campo escalar y campo vectorial

Prof. Jos Luis Quintero 1

ROBABILIDADES (ITEL-30205)

Tema 1. Fundamentos de Estadstica Descriptiva

Distribucin de frecuencias y medidas de localizacin

Objetivos a lograr:

Caracterizar los campos escalares y los campos vectoriales y establecer diferencias notables Estudiar los operadores diferenciales tales como el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano Destacar los campos escalares y vectoriales de acuerdo a la valoracin numrica de los operadores aplicados Usar la herramienta MATLAB para visualizar campos vectoriales en R2 y en R3

1.2. Ejemplo 1. Para describir matemticamente un campo escalar se tiene, por ejemplo, M f(x,y,z)= .

Si se quiere definir el campo escalar distancias al

origen de coordenadas se tiene 2 2 2M f(x,y,z) x y z= = + + . Dado un punto del

espacio se tiene bien escrita una magnitud para

ese punto. En el punto (1,1,1) la magnitud, en este

caso, es 3 .

1.4. Ejemplo 2. Un ejemplo (que representa una fuerza cualquiera) de campo vectorial sera

M i j k2 2(x,y,z) x y xy= + + . Note que las

componentes de un campo vectorial son cada una

campos escalares.

1.5. Ejemplo 3. En un da con mucho viento, la

temperatura de cualquier parte de una ciudad ser

un campo escalar. Si para esta misma ciudad se

toma la intensidad y direccin del viento como un

vector se tendr un campo vectorial.

CLCULO VECTORIAL (0254) Tema 1. Integrales de Lnea y sus Aplicaciones

Semana 01 Clase 01 Mircoles 11/12/13 2:00 a 5:00 pm

1. CAMPO ESCALAR Y CAMPO VECTORIAL

1.1. Campo escalar. Es una funcin nf :R R que

asigna a cada valor de r un nico valor f(r).

Observaciones de inters:

Geomtricamente un campo

escalar se representa mediante

las superficies isoescalares

(superficies en las que el valor

f(r) se mantiene constante). De acuerdo a la magnitud, se

llamarn isotermas, isobaras, etc

Una manera de representar un

campo vectorial es mediante las

lneas de fuerza, que son lneas tangentes en todo punto a la

direccin del campo. Para lograr

que las lneas hablen del mdulo

del campo se dibujan de tal

manera que la densidad de lneas

sea proporcional a dicho mdulo

Un campo (escalar o vectorial) se

dice estacionario, si no depende

del tiempo, sino nicamente de

las coordenadas espaciales y no estacionarios, cuando hay

dependencia temporal

1.3. Campo vectorial. Es una funcin n n:R RA

que asigna a cada valor de r un nico valor

A(r).


Se usar la herramienta tecnolgica MATLAB

para dibujar campos vectoriales en R2 y en R3. Se

muestra el conjunto de comandos y la figura generada

en cada caso. Los campos dibujados en R2 vienen como

sigue:

F(x,y) ( y,x)= llamado campo circular (figura 1)

F(x,y) (x,sen(y))= llamado campo divergente (figura

2).

El campo dibujado en R3 corresponde a

F2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2

98x 98y 98z(x,y,z) , ,

(x y z ) (x y z ) (x y z )

= + + + + + +

llamado campo gravitatorio (figura 3).

Figura 1. Campo circular

2. DIBUJO DE CAMPOS VECTORIALES

[x,y]=meshgrid(-1:.5:1); u=-y; v=x; quiver(u,v), axis square title('CAMPO CIRCULAR EN R^2')

[x,y]=meshgrid(-1:.5:1); u=x; v=sin(y); quiver(u,v), axis square title('CAMPO DIVERGENTE EN R^2')

[x,y,z]=meshgrid(0:.05:.1); u=-98*x./(x.^2+y.^2+z.^2).^(3/2); v=-98*y./(x.^2+y.^2+z.^2).^(3/2); w=-98*z./(x.^2+y.^2+z.^2).^(3/2); quiver3(x,y,z,u,v,w), axis square title('CAMPO DE TIPO GRAVITATORIO')

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6CAMPO CIRCULAR EN R2


Figura 2. Campo divergente

Figura 3. Campo gravitatorio

3.2. Ejemplo 4. Al derivar una funcin f(x) , la funcin resultante, f '(x) , generalmente es

distinta. Por lo tanto, al procedimiento de derivacin se le puede asignar un operador,

df d f '(x) f(x) Df(x)dx dx

= = .

