1 de modo que, si t,(\) es 0 hay infinitos puntos ra-cionales sobre la curva, y si es distinto de cero hay un nú-mero finito de tales puntos.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Demostrar si se da o no la existencia y suavidad de solu-ciones de las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokesbajo condiciones de contorno e iniciales razonables.

La teoría de Yang-Mills

Demostrar la existencia de campos cuánticos de Yang-Mills y que tienen un hueco de masa (gap mass theory).

Para una información más detallada sobre los problemasse puede consultar la página del Instituto Clay, dondecada problema aparece descrito por uno de los grandesespecialistas en el campo correspondiente.

Para más detalles sobre las circunstancias que han ro-deado la convocatoria de los premios del Instituto Clayes interesante también el artículo de Allyn Jackson enlas Notices ofthe American Mathematical Society (sep-tiembre, 2000).

En relación con esta oferta de premios lanzada por el Ins-tituto Clay es interesante señalar que en este año 2000, AñoMundial de las Matemáticas, ha habido también una con-vocatoria muy particular de un premio de un millón dedólares para quien resuelva la conjetura de Goldbach an-tes de marzo de 2002. La oferta proviene de la editorialBloomsbury Publishing, en Estados Unidos, y Faber andFaber Limited, en el Reino Unido, que ha publicado unafamosa novela de Apostólos Doxiadis, El tío Petros y laconjetura de Goldbach. La conjetura de Goldbach, eje dela novela, afirma que todo número par mayor que 2 essuma de dos números primos.

Como el mismo Andrew Wiles afirmaba en la presen-tación de los premios ofrecidos por el Instituto Clay, estáclaro que para la elección de un problema tras el que hayuna oferta de premio es necesario restringirse a camposde la matemática en los que se puedan identificar pro-blemas muy bien definidos, de manera que se pueda de-cidir con claridad que un trabajo presentado lo resuelve ono. Se equivocaría quien pensara que la actividad mate-mática actual está más o menos concentrada alrededor delos problemas del milenio.

Existen muchas zonas difusas de la matemática actual deextraordinario interés en las que la elección de problemassemejantes a los anteriores es por el momento muy difí-cil, por no decir imposible. Por otra parte, está claro queexisten cuestiones que atañen de modo mucho más pro-fundo a la evolución de la matemática y de las que ni si-quiera se pueden extraer problemas concretos. Por eso lapublicación de una obra como la promovida por la UniónMatemática Internacional ya citada antes, Mathematics:Frontiers and Perspectives, puede proporcionar una visiónsobre el previsible futuro del desarrollo de la matemáticamucho más rica. Efectivamente, en diversos artículos deesta obra, como en los de Gowers, Mumford, Smale..., tie-nen cabida tales consideraciones de fondo.

Al tratar de identificar algunas de estas zonas difusas enlas que la actividad matemática previsiblemente se ha dedesarrollar de una forma especial en el futuro más o me-nos cercano, me gustaría señalar la llamativa coincidenciade algunos de los matemáticos más importantes en apun-tar hacia tres puntos particulares que probablementetendrán un desarrollo entrelazado: la interacción de lamatemática con las ciencias de la vida, el esfuerzo pormatematizar la comprensión de las funciones más pro-fundas de la mente humana y el desarrollo de nuevas for-mas de computación.

Con respecto al primer punto, interacción con las cien-cias de la vida, se puede afirmar que existe una gran can-tidad de problemas que parecen requerir nuevas formas dematematización distintas de las que hasta ahora se estánusando, fundamentalmente basadas en el análisis proba-bilístico y estadístico de corte tradicional. Tales procedi-mientos parecen funcionar correctamente en circunstanciasen las que hay una notable ausencia de estructura, pero ésteno es exactamente el caso de los datos que provienen delas observaciones acerca de los problemas relacionadoscon estructuras vitales. Parece que sería necesario desa-rrollar nuevas ideas matemáticas a fin de afrontar situa-ciones en las que hay una estructura peculiar, como enlos organismos vivos, que no se puede enmarcar adecua-damente con los métodos matemáticos tradicionales.

Observaciones muy interesantes sobre este punto sepueden ver en el artículo de M. Gromov, «PossibleTrendsin the Corning Decades», publicado en 1998 en el Reponofthe Sénior Assessment Panel ofthe International Assess-ment ofthe U. S. Mathematical Sciences.

Y en esta dirección parecen muy acertadas las observa-ciones en el artículo de D. Mumford, «The Dawning of

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the Age of Stochasticity», en la publicación citada de laUnión Matemática Internacional, en el que insiste enla necesidad de elaborar un nuevo tipo de pensamientomucho más basado en lo estocástico para la comprensiónmatemática de ciertos fenómenos.

Por supuesto que cuando volvemos la mirada a la com-prensión de los modos de funcionamiento de la mentehumana se hace todavía más patente la necesidad de nue-vas formas de pensamiento matemático que están aún pordescubrir. El artículo de D. Ruelle, «Conversations onMathematics with a Visitor from Outer Space» y el finaldel de S. Smale, «Mathematical Problems for the NextCentury», de la misma publicación de la Unión Mate-mática Internacional, se hacen eco del gran reto, que pro-bablemente sólo en un futuro lejano podrá afrontarse concierto éxito, de la comprensión matemática de las fun-ciones profundas de la mente humana.

