Cap 2 - CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS 19-38-2011II

7/29/2019 Cap 2 - CAMPO ELCTRICO Y LEY DE GAUSS 19-38-2011II

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Cuaderno de Actividades: Fsica II

2) CAMPO ELCTRICO2) CAMPO ELCTRICOY LEY DE GAUSSY LEY DE GAUSS

Mg. Percy Vctor Caote Fajardo 19


2/26


2.1) Definicin de campo elctrico,2.1) Definicin de campo elctrico,E

El vectorE describe las propiedades elctricas del espacio {medio}.

Donde:

Campo elctricoCampo elctrico:: DiscusinDiscusin

Las interacciones del campo no son instantneas

La carga q modifica el medio que la rodea (campo)

Mg. Percy Vctor Caote Fajardo

0

eFEq

=r

eF

r

q

0q

P

E

P

q

0 0

0

: ,

0

q Carga de prueba q

q

+

20


3/26


Ecuaciones de EEcuaciones de E

i)i) qq

( )

( )

0

3

3

3

( )

0

,

:

( )

0r

q

q

kqq r r

r r kqrE s

kq r r E r

r

i rq r

En gener

r

al

= =

=

r

r r rrr r

r rr r

r r

r

ii)ii) Distribuciones Discretas, DDDistribuciones Discretas, DD


E

( )

q

rE r

r

r

q P

21


4/26


( ) ( )( )

31 1

i

i n i ni iqDD

i i i

kq r r E r E r

r r

= =

= =

=

r rr rr r

iii)iii) Distribuciones continuasDistribuciones continuas::

j)j) VolumtricaVolumtrica

( )

( )3

,r

vk dv r r

Er r

: representa el volumen

=

r

rr r

jj)jj) SuperficialSuperficial

( )

( )3

,r

ak da r r

Er r

o s : representa el rea

=

r

rr r

jjj)jjj) LinealLineal


( )iq

rE r

r'ir r=

iq P

iq

22


5/26


( )

( )3

,r

l :k

rd

el

pr

resenta la longir

E dr

ur

t

=

r

rr r

Las distribuciones de carga crean el campo

ObservacionesObservaciones

j) Nu EC

jj)0

eF

Eq

=r

: definicin operacional

jjj)

0 0

0

, : " "

:

.

e eF q E F Fuerza sentida por q .

E creado porcierta distribucin de

cargas en la posicin de q

=r

jv) El E es usado intensivamente en las ecuaciones.

2.2)2.2) Lineas de fuerza, LFLineas de fuerza, LF



6/26


( )

( ) ( )3r

k r dv r r E

r r

, E se obtiene por definicion

=

rr

r r

r

LEY DE GAUSS: de alta simetra .

til slo para de alta simetra: E fcil de calcular. LF / LF=simetra .

Definicin de lineas de fuerzaDefinicin de lineas de fuerza

Son lasSon las trayectoriastrayectorias descritas por lasdescritas por las 0q debido a ladebido a la ( )eF qE generada porgenerada porciertacierta ..

La forma de las LF esta ligada a cmo se distribuye la q


r

r

P( )r

r

LF

( )'rr

0q

eF

r

24


7/26


LF para diversas distribuciones de cargaLF para diversas distribuciones de carga

i)i) q


q

0q

q

eFr

25


8/26


ii) 1 2: q q

|q|

+-

d

g

g

g

Caso especial:

1 2

1

2

" "

q q q

q

q

d pequea

+


q -q

d

26

Dipolo elctrico:Modelo ms simple para describirModelo ms simple para describirsistemas cargados (cuando d sesistemas cargados (cuando d se

aprox. a 0)aprox. a 0)


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iii)iii)

iv)iv)

v)v) ( )0 r


O

O

27


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CaractersticasCaractersticas

j)j)E tg LF

jj)jj)

jjj)jjj) No se cruzanNo se cruzan

jv)jv) Distribucin de LF:Distribucin de LF:

k)k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad.Densidad LF: Relacionada a la intensidad.

kk)kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.