A este operador D , se le llama operador diferencial.

3. OPERADORES DIFERENCIALES Y CAMPOS ESPECIALES

3.1. Operador. Un operador, O , es un objeto que transforma a una funcin g, en otra h, es

decir, Og h= .

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6CAMPO DIVERGENTE EN R2

-0.050

0.050.1

0.15

-0.05

0

0.05

0.1

0.150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

CAMPO DE TIPO GRAVITATORIO


3.6. Ejemplo 5. Si la funcin a la que se refiere es la temperatura, el gradiente de la temperatura

indica la direccin en la que la temperatura crece ms rpidamente.

3.7. Operador divergencia. Sea F 1 2 3(x,y,z) (F (x,y,z),F (x,y,z),F (x,y,z))=

un campo vectorial en las variables x, y, z. La

divergencia de F se define como

F F 31 2FF F

(x,y,z) div (x,y,z)x y z

= = + +

,

siendo 1F , 2F y 3F componentes escalares de F.

3.3. Operador gradiente. Si f(x, y, z) es un campo escalar, se puede formar un vector con sus

derivadas parciales, llamado gradiente de f, denotado como

f(x,y,z) gradf(x,y,z) = = i j kf f fx y z

+ +

,

en donde se reconoce el operador diferencial

i j kx y z

= + +

aplicado a la funcin f.

3.4. Gradiente de una funcin escalar. Es un vector que evaluado en un punto indica la direccin en la cual la funcin crece ms rpidamente.

3.5. Campo gradiente. Un campo vectorial F es gradiente en una cierta regin del espacio, si en todos sus puntos coincide con el vector gradiente de un campo escalar U, es decir, F grad U= .


La divergencia de F es un campo escalar (tal como se espera en un

producto punto)

Para tener una idea de lo que

significa la divergencia de F,

considere que F es un campo de velocidad de un fluido y tome un

pequeo elemento de volumen.

Entonces la divergencia del campo

de velocidad es una medida de

como cambia F al volumen por

unidad de tiempo y volumen

(expansin y contraccin). Es decir

que la divergencia de un campo

vectorial F es una medida relativa de lo que entra y sale en un

elemento de volumen

El rotacional de F es un campo

vectorial (tal como se espera en un

producto cruz)

3.8. Campo solenoidal. Un campo vectorial F es solenoidal en una cierta regin del espacio, si en todos sus puntos div( ) 0=F .

3.9. Operador rotacional. Sea F 1 2 3(x,y,z) (F (x,y,z),F (x,y,z),F (x,y,z))=

un campo vectorial en las variables x, y, z. El

rotacional del campo vectorial F se define como

i j kF F

i j k

x y z

1 2 3

3 32 1 2 1

(x,y,z) rot (x,y,z) det

F F F

F FF F F F

y z z x x y

= =

= + +

3.10. Campo irrotacional. Un campo vectorial F es

irrotacional en una cierta regin del espacio, si en todos los puntos de dicha regin rot( ) =F 0 .


3.12. Ejemplo 6. Sea F un campo vectorial continuo y con segundas derivadas parciales continuas en un

conjunto abierto 3D R . Pruebe que a. div(rot( )) 0=F

Solucin. Sea F(x,y,z) (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))= .

