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Captulo 3
Filtros en RF
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FILTROS EN RF
Filtrado en RF: circuito que modifica la magnitud y la fase de
las componentes de las
frecuencias de la seal de RF que pasa a travs de ellos.
Un filtro de convolucin se caracteriza por su repuesta al
impulso h(t) y su funcin de
transferencia (con transformada de Laplace) se puede calcular
como:
La respuesta en frecuencia (con transformada de Fourier) es:
(3.1)
La amplitud y la fase de la seal de salida dependen de la
respuesta en frecuencia del sistema.
Los filtros se disean para atenuar o amplificar un conjunto de
frecuencia de una seal de
entrada.
La magnitud de la respuesta en frecuencia es una funcin par,
mientras su fase es una
funcin impar.
3.1. Tipos General de Filtros ideales
Los filtros se clasifican normalmente en funcin de cmo se
modifica el espectro de
frecuencias. Se consideran cuatro tipos de filtros:
Filtro pasa bajos: Fig. 3.1
Fig. 3.1 Filtro pasabajos ideal
Filtro pasa alto: Fig. 3.2
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Fig. 3.2 Filtro pasa alto ideal
Filtro pasa banda: Fig. 3.3
Fig. 3.3 Filtro pasa banda ideal
Filtro rechaza banda: Fig. 3.4
Fig. 3.4 Filtro rechaza banda ideal.
3.2 Respuesta en Filtros reales
Los filtros en el mundo real no tienen las caractersticas
ideales mostradas anteriormente. Las
transiciones verticales en los bordes de las bandas de paso del
filtro, prcticamente no se
pueden construir. En consecuencia los cambios abruptos en los
cambios de frecuencia se
realizan ahora en forma suave generando zonas de transicin que
ocupan un determinado
ancho en frecuencia. Las diferentes configuraciones del circuito
causa una banda de paso
donde se presentan variaciones en la atenuacin.
En la prctica un filtro pasa bajos real puede ser obtenido por
la respuesta al impulso dada por
la ecuacin (3.2).
(3.2)
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Por tanto el filtro ideal corresponde a un sistema inestable y
no causal (fsicamente no
realizable).
En la prctica se flexibilizan las exigencias sobre el
filtro:
Se inserta una banda de transicin
No se exige respuesta de magnitud 1 en la banda de paso
No se exige atenuacin absoluta en la banda de rechazo.
Las condiciones anteriores se expresan en la Fig. 3.5 donde se
representa un filtro pasa bajos
real.
Fig. 3.5 Filtro Pasa bajos real
Banda de paso
Banda de rechazo
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Banda de transicin: Todos los filtros requieren una zona de
transicin cuando se presenta l
cambio de banda, como se muestra en la Fig. 3.5. La existencia
de una banda de transicin da
lugar a la definicin de un factor de forma del filtro.
El factor de forma del filtro se define como la relacin entre el
ancho de banda de banda de
rechazo definido por la atenuacin del filtro requerida dividida
por el ancho de banda de la
banda de paso.
La banda de paso se extiende desde una frecuencia corte inferior
hasta la frecuencia de corte
superior.
El factor de forma del filtro LPF y BPF, es mayor que 1 ya que
el ancho de banda de banda de
rechazo es siempre mayor que el ancho de banda de paso de banda.
En general, los factores de
forma superior a 3,3 son simples filtros RC; en filtros activos
RLC se puede emplear factores
de forma de 1,5 a 3 y en filtros ms exticos como filtros de
cristal o filtros SAW se puede
utilizar un factor forma menor de 1,5.
El circuito de la Fig. 3.6 puede ser estudiado analizado los
efectos del factor Q con carga en la
respuesta en frecuencia para el filtro de 2 polos (Fig.
3.7).
Fig.3.6 Filtro pasa bajo tpico de 2 polos
Fig. 3.7 Curvas de respuesta tpica de un filtro de 2 polos
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La frecuencia de resonancia de este circuito puede ser
determinada por la ecuacin (3.3)
(3.3)
El factor de calidad de la rama serie es:
(3.4)
El factor de calidad de la rama paralelo es:
(3.5)
El Q total es:
(3.6)
El nmero de picos de la banda pasante est relacionado con el
nmero de elementos (N),
como lo indica la ecuacin (3.7)
(3.7)
Para un filtro pasabajos de 3 elementos como se indica en la
Fig. 3.8, tiene una curva de
respuesta con 2 picos, como se indica en la Fig. 3.9.
Fig. 3.8 Filtro pasa bajo de 3 elementos
Fig. 3.9 Respuesta de un filtro pasa bajo de 3 elementos
Las curvas de respuestas tpicas para algunos valores de Q con
carga son mostrados en la Fig.
3.10.
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Fig. 3.10 Respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajo de 3
elementos
3.3 Diseo de Filtros modernos.
Se utiliza un filtro prototipo pasa bajo normalizado, el cual
puede ser transformado al tipo de
respuesta deseada (pasa banda, pasa alto, elimina banda).
El primer paso consiste en la normalizacin a un filtro pasa bajo
prototipo mostrado en la Fig.
3.11
Fig. 3.11 Respuesta del filtro pasa bajo normalizado
Los cambios de impedancia, frecuencia de corte del filtro
normalizado a los valores deseados
se conoce como el proceso de escalamiento.
