Campo eléctrico en el vacío.

Carga eléctrica. 

•Desde la Grecia Clásica (Tales de Mileto, 640­610 adC a 548­545 adC) se sabe que frotando algunos cuerpos aparecen fuerzas entre ellos cuando los acercamos. 

•A estas fuerzas se las llamó fuerzas eléctricas, de la palabra griega elektrón (ámbar). 

•Dependiendo de qué cuerpos se froten entre sí y qué parejas de cuerpos acerquemos, las fuerzas entre dos cuerpos pueden ser atractivas o repulsivas.

Carga eléctrica. Signo de las cargas. 

Para explicar estos fenómenos, Benjamin Franklin propuso en el siglo XVIII, las siguientes hipótesis. 

• Todo cuerpo posee una cierta “cantidad de electricidad”, que le es característica, igual que su masa o su volumen. 

• Cuando dos cuerpos se frotan, puede ocurrir que uno le “ceda” parte de su electricidad al otro. 

• El cuerpo que “ha recibido electricidad” queda con un ”exceso de electricidad” que Franklin llamó carga positiva. 

• El cuerpo que “ha donado electricidad” queda con un ”déficit de electricidad” que Franklin llamó carga negativa. 

• Cuerpos con carga eléctrica de distinto signo se atraen y con carga del mismo signo se repelen.

Carga eléctrica. Naturaleza de la carga. 

Desde la primea mitad del s. XX se sabe que la materia está formada por átomos y que a su vez, estos están compuestos de partículas: protones, neutrones y electrones. 

• Los protones tienen carga eléctrica de igual magnitud pero de distinto signo que los electrones. 

• Los neutrones no tienen carga eléctrica. 

• La carga de los protones y los electrones es una propiedad inseparable de ellos. 

La carga más pequeña que existe en la Naturaleza es la carga de un electrón, que se denota con la letra e. 

• En un átomo hay la misma cantidad de protones que de electrones de modo que los átomos son eléctricamente neutros.

Carga eléctrica. Consecuencias. 

•Ley de Conservación de la Carga Eléctrica: 

•Cuantización de la carga eléctrica: 

Todas las cargas observables en la Naturaleza se presentan en múltiplos de la carga del electrón. Se dice que la carga eléctrica está cuantizada. 

Cuando dos objetos adquieren carga eléctrica por frotamiento, uno de ellos adquiere electrones del otro. Por tanto, la carga total, suma de la de los dos objetos no cambia. Se dice que la carga eléctrica se conserva.

Carga eléctrica. Definición de Culombio. 

• La unidad de carga en el sistema SI es el culombio (C). 

Es una magnitud derivada de la unidad de corriente eléctrica, el amperio (A). 

Se define como: “la cantidad de carga que atraviesa en un segundo una sección de un cable conductor que transporta una corriente de 1 amperio.” 

1 culombio = 1 amperio x 1 s 

La carga de un electrón es: 1e = 1.60x10 ­19 C 

•En la inmensa mayoría de las situaciones prácticas, la carga total de un cuerpo es tan grande que el efecto de la cuantización de la carga no es apreciable.

Carga eléctrica. Distribuciones continuas de carga (I). 

•Como los electrones son tan pequeños, a nuestra escala puede considerarse que la carga eléctrica de un cuerpo se distribuye de forma continua. 

•Si en un volumen ∆V pequeño del cuerpo hay N cargas puntuales cada una de ellas con carga q j , la densidad de carga en volumen ρ se define como: 

V Q 

V q j

∆ ∆

= ∆

= ∑ ρ

∑ = ∆  j q Q j q 

V ∆

Carga eléctrica. Distribuciones continuas de carga (II). 

•En ocasiones, la carga de un cuerpo no se distribuye en todo su volumen, sino en su superficie. En esas ocasiones de define la densidad superficial de carga σ como: 

S Q 

S q j

∆ ∆

= ∆

= ∑ σ ∑ = ∆  j q Q 

S ∆ 

j q 

•Cuando el cuerpo tiene forma filiforme, en ocasiones se usa la densidad lineal de carga λ, que se define como: 

j q  l ∆  l Q 

l q j

∆ ∆

= ∆

= ∑ λ

Ley de Coulomb. Experimento de Coulomb. 

En el s. XVIII, Coulomb, usando una balanza de torsión, fue capaz de medir la fuerza entre dos cargas eléctricas conocidas. 

q 1 

q 2 

Contrapeso 

El momento que ejerce el hilo es proporcional al ángulo θ.

Ley de Coulomb. Resultados. 

•La fuerza que ejerce una carga puntual q 1 sobre otra q 2 está dirigida a lo largo de la línea que las une. 

•La fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas. 

•La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. 

Estos resultados pueden expresarse de forma matemática como: 

2 1→ F r Ø fuerza que ejerce la 

carga q 1 sobre la q 2 . 

2 1→ r r Ø vector que va de la posición de la carga q 1 al de la carga q 2 . 

2 1 3 2 1 

2 1 2 1 →

→ → =  r 

r q q K F  r r

Campo eléctrico. Justificación (I). 

En Física, no se admiten acciones a distancia. 