Se tiene entonces que:

i j k

Fx y z

R Q P R Q Prot( ) , ,

y z z x x yP Q R

= =

De modo que:

F

2 2 2 2 2 2

R Q P R Q Pdiv(rot( )) , , , ,

x y z y z z x x y

R Q P R Q P

x y x z y z y x z x z y

0

=

= + +

=

b. el campo vectorial V(x,y,z) (x,y,z)= no

puede ser el rotacional de algn campo

vectorial

Solucin. Suponga que rot( )=V F . Entonces

Vdiv( ) 3 0= . Por tanto, de acuerdo a lo

demostrado en el apartado anterior V no puede ser el rotacional de algn campo

vectorial F.

3.13. Ejemplo 7. Sea el campo vectorial dado por A(x, y,z) (yz, xz,xy)= . Demuestre que A es

armnico.

Solucin.

i j kA

0

x y zrot( ) (x x, (y y),z z)

yz xz xy

(0,0,0)

= =

= =

Por lo tanto, A es irrotacional.

Adiv( ) (yz) (xz) (xy) 0 0 0 0x y z

= + + = + + =

.

Por lo tanto, A es solenoidal. En consecuencia, A es armnico.

Observaciones de inters: Si F i jP(x,y) Q(x,y)= + es un

campo vectorial en el plano,

tambin se puede considerar como

un campo vectorial en el espacio

para el cual la componente k es

cero y las otras dos componentes

son independientes de z. Entonces,

la divergencia de F se reduce a

F F 1 2F F

(x,y) div (x,y)x y

= = +

Para tener una idea de lo que

significa el rotacional de F, considere que F es un campo de velocidad de un fluido y tome un

pequeo elemento de volumen.

Entonces el rotacional de F es una medida de la tendencia de giro en

un elemento de volumen sobre s

mismo en cada punto del fluido; si

F 0 = , en el fluido no hay "pequeos remolinos" o no hay

desplazamiento relativo entre las

capas vecinas de fluido

Si F i jP(x,y) Q(x,y)= + es un

campo vectorial en el plano,

tambin se puede considerar como

un campo vectorial en el espacio

para el cual la componente k es

cero y las otras dos componentes

son independientes de z. Entonces,

el rotacional de F se reduce a

F kQ P

x y

=

y siempre apunta en la direccin k

Todo campo vectorial gradiente es

irrotacional

3.11. Campo armnico. Un campo vectorial F es armnico en una cierta regin del espacio, si

en todos los puntos de dicha regin es irrotacional y solenoidal, es decir, rot( ) =F 0 y

div( ) 0=F .


3.15. Identidades vectoriales. Existe un conjunto de

identidades de uso frecuente en el clculo

diferencial vectorial como las mostradas en la tabla

1.

1.2. 3.

4. 5. F G F G6. F G F G7. F F F8. F G G F F G9. F10. F

2

(f g) f g

(cf) c f, c ctte

(fg) f g g f

(f / g) (g f f g) / g , g 0

div( ) div( ) div( )

rot( ) rot( ) rot( )

div(f ) fdiv( ) f

div( ) rot( ) rot( )

div(rot( )) 0

rot(f )

+ = + =

= + =

+ = +

+ = +

= + =

=

F F11. 0

12.13.

14.

2 2 2

2 2

f.rot( ) f

rot( f)

(fg) f g g f 2( f g)

div( f g) 0

div(f g g f) f g g f

= + =

= + + =

=

Tabla 1. Identidades vectoriales, siendo f y g campos

escalares y F y G campos vectoriales


Todo campo irrotacional es un

campo gradiente de un cierto

campo escalar, es decir, dado un

campo vectorial F tal que rot( ) =F 0 , es siempre posible

encontrar un campo escalar U tal que F grad U=

Al campo escalar U se le llama

potencial de F o funcin

potencial de F o potencial

escalar de F

Todo campo rotacional ( rot( ))=V F es solenoidal, es decir

rot( ) div( ) 0= =V F V

Al campo vectorial F se le llama

potencial vectorial de V

La funcin potencial de todo

campo vectorial armnico es un

campo escalar armnico

El laplaciano de f es un campo

escalar

Si f f(x,y)= , el laplaciano de f se

reduce a 2 2

2

2 2

f ff

x y

= +

Las funciones cuyo laplaciano es

igual a 0 se denominan

funciones armnicas

Tambin se puede aplicar el

operador laplaciano 2 a un campo vectorial de la forma F (P,Q,R)= . En tal sentido, se