Muy relacionado con los problemas anteriores se perfi-la otro desafío cuya solución influirá profundamente entodo el cuerpo de la matemática futura: el de tratar deconseguir nuevas formas de computación que nos per-mitan abordar problemas, como los anteriores, para losque los modos actuales de computación van resultandoinsuficientes. Pero este tema quisiera exponerlo con unpoco más de detenimiento.

UN PROBLEMA CONCRETO:NUEVAS FORMAS DE COMPUTACIÓN

Desde muchos focos de la actividad matemática se ponede manifiesto la necesidad de encontrar formas más efi-cientes de computación. La potencia, la velocidad decálculo, la capacidad de almacenaje de información y de re-presentación, la eficacia en el uso de los ordenadoresactuales ha ido creciendo en órdenes de magnitud im-portantes durante las últimas décadas. A pesar de ello y apesar de la utilización mucho más eficiente gracias a nue-vos resultados matemáticos, desde muchos puntos de vis-ta se echan en falta ideas nuevas que permitan sobrepasarlas barreras a las que el ordenador digital ya tradicional seestá acercando.

Existen hoy día multitud de problemas cuya compleji-dad parece crecer necesariamente de forma exponencialcon el crecimiento de la dimensión o con el del númerode elementos que en ellos interviene. Entre esos proble-mas, que podemos considerar candidatos para pertenecera la clase NP, se encuentran, por citar algunos de más co-nocidos, el problema del viajante, el de la factorizaciónde grandes números, el de la determinación de la distan-cia mínima de un punto arbitrario del retículo de enterosa un subretículo dado por una base arbitraria... Tales pro-blemas serían fácilmente tratables si se pudiera disponerde ciertas herramientas de cálculo mucho más potentesque las actuales, pero que por ahora no son sino cons-trucciones teóricas que esperan poder ser realizadas físi-camente en un futuro más o menos próximo. Entre ellas

se encuentra en primera línea la computación cuántica, conla cual la capacidad de computación se elevaría de formaexponencial en cierto sentido que veremos a continua-ción.

Y, por supuesto, tal nueva forma de computación ayu-daría extraordinariamente a afrontar de forma adecuadalos problemas que han de presentarse en relación con laexploración matemática de los fenómenos relacionadoscon la vida y con los que tienen que ver con el estudiomatemático de las funciones de la mente humana que he-mos mencionado anteriormente.

Mediante la computación cuántica se podrían realizaren cuestión de segundos tareas que actualmente, con lacomputación digital, requerirían un tiempo mayor quela edad del universo. Entre ellas la descomposición de unnúmero arbitrario de, por ejemplo, 500 cifras. La posibi-lidad de realizar esta tarea tan fácilmente haría necesariocambiar todos los sitemas actuales de comunicación con-fidencial, basados en el sistema de encriptación RSA ysemejantes. Esta nueva capacidad se convierte así en unfuerte estímulo para tratar de poner los medios necesa-rios a fin de hacer de la computación cuántica una reali-dad en un futuro cercano.

La idea importante contenida en las consideracionessobre la actual criptografía de clave abierta consiste en queel sistema de encriptación más utilizado actualmente, elRSA, depende de la imposibilidad de encontrar los facto-res primos de un número, digamos, de 400 dígitos, obte-nido multiplicando dos números primos cada uno de 200dígitos. Pero un resultado reciente, el algoritmo de Shor,que utiliza los principios teóricos de la computación cuán-tica, permitiría realizar tal tarea y otras muchas más com-plejas en cuestión de segundos.

PROBLEMAS DE FONDO RELACIONADOS

CON LA COMUNIDAD MATEMÁTICA

Para concluir quisiera mencionar algunos aspectos im-portantes de la actividad matemática actual que están másrelacionados con el tejido social y cultural de la comuni-dad matemática que con los problemas técnicos concre-tos de su actividad a los que nos hemos estado refiriendohasta ahora. Es interesante observar que en la enumeraciónde los aspectos importantes de la matemática hoy día sonmuchos los matemáticos que se hacen eco de algunos queno parecen funcionar bien en la actualidad. En la secciónfinal de su artículo sobre las matemáticas ante el cambiodel milenio, Phillip Griffiths dedica amplio espacio aproponer acciones importantes y novedosas en relacióncon las interacciones de la comunidad matemática con lasociedad, la educación y la comunicación, a fin de preser-var el vigor de la matemática en el futuro. Mikhail Gro-mov, en su breve artículo antes citado sobre las tendenciasde la matemática en las próximas décadas, dedica tam-bién su atención a estos mismos aspectos. Yo quisiera, parafinalizar estas consideraciones, mencionar otro punto de

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vista en torno a la relación de la matemática con la culturay la sociedad y que tiene que ver con los aspectos éticosque la actividad matemática podría y debería tratar dedesarrollar. Trataré de condensar mis ideas en unos pocosenunciados:

• Muchos aspectos de nuestro quehacer matemáticoinvolucran fuertemente nuestro sentido de la res-ponsabilidad.

• Se puede pensar que, en gran parte, hemos abando-nado actitudes básicas del quehacer matemático que

fueron centrales en otros períodos de nuestra largahistoria.La naturaleza misma del quehacer matemático im-

plica el estímulo de ciertos valores específicos.La creciente matematización de la ciencia y de la cul-tura implica fuertes riesgos a los que es necesario pres-tar atención.La conveniencia de colocar en un lugar destacado denuestra actividad estas actitudes constituye un gran retopara el futuro.

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