Cap 2 campo eléctrico y ley de gauss 19 38-2010 ii

Cuaderno de Actividades: Física II

2) CAMPO ELÉCTRICO2) CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSSY LEY DE GAUSS

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 19


2.1) Definición de campo eléctrico,2.1) Definición de campo eléctrico, Er

El vector Er

describe las propiedades eléctricas del espacio {medio}.

Donde:

Campo eléctricoCampo eléctrico: : Discusión…Discusión…

“Las interacciones del campo no son instantáneas”“La carga q modifica el medio que la rodea (campo)”

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

0

eFE

q=

rr

eFr

q

0q

P

Er

P

→

q

0 0

0

: ,

0

q Carga de prueba q

q

→ +→

Er

20


Ecuaciones de E Ecuaciones de E

i)i) qq

( )

( )

0

3

3

3

( )0

,

:

( )

0r

q

q

kqq r r

r r kqrE s

kq r rE r

r

i rq r

En gener

r

al

′−′−

′= = ≡

′−=

′−

r

r r

r r r rr r

r rr rr r

r

ii)ii) Distribuciones Discretas, DDDistribuciones Discretas, DD

( ) ( ) ( )3

1 1

i

i n i ni iqDD

i i i

kq r rE r E r

r r

= =

= =

−= ≡

−∑ ∑

r rr rr r

r r

iii)iii) Distribuciones continuasDistribuciones continuas::

j) j) VolumétricaVolumétrica


( )qrE r

r

rr

r′r

q P

( )iqrE r

r

rr'ir r=r r

iq P

iq

21


( )( )

3,r v

k dv r rE

r r: representa el volumenρ

ρ

ρ ′ ′−=

′−∫r

r rrr r

jj)jj) SuperficialSuperficial

( )( )

3,r a

k da r rE

r ro s : representa el áreaσ

σ

σ ′ ′−=

′−∫r

r rrr r

jjj)jjj) LinealLineal

( )( )

3,r l :

kr

de

lp

rresenta la longi

rE d

ru

rtλ

λ

λ ′ ′−=

′−∫r

r rrr r

“Las distribuciones de carga crean el campo”

ObservacionesObservaciones

j) Nu E C ≡ r

jj) 0

eFE

q=

rr

: definición operacional

jjj)

0 0

0

, : " "

:

.

e eF q E F Fuerza sentida por q .

E creado por cierta distribución de

cargas en la posición de q

=r r r

r

jv) El Er

es usado intensivamente en las ecuaciones.



2.2) 2.2) Lineas de fuerza, LFLineas de fuerza, LF

( )( ) ( )

3r

k r dv r rE

r r

, E se obtiene por definicion

ρ

ρ

ρ

ρ

′ ′−=

′−

∀

∫r

r r rrr r

r

→ LEY DE GAUSS: ρdealta simetría .→ Útil sólo para ρ de alta simetría: E

r “fácil” de calcular.

→ LF / LF=simetría ρ .

Definición de lineas de fuerzaDefinición de lineas de fuerza

Son las Son las trayectoriastrayectorias descritas por las descritas por las 0q debido a la debido a la ( )eF qE≡r r

generada por generada por

cierta cierta ρ ..

““La forma de las LF esta ligada a cómo se distribuye la q”


rr

r′r

P( )rρ r

LF

( )'rρ r0q

eFr

23


LF para diversas distribuciones de cargaLF para diversas distribuciones de carga

i)i) qρ ≡

ii)

1 2: q qρ −

|q|

+-

d

g

g

g

Caso especial:

1 2

1

2

" "

q q q

q

q

d pequeña

≡ ≡ → +

→ − →


q0q

q

eFr

24


iii)iii) ρ λ≡

iv)iv) ρ σ≡

v)v) ( )0 rρ ρ ρ≡ ∨


q -q

d

λ

λ

O

O

σ σ

25

Dipolo eléctrico: Modelo más simple para describirModelo más simple para describir sistemas cargados (cuando d sesistemas cargados (cuando d se aprox. a 0)aprox. a 0)


CaracterísticasCaracterísticas

j)j) E tg LFr

jj) jj)

jjj)jjj) No se cruzan No se cruzan

jv)jv) Distribución de LF: Distribución de LF:

k)k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad. Densidad LF: Relacionada a la intensidad. kk)kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes. Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.

¿? Prepare maquetas de LFs¿? Prepare maquetas de LFs

2.3) Ley de Gauss2.3) Ley de Gauss


Q dvρ= ∫ Q

0qEr

ρ+ ρ−

26


Establece la Establece la proporcionalidad entre el entre el flujo eléctricoflujo eléctrico a través de cierta a través de cierta superficiesuperficie cerrada, llamada gausianacerrada, llamada gausiana y y la carga eléctrica encerrada por dicha superficie.la carga eléctrica encerrada por dicha superficie.

Definición del flujo eléctricoDefinición del flujo eléctrico,, Eφ r

Es la cantidad física escalar que informa acerca de cuanto Er

atraviesa la superficie.

. ,.

