Cap 4

Cap tulo 4 TransformadoresLos transformadores fueron inventados al nal del siglo XIX por dos ingenieros, Lucien Gaulard y John Gibbs, consiguieron elevar una tensin alterna hasta o los 2000 voltios sobre 40km y luego rebajarla. Este invento fue luego desarrollado y mejorado para el transporte de la energ sobre largas distancias. La elevacin a o de la tensin permite reducir las perdidas por calentamiento en los cables de o transporte, dado que se disipa energ en los conductores por la circulacin de a o corriente. Muchas veces, los recursos energticos (carbn, agua, etc) no estn en e o a el lugar del consumo de la energ sino lejos. Se necesita entonces un dispositivo a que permite transportar la energ sobre grandes distancias. Un cable conductor a siempre presenta una cierta resistencia lineica que depende del material. Al pasar una corriente por este cable, el calentamiento por efecto Joules disipa una parte de la energ que se quiere transportar. La disipacin por efecto Joules se expresa a o en funcin de la longitud de la linea: o P (d) = d I 2 (4.1)

con la resistencia lineica del cable en .m1 . Entonces para reducir estas perdidas tenemos dos soluciones: reducir la resistividad del material o reducir la corriente. El nmero de materiales para el transporte de la energ son limitados. El u a cobre, el material clsico para el transporte, es ahora un metal muy caro y se han a buscado alternativas mas econmicas. Se usan ahora cables h o bridos formadas de hebras de acero y aluminio trenzadas. El aluminio es buen conductor (aunque peor que el cobre) pero es demasiado dctil. El acero da la solidez requerida del u cable. Sin embargo resulta dif rebajar la resistividad de las lineas. cil 109

110

Cap tulo 4. Transformadores

La otra solucin, rebajar la corriente, implica aumentar la tensin de alimeno o tacin. Tenemos la potencia transportada en el sistema igual a: o

S = Vef f Ief f

(4.2)

Para mantener entonces la potencia hay que elevar la tensin. Los transformadoo res de alta potencia tienen el papel de elevar una tensin alterna para el transporte o y luego rebajar la tensin para que el usuario pueda alimentarse con tensiones o menos peligrosas. Los problemas de las altas tensiones son compensados por el ahorro energtico realizado en las lineas. e La potencia nominal de un transformador dene la potencia aparente para la cual el transformador esta diseado. La potencia nominal y la tensin nominal n o denen as las corrientes de funcionamiento del transformador. Si la corriente de funcionamiento supera esta corriente nominal los conductores se pueden deteriorar rpidamente debido al calentamiento excesivo. Se tiene que usar entonces un a transformador especialmente diseado para las necesidades del sistema. No vale n usar cualquier transformador para una instalacin sino que se tiene que dimeno sionar el sistema. El uso de transformador es unicamente posible en en corriente alterna debido a la naturaleza de su funcionamiento. El transformador usa los principios de la induccin electromagntica para transformar la tensin, lo que restringe al uso o e o de tensione dinmicas. Sin embargo existen ahora dispositivos capaces de elevar a tensiones continuas a muy altas tensiones para el transporte de energ para a el transporte llamados HVDC (High-Voltage Direct Current). Estos sistemas se usan por ejemplo en cables submarinos para largas distancias, pero estan basados en otros principios de funcionamiento. Tiene dos ventajas decisivas, primero solo se necesitan dos cables y por encima de 100 km el transporte en trifsico bajo a agua pierde demasiada potencia. La otra clase de transformadores muy extendidos son los transformadores de pequea potencia alimentado por una tensin de 110 o 220V ecaz. Los transforn o madores bobinados de pequea potencia tienden a desaparecer con el desarrollo n de la electrnica de potencia. Estas fuentes conmutadas tienen un alto rendio miento y un peso mucho menor que los transformadores clsicos. a

4.1. Circuitos Magnticos eNombre 78 Permalloy MoPermalloy Supermalloy 48 % nickel-iron Monimax Sinimax Mumetal Deltamax Composicin % o 78.5 Ni 79 Ni, 4.0 Mo 79 Ni, 5 Mo 48 Ni 47 Ni, 3 Mo 43 Ni, 3 Si 77 Ni, 5 Cu, 2 Cr 50 Ni Saturacin G o 10,500 8,000 7,900 16,000 14,500 11,000 6,500 15,500 Max. permeabilidad 70,000 90,000 900,000 60,000 35,000 35,000 85,000 85,000 Permeabilidad inicial 8,000 20,000 100,000 5,000 2,000 3,000 20,000 Resistivdad .cm1 16 55 60 45 80 85 60 45

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Cuadro 4.1: Algunos ejemplos de materiales ferromagnticos con sus parametros. e

Figura 4.1: Ejemplo de circuito magntico con un devanado de N vueltas alimentado e por una corriente I.

