Inducción Electromagnética

Ley de Faraday-Henry

Ley de Lenz

Fuerza Electromotriz de Movimiento

Corrientes de Foucault

Inducción Mutua y Autoinducción

Circuitos RL

Energía Magnética

Introducción a las Ecuaciones de Maxwell

Bibliografía

- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 26 y 27. Addison-Wesley Iberoamericana.- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 28 y 29. McGraw-Hill. - Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 35. CECSA.- Roller; Blum. "Física". Cap. 37 y 38. Reverté.- Serway. "Física". Cap. 31, 32 y 34. McGraw-Hill.- Tipler. "Física". Cap. 28. Reverté.

Ley de Faraday-Henry

A principios de la década de 1830, Faraday enInglaterra y J. Henry en U.S.A., descubrieron deforma independiente, que un campo magnéticoinduce una corriente en un conductor, siempre queel campo magnético sea variable. Las fuerzaselectromotrices y las corrientes causadas por loscampos magnéticos, se llaman fem inducidas ycorrientes inducidas. Al proceso se le denominainducción magnética.

Experimento 1Variación de flujo magnético ⇒ inducción

Experimento 2Variación de corriente ⇒ inducción

Enunciado de la Ley de Faraday-Henry

Un flujo variable produce una fem inducida en unaespira. Como esta fem es el trabajo realizado porunidad de carga, esta fuerza por unidad de cargaes el campo eléctrico inducido por el flujo variable.La integral de línea de este campo eléctricoalrededor de un circuito completo será el trabajorealizado por unidad de carga, que coincide con lafem del circuito.

∫Φ

−==εc

mdt

dld·E

La fem inducida en un circuito es proporcional ala variación temporal del flujo magnético que loatraviesa.

Ley de Lenz

La fem y la corriente inducida en un circuitoposeen una dirección y sentido tal que tienden aoponerse a la variación que los produce.

La corriente inducida se debe al movimientorelativo entre el imán y la espira.

Fuerza Electromotriz de Movimiento

Supongamos una varilla conductora que sedesliza a lo largo de dos conductores que estánunidos a una resistencia.

El flujo magnético varía porque el área queencierra el circuito también lo hace.

x l BA·B ==Φ

v l Bdtdx l B

dtd ==Φ

Comodt

d mΦ−=ε

El módulo de la fem inducida será

I

Fem de movimiento es toda fem inducida por elmovimiento relativo de un campo magnético y unsegmento de corriente.

v l B=ε

¿Cuál es el efecto de la aparición de esta corriente inducida?

El campo magnético ejerce una fuerzamagnética sobre la varilla que se opone almovimiento

ImF

El resultado es que si impulsamos la varilla con unacierta velocidad hacia la derecha y luego se deja enlibertad, la fuerza magnética que aparece sobre lavarilla tiende a frenarla hasta detenerla. Paramantener la velocidad constante de la varilla, unagente externo debe ejercer una fuerza igual yopuesta a la fuerza magnética.

Fem de movimiento para un circuito abierto (Varilla aislada)

La fem se induce en una barra o en unalambre conductor que se mueve en el senode un campo magnético incluso cuando elcircuito está abierto y no existe corriente.

Equilibrio em FF = EB v =

La diferencia de potencial a través de la barra será

v l Bl EV ==∆ v l B=ε

Diferencias entre el Campo Eléctrico Electrostático y el Campo Eléctrico

inducidoLos inducidos no están asociados a cargas, sinoa variaciones temporales del flujo magnético.

E

Las líneas del inducido formas líneas cerradas,mientras que las líneas de campo que representanal electrostático nacen en las cargas positivas ymueren en las negativas.

E

E

La diferencia de potencial entre dos puntosasociada a un electrostático es independiente delcamino recorrido, de forma que se puede escribir

E

∫ ==− 0ld·EVV ab

Para los inducidos no se puede aplicar estaexpresión, ya que la fem inducida es distinta decero cuando varía el flujo magnético. Por lo tanto,el inducido no es un campo conservativo.E

E

∫ ≠=ε 0ld·E

Se puede hablar de fem inducida para unatrayectoria determinada sin necesidad de que éstacoincida con un circuito físico.

Corrientes de Foucault

En el núcleo de un transformador, los flujosvariables producen corrientes en el metal. Elcalor producido por estas corrientes da lugar apérdidas de potencia en el transformador.

La pérdida de potencia se puede reduciraumentando la resistencia de los posiblescaminos que siguen las corrientes de Foucault(por ejemplo, laminando el conductor orecortando el metal).

Inducción Mutua y Autoinducción

AutoinducciónExiste una relación ente el flujo que atraviesa un circuito y la corriente que recorre el mismo.

L: Autoinducción de la espira, que dependede sus propiedades geométricas.

