Cap 03 y 04 Movimiento en Dos o Tres Dimensiones

7/21/2019 Cap 03 y 04 Movimiento en Dos o Tres Dimensiones

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Cap. 3 y 4 – Movimiento en

Dos o Tres Dimensiones



Para describir un movimiento en una dimensión

sólo necesitabamos un núero real. Ahora

necesitaremos por lo menos dos. En su forma

más intuitiva serían la distancia recorrida y la

dirección que puede ser determinada dando unángulo (un segundo número real. !n concepto

como "ste en el cuál la dirección es importante

se traba#a matemáticamente con la herramienta

llamada vector. El despla$amiento es el e#emplo

clásico de un vector. %eremos que hay otros

vectores como velocidad& aceleración y fuer$a.



Trabajando con Vectores Geométricamente!na forma matemática muy intuitiva de

traba#ar con vectores es haciendo un

dibu#o geom"trico. El vector es una

flecha apuntando en cierta dirección. 'alongitud de la flecha indica la magnitud.

Por e#emplo& para un despla$amiento& la

magnitud es la distancia entre el punto

inicial y el punto final del movimiento.

En estos dibu#os la locali$ación del vector no importa. !no puede mover el

vector y obtiene un vector igual despu"s que no cambie la dirección de la flecha

ni su longitud. odos los vectores en este dibu#o son iguales.



Suma de Vectores Geométricamente

Para despa!amientos e dibujo de vectores es un dibujo a escaa de o

"ue ocurre en a reaidad. #"u$ tenemos un primer movimiento "ue

empie!a en # y termina en % &dibujado como e vector 'a(se)uido por unse)undo movimiento "ue empie!a en % y termina en C &vector 'b(. *

resutado neto de estos dos movimientos &despa!amientos( es "ue se

empe!+ en # y se termin+ en C &vector 's(. ,ueremos amare -suma a

resutado neto. De dibujo es obvio "ue a manera de encontrar e vector

resutante de esta suma es poniendo e rabo de'

b en a cabe!a de'

a.* vector resutante/'s/ a suma/ va de rabo de 'a a a cabe!a de 'b.

*sto se ama sumar vectores -rabo con cabe!a.



0esta de Vectores Geométricamente

,ueremos "ue e 1)ebra de vectores sea o m1s parecida posibe a

1)ebra con n2meros "ue ya conocemos. Para a situaci+n de a

transparencia anterior/ 'a 'b 's. ,ueremos "ue 'a 's 5 'b tacomo ocurrir$a si 6uesen n2meros. 7 "ueremos "ue restar sea e

e"uivaente de sumar e inverso/ 'a 's &5'b( donde &5'b( es un

vector "ue amamos -e inverso de 'b. Vemos "ue &5'b( tiene "ue ser un

vector de a misma ma)nitud "ue 'b pero en direcci+n contraria.



)tra *anera de +umar %ectores ,eom"tricamente

El *"todo del Paralelograma

* dibujo a"u$ también es una prueba de a ey comutativa de a suma devectores/ o sea/ ' # '% '% ' #.

Para otros tipos de vectores es m1s intuitivo

dibujaros rabo con rabo. Cuando 8acemos

este tipo de dibujo/ se 6orma unparaeo)rama y a suma de os vectores es

una de as dia)onaes de paraeo)rama.



0esta de Vectores Geométricamente

Aquí hemos dibu#ado el rabo de - en la

cabe$a de A y hemos calculado A -

como A / (- poniendo el rabo de (- enla cabe$a de A.

Aquí nos fi#amos que el vector que

obtuvimos arriba (A 0 - es igual a un

vector que va de la cabe$a de - a la

cabe$a de A& o sea& es la otra diagonal del

paralelograma11

2on el paralelograma podemos calcular la

suma y tambi"n la resta de dos vectores.



Mutipicaci+n de un Vector por un *scaar !n escalar es una variable que no tiene dirección& o sea& se puede medir

sencillamente con un solo número real que puede tener signo negativo.

+i usamos la letra 3 para designar un escalar& quisi"ramos definir cuál es el

vector que es el resultado de multiplicar 3 por el vector A. 'a contestación esque 3A (el producto tendrá una magnitud que es el producto de la magnitud de

3 por la magnitud de A. 'a dirección de 3A será la misma que la de A& si 3 es

positivo y será opuesta a A& si 3 es negativo.