Si consideramos la fuerza entre dos cargas  2 1 3 

2 1 

2 1 2 1 →

→ → =  r 

r q q K F  r r

Si la fuerza sobre la carga q 2 está ejercida directamente por la partícula q 1 a través de la distancia que las separa, si cambio la posición de la carga q 1  la fuerza sobre la carga q 2 debe cambiar instantáneamente. 

MOTIVO: 

1 q 

2 q F r 

1 q 

2 q F r 

0 = t  t t ∆ =

Campo eléctrico. Justificación (II). 

En Física, no se admiten acciones a distancia. 

• La carga q 1 crea en el espacio un ente llamado “campo eléctrico”. • La fuerza que experimenta la carga q 2 se debe a la acción sobre ella del campo eléctrico que crea la carga q 1 . Cualquier cambio en la carga q 1 ocasiona un cambio en su campo que se propaga por el espacio. La carga q 2 siente el cambio en la carga q 1 cuando le alcanza la perturbación que se produce en el campo. 

SOLUCIÓN: 

1 q 1 q 

2 q  2 q E r  E 

r F r 

F r 

1 q 

2 q E r F 

r 

0 = t  t t ∆ =  T t =

Campo eléctrico. Definición. 

•Supongamos que colocamos una carga puntual q o en una región donde existe un campo eléctrico. 

•Por tanto, la carga q o experimentará una fuerza F. 

•Decimos que el campo eléctrico E que en la posición en la que hemos colocado la carga q o está dado por: 

F q 

E o 

r r  1 =

Por tanto, las unidades del campo eléctrico son newtons/ culombio (N/C).

Campo eléctrico. Campo creado por una carga puntual. 

•Combinando las expresiones: 

F q 

E o 

r r  1 = 

2 1 3 2 1 

2 1 2 1 →

→ → =  r 

r q q K F  r r

Fuerza entre cargas puntuales.  Definición del campo. 

•Resulta que el campo creado por una carga puntual q 1 en un punto P viene dado por:

P P 

P  r r q K E → →

=  1 3 1 

1  r r 

P r → 1 r Ø vector que va de la 

posición de la carga q 1 al punto P. 

P E r Ø campo en la posición del 

punto P.

Campo eléctrico. Principio de superposición. 

P j j  P j 

j P  r 

r q 

K E → →

∑ = r r 

3 

P j r →

r Ø vector que va de la posición de la carga q j al punto P. 

P E r Ø campo total en la 

posición del punto P. 

• ¿Qué hacemos si queremos calcular el campo creado por varias cargas puntuales q j en un punto P? 

El campo creado por varias cargas puntuales es suma de los campos individuales creados por cada una de las cargas. 

• A esta hipótesis (que se comprueba experimentalmente) se la llama principio de superposición. 

q 1 <0 

P 

q 2 >0 

q 3 >0 

1 E r 

2 E r 

3 E r 

3 2 1  E E E E P r r r r

+ + =

Campo eléctrico. Distribuciones continuas de carga (I). 

Si tenemos una distribución continua de carga, combinando las expresiones: 

V Q 

V q j

∆ ∆

= ∆

= ∑ ρ P j j  P j 

j P  r 

r q 

K E → →

∑ = r r 

3 

principio de superposición  definición de densidad de carga 

j q 

V ∆ 

P j r →

r P E 

r ∆ 

P

∑ →

→ = ∆  j P j 

P j P  q 

r r 

K E  3 

r r 

V r r 

K E P j 

P j P ∆ = ∆

→

→ ρ 3 

r r

Campo eléctrico. Distribuciones continuas de carga (II). 

• Esta expresión nos da sólo la contribución al campo total de un elemento de volumen del cuerpo que porta la carga. 

• Para halla el campo total tenemos que integrar:

( ) ∫ ∫ −

− = =  dV r 

r r r r K E d E 

P 

P p 

r r r

r r r r ρ 3 

P r r

Ø Vector de posición del punto P. Es una constante dentro de la integral. 

r r Ø Vector de posición del elemento de volumen del sólido.

( ) r r ρ Ø Densidad de carga en el sólido en la posición r. 

1 V ∆  P r → 1 r 

1 P E r

∆ 

P 2 V ∆ 

2 P E r

∆ 

P r → 2 r

Campo eléctrico. Distribuciones continuas de carga (III).

( ) ∫ ∫ −

− = =  dl r 

r r r r K E d E 

P 

P p 

r r r

r r r r λ 3 

Por el mismo procedimiento se llega a expresiones análogas para las densidades de carga superficial y lineal:

( ) ∫ ∫ −

− = =  dS r 

r r r r K E d E 

P 

P p 

r r r

r r r r σ 3 

• Para la densidad de carga superficial: 

• Para la densidad de carga lineal: 

S Q 

S q j

∆ ∆

= ∆

= ∑ σ 

l Q 

l q j

∆ ∆

= ∆

= ∑ λ

Campo eléctrico. Líneas de campo. Definición. 

• Un campo podría representarse asignando a cada punto del espacio una flecha que representa el valor del vector campo en ese punto. 

