Campos magnéticos

Chinos: siglo XIII a.C.Arabes, indios,…Griegos: 800 a.C., magnetita Fe3O4, del pastor Magnus

Pierre de Maricourt 1269

N

S

N

S

“Tetraóxido de trifierro”

La tierra tiene un campo magnético

N

S

Norte geográfico

Sur geográfico

N

S

William Gilbert 1600

Tierra

1750

r

2

1r

F

F

No existen monopolos magnéticos.

Magnetismo y electricidad

H. C. Oersted: 1819 Gian Dominico Romognosi 1802Gazetta de Trentino.

+

Ibrújula

Ampère (1775-1836) : Fuerza entre conductores.

1820 Faraday. Inducción.

J. Henry(1797-1878)

Maxwell: un campo eléctrico variable origina un campo magnético.

Un campo magnético variable produce unacorriente eléctrica.

mAN

T

11 Tesla

BqFB

v

v

B

BF

La fuerza magnética no trabaja cuandose desplaza una partícula.

El campo magnético se define en términos de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada en movimiento.

EXPERIMENTOS

BLIBLAnqBnqLAF

vv

BlIdFd

Lv

Fuerza sobre un circuito cerrado en un campo magnético constante:

0 BldIBlIdF

B

I

L

BLIF

Fuerza sobre un alambre curvo en un campo magnético constante.

B

Es el mismo que el sobre el circuitorojo.

Momento de torsión (torque) sobre una espira de corriente.

I

B

A

a

b

x

y

z

I

B

A

a

b

x

y

z

1F

2F

3F

4F

iIbBjBjbkbIF ˆsinˆ)ˆcosˆsin(3

iIbBjBjbkbIF ˆsinˆ)ˆcosˆsin(4

A

kIaBjBiIaF ˆˆˆ1

kIaBjBiIaF ˆˆˆ2

BI

A21

AIB

iIAB

kIaBjkb

Fb ˆcos

2)ˆ(ˆcosˆsin

22 11

1

iIAB

kIaBjkb

Fb ˆcos

2)ˆ(ˆcosˆsin

22 22

2

BIiIAB

iIAB

A2

1ˆsin2

ˆ)2

cos(21

BIiIAB

iIAB

A2

1ˆsin2

ˆ)2

cos(22

luego:

Partícula de masa m y carga q en un campo magnético iBB ˆ

z

y

y0

Lanzamos la carga desde este puntocon velocidad inicial vz

Bv

qF

jzqBkyqBiBkzjyixqF ˆˆˆˆˆˆ

jzqBkyqBiBkzjyixqF ˆˆˆˆˆˆ

Luego las ecuaciones de movimiento son:

yqBzm

zqBym

xm

0

Definiendo la frecuencia de ciclotrón mqB

tenemos:

yz

zy

x

0

La primera ecuación dice

txtx 00 x)( es decir si lanzamos la carga en el plano z-y , con velocidad sin componente xse moverá sobre tal plano. No hay aceleración en la dirección x.

yz

zy

Consideremos las otras dos:

Integrando, una vez, la primera :

zyzy )0(

ya que la velocidad inicial no tiene componente y.

Reemplazando esto en la segunda obtenemos:

02

2

zz

zz

o bien

Cuya solución general es: tAtAtz sincos)( 21

2z

21

1

v)0(

cossin)(

0)0(

Az

tAtAtz

Az

luego:

ttz

sinv

)( z

Para la componente y tenemos:

303z

z

cosycosv

)(

senv

)()(

AtAtty

ttzty

0)0( 3300 AAyyy

Condición inicial permite calcular 3A

luego tenemos la solución para las tres componentes:

z00

0

vycon t sen )(

cos)(

0)(

ytz

tyty

tx

z

y

y0

Lanzamos la carga desde este puntocon velocidad inicial kvz

Luego hacemos desaparecer elcampo magnético.

Si la velocidad inicial de la carga hubiera tenido una componente x, el movimiento sería:

x

Ley de Biot-Savart

20 ˆ

4 rrsId

Bd

sd

rrsd ˆr

Isd

r

Bd

AmT 7

0 104

Permeabilidad del vacío

2

0 ˆ4 r

rsdIB

Ejemplo: Conductor recto delgado.