4.1.

Circuitos Magnticos e

Los transformadores usan el campo magntico para transformar la energ e a. En los transformadores y maquinas elctricas se usan circuitos magnticos pae e ra canalizar los ujos magnticos. En el estudio de las inductancias hab e amos demostrado que la circulacin de una corriente llevaba a la generacin de un o o campo magntico y por tanto de un ujo magntico. Primero recordamos la e e relacin entre la excitacin magnetica H la induccin magnetica B: o o o B = 0 r H (4.3)

con 0 la permeabilidad del vacio y r la permeabilidad relativa depediendo del material estudiado. Para los materiales ferromagneticos el parametro r puede alcanzar hasta 100000 veces 0 , para el hierro convencional tenemos un alrededor de r = 5000. En la tabla se muestran algunos materiales comerciales con sus respectivos parmetros. a Consideramos ahora el circuito magntico de la gura 4.1 alimentado por una e corriente continua I. Si aplicamos la ley de Amp`re a este circuito tenemos una e relacin entre la excitacin magnetica H y la corriente I. Aplicamos la ley de o o

112


Amp`re; la circulacin del campo en un contorno cerrado es igual a la suma de e o la corriente que encierra este contorno: H dl = NI (4.4)

l

Si tomamos un circuito cerrado como sealado en la gura 4.1 tenemos la relacin n o entre H y la corriente I, H se considera constante y tiene la misma direccin que o el vector dlsobre todo el trayecto : Hl = NI = F (4.5)

Llamamos la fuerza magnetomotriz F el producto NI, es el la fuerza que crea la excitacin magnetica H. o Por otro lado relacionamos la induccin magnetica con esta fuerza F : o F = NI = Hl = Bl (4.6)

El ujo de la induccin magntica en el circuito consiste en el producto de la o e supercie de una seccin del circuito por el campo B: o = BS Introducimos esta expresin del ujo en la ecuacin (4.8): o o F= l S (4.8) (4.7)

El ujo magntico se expresa por medio de una fuerza magnetomotriz. Esta e fuerza F se relaciona con el ujo en el circuito con la ley de Hopkinson: F = R (4.9)

con R la reluctancia del circuito magntico, es funcin de las propiedades del e o material utilizado () y de la geometria (S y l). En el ejemplo precedente la reluctancia se expresa como: l . (4.10) R= S Depende de la geometr del circuito (longitud l, supercie S) y de la pera mabilidad magntica del material . Notese que si aumenta entonces el ujo e

4.1. Circuitos Magnticos e

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F

Figura 4.2: Expresin del ujo creado en el hierro en funcin de la fuerza magnetomotriz o o para una excitacin de corriente continua. o

magntico es mas intenso para una misma fuerza magnetomotriz (es decir para e una misma corriente). Conviene entonces ajustar estos parametros para obtener la magntizacin deseada. Esta reluctancia es generalmente no lineal debido a e o los efectos del circuito ferromagnetico. En la gura 4.2 tenemos un ejemplo de relacin entre el ujo creado y la fuero za magnetomotriz continua. El circuito magntico satura a partir de un cierto e valor de la fuerza magnetomotriz. Es decir que si aumenta la corriente, a partir de cierto valor no hay aumento de ujo en el circuito. Para ilustrar este fenmeno o podemos tomar la gura 4.3 donde se muestra una idealizacin de un circuito o magntico. Un pequeo trozo de hierro puede considerarse con un conjunto de e n imanes elementales orientados en direcciones aleatorias en el espacio. Al circular un ujo magntico por el circuito estos imanes tienden a alinearse en la direce cin de la excitacin magntica H. Cuando todos los imanes elementales estan o o e alineados, se dice que el hierro esta saturado. Ya no puede haber creacin de o ujo. Esta propiedad limita el ujo de los circuitos magnticos. El fenmeno de e o saturacin del hierro aparece para corrientes continuas y alternas. Sin embargo o para las corrientes alternas aparece otro fenmeno nolineal. Cuando se alimenta o un devanado y que el ujo se establece, todos estos imanes se alinean en la direccin del ujo. Si cortamos de repente el ujo, parte de los imanes elementales o conservan su direccin. Hay un magnetismo remanente en el circuito que magneo tiza el material. Para anular este ujo restante se necesita invertir la polaridad de la corriente y aumentarla hasta que desaparezca el magnetismo. Como veremos a continuacin este efecto tiene consecuencias importante sobre el consumo de o