• Sin embargo, resulta más claro representar líneas de campo: 

Una línea de campo es una línea continua que, en cada uno de sus puntos es tangente al vector campo. 

• Las líneas de campo indican la dirección y el sentido de la fuerza que experimenta una carga positiva dentro del campo. 

Líneas de campo para una: 

carga positiva  carga negativa 

P P 

P  r r q K E → →

=  1 3 1 

1  r r

Campo eléctrico. Líneas de campo. Propiedades. 

• El sentido de las líneas de campo es tal que salen de las cargas positivas (o del infinito) y entran en las cargas negativas (o en el infinito). 

• El número de líneas de campo que sale o entra de una carga es proporcional a su magnitud. 

• Nunca pueden cortarse dos líneas de campo (Si lo hicieran, eso significaría que en un mismo punto el campo eléctrico tiene dos direcciones). 

• Las líneas de campo que entren o salgan de una carga puntual han de hacerlo equiespaciadas. 

• Cuanto mayor sea la densidad de las líneas de campo en una determinada región, más intenso es el campo en esa región.

Campo eléctrico. Líneas de campo. Ejemplo I. 

2 1  q q =  0 ,  2 1 > q q 

• En la línea media entre las cargas el campo sólo tiene componente vertical. 

• El campo es nulo en el punto medio entre las cargas (punto P). 

1 q  2 q 

1 E r 

2 E r 

T E r

P

Campo eléctrico. Líneas de campo. Ejemplo II. 

• En la línea media entre las cargas el campo sólo tiene componente horizontal. 

• Las líneas de campo van de la carga positiva a la carga negativa. 

2 1  q q − = 0 1 > q 

1 q  2 q 

1 E r 

2 E r 

T E r

Campo eléctrico. Líneas de campo. Ejemplo III. 

• Lejos de ambas cargas las líneas de campo se parecen a las creadas por una carga positiva (líneas radiales y hacia afuera). 

2 1  2q q − = 0 1 > q 

1 q  2 q 

• No todas las líneas de campo que parten de q 1 acaban en q 2 .

Teorema de Gauss. Justificación. 

•Si prestamos atención a los ejemplos anteriores, el número de líneas de campo que atraviesan una superficie cerrada está relacionado con la carga encerrada dentro de dicha superficie. 

ØCuando una línea de campo sale de una superficie cerrada diremos que hace una contribución positiva al flujo. 

• El número de líneas de campo que atraviesa una superficie cerrada nos da una idea del flujo del campo a través de la superficie. 

ØCuando una línea de campo entra en una superficie cerrada diremos que hace una contribución negativa al flujo.

Teorema de Gauss. Justificación. Ejemplo I. 

1 q  2 q 

2 1  q q − = 0 1 > q 

1 S 

• La superficie S 1 engloba a la carga positiva q 1 . 

• De la superficie S 1 salen 42 líneas de campo (flujo neto positivo).

Teorema de Gauss. Justificación. Ejemplo II 

1 q  2 q 

2 1  q q − = 0 1 > q 

• La superficie S 2 engloba a la carga negativa q 2 . 

• En la superficie S 2 entran 42 líneas de campo (flujo neto negativo). 

2 S

Teorema de Gauss. Justificación. Ejemplo III. 

1 q  2 q 

2 1  q q − = 0 1 > q 

3 S 

• La superficie S 3 no engloba ninguna carga. 

• En la superficie S 3 entran tantas líneas de campo como salen de ella (flujo neto nulo).

Teorema de Gauss. Justificación. Ejemplo IV. 

1 q  2 q 

2 1  q q − = 0 1 > q 

• La superficie S 4 engloba una carga total nula (q 1 + q 2 =0). 

• En la superficie S 4 entran tantas líneas de campo como salen de ella (flujo neto nulo). 

4 S

Teorema de Gauss. Definición de flujo eléctrico I. 

Si queremos aprovechar la relación entre líneas de campo y carga hemos de definir el flujo eléctrico de forma rigurosa. 

• Supongamos que estamos en una región donde el campo eléctrico es uniforme. 

Entonces, las líneas de campo son rectas paralelas equiespaciadas. 

• Si tenemos una superficie ∆S 1 plana perpendicular a las líneas de campo, el flujo ∆φ del campo a través de dicha superficie se define como: 

1 S E∆ = ∆φ E  Ø módulo del campo 

eléctrico. 

1 S ∆ Ø área de la superficie. 

1 S ∆ 

E r

Teorema de Gauss. Definición de flujo eléctrico II.

θ 

n r 

E r 

1 S ∆  2 S ∆

Si consideramos ahora una superficie plana ∆S 2 que forma un ángulo θ con la superficie ∆S 1 , el flujo ∆φ a través de la superficie ∆S 2 se define como: 

2 2 cos  S n E S E ∆ ⋅ = ∆ = ∆ r r

θ φ 

E r

Ø vector campo eléctrico. 

Ø vector normal unitario a la superficie ∆S 2 . 

n r

Con esta definición, el flujo a través de las superficies ∆S 1 y ∆S 2 es el mismo.

Teorema de Gauss. Definición de flujo eléctrico III. 