tiene que F2 2 2 2( P, Q, R) =

3.14. Operador laplaciano. El operador diferencial

puede ser utilizado en ms de una ocasin

sobre una funcin de varias variables. Un

ejemplo corresponde a la divergencia del

gradiente de una funcin, conocida como el

laplaciano de la funcin escalar f denotada

como

2div(grad f) ( f) f= = , siendo el operador laplaciano en coordenadas

cartesianas

2

2 2 2x y z

= + +

.


SOLUCIN.

a. rotacional f. No tiene sentido. El rotacional se aplica a un campo vectorial b. divergencia F. Si tiene sentido. Resultado. Campo escalar

c. gradiente F. No tiene sentido. El gradiente se aplica a un campo escalar

d. div(grad f). Si tiene sentido. Resultado. Campo escalar e. rotacional(rot F). Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial f. (grad f) (div ) F . No tiene sentido. El producto cruz se aplica entre campos vectoriales

g. gradiente f. Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial h. rotacional(grad f). Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial

i. grad(div F). Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial

j. grad(div f). No tiene sentido. La divergencia se aplica a un campo vectorial k. div(div F). No tiene sentido. La divergencia se aplica a un campo vectorial

l. div(rotacional(grad f)). Si tiene sentido. Resultado. Campo escalar

SOLUCIN.

a. V b. F c. V d. F

4. PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1. Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Diga si tiene sentido cada una de las

siguientes expresiones. Si no, explique por qu. Si lo tiene, indique si el resultado es un campo

escalar o un campo vectorial.

a. rotacional f

b. divergencia F

c. gradiente F d. div(grad f)

e. rotacional(rot F) f. (grad f) (div ) F

g. gradiente f

h. rotacional(grad f)

i. grad(div F) j. grad(div f)

k. div(div F)

l. div(rotacional(grad f))

PROBLEMA 2. Coloque al lado de cada oracin la letra V o F segn sea verdadera o falsa respectivamente. a. (x, y,z) (f(x),g(y),h(z))F = con f, g y h funciones diferenciables, es irrotacional b. (x,y,z) (x,y,z)V = puede ser el rotacional de algn campo vectorial c. div(rot ) 0 F =

d. Si (x,y,z) (x,y,z)r r= = y r r= , entonces 2r =

PROBLEMA 3. Sea r(x,y,z) (x,y,z)= un campo vectorial no nulo y rr = . Demuestre que 2(1 /r) 0 = .


SOLUCIN.

Se tiene r 3(1 r) r = . Sabiendo que rn n 2(r ) nr = , aplicando la identidad F F F(f ) f( ) f = +

se obtiene

r rr r r

3 3 3 3 5

1 1 3 3( ) 0

r r r r r

= + = + =

.

SOLUCIN.

a. Demuestre que

3

1( )

+ + =

rE r E

r r.

SOLUCIN.

r rE r E r r r

r r

r

3 3

2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2

2 2 2 3/2 2 2 2 3/2

( ) (div( )) div Q Q

x y zQ , , , ,

x y z (x y z ) (x y z ) (x y z )

x yQ

x y(x y z ) (x y z )

= = =

= + + + + + +

= + + + + +

r

r

2 2 2 3/2

2 2 2 1/2 2 2 2 2 2 2 1/2 2 2 2 2 2 2 1/2 2 2 2

2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3

2 2 2 1/2

z

z (x y z )

(x y z ) ( 2x y z ) (x y z ) (x 2y z ) (x y z ) (x y 2z )Q

(x y z ) (x y z ) (x y z )

(x y z ) (Q

+ + +

+ + + + + + + + + + = + +

+ + + + + +

+ + = r r 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/2

2 2 2 3 2 2 2 3

2x y z x 2y z x y 2z ) (x y z ) .0Q

(x y z ) (x y z )