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Figura 4.3: Magnetizacin del circuito ferromagntico sin presencia y con presencia de o e un campo magntico. e

energ del transformador. Sin embargo este fenomeno permite la construccin a o de imanes permanentes.

4.1.1.

Perdidas por histrisis e

En el apartado anterior se ha descrito el fenomeno de magnetizacin de un o material ferromagntico y como este podr crear un ujo. Si aplicamos una e a corriente alterna el magnetismo remanente del circuito gasta energ porque se a necesita mas energ para alinear todas las part a culas. Es decir que tenemos que emplear una parte de la energ para anular este ujo remanente. Este efecto a se llama histresis. Los histresis aparecen en muchos fenmenos que guardan e e o memoria de su estado anterior. En la gura 4.4 enseamos la histresis de un n e circuito magntico cuando la corriente es sinusoidal. El camino que el ujo sigue e no es el mismo para un sentido o el otro, segn aumentamos la corriente o u disminuimos la corriente de excitacin. o La energ consumida por este fenomeno es funcin del volumen del material, a o de la frecuencia, de la intensidad de la corriente elctrica y de la intensida de e la induccin magntica. Se pueden estimar estas perdidas con la formula de o e Steinmetz. Esta formula establece una aproximacin de la energ disipada por o a ciclo en el material: 1,6 Wh = Bmax (4.11) El exponente puede variar segn el material entre 1.4 y 1.8 y el coeciente se u llama coeciente de Steimetz. Las perdidas totales en un ncleo se establecen u en funcin de la frecuencia del ciclo y del volumen del material: o1,6 Ph = f V Bmax

(4.12)


115

Figura 4.4: Histresis del circuito magntico cuando se le alimenta con una corriente e e alterna.

4.1.2.

Perdidas por corrientes de Foucault

El otro tipo de perdidas que podemos encontrar en el circuito magntico son e las corrientes parasitas internas en el hierro. Al circular un campo magnetico en el material, se producen corrientes de induccin que circulan dentro del conductor. o Por lo tanto solo calientan el circuito y no participan en la transformacin de o la energ Estas corrientes se llaman corrientes de Foucault. En la gura 4.5 a. ilustramos el proceso de formacin de estas corrientes internas. La circulacin de o o esta corriente provoca un calentamiento del sistema y una disipacin de energ o a. El valor de la potencia disipada depedende del volumen, de la intensidad mxima a del campo Bmax , de la frecuencia f y de la conductividad del metal . La energ a disipada por un ncleo de lado a y de volumen V es: u 2 2 2 2 Pf = V a f Bmax 6 (4.13)

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Figura 4.5: Formacin de corrientes de Foucault en un circuito magntico cuando existe o e un campo magntico. Vemos la seccin transversal de un circuito magntico en el cual e o e circula un ujo magntico. La corrientes interna se forman en el plano de la seccin. e o

Para materiales mas resistivos las perdidas aumentan. Una forma de reducir estas perdidas consiste en reducir el volumen donde circulan estas corrientes. Para ello se corta el material en laminas y se cubren de un aislante electrico. Se unen las laminas para formar el circuito magntico y de esta forma se reducen el volumen e en el que circulan las corrientes y por tanto las perdidas, ver la gura 4.8. Las perdidas por histerisis y por corriente de Foucault en el material se llaman perdidas de hierro y se pueden modelizar de una forma sencilla como veremos en el modelo elctrico del circuito. e

4.1.3.