• Si no tenemos una superficie cerrada, sino una superficie curva hemos de aplicar la expresión anterior a cada pequeña porción (elemento) de la superficie. 

S n E ∆ ⋅ = ∆ r r

φ

• El flujo total a través de la superficie se obtiene sumando todas las contribuciones de los elementos de superficie:

∫ ⋅ =  dS n E  r r φ

Tanto el campo eléctrico E, como el vector normal n y el elemento de superficie dS dependen de la posición dentro de la integral. 

E r 

E r 

E r 

1 dS 2 dS 

3 dS 3 n 

r 

2 n r 1 n 

r

Teorema de Gauss. Aplicación a una carga puntual (I). 

Si usamos el resultado anterior para una carga puntual y usamos como superficie una esfera, ambas en el origen de coordenadas:

∫ ⋅ =  dS n E  r r φ  P 

P 

r r q K E → →

=  1 3 1 

r r Usando:  Campo eléctrico de 

una carga puntual

ϕ θ θ  d d sen r dS  2 = Elemento de superficie de una esfera

r P o  e r r  r r = → 

r r  P o = → dS n r θ

ϕ q 

Ox 

Oy 

Oz 

r O 

P

∫ ⋅ = ϕ θ θ φ  d d sen r e e r r q K  r r 

2 3 

r r 

r e n  r r =

∫ = ϕ θ θ φ  d d Kqsen

Teorema de Gauss. Aplicación a una carga puntual (II). 

dS n r θ

ϕ q 

Ox 

Oy 

Oz 

r O 

P 

Escribiendo los límites de la integral: ∫ ∫ − = =

π

π

π π θ θ ϕ φ 

0 4  Kq sen d d Kq 

Conclusión: El flujo total a través de la superficie esférica es proporcional a la carga q que crea el campo. 

• La constante K se escribe normalmente en la forma: 

o 

K πε 4 1

=

ε o recibe el nombre de permitividad del vacío. Su valor es ε o = 8.85x10 ­12 C 2 / (N.m 2 )  

o 

q ε

φ =

Teorema de Gauss. Carga puntual usando una superficie cualquiera. 

• El resultado anterior puede obtenerse usando una superficie cualquiera. 

Ox 

Oz 

Oy 

r O 

q 

1 S 2 S 

Oy 

La razón es que cualquier línea de campo que atraviesa la superficie esférica S 1 también atraviesa la superficie S 2 y como no hay cargas entre S 1 y S 2 , no hay líneas de campo que tengan su comienzo en el espacio entre S 1 y S 2 . 

• Conclusión: para cualquier superficie cerrada que encierre una carga puntual q: 

o 

q dS n E ε

φ = ⋅ = ∫ r r

Teorema de Gauss. Formulación general. 

Ox 

r O 

S 

Oy j q 

V ∆ 

Oz 

Si en lugar de una carga puntual tenemos una distribución de cargas (discreta o continua), el Teorema de Gauss nos dice: 

o 

T 

j  o 

j 

j j 

Q q dS n E dS n E

ε ε φ = = ⋅ = ⋅ = ∑ ∑∫ ∫ r r r r

Ø Campo total creado por la distribución de cargas. 

Ø Carga neta total de la distribución de cargas. 

T Q 

E r

Ø Campo creado por la carga q j . 

j E r

Potencial eléctrico. Definición de campo conservativo. 

•Si movemos una carga q una pequeña distancia δl dentro de un campo eléctrico E, el trabajo realizado contra campo eléctrico δW vale: 

l E q l F W  ex 

r r r r δ δ δ ⋅ − = ⋅ =

•Si en lugar de una pequeña distancia la carga se mueve entre dos puntos A y B, el trabajo es:

∫ ⋅ − = → 

B 

A B A  l d E q W 

r r Puede demostrarse que el trabajo W A­>B no depende del camino que se haya recorrido. Esto se expresa diciendo que el campo eléctrico es conservativo. 

l r

δ E q r 

ex F r

Potencial eléctrico. Demostración para una carga puntual (I). 

• Cualquier camino que escojamos lo podemos dividir en tramos radiales y en tramos circulares con centro en la carga que crea el campo. 

• En los tramos circulares cada integral es cero porque:

∑∫ ∑∫ ∫ +

⋅ − ⋅ − = ⋅ − = → j 

C 

D j 

D

C 

B 

A B A 

j 

j 

j 

j l d E q l d E q l d E q W  1 r r r r r r 

E r 

o q 

q A 

B 

E r 

l d r 

E r 

l d r 

j C 

j D 

0 = ⋅  l d E r r

Tramos rectos  Tramos circulares

Potencial eléctrico. Demostración para una carga puntual (II). 

• Esto nos deja:

∫ − = → B

A 

r 

r o 

B A  dr r q q W  2 0 

4 1 πε

− = → 

A B o B A  r r 

qq W  1 1 4 1 

0 πε

∑∫ ⋅ − = → j 

D

C B A j 

j l d E q W r r

• En los tramos rectos: 

r e dr l d  r r = 

E r 

o q 

q A 

B 

E r 

l d r 

E r 

l d r 

j C 

j D 

r e dr l d  r r = 

r o 

o 

e r q E  r r 2 4 

1 πε

=  dr r q l d E  o 

o 2 4 

1 πε

= ⋅ r r

• Así que al final nos queda: 

que sólo depende del punto inicial y del final y no de los puntos intermedios del camino.