O x

y

sd

r a

1 2

i

j

k

ˆˆ4 2

0 dBrrsId

Bd

sd

r

r

Módulo:

sen4 2

0

rdxI

dB

coscos

222

dr

r

rdr

x

rdrdx

xdxrdr

axr

da

rdrdr

r

ad

r

acoscossen

2

2

dar

dx 12

da

I

r

dxIdB sen

4sen

40

20

210

0

coscos4

sen4

2

1

a

I

da

IB

Si alambre es muy largo:

2

1 0

a

I

a

IB

2)1(1

400

Segundo Control; Primera parte. Problema 4

Tres largos alambres están colocados perpendicularmente entre ellosde manera que cada uno corresponde a un eje de coordenada cartesiano.

x

y

z

xI

yIzI

zyx III ,,Las corrientes sobre los respectivos ejes son .

Encuentre la fuerza sobre una partícula de carga q, que se encuentra enel punto yx ˆˆ con velocidad yv0 .Encuentre el flujo magnético a través de una espira rectangular cuyos vérticesson: yxaybxaybxyx ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ 0, ba

Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme

BqF

v

mqBFrecuencia de ciclotrón

B

+

~

+

-+++

qE

mdtt

m

qEzqEzm d

2

22

m

qEd

qE

md

m

qE 22vd

q

mEd

Bm

qEd

qB

mmrq d

212

qB

v

r

mvvB d

2

qB

mrTTr drrd dd

d

d vv

Con el teorema trabajo-energía se puede demostrar que los círculosse van abriendo con un factor n

om

qEdmmqEd v3v

2

2v

2 12

1

En la primera atravesada la velocidad es m

qEd2v0

En la siguiente:

om

qEdmmqEd v5v

23

2v

2 22

2

en la siguiente:

on n

m

qEdnmmqEd v12v

212

2v

22

n

oo v1212

121

v12 nq

Emdn

Bnr

cqBm

n

Selector de velocidades

x x x x x x

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - -

x x x x x x

x x x x x x

BqEqF

vFuerza de Lorentz

BEv

Estas cargas siguen sin desviarse y tienen una velocidad igual a :

kEE ˆ

iBB ˆ i

j

k

Se seleccionan las partículas sobre las cuales 0F

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - -

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

E

rBBrB

q

m

qB

mr

m

qBrr

0

v

bien o v

luego v

Espectrómetro de masas

0B

E

B

r

Ley de Ampère:

Irr

IdsBsdB 0

0 22

I

alambre infinito

Vale para cualquier trayectoria y corrientes.

...210

IIsdB

1I

2I

B

rR0

R

Aplicación ley de Ampère

0I Corriente homogénea

ˆ2

00

rI

B Rr si

ˆ2 2

00 rRI

B

si Rr

Solenoide:

xxxxxx

xxxxxx

NIBlsdB 0

donde n es el número de vueltaspor unidad de largo.

luego:

nIB 0l

Flujo magnético:

adBB

Ley de Gauss:

0adBB

N

No existen monopolos.

El flujo magnético a través decualquier superficie cerrada essiempre igual a cero.

I

c a

b

Flujo magnético a través de una espira rectangular

caIb

B 1ln20

dtd BVeremos más adelante: Ley de inducción de Faraday:

29-11

Un protón se mueve con una velocidad sm

kj4-i2v

en una región donde el campo magnético es:

TkjiB ˆ3ˆ2ˆ

¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que esta carga experimenta en ese instante?

Solución:

Nijkqjkik

kjijkijiq

kjiqF

)ˆ10ˆ7ˆ8()ˆˆ2ˆˆ

ˆˆ12ˆˆ4ˆˆ6ˆˆ4(

ˆ3ˆ2ˆkj4-i2qBv

NsTm

CF 1819 1034.2)213()106.1(

Se recomienda la siguiente notación:

321

142

ˆˆˆ

kji

qF

29-20

Una barra de masa m y radio R descansa sobre dos rieles paralelos, separados por una distancia d, y tienen un largo L. La barra conduce una corriente I y rueda sobre los rieles sin deslizarse. Si la barra parte del reposo¿cuál es su velocidad cuando deja los rieles si hay un campo magnéticouniforme B, perpendicular a la barra y al plano de los rieles?

dI B

L

xy

z

Solución:

La fuerza sobre la barra es:

jIdBkBiIdBdIF ˆ)ˆ(ˆ

Si la barra no rueda tendremos:

2

21

tmIdB

ytmIdB

yIdBym

Cuando deja los rieles:

IdBmL

ttmIdB

L LL

221 2

mdLIB

yL2 velocidad con que deja los rieles

en caso que no ruede.