:

ES ES S

ds da vector de area elementa

E ds E da

l

φ φ

=

≡ ≡ ≡∫ ∫rr rr

r

r

r


dar

da

Er

S A=da da

da d

aa

d→ ≡

→ ⊥

r

rr

27

Johann Carl Friedrich Gauss,El príncipe de las matemáticas.


Ley de GaussLey de Gauss

,. NEE SG

SG

E da qφ α= ∫rr r

Ñ

0

. NE

SG

qE da

ε≡∫

r rÑ

Para simplificar los cálculos ver Para simplificar los cálculos ver que:que:

cosE da E da θ⋅ ≡r rr

{ }1º

2

0

º

E da E da

E cte E da E da E saledela

θ π≡ ∨ → ⋅ ≡ ±

≡ → ⋅ ≡ ∫

r rr r

r r r rr

*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}

¿? Investigue por lo menos una biografía del Príncipe de las Matemáticas.

¿? Que otros flujos se usan en la Física.

¿? Será posible matematizar las LF


SG

28

NE

SG

q dVρ≡ ∫


EjemploEjemplo

1º Por la definición de Er

( )( )

3r

k dl r rE

r rλ

λ

λ ′ ′−=

′−∫r

r rrr r

( ) ( ) 2 2ˆˆ ˆ

ˆ

r rj r r rj zk r r r z

r zk

′ ′= − ≡ − → − ≡ +

′ =

r r r r r

r

( ) ( ){ }

{ }

{ }

3 22 2

3 22 2

3 22 2

ˆˆˆˆ

0,

¿?

y z

y

z po

k dz rj zkE r E j E k

r z

dz

r

E k r

simetria

r z

zdzE k

r z

λλ

λ

λ

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

−= = +

+

= =+

= − →+

∫

∫

∫

r r


λZ

YEr

rr

r′r

dl dz

dq dzλ==

X

29


2º 2º λ → alta simetría alta simetría → Gauss Gauss


Er

SG=SCL+STS+STI

λ

Er

H

O

dar

rr r

H

λ

30


{ }

0

0

0

0

0 0 ,

2

2

NE

SG SCL STS STI

NE

SCL

SCL

qE da

da || E da E

q SG : E cteE da

HE d

E

a E r

r

H

ε

ε

λπε

λπ ε

⋅ ≡ + + =

⊥

= + + =

= = =

=

=→

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

r r

678 678r rr r

r

r r

r

r

Ñ

S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo eléctrico es cero. b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las líneas de fuerza del campo

resultante.c) Haga un gráfico cualitativo de E vs. x, dónde E se evalúe en puntos del eje

X.

Solución:

a) Para el punto S:

kE E+ −≡ →

2

q k

d

+≡

{ } 2

0

2 qq

d d

−→

+ 2

5 q

d≡

212

d +

2 212 5

4d d d

+ + ≡


Q q- q+ E- P E+ S x d1 0 d0 d x

31


21,2 1

12 4 4 3

21 2 103 2 0 0,9

2 2 3 6d d d d

± − × × − + − − ≡ → ≡ → ≡ ≡×

Igual en Q:

kE+ ≡

2 q( )2

1

12

kE

d−≡ ≡

+

5 q( ) 2 21 1 12

1

52 5 5

4d d d

d→ ≡ + +

21 1 11,2

5 25 45

3 5 04

d d d

− ± −+ + ≡ → ≡

53

4× ×

5 100,3; 1,4

2 3 6

− ±≡ ≡ − −×

b)

c) Para el punto S:

{ } { }2 2 2 2

2 5 2 5ˆ ˆ ˆ ˆ1 12 2

T T

k q k qE i i kq i E i

x xx x

+ − ≡ + ≡ − ≡

− −

r

2 2

2 5 1,

212

TE kq xx

x

≡ − ← >

−

L hay que especificar para cada región


- + x

32


S1P7) En la distribución mostrada ρ0 es constante y q0 es una carga puntual. Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.

Solución:

Por superposición:


E- y ET

E+

0,9 0 0,5 x

E+ E+

R0 ρ0 centro de la circunferencia q0

R0/2

d

0 0’ q r R0/2 d R0

ρ0

33


( )0 0 0' 20

' ˆ;/ 2q Qq Q q

kQ kQE E E i

d Rd

≡ + ≡ + −

r r r

33 0

0 0 0

4 4, '

3 3 2 8

R QQ R Qρ π ρ π ≡ ≡ − ≡ −

0 0

30 0 2 2

0

4 1 1 ˆ3

82

ˆq qE k R i

d RE

d

iπρ

≡ −

−

≡

r

00 1

RSi d R

d>> → << {despreciando los cuadrados}

2 2

0 0 02 2

2 0

1 11 1 1

2 21

2

R R R

d d ddRd

d

− − → ≡ − → − = + −

Usando la aproximación del Binomio de Newton:

(1 ) 1 1nx nx cuando x− ≈ − <<


Q Q’

0 0’ + ≡ r -ρ0

ρ0

34


0 0

4qE kρ→ =

3

π ( )300

2

1 /1

8

R dR

d

+−

1442443

0

30 0

0 2

4 11 1

3 8q

R RE k

ddπ ρ = − +

0

30 0

0 2

17

6q

R RE k

ddπ ρ = −

¿? Encuentre este resultado usando la definición. Analice la expresión integral.