Potencial eléctrico. Definición. 

Llamamos potencial eléctrico V de un punto P a la energía potencial adquirida por una carga unidad cuando se la coloca en dicho punto. 

B 

o 

o B A  r 

q W πε 4 1

= →

• Si suponemos que movemos la carga unidad (q=1) desde el infinito (1/r A = 0), el trabajo que realizamos contra por el campo para llevar la carga al punto B vale: 

• Dicho trabajo se acumula como energía potencial de la carga, así que el potencial eléctrico V creado por una carga puntual q o en un punto B vale: 

B 

o 

o B  r 

q V πε 4 1

= Ø distancia de la posición de la carga q o al punto B. 

B r

− = → 

A B o B A  r r 

qq W  1 1 4 1 

0 πε

Potencial eléctrico. Principio de superposición. 

El potencial creado por un conjunto de cargas puntuales es suma de los potenciales individuales de cada una de ellas.

∑ →

= j  P j 

j 

o p  r 

q V

πε 4 1 

En las definiciones que hemos hecho, hemos supuesto que el valor del potencial en el infinito es cero. En la práctica, sólo tienen sentido las diferencias de potencial, por lo que se puede asignar arbitrariamente el valor del potencial en un punto cualquiera como cero. 

q 1 <0 

P 

q 2 >0 

q 3 >0 

P r → 1 P r → 2 

P r → 3 

3 2 1  V V V V P + + =

¿Qué hacemos si queremos calcular el potencial creado por varias cargas puntuales q j en un punto P?

Potencial eléctrico. Distribuciones continuas de carga (I). 

Si tenemos una distribución continua de carga, combinando las expresiones: 

v q 

v q j

∆ ∆

= ∆

= ∑ ρ ∑ →

= j  P j 

j 

o P  r 

q V

πε 4 1 

principio de superposición  definición de densidad de carga 

j q 

v ∆ 

P j r →

r P V ∆ 

P

∑ →

= ∆  j P j o 

P  q r 

V  1 4 1 πε 

v r 

V P j o 

P ∆ = ∆ →

ρ πε 

1 4 1

Potencial eléctrico. Distribuciones continuas de carga (II). 

• Para halla el potencial total tenemos que integrar:

( ) ∫ ∫ − = =  dV r 

r r dV V 

P o p 

r r r ρ

πε 1 

4 1 

P r r

Ø Vector de posición del punto P. Es una constante dentro de la integral. 

r r Ø Vector de posición del elemento de volumen del sólido.

( ) r r ρ Ø Densidad de carga en el sólido en la posición r. 

1 v ∆  P r → 1 

1 P V ∆ 

P 2 v ∆ 

2 P V ∆ 

P r → 2 

• Esta expresión nos da sólo la contribución al potencial total de un elemento de volumen del cuerpo que porta la carga.

Potencial eléctrico. Distribuciones continuas de carga (III).

( ) ∫ ∫ − = =  dl r 

r r dV V 

P o p 

r r r λ

πε 1 

4 1 

Por el mismo procedimiento se llega a expresiones análogas para las densidades de carga superficial y lineal:

( ) ∫ ∫ − = =  dS r 

r r dV V 

P o p 

r r r σ

πε 1 

4 1 

• Para la densidad de carga superficial: 

• Para la densidad de carga lineal: 

S Q 

S q j

∆ ∆

= ∆

= ∑ σ 

l Q 

l q j

∆ ∆

= ∆

= ∑ λ

Potencial eléctrico. Relación entre potencial eléctrico y trabajo. 

B 

o 

o B  r 

q V πε 4 1

=

− = → 

A B o B A  r r 

qq W  1 1 4 1 

0 πε

Para una carga puntual q o obtuvimos: 

Luego 

• Las unidades del potencial eléctrico son V (Voltios) = J/C (Julios/Culombio). 

Conclusión: Al mover una carga puntual q, el trabajo realizado contra el campo es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial. 

• Este resultado es válido aunque el campo no lo cree una carga puntual. 

Definición del potencial Trabajo realizado

( ) A B B A  V V q W − = →

Potencial eléctrico. Líneas equipotenciales. 

• Para representar el potencial eléctrico se usan las líneas equipotenciales. 

Las líneas equipotenciales son las líneas que unen los puntos con el mismo potencial. 

• Dos líneas equipotenciales distintas no pueden cortarse, pues eso significaría que en un mismo punto hay dos valores del potencial. 

B 

o 

o B  r 

q V πε 4 1

=

Líneas equipotenciales para: 

carga positiva  carga negativa

Potencial eléctrico. Líneas equipotenciales. Ejemplo I. 

2 1  q q =  0 ,  2 1 > q q 

1 q  2 q

Potencial eléctrico. Líneas equipotenciales. Ejemplo II. 