Unidad en S.I.: Henrio (H)

ATm1

AWb1H1

2==

Si la corriente varía, también lo hace el flujomagnético y podemos escribir

dtdIL

dt)LI(d

dtd m ==Φ

Por la Ley de Faraday-Henry

Un solenoide con muchas vueltas posee una granautoinducción, y en los circuitos se representacomo

I L=Φ

dtdIL−=ε

Inducción Mutua

Cuando dos o más circuitos están próximos, elflujo magnético que atraviesa uno de ellosdepende de la corriente que circula por él y delas que circulan por los circuitos próximos.

P1

2

El campo magnético en P1 tiene una componentedebida a I1 y otra debida a I2. Análogamente parael punto P2.

Circuito 1 22111B IMIL1

+=Φ

Circuito 2 11222B IMIL2

+=Φ

M12 y M21 es la inducción mutua, que depende dela posición relativa entre ambos conductores.

Por la Ley de FaradaydtdIL

dtdIM 1

12

211 −−=ε

dtdIL

dtdIM 2

21

212 −−=ε

Ejemplo: Un solenoide largo y estrecho, de espirasapretadas, está dentro de otro solenoide de iguallongitud y espiras apretadas, pero de mayor radio.Calcula la inducción mutua de los dos solenoides.

Para calcular la inducción mutua entre dosconductores, basta con suponer que por uno deellos circula una corriente I y calcular el flujo decampo magnético a través del otro conductor. Elcociente entre el flujo y la corriente es lainducción mutua.

2121o2112 r l n n MMM πµ===

Circuitos RL

Un circuito RL está formado por una resistenciay un solenoide o bobina.

Cuando se cierra el interruptor, la fem inducidaen la bobina impide la que corriente en el circuitoaumente de forma brusca, de forma que sigue laley

: Constante de tiempo inductivaRL

L =τ

( )L/to e1R

)t(I τ−−ε

=

Caso I

Una vez alcanzada la corriente estacionaria con S1cerrado, cerramos S2 y abrimos S1, para eliminarlos efectos de la batería.

En este caso, el circuito está formado por unaresistencia y una bobina por las que, en t = 0,circula una corriente Io

L/toeI)t(I τ−=

Caso II

Energía Magnética

Una bobina o un solenoide almacena energíamagnética de la misma forma que uncondensador almacena energía eléctrica.

Ecuación de un circuito RL

dtdILR Io +=ε

Multiplicando por I en ambos miembros, obtenemos una ecuación en términos de potencia

dtdII LR II 2

o +=ε

Potenciasuministradapor la batería

Potencia disipada en Rpor efecto Joule

Potencia almacenada en labobina

Energía almacenada en la bobina: Um

dI I LdU dtdII L

dtdU

mm =⇒=

La energía total almacenada se obtiene integrando

∫∫ ==fI

0mm dI I LdUU 2

fm I L21U =

Densidad de energía: Energía magnética porunidad de volumen

Caso de un solenoiden

BI I n Bo

o µ=⇒µ=

A l n L 2oµ=

A lU

VU mm

m ==ηo

2

m 2Bµ

=η Resultado general

Densidad de energía electromagnética o

22

ome 2BE

21

µ+ε=η+η=η

Introducción a las Ecuaciones de Maxwell

Hacia 1860, James Clerk Maxwell dedujo que lasleyes fundamentales de la electricidad y elmagnetismo podían resumirse de forma matemáticaen lo que se conoce como las Leyes de Maxwell.

Estas ecuaciones relacionan los vectores ycon sus fuentes, que son las cargas en reposo, lascorrientes y los campos variables.

E

B

Las Leyes de Maxwell juegan en elElectromagnetismo el mismo papelque las Leyes de Newton en laMecánica Clásica.

Maxwell demostró que estas ecuaciones podíancombinarse para dar lugar a una ecuación de ondasque debían satisfacer los vectores y cuyavelocidad en el vacío debía ser

E

B

m/s ·voo

81031=

µε=

Dicha velocidad coincide con la velocidad de laluz en el vacío. Luego la luz también es unaonda electromagnética.

Ecuaciones de MaxwellEn su forma integral

La primera es la ley de Gauss y nos dice que el flujo através de una superficie cerrada es proporcional a la cargaencerrada. La segunda, es la ley de Gauss para elmagnetismo, implica la no existencia de monopolosmagnéticos, ya que en una superficie cerrada el número delíneas de campo que entran equivale al número de líneasque salen. La tercera, es la ley de Faraday. En este caso,en el segundo término tenemos el flujo magnético a travésde una superficie no cerrada. Esta ley relaciona el flujo delcampo magnético con el campo eléctrico. La integral decirculación del campo eléctrico es la variación del flujomagnético. La cuarta, es la ley de Ampère, generalizadapor Maxwell y expresa cómo las líneas de campo magnéticorodean una superficie por la que circula una corriente o hayuna variación del flujo eléctrico. La integral de circulacióndel campo eléctrico es proporcional a la corriente y a lavariación del flujo eléctrico.