+ + + + + + + += =

+ + + +

rE E r 0

r r r3 3 3Q Q (z) (y) (x) (z) (y) (x)

rot( ) rot Q rot( ) , ,y z z x x y

= = = = =

= = + + + +

+ + + + + +=

+ + + + + +=

r

2 2 2 1/2

2 2 2

2 2 2 1/2 2 2 2 1/2 2 2 2 1/2

2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2

1 1((x y z ) )

x y z

((x y z ) ) ((x y z ) ) ((x y z ) ), ,

x y z

2x(x y z ) 2y(x y z ) 2z(x y z ), ,

2 2 2

= = + + + + + +

r

r2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 3

x y z, ,

(x y z ) (x y z ) (x y z )

PROBLEMA 4. Sean el campo posicin =r(x, y,z) (x, y,z) y el campo elctrico

= r

Er3

Q

producido por una carga Q localizada en el origen, donde es una constante.

a. Demuestre que

3

1( )

+ + =

rE r E

r r.

b. Qu caractersticas posee el campo elctrico E?


b. Qu caractersticas posee el campo elctrico E?

SOLUCIN.

El campo elctrico E es irrotacional y solenoidal.

SOLUCIN.

a. Utilice estas ecuaciones para demostrar que

a.1. E

E2

2 2

1( )

c t

=

SOLUCIN. H E E

E E H2

2 2

1 1 1 1 1( ) rot(rot( )) rot (rot( ))

c t c t c t c t c t

= = = = = .

a.2. E

E2

2

2 2

1

c t

=

SOLUCIN. E E

E E E 02 2

2

2 2 2 2

1 1grad(div( )) rot(rot( ))

c t c t

= = + =

.

b. Qu nombre reciben los campos E y H? SOLUCIN. Como en cada uno de ellos su divergencia es nula entonces se llaman campos solenoidales.

SOLUCIN. a. solenoidal

SOLUCIN. F

x y zdiv( ) (Ayz) (Bxz) (Cxy) 0 0 0 0 = + + = + + =

Por lo tanto, para cualquier terna de valores de A, B y C el campo F es solenoidal.

PROBLEMA 5. Las ecuaciones de Maxwell que relacionan la variacin respecto al tiempo del campo elctrico

E, y el campo magntico H, en una regin que no contiene carga ni corriente, se pueden expresar como sigue:

Ediv( ) 0= , H

E1

rot( )c t

=

, Hdiv( ) 0= y

EH

1rot( )

c t

=

,

donde c es la velocidad de la luz.

a. Utilice estas ecuaciones para demostrar que

a.1. E

E2

2 2

1( )

c t

=

a.2. E

E2

2

2 2

1

c t

=

b. Qu nombre reciben los campos E y H?

PROBLEMA 6. Sea el campo vectorial F(x,y,z) (Ayz,Bxz,Cxy)= . Determine las condiciones que deben

cumplir los parmetros A, B y C para que F sea un campo a. solenoidal b. irrotacional c. armnico


b. irrotacional

SOLUCIN. F 0rot( ) ((C B)x,(A C)y,(B A)z) (0,0,0)= = =

Por lo tanto, para cualquier terna de valores de A, B y C donde los tres sean iguales, el campo

F es irrotacional. c. armnico

SOLUCIN.

Para toda terna de valores de A, B y C donde los tres sean iguales, el campo F es armnico.

SOLUCIN.