? Prepare maquetas de LFs? Prepare maquetas de LFs


Q dv= Q

0q E

+

28


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2.3) Ley de Gauss2.3) Ley de Gauss

Establece laEstablece la proporcionalidad entre elentre el flujo elctricoflujo elctrico a travs de ciertaa travs de cierta superficiesuperficiecerrada, llamada gausianacerrada, llamada gausiana yy la carga elctrica encerrada por dicha superficie.la carga elctrica encerrada por dicha superficie.

(30 de abril de 1777, Brunswick 23 de febrero

de 1855, Gttingen)

Definicin del flujo elctricoDefinicin del flujo elctrico,, Er

Es la cantidad fsica escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa lasuperficie.


Johann Carl FriedrichGauss,El prncipe de lasmatemticas.


12/26


. ,.

:

ES E

S S

ds da vector de area elementa

E ds E da

l

=

rr

r

r

r

Ley de GaussLey de Gauss


da

da

E

S A=

da da

da da

ad

r

r

r

30


13/26


, . NEE SGSG

E da q = r

0

. NE

SG

qE da

r r

Para simplificar los clculos ver que:Para simplificar los clculos ver que:

cosE da E da r

{ }

1

2

0

E da E da

E cte E da E da E saledela

r r

r r r rr

*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}


SG

31

NE

SG

q dV


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? Investigue por lo menos una biografa del Prncipe de las Matemticas.

? Que otros flujos se usan en la Fsica.

? Ser posible matematizar las LF

EjemploEjemplo


Z

YE

r

r

dl dz

dq dz

==

X

32


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1 Por la definicin deE

( )

( )

3r

k dl r r E

r r

=

r

rr r

( ) ( ) 2 2

r rj r r rj zk r r r z

r zk

= +

=

r r r r r

r

( )( )

{ }

{ }

{ }

3 22 2

3 22 2

3 22 2

0,

?

y z

y

z po

k dz rj zk E r E j E k

r z

dz

r

E k r

simetria

r z

zdzE k

r z

= = +

+

= =+

= +

r r

22 alta simetraalta simetra GaussGauss


E

SG=SCL+STS+STI

E

H

O

da

r

r r

H

33


16/26


{ }

0

0

0

0

0 0 ,

2

2

NE

SG SCL STS STI

NE

SCL

SCL

qE da

da || E da E

q SG : E cteE da

HE d

E

a E r

r

H

+ + =

= + + =

= = =

=

=

r r

6 7 8 6 7 8r rr r

r

r r

r

r

S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo elctrico es cero.b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las lneas de fuerza del campo

resultante.c) Haga un grfico cualitativo de E vs. x, dnde E se evale en puntos del eje

X.

Solucin:

a) Para el punto S:

kE E+ 2

q k

d

+

{ }2

0

2 qq

d d

+ 25 q

d

21

2d

+

2 212 54

d d d + +


Q q- q+ E- P E+ Sx

d1 0 d0 d x

34


17/26


2

1,2 1

12 4 4 3

21 2 103 2 0 0,9

2 2 3 6d d d d

+

Igual en Q:

kE+

2 q( )2

1

1

2

kE

d

+

5 q( )2 2

1 1 12

1

52 5 5

4d d d

d + +

2

1 1 11,2

5 25 453 5 0

4d d d

+ +

5

3 4 5 100,3; 1,4

2 3 6

b)

c) Para el punto S:

{ } { }2 2 2 2

2 5 2 5

1 1

2 2

T Tk q k qE i i kq i E i

x xx x

+ +

r

2 2

2 5 1,

21

2

TE kq xx

x

>

L hay que especificar para cada regin


- + x

35


18/26



E-y ET

E+

0,90 0,5 x

E+ E+

36


19/26


S1P7) En la distribucin mostrada 0 es constante y q0 es una carga puntual.Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.