∫ ε=

s o

intqSd·E (1) ∫ =

s

Sd·B 0

(2)

∫ ∫−=Φ

−=

C

B Sd·Bdtd

dtdld·E

(3)

∫ ∫εµ+µ=

C Sooo Sd·E

dtdIld·B

(4)

Corriente de desplazamiento

Para deducir la ecuación de las ondaselectromagnéticas vamos a escribir lasecuaciones de Maxwell en su forma diferencial

El término de la corriente de desplazamiento permitela solución de ondas electromagnéticas. El segundopar de las ecuaciones de Maxwell conecta lasderivadas espaciales de cada campo con el ritmo devariación de cada uno de ellos. Es este acoplamientode los campos eléctricos y magnéticos lo que originala propagación de las ondas. Cualitativamente uncampo magnético variable con el tiempo en laecuación (7), conduce a un campo eléctrico variablecon el tiempo, , el cual conduce a su vez a uncampo magnético, dependiente del tiempo, en laecuación (8).

B

E

o)t,r(E·

ερ

=∇

(5) 0=∇ )t,r(B· (6)

t)t,r(B)t,r(E

∂∂

−=×∇

(7)

t)t,r(E)t,r(J)t,r(B ooo ∂

∂εµ+µ=×∇

(8)

La forma estándar de proceder con talesecuaciones diferenciales acopladas es tomar laderivada de una de ellas y usar la otra paraeliminar una u otra de las variablesindependientes. En este caso tomaremos elrotacional de la ley de Faraday, puesto que estoconecta con el rotacional del campo eléctrico loque nos permite eliminarlo usando la ley deAmpère generalizada.

0=∇ )t,r(E· (9) 0=∇ )t,r(B·

(10)

t)t,r(B)t,r(E

∂∂

−=×∇

(11)

t)t,r(E)t,r(B oo ∂

∂εµ=×∇

(12)

Para simplificar, vamos a tratar ondaselectromagnéticas en el vacío, considerando el casoen el que no hay corrientes ( =0) ni cargas (ρ=0).Con estas hipótesis las ecuaciones de Maxwellquedan como:

J

El término izquierdo de la ecuación (13), puede ser reordenado usando la siguiente identidad vectorial

A)A·(A 2∇−∇∇=×∇×∇

Calculando el rotacional de la ley de Faraday

tBE∂∂

×∇−=×∇×∇

(13)

Y usando la propiedad conmutativa en el término de la derecha, podemos escribir finalmente

t)B(E)E·(

∂×∇∂

−=∇−∇∇

2 (14)

Sustituyendo las ecuaciones (9) y (12) en la (14), obtenemos

2

22

tEE oo

∂

∂εµ=∇ (15)

Operando de forma análoga para el campo magnético

2

22

tBB oo

∂

∂εµ=∇ (16)

Puesto que m/F ·.o

1210898 −=ε

A/Tm ·o7104 −π=µ

Obtenemos para la velocidad de fase un valor de

c = 2.99·108 m/s

el cual coincide con la velocidad de la luz, c. Laconclusión es clara, la luz misma es una ondaelectromagnética. Este es un ejemplo de una delas primeras unificaciones en física de dos ramasde la misma que, en principio, parecían separadascomo son el electromagnetismo y la óptica y porlo tanto, uno de los mayores triunfos de la físicadel siglo XIX.

ooc

µε=

1

Estas ecuaciones obedecen a una ecuación deondas tridimensional para los campos y convelocidad de fase

E

B

Relación entre la Propagación de los Campos Eléctrico y Magnético

0=E·k

0=B·k

BEk

ω=× EBk oo

εµ−=×

Vamos a introducir la expresión de los camposen forma de ondas armónicas planas

)tkx(o

)tkx(o

e B)t,r(B

e E)t,r(Eω−

ω−

=

=

Donde es el número de ondas, que es un vectorque apunta en la dirección de la onda. Así,podemos reescribir las ecuaciones de Maxwell, enforma de ecuaciones vectoriales

k

Las primeras dos ecuaciones demuestran que losdos campos y son perpendiculares al vector deonda , puesto que apunta en la dirección de laonda, esto significa que las ondas electromagnéticasson ondas transversales. Como, en general unvector en 3D tiene tres grados de libertad, lacondición de que el campo eléctrico debe serperpendicular a reduce entonces los grados delibertad a dos. Físicamente esto corresponde a losdos estados de polarización en los que la luz puededividirse.

k

k

k

E

B

Las otras dos ecuaciones relacionan los camposeléctrico y magnético. Es normal visualizar el campoeléctrico como el que define la onda, y por ejemplo, ladirección en la que apunta define la polarización de laonda. Es conveniente usar para obtener laintensidad de campo magnético. Esta ecuacióndemuestra que es perpendicular a , y por lo tantohemos encontrado la propiedad fundamental de lasondas electromagnéticas, esto es que , y sonmutuamente perpendiculares.