Modelo de un circuito magntico alimentado en coe rriente alterna

. Ahora alimentamos nuestro circuito magntico con una tensin alterna. Para e o determinar la relacin entre la tensin y la corriente de alimentacin de un circuito o o o magntico debemos usar la ley de Faraday. La ley de Faraday expresa la tensin e o inducida en un conductor cuando esta atravesado por un ujo magntico variable. e Al alimentar la bobina con un generador de alterna hemos visto se establece un ujo magntico en el circuito. e En el caso de un circuito magntico tal como el de la gura 4.1 podemos exe presar en funcin del ujo y del nmero de vueltas alrededor del circuito magntio u e


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Figura 4.6: Representamos un circuito magntico alimentado por una corriente alterna e y representamos la tensin inducida en el circuito. o

co:

d (4.14) dt El sentido de la tensin se opone a la corriente, la polaridad sera la misma que o la tensin de alimentacin como enseado en la gura 4.6 como resultado de o o n la ley de Lenz. Para un circuito lineal sin perdidas, la tensin inducida puede o expresarse en funcin de la autoinductancia del circuito: o eind = N L=N d d dt dt =N = eind dIm dt dIm dIm (4.15)

La expresin de la tensin inducida es entonces: o o eind = L dIm dt (4.16)

con Im la corriente de magnetizacin. Esta corriente de magntizacin se modeo e o liza como una inductancia. Para una tensin alterna, la corriente esta entonces o en desfase de con la tensin eind . Para tomar en cuenta las perdidas de o 2 hierro de este circuito conviene descomponer la corriente I de alimentacin en o dos componentes: la componente de perdidas y la componente de magnetizacin. o La corriente I se descompone como la suma dos: I = Ih + Im (4.17)

El modelo equivalente del circuito magntico consiste entonces en dos elementos e en paralelo, una inductancia de magnetizacin y un elemento modelizando las o perdidas de hierro. La perdidas de hierro en este caso van a ser representadas por

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Figura 4.7: Circuito elctrico equivalente de un circuito magntico. e e

una simple resistencia. Es decir que la perdidas van a ser proporcional al cuadrado de la tensin inducida. El esquema elctrico equivalente del circuito magntico se o e e puede ver en la gura 4.7, consiste en la inductancia de magnetizacin Xm = jL o en paralelo con la resistencia de perdida de hierro Rh .

4.2.

Transformadores ideales

Los transformadores son equipos destinados a elevar o rebajar una tensin o alternativa. Un transformador consiste en dos bobinas acopladas por un circuito magntico. El circuito magntico esta hecho de un material ferromagntico, acta e e e u como un conductor de las lineas de campo magntico. Sin este material, la casi e totalidad del ujo magntico se perder en el aire, sirve de canal por el cual e a circula el ujo magntico. En el transformador mas comn, el ncleo se presenta e u u como laminas de material ferromagnticos (hierro etc) pegadas entre s y aisladas e electricamente con un tratamiento termo-qu mico como se puede observar en la gura 4.8. No se suele usar bloques macizos por una cuestin de perdidas de o energ Las corrientes de Foucault y las perdidas por histrisis son las principales a. e responsables de estas perdidas. En la gura 4.9 se muestra el esquema de transformadores monofsicos de a dos tipos. En la gura (a) tenemos un transformador de tipo acorazado en el cual tenemos dos devanados en el mismo eje de un circuito magntico. En la gura e (b) tenemos otro tipo de transformador, el transformador de tipo ncleo en el u cual los devanados estn unidos por un circuito magntico circular o cuadrado. a e Se alimenta la bobina de entrada, llamada bobina primaria con una corriente alterna. Como hemos visto anteriormente, las bobinas alimentadas con un corriente alterna producen un ujo magntico que se expresa con la ley de induccin e o

4.2. Transformadores ideales

119

Figura 4.8: Esquema de un ncleo ferromagntico de un transformador. Se colocan u e laminas para evitar las corrientes de Foucault en el conductor. A la izquierda se muestra un perl circular de un circuito magntico. e

de Faraday: E1 = N1 d dt (4.18)