2 1  q q − = 0 1 > q 

1 q  2 q

Potencial eléctrico. Líneas equipotenciales. Ejemplo III. 

2 1  2q q − = 0 1 > q 

1 q  2 q

Potencial eléctrico. Relación entre las líneas equipotenciales y las líneas de campo (I). 

Conclusión (I): las líneas de campo son perpendiculares a las líneas equipotenciales. 

• Si movemos una carga q una pequeña distancia dl a lo largo de una superficie equipotencial, el trabajo que tenemos que realizar es: 

A 

B l d r 

E r

Superficie equipotencial 

q 

l d E q W r r

⋅ − = δ Usando la definición de trabajo  

V q W δ δ =

Usando el potencial 

• A lo largo de una línea equipotencial δV=0, luego: 

0 = ⋅ − =  l d E q W r r

δ 

l d E l d E r r r r

⊥ ⇔ = ⋅  0

Potencial eléctrico. Relación entre las líneas equipotenciales y las líneas de campo (II). 

Si soltamos una carga puntual positiva q en un punto P donde existe un campo eléctrico: 

• La carga q acelerará para moverse en la dirección y sentido de la línea de campo que pase por el punto P. 

• La carga q se moverá de regiones de más energía potencial a regiones de menor energía potencial, es decir, se moverá hacia regiones de menor potencial. 

Conclusión (II): Las líneas de campo apuntan en la dirección en la que los potenciales disminuyen. 

6 5 4 3 2 1  V V V V V V > > > > > 1 V 2 V 

6 V 

7 V 

5 V 

4 V 3 V 

q

Potencial eléctrico. Relación con el campo eléctrico. 

l d E q W r r

⋅ − = δ Usando la definición de trabajo  

V q W δ δ = Usando el potencial 

l d E V r r

⋅ − = δ • En matemáticas, se define el gradiente         de un campo escalar V, como el campo vectorial que cumple 

Conclusión: el campo eléctrico puede obtenerse como menos el gradiente del potencial. 

• De las ecuaciones que hemos usado: 

V E −∇ = r 

l d V V r

⋅ ∇ = δ 

V ∇

El dipolo eléctrico. Campo lejos de una distribución de carga. 

Cuando una distribución de carga tiene carga neta no nula, las líneas de campo y las líneas equipotenciales se parecen a las de una carga puntual si nos alejamos de la distribución una distancia suficiente. 

2 1  2q q − = 0 1 > q 

1 q  2 q 

2 1  2q q − = 0 1 > q 

1 q  2 q 

2 1  q q =  0 ,  2 1 > q q 

1 q  2 q

El dipolo eléctrico. Definición. 

Sin embargo, para dos cargas de la misma magnitud pero de distinto signo, el campo lejos de las dos cargas es muy diferente del campo creado por una carga puntual. 

Llamamos dipolo eléctrico a la asociación de dos cargas iguales y de signo contrario separadas una distancia pequeña (comparada con la distancia que nos separa de ellas.) 

1 q  2 q 1 q  2 q

El dipolo eléctrico. Momento dipolar eléctrico. 

Un dipolo se caracteriza por su momento dipolar eléctrico p, que se define como: 

l q p r r =

Ø magnitud de la carga positiva. 

Ø vector que va de la carga negativa a la carga positiva 

q 

l r

Las unidades del momento dipolar eléctrico son C.m (Culombios x metro) 

q + q − l r

El dipolo eléctrico. Importancia del dipolo en la Química. 

•Aunque las moléculas sean eléctricamente neutras, en ocasiones los electrones de la molécula no se distribuyen equitativamente entre los átomos de la molécula. 

• Esto origina la aparición de un momento dipolar. 

Ejemplo: molécula de H 2 O

+ δ

+ δ

− δ 2

δ l p  2 = 

l r 

H 

H 

O 

El momento dipolar de las moléculas se mide en debye. 

Ejemplos: 

1 debye = 3.35x10 ­30 C.m 

H 2 O: 1.85 debye 

CO: 0.12 debye 

NH 3 : 1.47 debye 

HF: 1.91 debye

El dipolo eléctrico. Comportamiento en un campo externo uniforme. 

En un campo eléctrico uniforme, un dipolo: 

• No experimenta una fuerza neta. 

Eso se debe a que la fuerza sobre la carga positiva es de la misma magnitud que la fuerza sobre la carga negativa pero cambiada de sentido. 

• Experimenta un par de fuerzas que lo hace girar. 

El momento que actúa sobre el dipolo es: q +  E 

r F r 

F r 

l r 

q −

θ

× =

× = θ θ  sin 

2 1 2 sin 

2 1 2  l qE l F M

θ θ  sin sin  pE qlE M = = E p M r r r

× =

(módulo) 

(vector)

El dipolo eléctrico. Energía en un campo externo uniforme. 

q +  E r 

F r 

F r 

l r 

q −

θ

Cuando el dipolo gira un ángulo dθ, el trabajo realizado por el campo eléctrico es:

θ θ θ δ  d pE Md W  sin − = − =

Integrando y tomando como cero de la energía potencial la orientación en la que θ = 90º: 

E p pE U r r ⋅ − = − = θ cos 

Como el dipolo gira para minimizar su energía potencial, trata de alinearse paralelamente al campo externo. 