BEk

ω=×

k

E

E

B

B

Puesto que y son perpendiculares, en términosde sus módulos, tenemos . Para ondas envacío, la velocidad de fase es c y por lo tanto .La última ecuación no nos da información nuevapuesto que con se reduce a la expresiónanterior .

BkE ω=

21 c/oo =µε

k

E

c/EB =

Propagación de las Ondas Electromagnéticas OEM

Los campos Eléctrico y Magnético oscilan localmente

Las direcciones locales del Campo Eléctrico y Magnético son mutuamente perpendiculares

La generación de OEM requiere que las dimensiones del medioemisor sean del orden de la longitud de onda generada.

•antenas de radio que emiten en AM (amplitud modulada), enonda larga o corta, tienen dimensiones de decenas acentenares de metros

• microondas, con longitudes de onda típicas en el rango de losmicrones se generan en cavidades resonantes de algunoscentímetros de tamaño

•rango del infrarrojo a los rayos X está asociado a emisión deondas electromagnéticas por átomos o moléculas

•rayos γ están asociados a procesos nucleares.

El Espectro Electromagnético

700 600 500 400

λ (nm)

espectro visible

100 102 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020 1022 1024

108 106 104 102 100 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10 10-12 10-14 10-16

Longitud de onda λ (m)

Frecuencia ν (Hz)

ultravioletaRayos X Rayos gamainfrarojoOndas de radioOnda larga

λ⋅ν = 3·108 m/s

104 105 106 107 108 109 10111010

Radio AM

Canales TVRadio FM

Horno microondas

banda ciudadanatelefonía móvil

Frecuencia ν (Hz)

ondas de radio y TV

microondas

radiación térmica luz

radiación láser

rayos X

rayos gama

¿Dónde se encuentran las OEM?

Ondas de Radiofrecuencia

Las generadas por Hertz con λ ∼ 1 m. λ ∈[1 km, 0.3 m]

f ∈[1 Hz,109 Hz]

Ondas emitidas por los circuitos eléctricos (50 Hz).

No existe límite teórico a estas ondas.

Microondas

Intervalo de variaciónλ ∈[30 cm, 1 mm]

f ∈[109 Hz, 3.1011 Hz]

Utilidad en radioastronomía y en la comunicación de vehículos espaciales.

Las frecuencias de los microondas coinciden con lafrecuencia natural de las moléculas de agua. Esta es labase de los hornos de microondas.

Una breve descripción del espectro electromagnético

Infrarrojo

f ∈[3.1011 Hz, 4.1014 Hz]

Detectadas por Sir William Herschel en 1800

Subintervalos

•IR cercano: 780 nm-3000 nm

•IR intermedio: 3000 nm-6000 nm

•IR lejano: 6000 nm-15000 nm

•IR extremo: 15000 nm-1 mm

Cualquier molécula por encima de cero absoluto radiará en el IR (por agitación térmica).

Los cuerpos calientes radían IR en un espectro continuo (por ejemplo un radiador).

Aproximadamente la mitad de la energía electromagnética del Sol es IR.

El cuerpo humano también radía IR (esta emisión se utiliza para visión nocturna).

Existen misiles que “siguen el calor” y que son guiados por IR.

La Luz

Sensibilidad del ojo humano: 400 nm-700 nm.

Newton fue el primero en reconocer que la luz blanca es mezcla de todos los colores del espectro visible.

El color no es una propiedad de la luz en sí misma, sino unamanifestación de nuestro sistema de percepción (La luz noes amarilla, la vemos amarilla, ya que con distintas mezclasde distintas longitudes de onda podemos obtener la mismarespuesta a nuestro ojo).

Ultravioleta

Descubiertos por Ritter sobre 1800: f ∈[109 Hz, 3.1011 Hz]

Los rayos UV del Sol ionizan los átomos de la atmófera superior y así se crea la ionosfera. El ozono absorbe estos rayos en la atmósfera.

Para λ < 290 nm los UV son germicidas.

Los seres humanos no ven muy bien los UV porque los absorbe la córnea y el cristalino.

Rayos X

Descubiertos por Röetgen (1845-1923):

f ∈[2.4 1016 Hz, 5.1019 Hz]

Se utilizan en medicina para radiodiagnóstico.

Existen microscopios de RX.

Rayos γ

Radiaciones electromagnéticas con la longitud de onda más corta.

Son emitidas por partículas que están sujetas a transiciones dentro del núcleo atómico.

Es muy difícil observar fenómenos ondulatorios en esta parte del espectro electromagnético.