4í#ate que ahora podemos escribir 0 - como (5-.



Trabajando #)ebr1icamente

Componentes de 9n Vector

#un"ue e dibujo )eométrico puede ser muy 2ti para entender 61cimente/no se pueden cacuar as variabes con precisi+n. Para c1cuos

t$picamente se trabaja usando os -componentes de vector. :os

componentes son variabes reaes "ue 6aciitan e c1cuo de a suma y a

resta de vectores. *st1n basados en un sistema de coordenadas en e

espacio rea. :a de6inici+n detaada se desprende de a 6i)ura. Para e

caso de despa!amientos os componentes corresponden a as

coordenadas de punto 6ina en un sistema con e ori)en en e rabo de

vector.



Suma de Vectores #)ebr1icamente

*s muy sencia/ simpemente se suman os componentes;

#< %< C<

#y %y Cy

:o mismo ocurre con a resta.



Dos Maneras de *speci6icar un Vector = Ambas usan dos números reales.

= 'a primera es más intuitiva ya que usa la magnitud (un número

positivo y el ángulo que define la dirección. (A&6= 'a segunda usa los componentes (A7& Ay.

= 8elaciones entre las dos descripciones9

= A7 : A cos6 ; Ay : A sin6

= A : (A7< / Ay

<= ; 6 : tan5 (Ay > A7

= Al usar la calculadora para encontrar 6& siempre dará un

número entre 0?>< y / ?>< . @ay que mirar (A7& Ay y sumarle ? a

la contestación& si es necesario.



2uidado al !sar Estas escripciones

Es importante tener claro cómo es que se define 6.

Para tenerlo claro& es útil poner un e#e de coordenadas

con el origen en el rabo del vector.

Para vectores& los e#es de coordenadas se usan

solamente para determinar direcciones; la posición delorigen se puede mover. 'os componentes no

dependen de la posición del origen11



%ectores !nitarios

= >tra manera de escribir un vector



*ovimiento en os o res imensiones

'as Ecuaciones son las *ismas pero Ahora son %ectoriales

Posición es un vector

espla$amiento

%elocidad promedio

Es un vector tambi"nPosición son dos>tres funciones

%elocidad Bnstantanea

'os componentes de la

velocidad instantanea



'a dirección de la velocidad instantanea

'a velocidad instantanea es en dirección de la tangente a la trayectoria.





*ovimiento de Proyectil

os *ovimientos Bndependientes en !no







*ás ramático

El blanco se suelta a la misma ve$ que se hace el CdisparoD

apuntando a la posición inicial del blanco. 'a bala tiene

ambos movimientos& hori$ontal y vertical; el blanco sólo

tiene el vertical. Al final llegan al mismo sitio11

'o interesante es que esto traba#a no importa cuán duro sea

el disparo111



7 a 0evés;;;

* mov. Vertica no a6ecta a mov. @ori!onta

El componente hori$ontal del movimiento del paquete (proyectil es igual

que el de la avioneta que sólo tiene movimiento hori$ontal (velocidad

constante.



*ás ramático

El tiene ambos movimientos& hori$ontal y vertical; la tabla

sólo tiene el hori$ontal. Al final llegan al mismo sitio y el caeen la tabla.



*ovimiento de Proyectil

%el. 2onstante en 7& Acel. 2onstante en y

%ariables t& 7& y& vy&vF7&vFy (v7:vF7

Afortunadamente& la gran mayoría de las variables están

separadas en las ecuaciones.

'a única variable que aparece en todas las ecuaciones es t.

A veces la velocidad inicial se da en t"rminos de su magnitudy dirección (vF& 6F.



Para las ecuaciones en CyD a veces será más útil usar alguna de las otras

formas de las ecuaciones de mov. con acel. constante.

Por e#emplo

'as mismas ecuaciones escritas en t"rminos de la magnitud y la dirección

de la velocidad.

'a parte vertical se brega e7actamente igual que caida libre. +on las

mismas ecuaciones111 ) sea se usa solo una de las cinco ecuaciones que

es la que no contiene la variable que el problema ni me da ni me pide.





Análisis con las Ecuaciones





Go se aprendan las siguientes ecuaciones.