con N1 el nmero de espiras al primario. Tenemos un signo positivo aqu para u satisfacer la ley de Lenz; tenemos una fuerza contra-electromotriz que se opone a la tensin que le ha dado lugar. Si nos jamos en la gura 4.9 (b), la fuerza o electromotriz E1 creada tiene el mismo sentido que la tensin V1 que le ha dado o lugar. El ujo as creado esta canalizado por el circuito magntico. Al atravesar la e bobina del secundario el ujo va a inducir tambin una tensin alterna acorde e o con la ley de Faraday: d E2 = N2 (4.19) dt El signo positivo viene tambin de la ley de Lenz, la corriente generada va a crear e un ujo que se opone al ujo que le ha dado lugar, esta orientada entonces hacia afuera. La corriente del secundario tiene que aparecer en convencin generador o para poder proporcionar energ a una carga. La tensin V2 tiene tambin el a o e mismo sentido que la f.e.m inducida E2 . El sentido de los devanados son importantes para la polaridad de los transformadores. El punto negro en la gura 4.9.(b) indica el sentido del devanado. Si los dos puntos estn arriba entonces tenemos las tensiones con el mismo sentia do. Si el punto fuese abajo, las polaridades cambiar Por ejemplo, si el punto an.

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I2 N2 I1 V1 N1 V2

(a)

(b)

Figura 4.9: Esquema de transformadores f sicos. En la gura (a) tenemos un transformador de tipo acorazado, los devanados de este transformador pueden ser concntricos e o entrelazados. En la gura (b) tenemos un transformador de tipo ncleo en el cual u un circuito magntico conecta a dos devanados. e

del primario se encuentra arriba y el punto del secundario se encuentra abajo tenemos: la tensin del primario positiva (orientada hacia arriba) y la corriente I1 o uyendo adentro, la tensin del secundario negativa (orientada hacia arriba) y la corriente I2 o

4.2. Transformadores ideales uyendo adentro.

121

La relacin entre la tensin de entrada y la tensin de salida depende del o o o nmero de espiras en el primario y el secundario y del ujo generado en el transforu mador primario. Si calculamos la razn entre las tensiones tenemos una relacin o o de transformacin: o V1 N1 E1 = = (4.20) E2 V2 N2 esta razn se llama relacin de transformacin: o o o m= N1 N2 (4.21)

Tenemos dos tipos de transformadores en funcin del valor de m: o Para m < 1, tenemos V1 < V2 . El transformador es un transformador elevador. Para m > 1, tenemos V1 > V2 . El transformador es un transformador reductor. A partir de las ecuaciones precedentes podemos expresar la diferencia de potencial en el primario y en el secundario cuando tenemos un ujo magntico e sinusoidal de expresin: o (t) = m sin(t) (4.22) A partir de la ley de Faraday precedente tenemos la tensin V1 o V1 (t) = N1 d = N1 m cos(t) = 2f N1 m cos(t) dt (4.23)

Podemos ver tambin que si la tensin es sinusoidal de forma que V1 (t) = e o V1 cos(t), el ujo mximo esta determinado por la formula: a m = V1 . 2f N1 (4.24)

En el transformador ideal no hay perdidas de potencia, por lo que la potencia aparente a la entrada tiene que ser la misma que la potencia de salida del transformador. Esta igualdad se expresa como: V2 I2 V1 I1 = S1 = S2 = 2 2 (4.25)

122


(a)

(b)

(c)

Figura 4.10: Esquema normalizado de transformadores ideales con una relacin de o transformacin m. Los dos esquemas (a),(b) y (c) son equivalentes. El esquema (c) o representa un circuito magntico laminado. e

a partir de este razonamiento sobre las potencias podemos despejar la relacin o entre la corriente de entrada y de salida: I1 1 N2 V2 = = = 2 1 N1 m I V (4.26)

La relacin de transformacin para la corriente es inversa a la relacin de las o o o tensiones. En la gura 4.10 enseamos unos esquemas estandarizados de transn formadores ideales. Existen varias convenciones para representarlos, pero siempre aparece la relacin de transformacin as como el sentido de los devanados reo o presentados por los puntos. Se puede hacer aqui un comentario relativo al desfase de las corrientes. En


123

Figura 4.11: Esquema de un transformador ideal alimentado con corriente alterna y con una carga Z

el caso del circuito magntico en vac habiamos encontrado una corriente de e o magnetizacin desfada de /2 con la tensin. Sin embargo si conectamos en el o o secundario del transformador una carga Zc = la corriente en el secundario seria entonces: V2 V2 V2 = = (4.27) I2 = Zc La corriente I2 va a provocar una desmagnetizacin del circuito, es decir que la o fuerza magnetomotriz F = NI2 va a oponerse al ujo creado por el primario. Se debe compensar esta fuerza F al primario por una fuerza magneto motriz F = NI1 de misma intensidad que sera en fase con con I2 . Es decir que la corriente de primario I1 se descompone en la parte de magnetizacin en desfase o cuyo desfase y modulo depende de /2 con respeto a la tensin y con una parte I1 o de la carga conectada al secundario.