Solucin:

Por superposicin:


R0 0 centro de la circunferenciaq0

R0/2

d

0 0 q

rR0/2 dR0

0

37


20/26


( )0 0 0' 2

0

' ;/ 2

q Qq Q q

kQ kQE E E i

d Rd

+ +

r r r

3

3 00 0 0

4 4, '

3 3 2 8

R QQ R Q

0 0

3

0 0 2 2

0

4 1 1 3

8 2

q qE k R i

d RE

d

i

r

00 1

RSi d R

d>>


21/26


0 0

4qE k =

3

( )3 002

1 /1

8

R dR

d

+

1 4 4 2 4 4 3

0

3

0 00 2

4 11 1

3 8q

R RE k

dd

= +

0

3

0 00 2

17

6q

R RE k

dd

=

? Encuentre este resultado usando la definicin. Analice la expresinintegral.

Ahora, usando

0F q E 03

0 00 0 2

1 76

q

R RF q k i

dd

=

r

S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal

()= 0 cos, donde 0 es una constante positiva y el nguloazimutal, Cul es el modulo del vector campo elctrico?a) En el centro del anillob) En su eje a una distancia d de su centro. Analice la expresin

obtenida para d >> R.



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a) ( )( )

3

( ) '0

'

k dl r r E

r r

r

r r

0, ' cosr r R i Rsen j +

( ) ' cosr r R i Rsen j 3

1 3r r R r r

; dl Rd

( ) { {2

20

0

1 0 cos 22

kE d i sen d j

R

+

r

( )1

1 cos22

+

( ) ( )0 00 0kE i ERR

k r r

b) , ' cosr zk r R i Rsen j +

( ) ' cosr r R i Rsen j zk +r r

{ }3/ 2

3 2 2' ; Rr r R z dq d + r r

( ){ }

{ { {

22

20

3/ 2 02 2

1 cos 2 cos2

k R zE z d i sen d j d k

RR z

+ +

r

( ){ }

( ){ }

2

0

2

0

3/ 22 2

3/ 22 2

,k R

E z ik R

R zE z

R z

+

+

rr


ZP

z d

0 y R

x dq

40


23/26


( )2

0

3limz R

k RE z

z

>>

r

S1P47) Determine el campo elctrico de un disco de radio R con densidadsuperficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.

Solucin:

A)Usando coordenadas polares ( coordenadas cilndricas en el plano)

y

da=(rd)drdr

d rx

( )( )

3

'

'

kdq r r E r k I

r r

r rr

r r

( )dq da rd dr = =


z

r

r y

'r

x

41


24/26


( )0,0,r z

( )' cos , ,0r r rsen

( ) ( )

( )3/ 2

2 2

cos , ,

s

k rd dr r rsen z I

r z

+

r

( )

( )

2

3/ 20 0 2 2

cos , ,R r rsen z rd dr

r z

+

2

0cos d

= 02

0sen d

= 0 (por evaluarse en sus periodos)

( )

2

3/ 20 0 2 2

R rzdrdI kr z

+

r

{ }( )

2

3/ 20 0 2 2

R zrdr

d kr z

+

( )( )

3/ 20 2 2

2R rdr

z kr z

+

( ) ( )2 2

2z z

E z k kz R z

+

r

? Encuentre este resultado usando la definicin con un elemento de reacartesiano. Analice la expresin integral.

? Qu ocurre si R

R



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( ) ( )( )

( )

22

2

k kzE z k k

z k k

r

( ) ( ) ( )0 0

12 2

4 2E z k

r: El E de un plano!

(verifquelo usando LG)

B) Usando anillos de =dr

b) , ' cosr zk r r i rsen j +

( ) ' cosr r r i rsen j zk +r r

{ }3/ 23 2 2' ;r r r z dq rd +

r r


z

r

r y

'r

x

43


26/26


( ){ }

{

2

3/ 2 02 2

cosk rdr

dE z r d i rsen d j zd k r z

+ +

r

14 2 43

( ){ }

( ){ }

3/ 2 3/ 22 2 2 2

0

(2 ) (2 ) R

k zrdr k zrdr dE z k E z k

r z r z

+ +

r r

( ) ( )2 2

2z z

E z k kz R z

+

r

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