Sea 2 2 2u x y z= + + . Se tiene entonces que

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x.f( x y z ) y.f( x y z ) z.f( x y z )g(x,y,z) x.f '(u), y.f '(u), z.f '(u)

x y z x y z x y z

+ + + + + + = + + + + + + + + +

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2x x

2 2 2 2 2 2x y z x y zxx 2 2 2

f( x y z ) .f '(u) x y z .f( x y z )

g (x,y,z) f '(u) x.f ''(u)x y z

+ + + +

+ + + + + + +

= + +

+ +

2 2y y2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2x y z x y zyy 2 2 2

f( x y z ) .f '(u) x y z .f( x y z )

g (x,y,z) f '(u) y.f ''(u)x y z

+ + + +

+ + + + + + +

= + +

+ +

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2z z

2 2 2 2 2 2x y z x y zzz 2 2 2

f( x y z ) .f '(u) x y z .f( x y z )

g (x,y,z) f '(u) z.f ''(u)x y z

+ + + +

+ + + + + + +

= + +

+ +

Sea 0 0 0P(x ,y ,z ) un punto de la esfera de ecuacin 2 2 2x y z 1+ + = . Evaluando

2 2 2xx 0 0 0 0g (P) f(1) x .f '(1) x .f(1) f '(1) x .f ''(1) 1 x= + + + =

2 2 2yy 0 0 0 0g (P) f(1) y .f '(1) y .f(1) f '(1) y .f ''(1) 1 y= + + + =

2 2 2zz 0 0 0 0g (P) f(1) z .f '(1) z .f(1) f '(1) z .f ''(1) 1 z= + + + =

Calculando el laplaciano en P se tiene que 2 2 2 2 2 2

xx yy zz 0 0 0 0 0 0g(P) g (P) g (P) g (P) 1 x 1 y 1 z 3 (x y z ) 3 1 2 = + + = + + = + + = =

SOLUCIN.

a. Obtenga div(F)

SOLUCIN.

Siendo F 2 2 2 2 2 2 2 2 2(x,y,z) (x.f( x y z ), y.f( x y z ),z.f( x y z ))= + + + + + + se tiene que

PROBLEMA 7. Sean f una funcin real que admite primera y segunda derivada para cada nmero real, con

f(1) 1= , f '(1) f ''(1) 0= = y 2 2 2 2 2 2g(x,y,z) x y z .f( x y z )= + + + + . Calcule el laplaciano de g

en cada punto 0 0 0P(x ,y ,z ) de la esfera de ecuacin 2 2 2x y z 1+ + = .

PROBLEMA 8. Sean f(u) una funcin derivable de la variable u, el campo r(x,y,z) (x,y,z)= y rr = . Se

define el campo vectorial F mediante F r(x,y,z) f(r).= .

a. Obtenga div(F) b. Pruebe que F es un campo irrotacional en todos los puntos de 3R excepto en r 0=


F

2 2 2 2 2 2 2 2 2x y z

2 2 2 2 2 2 2x

2 2 2x y z

2y 2 2 2 2 2 2

2 2 2x y z

2 2 2 2 2 2 2z

2 2 2x y z

div( ) (x.f( x y z )) (y.f( x y z )) (z.f( x y z ))

f '( x y z ) f( x y z )

f '( x y z ) f( x y z )

f '( x y z ) f( x y z )

+ +

+ +

+ +

= + + + + + + + +

= + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + +

2 2 2x y z 2 2 2 2 2 2

2 2 2x y z

f '( x y z ) 3f( x y z ) r.f '(r) 3f(r)+ +

+ += + + + + + = +

b. Pruebe que F es un campo irrotacional en todos los puntos de 3R excepto en r 0=

SOLUCIN.

Siendo F 2 2 2 2 2 2 2 2 2(x,y,z) (x.f( x y z ), y.f( x y z ),z.f( x y z ))= + + + + + + se tiene que

i j kF

x y z

2 2 2 2 2 2 2 2 2

y z z x x y

y z z xr r r r

rot( )

x.f( x y z ) y.f( x y z ) z.f( x y z )

( (z.f( r)) (y.f(r)), (x.f( r)) (z.f( r)), (y.f( r)) (x.f( r)))

(z.f '(r). y.f '(r). , x.f '(r). z.f '(r) , y.f '(r)

=

+ + + + + +

=

= yx

r rx.f '(r). ) (0,0,0) =

Por lo tanto F 0 rot( ) , r 0= .

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campo escalar y campo vectorial