Como el trabajo se realiza a expensas de la energía potencial U del dipolo: 

dU W − = δ

El dipolo eléctrico. Momento en un campo externo no uniforme. 

En un campo eléctrico no uniforme, un dipolo experimenta tanto una fuerza neta como un par de fuerzas. 

• La fuerza neta se debe a que la carga que está en la región más intensa del campo experimenta una carga mayor que su compañera. 

• En consecuencia, un dipolo siempre se siente atraído por las regiones de campo más intenso. 

Este es el mecanismo que causa la solvatación de los iones disueltos en agua. 

+ 

q + q − 

l v 

q F −

r 

q F +

r 

E r 

O H 2 =

+ Na

El dipolo eléctrico. Potencial creado por un dipolo. 

3 0 4 

1 C O 

C O 

r r p V →

→ ⋅ =

r r

πε

El potencial creado por un dipolo decrece como el cuadrado de la distancia al dipolo. 

El potencial creado por un dipolo es la suma del potencial creado por cada una de las cargas que forman el dipolo. 

Puede demostrarse que, lejos del dipolo, el potencial viene dado por: 

q + q −  l r 

C 

Ox 

Oy 

O 

C O r → r

El dipolo eléctrico. Campo creado por un dipolo. 

q + q −  l r 

C 

Ox 

Oy 

O 

C O r → r El campocreado por un dipolo 

decrece como el cubo de la distancia al dipolo. 

El campol creado por un dipolo es la suma de los campos creados por cada una de las cargas que forman el dipolo. 

Puede demostrarse que, lejos del dipolo, el campo viene dado por:

−

⋅ =

→ →

→

→ 3 5 

0 

3 4 1 

C O C O 

C O 

C O 

r p r 

r p r E 

r r

r r r πε

Conductores y aislantes. Diferencias. 

Los medios materiales pueden dividirse de forma genérica en dos grupos: 

Aislantes o dieléctricos: En ellos las cargas eléctricas no pueden moverse. 

Conductores: En ellos las cargas eléctricas pueden moverse con libertad por el medio. 

En el caso de los metales, el transporte de la carga se debe al movimiento de los electrones por la red cristalina que forman lo átomos del metal. 

En los aislantes, los electrones siempre permanecen confinados en la molécula a la que pertenecen.

Conductores y aislantes. Diferencias. 

Dieléctricos 

Conductores 

Del hecho de que la carga eléctrica sea libre para moverse por los conductores tiene unas consecuencias que discutimos a continuación...

− e

− e

− e − e

− e − e

− e − e

− e − e

− e − e − e

− e

− e − e

− e − e

− e − e

Conductores. Campo eléctrico dentro de un conductor. 

Conclusión: El campo dentro de un conductor en equilibrio siempre es nulo y sus cargas siempre están en la superficie. 

Si un conductor está en equilibrio: • Sus cargas libres no deben moverse (en caso contrario no estaría en equilibrio) 

• Si existe campo dentro del conductor, entonces las cargas libres se moverían bajo la acción de campo. 

Fuera del equilibrio  En equilibrio  

e  in E r 

in F r 

e 0 = in E 

r

Conductores. Campo en la superficie de un conductor. 

Si en un conductor en equilibrio el campo tuviera una componente paralela a la superficie, las cargas superficiales deberían moverse bajo la acción del campo. 

Conclusión: El campo en la superficie externa de un conductor es normal a la superficie. Esto significa que la superficie de un conductor es una superficie equipotencial. 

Fuera del equilibrio  En equilibrio 

Conductor 

n E  r r || 

e Conductor 

n r E r 

e || E r 

|| F r

Conductores. Carga y campo en la superficie (I). 

Si usamos el teorema de Gauss en una superficie cilíndrica como la de la figura, que engloba parte de la superficie de un conductor: 

A dS Q S 

T σ σ = = ∫ 2

∫ = ⋅ o 

T Q dS n E ε

r r

Teorema de Gauss 

La integral sobre la superficie cilíndrica se descompone en tres integrales:

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ L S S  S 

dS n E dS n E dS n E dS n E  r r r r r r r r 

1  3

σ  A n r 

n r 1 S 

3 S 2 S 

E r 

L S 

Superficie fuera del conductor 

Superficie dentro del conductor 

Superficie lateral

Conductores. Carga y campo en la superficie (II). 

A dS Q S 

T σ σ = = ∫ 2 ∫ = ⋅ 

o 

T Q dS n E ε

r r Teorema de Gauss

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ L S S  S 

dS n E dS n E dS n E dS n E  r r r r r r r r 

1  3

σ  A 

n r 1 S 

3 S 2 S 

E r 

L S 

dentro del conductor  En la superficie lateral 

0  0 

n E  r r ⊥ 0 = E 

r

∫ ∫ = = ⋅ 1 S 

EA EdS dS n E  r r

Conclusión: en la superficie de un conductor el campo vale:  0 ε

σ = E

Condensadores. Definición de capacidad. 

La capacidad de un conductor se mide en Faradios (F). 