+í deben ser capaces de derivarlas usando las ecuaciones fundamenta

les que son las ecuaciones de velocidad y aceleración constante.

En el e7amen no vendrán problemas que se puedan resolver usandoestas ecuaciones.



Probema T$pico – :a boa pasar1 a cercaA

+olución 0

(5 !sando vF& 6F calcular vF7 vFy

(< !sando 7& vF7 (conocidos& calcular t& el tiempo para llegar a

la posición de la ver#a.

(H !sando t& vFy calcular y.

(I 2omparar la altura de la ver#a con la posición vertical de labola.



*ovimiento 2ircular con 8apide$ 2onstante (uniforme

Gi la velocidad ni la aceleración son constantes porque su

dirección está cambiando11111

En estos casos es más conveniente no usar un sistema de

coordenadas fi#o sino usar coordenadas longitudinal (tangente

a la trayectoria y transversal (perpendicular a la trayectoria.



+istema de 2oordenadas ('ongitudinal& ransversal

ambi"n se usan los t"rminos tangencial& radial.

'a velocidad tiene sólo componente longitudinal (es tangencial así que en

este sistema de coordenadas la velocidad tiene un sólo componente.

'a magnitud de la velocidad es la derivada del despla$amiento en arco con

respecto al tiempo. (v : ds>dt

'a aceleración puede tener dos componentes.

+iempre tiene ransversal (radial ar : v< > 8 (8 : radio de curvatura

Puede tener 'ongitudinal (tangencial at : dv>dt (si la rapide$ cambia

(!til cuando la aceleración no es constante& e.g. movimiento circular

uniforme







*ovimiento 2ircular con 8apide$ 2onstante (uniforme

escripción usando 2oordenadas 'ongitudinal& ransversal es

muy simple.

v : < ? 8 > donde es el periodo.

'a aceleración sólo tiene componente radial (transversal.

ar : v< > 8 . 'a magnitud de la aceleración es constante.

'as venta#as de las coordenadas (tangencial& radial en el



'as venta#as de las coordenadas (tangencial& radial en el

*ovimiento 2ircular !niforme

'os vectores de velocidad y aceleración

tienen un sólo componente. %elocidad es

tangencial; aceleración es radial.

'a posición se puede describir con una sola

variable ya que su posición radial no cambia

(es constante. +e puede usar un ángulo

para describir la posición (6 o equivalentemente se puede usar la longitud de arco (s.

s : r 6

v : ds>dta : v< > r

+istemas de 2oordenadas en



+istemas de 2oordenadas en

*ovimiento= El sistema de coordenadas (longitudinal& transversal es un

e#emplo de un sistema de coordenadas que se mueve con el

tiempo. Es un movimiento complicado porque tambi"n rota.

+in embargo& las ecuaciones que se obtienen con este sistema

son sencillas y son las más útiles para ciertos casos (e.g. el

caso de movimiento circular uniforme.

= En otros casos es más útil considerar sistemas de

coordenadas con movimientos más sencillos& i.e. sistemas que

no rotan y que se mueven con velocidad constante.

= 'os casos en que tales sistemas de coordenadas son útiles

son aquellos en los cuales hay tres cosas en el problema. 2asi

siempre una de estas cosas es la tierra que es el sistema de

coordenadas más común en cualquier problema.

= Problemas típicos de este tipo son problemas de movimiento a

trav"s de un medio& e.g. un bote en el agua o un avión en el

aire.

+i d 2 d d * i i 8 l i



+istemas de 2oordenadas en *ovimiento 8elativo con

%elocidad 2onstante

@ay tres vectores de posición& la del ob#eto (el punto P

con respecto al sistema A& la de P con respecto al

sistema -& y la del sistema - con respecto a A.

el dibu#o& es obvio que9

omando la derivada

con respecto al tiempo9

+in embago& como la velocidad de - con respecto a A

es constante& al tomar otra derivada& obtenemos9

Esto es un indicio de que la aceleración es una variable importante que mide algo

muy real que es independiente del sistema de coordenadas que se usa para medirla.Go podemos decir lo mismo para la velocidad. *ás adelante veremos que en la ley

fundamental del movimiento lo que aparece es la aceleración y no la velocidad.

Problemas de %elocidad 8elativa ípicos



Problemas de %elocidad 8elativa ípicos

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