Conjuntos no numerables y la función de Cantor: “La escalera del Diablo” El pr esente reporte acer ca de la lectura invest igativa del tema Conj untos no numerables y la función de Cant or : “La escalera del Diablo” va di ri gi do al Lic enc iado Amilc ar Mauricio Moncada, Cat edr ti co de la !niversidad "acional #rancisco Mora$an, Cued% Comayagua& El 'ombre siempre 'a refutado, o puesto en tela de juicio la idea de un infinito pero al final del a(o )*+, el matemtico -eorg Cantor vislumbró una argumentación acerca de lo .ue 'oy conocemos como el no numerable conjunto de los n/meros reales& Aun.ue no fue la primera demostración .ue se 'i$o respecto a este tema, si fue una de las ms sencillas ya .ue baso su demostración en el intervalo 0, )1 demost rando por reducción al absurdo .ue no pod emos enu mer ar la lista de n/meros reales contenidos en este intervalo& #ue de esta manera .ue a trav2s de la consideración de este 'ec'o, la e3istencia de conjuntos no numerables 4infinito5 .ue se forman los fundamentos de la moderna topolog6a general, el clculo diferencial entre otros& Can tor tambi2n mue str a .ue un con jun to perfecto no tiene por .u2 ser denso independientemente de lo pe.ue(o .ue se tome el intervalo& Algunas propiedades .ue podr6amos mencionar del conjunto de cantor son: )5 Es un conjunto no vac6o, ya .ue cada trisección .ue se 'aga del intervalo, deja dos e3tremos& El 'ec'o de .ue el conjunto de canto es la intersección infinita del intervalo, podemos decir .ue el conjunto no es vac6o pero si infinito& 7&5 El conjunto de canto es cerrado pero no denso& La escal era del diabl o es un ejemplo del conj unto de cant or relacio nada co n la función de cantor la cual aun.ue es continua en todos los puntos y tiene derivada cero en casi todo punto& En el grafico se puede observar .ue esta función se e3tiende desde la i$.uierda con valor , 'asta la derec'a con valor, para los estad6sticos es la función de distribución de una probabilidad de una variable aleatoria uniformemente distribuida en el conjunto de cantor& La función de cantor es el ejemplo estndar de una función singular, ade ms La función de Cantor es monótona creciente, por lo .ue en particular su grfica define unacurva rectificable& En conclusión podemos decir .ue las ideas .ue cantor tenia , y .ue fueron puesta en tela de juicio, 'oy son consideradas como grandes contribuciones al mundo cient6fico%matemtico&
Conjuntos no numerables y la funcin de Cantor: La escalera del
DiabloEl presente reporte acerca de la lectura investigativa del
tema Conjuntos no numerables y la funcin de Cantor: La escalera del
Diablo va dirigido al Licenciado Amilcar Mauricio Moncada,
Catedrtico de la Universidad Nacional Francisco Morazan, Cued-
Comayagua. El hombre siempre ha refutado, o puesto en tela de
juicio la idea de un infinito pero al final del ao 1890, el
matemtico Georg Cantor vislumbr una argumentacin acerca de lo que
hoy conocemos como el no numerable conjunto de los nmeros reales.
Aunque no fue la primera demostracin que se hizo respecto a este
tema, si fue una de las ms sencillas ya que baso su demostracin en
el intervalo [0, 1] demostrando por reduccin al absurdo que no
podemos enumerar la lista de nmeros reales contenidos en este
intervalo. Fue de esta manera que a travs de la consideracin de
este hecho, la existencia de conjuntos no numerables (infinito) que
se forman los fundamentos de la moderna topologa general, el clculo
diferencial entre otros.Cantor tambin muestra que un conjunto
perfecto no tiene por qu ser denso independientemente de lo pequeo
que se tome el intervalo. Algunas propiedades que podramos
mencionar del conjunto de cantor son: 1) Es un conjunto no vaco, ya
que cada triseccin que se haga del intervalo, deja dos extremos. El
hecho de que el conjunto de canto es la interseccin infinita del
intervalo, podemos decir que el conjunto no es vaco pero si
infinito. 2.) El conjunto de canto es cerrado pero no denso.
La escalera del diablo es un ejemplo del conjunto de cantor
relacionada con la funcin de cantor la cual aunque es continua en
todos los puntos y tiene derivada cero en casi todo punto.
En el grafico se puede observar que esta funcin se extiende
desde la izquierda con valor 0, hasta la derecha con valor, para
los estadsticos es la funcin de distribucin de una probabilidad de
una variable aleatoria uniformemente distribuida en el conjunto de
cantor. La funcin de cantor es el ejemplo estndar de una funcin
singular, adems La funcin de Cantor es montona creciente, por lo
que en particular su grfica define unacurva rectificable.En
conclusin podemos decir que las ideas que cantor tenia , y que
fueron puesta en tela de juicio, hoy son consideradas como grandes
contribuciones al mundo cientfico-matemtico.