4.2.1.

Potencia Nominal

La potencia asignada o potencia nominal de un transformador es la potencia aparente para la que ha sido diseado. En la especicacin de un transformador, n o en su placa de caracter sticas, tiene que aparecer su tensin nominal as como o su potencia nominal. Es importante respetar estos valores de tensin y potencia. o En caso de que se superen estos valores el transformador se puede calentar y se acorta el tiempo de funcionamiento del equipo. Por otra parte suele aparecer la frecuencia de funcionamiento de 50Hz o 60Hz.

124


Ejemplo Tenemos un transformador de 8000/240V (ecaces) y 20kVA: a) Calcular la relacin de transformacin, la corriente nominal de primario y coo o rriente nominal de secundaria. b) Alimentamos el transformador con un generador de 8000V ecaces y lo cargamos con un equipo de impedancia de valor Z = 3 + 2j. Calcular la intensidad I1 , I2 , la potencia aparente al primario y el factor de potencia. Solucin a) La relacin de transformacin es: o o o m= V1 8000 = = 33,3 V2 240 (4.28)

La corriente nominal de primario puede calcularse con la expresin de la o potencia aparente al primario: |S1 | = |V1 ||I1 | 2 (4.29)

La corriente tiene entonces como expresin: o |I1 | = 2|S1 | 2 20000 = 3,53 A = 1 | 2 8000 |V (4.30)

La corriente nominal de secundario puede expresarse con la relacin de transforo macin en corriente: o |I2 | = m|I1 | = 33,3 3,53 = 117,84 A (4.31)

b) En la gura 4.11 enseamos un esquema del transformador ideal cargado n con la impedancia Z. Cogemos a continuacin la tensin del generador como o o 1 = 2 80000V. referencia de tensin: V o Primero calculamos la corriente I2 con la ley de Ohm en el secundario: V2 I2 = Z (4.32)

Usamos la relacin de transformacin anterior para obtener la corriente: o o 2 8000 2 = V1 = I = 78,34 j52,22 = 94,1433,7o A (4.33) mZ 33,3(3 + j2)


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Ahora podemos determinar la corriente de primario a partir de I2 con la relacin o de transformacin en intensidad: o I2 94,1433,7 I1 = = = 2,8233,7o A m 33,3 (4.34)

La potencia aparente en el primario se puede calcular ahora la potencia aparente del primario: V1 I1 2 S1 = = 8000 2,82+33,7o = 13295 j8863 VA (4.35) 2 2 El valor absoluto de la potencia aparente es: |S1 | = 15979 VA (4.36)

El transformador esta en un regimen inferior a sus capacidades, funciona a 80 % de sus carga nominal.

4.2.2.

Transformacin de impedancias o

Consideramos ahora un transformador conectado a una carga de impedancia compleja Z. Esta impedancia se representa en la gura 4.12 junto con el transformador. Se puede escribir la ley de Ohm en el secundario: V2 = Z I2 (4.37)

Sin embargo si usamos las relaciones de transformacin para el transformador o ideal podemos sustituir la tensin V2 y la corriente I2 por V1 e I1 . La ley de Ohm o visto para la tensin y corriente primario se escribe como: o V1 = mZ I1 (4.38) m Es decir que visto de desde el primario tenemos una nueva carga de valor: Z = m2 Z (4.39)

Este esquema permite reducir el esquema del transformador a un circuito de corriente alterna sin transformador. Este proceso simplica los clculos de las a tensiones y corrientes de un transformador.

126


(a)

(b)

Figura 4.12: Efecto de una impedancia vista de desde el primario. En (a) tenemos un transformador con una carga en el secundario. (b), si consideramos el transformador como una caja negra, podemos observar que desde el primario una impedancia z conectada al secundario se vera como una impedancia de valor m2 z visto de desde los puntos del primario.

4.3.