Si rueda debemos agregar la existencia de un momento de inercia.

La fuerza que actúa sobre la barra durante la distancia L le entrega unaenergía igual a:

IdBLLFE la cual se transforma en energía cinética de rotación y de traslación, es decir:

22

222

22

v43

Rv

21

21

v21

21

v21

mmRm

ImIdBLE

3m4IdBL

v 132

vv

rodarsin

rodando

29-27

Un alambre de 0.4 m de largo conduce una corriente de 20 A. Se dobla en una espira y se coloca con su normal perpendicular a un campo magnético con una intensidad de 0.52 T. ¿Cuál es el momento de torsión sobre la espira si se doblaen la forma de a) un triángulo equilátero, b) un cuadrado, c) un círculo?

Solución:

B

a)B

AI

23222

107.710640

340

340

21

mA

NmTmA 323 101.80)52,0()107.7()20(

b)

B

NmTmA 104.0)52,0()10()20( 22

c)

B

NmTmA 132.0)52,0()1027.1()20( 22 es el que tiene el momento de torsión mayor entre los tres.

29-64

Una barra metálica con una masa por unidad de longitud igual a conduce una corriente . La barra cuelga cuelga de dos alambres en un campo magnético vertical uniforme. Si los alambres forman un ángulocon la vertical cuando están en equilibrio, determine la intensidad del campo magnético.

I

Solución:

En el equilibrio:

0cos

0sen

mgT

ILBT

luego:

jILmg

B ˆtan

Ig

29-67

Considere un electrón que orbita alrededor de un protón y mantiene una órbita circular fija de radio R = 5.29 x 10-11 debido a la fuerza de Coulomb.Tratando a la carga orbital como una espira de corriente, calcule el momento de torsión resultante cuando el sistema está en un campo magnético de 0.4 Tdirigido perpendicularmente al momento magnético del electrón.

Solución:

Tq

I v

2 RT

Rm

Rqke

2

2

2 v

luego:

mRk

Rqq

I e

2R2v 2

mRk

Rqq

I e

2R2v 2

ˆ)107.3(ˆ2

ˆ2

242

22

mNRBmRkq

BRmRk

Rq

B

e

e

29-72

yvv

h

rmv

vB2

q

ym

qBhˆvf

velocidad crítica para que lleguejusto al borde de arriba:

m

qBhcv

Si cvv

r

h1-sen

r

yvcosxvsenvf

x

y

qB

vmr

r

30-56

2q

Tq

I

23

22

20

2 Rx

IRB

2R

x

0

R

qBR

55.2

0

2

Anillo cargado uniformemente con carga total positiva q.

2

ˆ

4 r

rsdIBd o

sd

rBd

24 r

dsIdB o

y

24 r

dsIdB o

Componentes radiales se anulan. Luego:

xRx

RIxRd

r

RIx

r

ds

r

RIB ooo ˆ

2

4ˆ

4ˆ

4 2/322

22

032

x

Rx

IRB ˆ

2 23

22

20

23

22

20

2 rx

dIrdB

En el anillo circula una corriente dI

2

dQdQ

T

dQdI

rdrdxdVdQ 2

23

22

30

2 rx

drdxrdB

32

2

2/322

3

0

22

R

rx

drdxrB o

xR

r

oR

Rx

)rtomar v( 22 x

30.73 x

dx

dr

x

R

Segundo Control; Primera parte. Problema 3

R

Una esfera no conductora cargada uniformemente con carga Q, rota en torno a uneje que pasa por su centro, con velocidad angular

Encuentre el campo magnético en el centro de la esfera.