Ahora, usando

0F q E≡r r

0

30 0

0 0 2

1 ˆ76q

R RF q k i

ddπ ρ = −

r

S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal λ(φ)= λ0 cosφ, donde λ0 es una constante positiva y φ el ángulo azimutal, ¿Cuál es el modulo del vector campo eléctrico?

a) En el centro del anillob) En su eje a una distancia

d de su centro. Analice la expresión obtenida para d >> R.

a) ( ) ( )3

( ) '0

'

k dl r rE

r rλ

λ φ −≡

−∫r rr

r r

ˆ ˆ0, ' cosr r R i Rsen jφ φ≡ ≡ +rr r

( ) ˆ ˆ' cosr r R i Rsen jφ φ→ − ≡ − −r

31 3r r R− ≡r r; dl Rdφ≡


Z P z ≡ d

λ

0 y φ R

x dq

35


( ) { {2 20

0

1ˆ ˆ0 cos 22

kE d i sen d j

R

πλ λ φ φ φ φ − ≡ + ∫

r

( )11 cos2

2φ+

( ) ( )0 0ˆ0 0k

E i ERR

kλλ λπ πλ ≡−≡ →r r

b) ˆ ˆ ˆ, ' cosr zk r R i Rsen jφ φ≡ ≡ +r r

( ) ˆˆ ˆ' cosr r R i Rsen j zkφ φ→ − ≡ − − +r r

{ } 3/ 23 2 2' ; Rr r R z dq dλ φ− ≡ + ≡r r

( ){ } { { {

22 20

3/ 2 02 2

1 ˆˆ ˆcos 2 cos2

k R zE z d i sen d j d k

RR z

πλ λ φ φ φ φ φ φ − → ≡ + − + ∫

r

( ){ }

( ){ }

20

20

3/ 22 23/ 22 2

ˆ ,k R

E z ik R

R zE z

R z

λ λ λ πλ π−≡ →+

≡+

rr

( )2

03

limz R

k RE z

zλ λ π

>>≡

r

S1P47) Determine el campo eléctrico de un disco de radio R con densidad superficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.

Solución:

A) Usando coordenadas polares (≡ coordenadas cilíndricas en el plano)

y


z r

r

σ r y 'r

r

x

36


da=(rdθ)dr dr dθ r x θ

( ) ( )3

'

'

kdq r rE r k I

r rσ

σ−

≡ ≡−∫r rr rr

r r

( )dq da rd drσ σ θ= =

( )0,0,r z≡r

( )' cos , ,0r r rsenθ θ≡r

( ) ( )( ) 3/ 22 2

cos , ,s

k rd dr r rsen zI

r z

σ θ θ θ− −≡

+∫

r

( )( )

2

3/ 20 0 2 2

cos , ,R r rsen z rd dr

r z

π θ θ θ − − ≡ + ∫ ∫

2

0cos d

πθ θ∫ = 0

2

0sen d

πθ θ∫ = 0 (por evaluarse en sus periodos)

( )2

3/ 20 0 2 2

ˆR rzdrdI k

r z

π θ≡+

∫ ∫r



{ } ( )2

3/ 20 0 2 2

ˆR zrdrd k

r z

πθ

≡ +

∫ ∫

( )( ) 3/ 20 2 2

ˆ2R rdr

z kr z

π ≡ +

∫

( ) ( )2 2

ˆ2z z

E z k kz R z

σ π ≡ − +

r

¿? Encuentre este resultado usando la definición con un elemento de área cartesiano. Analice la expresión integral.

¿? Qué ocurre si R → ∞

R → ∞

( ) ( ) ( )( )

ˆ2ˆ2ˆ2

k kzE z k k

z k k

σ πσ π

σ π

≡ ≡ −

r

( ) ( ) ( )0 0

12 2

4 2E z k

σπ σ π σπε ε

≡ ≡ ≡

r: El E de un plano!

(verifíquelo usando LG)

B) Usando anillos de λ=σdr


z r

r

σ r y 'r

r

x

38


b) ˆ ˆ ˆ, ' cosr zk r r i rsen jφ φ≡ ≡ +r r

( ) ˆˆ ˆ' cosr r r i rsen j zkφ φ→ − ≡ − − +r r

{ } 3/ 23 2 2' ;r r r z dq rdλ φ− ≡ + ≡r r

( ){ } {

2

3/ 2 02 2

ˆˆ ˆcosk rdr

dE z r d i rsen d j zd kr z

πλ σ φ φ φ φ φ → ≡ − − + + ∫

r

14243

( ){ }

( ){ }3/ 2 3/ 22 2 2 2

0

(2 ) (2 )ˆ ˆRk zrdr k zrdr

dE z k E z kr z r z

λ σσ π σ π≡ → ≡+ +

∫r r

( ) ( )2 2

ˆ2z z

E z k kz R z

σ π ≡ − +

r


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