Transformador real

Hasta ahora hemos tratado el caso del transformador ideal en el cual no existen ningn tipo de perdidas. Las tensiones inducidas en el devanado y la tensin u o de entrada (o de salida) son idnticas. Sin embargo la tensin inducida diere e o debido a los efectos del campo magntico en el nucleo. En un transformador e real existen muchos fenmenos no lineales que llevan a afectar la tensin y la o o corriente de primario y secundario. Esos defectos estn debidos en parte a la a magnetizacin del circuito magntico. Esta magnetizacin no se hace linealmeno e o te con la corriente. El ujo producido en el nucleo satura a partir de un cierto valor de la corriente. Es decir que cuando el ujo esta en la zona de saturacin, o un incremento fuerte de corriente no produce apenas cambios en el ujo. Por lo que la zona til del transformador esta limitada a la zona lineal en el que u un incremento de corriente induce un incremento proporcional del ujo. Cuando el ujo varia adems en el tiempo el circuito magntico absorbe parte de la a e

4.3. Transformador real

127

energ Este fenmeno es debido al magnetismo residual en el ncleo. Cuando a. o u el ujo cambia de sentido, existe un magntismo remanente en el ncleo que e u se opone al ujo. Se necesita entonces una energ suplementaria para eliminar a este magntismo residual. Al cambiar de sentido de nuevo aparece el mismo proe blema. Este fenmeno se llama histresis del circuito magntico (ver 4.1.1). Los o e e fenmenos de histresis aparecen cuando el sistema tiene una memoria de su o e estado anterior, es el caso del circuito magntico del transformador que guarda e una traza de su magnetizacin anterior. o Adems de estos efectos no lineales tenemos que aadir las mltiples perdidas a n u que se pueden acumular durante la transformacin. Estas perdidas tienen varias o or genes, primero se calientan los devanados por efecto Joule debido a una cierta resistividad del devanado. Por otro lado se pierde parte del ujo magntico genee rado en el aire, y como consecuencia parte de la energ no se transforma (dado a que el ujo no atraviesa el secundario). Describimos los otros tipos de perdidas a continuacin y su modelo en el circuito equivalente. o

Perdidas de Cobre Primero consideramos las perdidas de cobre, estas perdidas se representan como dos resistencias en serie de valor R1 y R2 para el primario y el secundario. Representan la resistencia del cobre, los devanados pueden llegar a tener varios kilmetros de hilos conductores. Estas perdidas son proporcional o entonces al cuadrado de la corriente. Estas resistencias aparecen en el esquema de la gura 4.15, se colocan en serie con la bobina para simbolizar las perdidas de energ en la transformacin. a o Perdidas de ujo magntico En segundo lugar consideramos el efecto de las e perdidas de ujo magntico. El ujo en el primario y en el secundario se pueden e descomponer como: 1 = + d1 2 = + d2 (4.40) (4.41)

Es decir que tenemos la suma de un ujo comn a ambos lados mas un ujo de u dispersin d . Este ujo de dispersin corresponde al campo magntico que se o o e dispersa en el aire, el circuito magntico no canaliza todo el ujo magntico. El e e ujo comn es el que participa a la transformacin de la energ Si tomamos la u o a.

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(a)

d1 I1 V1(b)

d2 m X2 I2 Z V2

X1

Figura 4.13: (a) Perdidas de ujo en el aire, una parte del ujo comn a los dos u ncleos se desv hacia el aire y no participa a la transformacin. (b) Estas perdidas u a o de ujo se traduce en una inductancia suplementaria en el esquema equivalente del transformador

derivada temporal de esta expresin tenemos: o d1 d dd1 = + dt dt dt d dd2 d2 = + dt dt dt (4.42) (4.43)

Multiplicando la primera ecuacin por N1 y la segunda por N2 esta expresin se o o vuelve como: V1 = E1 + Vd1 V2 = E2 + Vd2 (4.44) (4.45)

4.3. Transformador real

129

Las perdidas de ujo sern entonces equivalentes a una ca de tensin en el a da o circuito del primario y del secundario. De acuerdo con la denicin de la inductancia podemos denir una induco tancia responsable de esta ujo: Ld1 = N1 y lo mismo para el secundario: Ld2 = N2 dd2 dt dd2 = N2 dI2 dt dI2 (4.47) dd1 dd1 dt = N1 dI1 dt dI1 (4.46)

Podemos reorganizar las ecuaciones precedentes para expresar la tensin inducida o en funcin de las autoinductancias de perdida de ujo Ld1 y Ld2 las ecuaciones o precedentes: d1 dI1 = N1 = Vd1 dt dt dI2 d2 Ld2 = N2 = Vd2 dt dt Ld1 (4.48) (4.49)