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3.3.1 Filtro Butterworth
La respuesta de un Butterworth se caracteriza por una respuesta
plana en la banda pasante y no
contiene rizados o ripple como se muestra en la Fig. 3.12.
Fig. 3.12 Respuesta de un filtro Butterworth
La atenuacin de un filtro Butterworth est dada por la ecuacin
(3.8)
(3.8)
Donde: frecuencia en la cual la atenuacin es la deseada.
c = frecuencia de corte del filtro ( 3dB )
n = nmero de elementos del filtro.
La Fig. 3.13 muestra la relacin entre la atenuacin generada por
el filtro de orden n y
cualquier frecuencia.
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Fig. 3.13 Caractersticas de Atenuacin para filtros
Butterworth
La Tabla 3.1 determina los valores de un filtro Butterworth de
un prototipo Ladder
con resistencias de fuente y de carga de 1 ohmio.
Ejemplo 3.1
Cuantos elementos son requeridos para disear un filtro
Butterworth con una
frecuencia de corte de 50 MHz, si el filtro debe generar una
atenuacin de al menos 48
dB en 200 MHz?
Solucin:
El primer paso es encontrar la relacin de
Luego a 4 veces la frecuencia de corte, la respuesta debe decaer
en 48 dB. Segn la
Fig. 3.13 se requieren 4 elementos. El circuito correspondiente
se muestra en la Fig.
3.14
Fig. 3.14 Ejemplo 3.1
La Tabla 3.1 muestra los valores de los elementos del prototipo
pasa bajo Butterworth cuando
Rs =RL.
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Tabla 3.1 Valores de los elementos del prototipo pasa bajo
Butterworth
Ocasionalmente, se requiere disear un filtro que opere con
terminaciones desiguales como se
indica en la Fig. 3.15. En este caso el circuito se normaliza
para una resistencia de carga de 1
ohmio y por tanto la resistencia de la fuente y de la carga se
dividen por 10, como se indica
en la Fig. 3.16.
Fig. 3.15 Filtro con terminaciones desiguales.
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Fig. 3.16 Filtro con terminaciones desiguales normalizadas
Tabla 3.2 Valores de los elementos del Butterworth pasa bajo
para una relacin Rs/RL
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3.3.2. Filtro Chebyshev
El filtro Chebyshev es un filtro con un Q ms alto que el
Butterworth con una banda de
transicin ms abrupta, no obstante presenta un rizado en la banda
pasante. La Fig. 3.17
muestra una comparacin de los filtros anotados para n = 3
elementos.
Fig. 3.17 Comparacin de las curvas de respuesta del Chebyshev y
el Butterworth
Los polinomios de Chebyshev segn el orden n son mostrados en la
tabla 3.3
Tabla 3.3 Polinomios de Chebyshev segn el orden n
3.4 Proceso de diseo de filtros
Un filtro puede ser diseado o seleccionado de un grupo de
"definicin clsica de" filtros o
arbitrariamente sobre la base de la curva de respuesta de energa
espectral deseada.
Filtros de la definicin clsica
Para el diseo clsico los filtros de paso bajo, paso alto, paso
banda o banda de detencin se
utilizan procedimientos explcitos de diseo clsico que han sido
desarrollados para una serie
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de filtros como por ejemplo: Butterworth, Chebyshev, etc.
Adicionalmente, las herramientas
CAE estn disponibles en lnea o utilizando MATLAB, donde se
proporciona la estimacin
del orden del filtro y el trazado espectral.
Filtros arbitrarios:
La respuesta espectral arbitraria requiere los siguientes
pasos:
(1) Definir una curva suave y continua para todo el espectro de
potencia deseado de un
filtro. Tratar de usar segmentos de lnea recta a partir de una
frecuencia a otra, por tanto es
necesario asegurar la determinacin de las bandas de
transicin.
(2) Estimar el nmero y ubicacin de los polos y ceros sobre los
puntos de ruptura y la
pendiente de las bandas de las transiciones.
(3) Utilizar el polo y el cero estimados en la ecuacin para ver
si las curvas resultantes son lo
suficientemente cerca.
(4) Iterar sobre las estimaciones hasta que ajuste la curva.
3.5 Ejercicios Propuestos
3.5.1 Dados una bobina con una inductancia de 10 mH, una
resistencia de 2 , un capacitor
de 0,005 F y una fuente de voltaje de 1 volts conectados como un
circuito resonante serie,
calcular:
a) La frecuencia de resonancia: fo. b) La corriente Io del
circuito. c) El factor de calidad Q. d) El voltaje sobre la
resistencia VR.
3.5.2 Una inductancia de 100 H que incluye una resistencia de 8
, est conectada en
paralelo con un capacitor de 680 pF. La fuente de voltaje es de
10 volts. Calcular:
a) La frecuencia de resonancia: fo. b) La impedancia de salida
Zo. c) La corriente que alimenta el tanque IT. d) La corriente en
la rama capacitiva IC. e) La corriente en la rama inductiva IL.
3.5.3 Una red en configuracin L, se usa para acoplar
impedancias. La frecuencia de
operacin es 1.2 MHz y la carga es de 100 ohmios. La inductancia
de la bobina es de 150 H
con un Q de 200. Calcular:
a) El QT que opera en el circuito. b) La Resistencia de entrada
c) La Capacitancia.