Sabemos que la superficie de un conductor en equilibrio es una superficie equipotencial. 

Llamamos capacidad de un conductor aislado al cociente entre el potencial V de sus superficie y la carga Q que porta. 

V Q C =

La capacidad de un conductor depende sólo de su forma y el área de su superficie y es una característica del conductor. 

Ejemplo: Esfera  r 

Q r V o πε 4 

1 ) ( = en  a Q V 

o πε 4 1

= 

a V Q C  o πε 4 = =

⇒ = a r a

Condensadores Definición de condensador. 

Un condensador es una asociación de dos conductores a distinto potencial que portan la misma carga pero de distinto signo. 

La capacidad C de un condensador se define como la carga Q que porta el conductor a mayor potencial entre la ddp V entre los conductores. 

V Q C =

La capacidad de un condensador depende sólo de su geometría y su tamaño. 

2 1  V V V − = 

Q + 

Q − 

1 V 

2 V 

E r

Condensadores. El condensador de caras planas paralelas (I). 

Un condensador de caras planas y paralelas está formado por dos conductores planos a una distancia d el uno del otro entre los que se establece una ddp V (V=V 1 ­V 2 ). 

El campo eléctrico está confinado entre las armaduras del condensador y si la distancia d es pequeña comparada con el tamaño de los conductores, puede considerarse uniforme. 

Si la carga en la armadura positiva es Q y su área es A, la armadura puede considerarse como un plano con densidad de carga superficial σ:  A 

Q = σ 

Q +  Q − E r 

1 V  2 V 

A 

d

Condensadores. El condensador de caras planas paralelas (II). 

A Q

= σ

El campo entre las armaduras se encuentra sumando el campo creado por dos planos con densidad de carga σ. 

Q +  Q − E r 

1 V  2 V 

A 

d σ + σ − 

0 = x  d x = 

Ox 

Oy 

x o 

x o 

e e E  r r r

ε σ

ε σ 

2 2 − =  x 

o x 

o 

e e E  r r r

ε σ

ε σ 

2 2 − = x 

o x 

o 

e e E  r r r

ε σ

ε σ 

2 2 + = 

x o 

e E  r r

ε σ

=  0 = E r 

0 = E r

Condensadores. El condensador de caras planas paralelas (III). 

•Diferencia de potencial entre las armaduras: 

V E −∇ = r 

dx dV e E E  x − = = r r

∫ ∫ =

=

=

=

= = d x 

x 

d x 

x  o 

dx Edx V 0  0 ε

σ

•Carga de las armaduras:

∫ = =  A dS Q σ σ 

d V o ε

σ =

•Capacidad:  d A 

V Q C  o ε = =

σ + σ − 

0 = x  d x = 

Ox 

Oy

Condensadores. Asociación de condensadores en paralelo. 

El símbolo del condensador es: 

• Se dice que dos (o más) condensadores se asocian en paralelo cuando las armaduras positivas de los dos condensadores se conectan al mismo punto del circuito y lo mismo para las armaduras negativas. 

• Se dice que dos (o más) condensadores se asocian en serie cuando la armadura negativa de un condensador se conecta a la armadura positiva del siguiente condensador. 

+ 

+ 

­ 

­ 

A  B 

+  + ­  ­ B A  D

Condensadores. Concepto de capacidad equivalente. 

Se llama capacidad equivalente C eq de la asociación de dos (o más) condensadores a la razón de la carga total almacenada entre todos los condensadores entre la diferencia de potencial entre los extremos de la asociación. 

+ 

+ 

­ 

­ 

A  B 

+  + ­  ­ B A  D 

Paralelo  Serie 

B A 

tot eq  V V 

Q C −

= 

D A 

tot eq  V V 

Q C −

=

Condensadores. Capacidad equivalente de dos condensadores en paralelo. 

La carga total almacenada Q tot es la suma de la carga Q 1 almacenada en C 1 y de la carga Q 2 almacenada en C 2 . 

+ 

+ 

­ 

­ 

A  B C 1 

C 2 

Q 1 

Q 2 

B A B A B A 

tot eq  V V 

Q V V Q Q 

V V Q C

− =

− +

= −

=  1 2 1 

B A B A eq  V V 

Q V V 

Q C −

+ −

=  2 1 2 1  C C C eq + =

Luego: 

2 1  Q Q Q tot + =

Condensadores. Capacidad equivalente de dos condensadores en serie. 

Como los condensadores C 1 y C 2  tienen sus armaduras de distinto signo conectadas entre sí, han de tener la misma carga: 

D A D A 

tot eq  V V 

Q V V 

Q C −

= −

=  1 

2 1 

1 1 1 C C C eq

+ = Luego: 

2 1  Q Q = C 1  C 2 

Q 1  Q 2 +  + ­  ­ 

B A  D 

1 1 1 

1 Q V V 

Q V V 

Q V V 

C D B B A D A 

eq

− +

− =

− =

La carga en la armadura positiva del condensador C 2 procede de la armadura negativa del condensador C 1 , luego la carga total acumulada es sólo la del condensador C 1 . 

1 Q Q tot =