Como el transformador funciona en rgimen armnico, podemos incluir en serie e o una impedancia compleja equivalente al primario y al secundario: X1 = jLd1 X2 = jLd2 Las ecuaciones son entonces: Vd1 = X1 I1 Vd2 = X2 I2 (4.52) (4.53) (4.50) (4.51)

Estos cuatro elementos se encuentran en el esquema de la gura 4.14, donde tenemos el esquema del transformador incluyendo estas las perdidas. Sin embargo nuestro modelo esta todav incompleto, a estos efectos hay que a aadir las corrientes de magnetizacin y de perdidas en el circuito magntico. n o e Como hemos mencionado en la introduccin, la relacin entre la corriente y o o el ujo generado no es lineal. Tenemos perdidas por histresis y adems las e a perdidas que corresponden a las corrientes de Foucault. Las perdidas de hierro

130


Figura 4.14: Transformador con las perdidas de cobre y las perdidas de ujo magntico. e

Figura 4.15: Esquema equivalente completo de un transformador real con una carga Z.

de un transformador engloban estos dos fenmenos. Las corrientes de Foucault o son corrientes internas que se forman en el conductor cuando circula un campo magntico. Estas corrientes calientan el hierro y provocan perdidas de energ e a. Para reducir estas perdidas se divide el nucleo en laminas para reducir el volumen, dado que las perdidas crecen con el volumen. El circuito equivalente de un nucleo ferromagntico ha sido deducido en la prie mera seccin de este capitulo. Podemos ahora incorporar el esquema equivalente o del circuito magntico en nuestro modelo del transformador. Vamos a incorporar e la corriente de magnetizacin del circuito as como la corriente de perdidas de o hierro en nuestro modelo, se va a remplezar el circuito magntico de la gura e 4.14 por su equivalente elctrico junto con un transformador ideal como sealado e n en la gura 4.7. Perdidas de hierro Las perdidas de hierro estn modelizadas por una perdida a h al primario. Esta corriente es proporcional a la cantidad de ujo, de corriente I entonces es tambin proporcional al voltaje E1 y podemos simbolizar estas perdie das por una resistencia Rh en paralelo con el transformador. Por esta resistencia

4.4. Circuito equivalente de un transformador

131

circula una corriente Ih y por la ley de Ohm esta corriente es igual a Ih = E1 /Rh . Corriente de magnetizacin La magnetizacin del circuito magntico requieo o e re una cierta corriente Im . Si imaginamos un transformador sin carga al secundario, se necesita una cierta corriente para magnetizar el circuito y constrarestar la fuerza contraelectromotriz. Esta corriente no se transforma en el secundario, solo establece este ujo. Esta corriente esta en fase con el ujo. Por lo tanto esta corriente esta en desfase de 90 grados con la tensin de entrada (la tensin esta relacionada con o o la derivada del ujo). Por lo que se va a modelizar esta corriente con una inductancia compleja de valor Xm en paralelo con el transformador, y directamente proporcional a la tensin E1 del transformador ideal: o E1 Im = Xm (4.54)

Esta inductancia se puede ver en la gura 4.15. Estas corrientes de magnetizacin representan 2 a 3 % de la corriente de un o transformador funcionando en rgimen nominal. Con estos dos ltimos elementos e u tenemos el modelo completo de nuestro transformador. Para mas detalles sobre las corrientes de magnetizacin referirse a la primera seccin del capitulo. o o Ntese que en el centro se conserva el transformador ideal, las propiedades o enunciadas antes se conservan, es decir tenemos: E1 /E2 = m. Sin embargo conviene recordar aqu que la relacin de transformacin V1 /V2 = m no es o o valida cuando se toman en cuenta los defectos del transformador.

4.4.

Circuito equivalente de un transformador

Hemos visto en un apartado anterior como una carga Z visto de desde el primario se pod transformar como una nueva carga de valor m2 Z con m la a relacin de transformacin. Para obtener el circuito equivalente de un transforo o mador necesitamos hacer una operacin de reduccin del transformador. Esta o o operacin de reduccin consiste en hacer desaparecer el transformador ideal suo o poniendo un nuevo nmero de espiras al secundario es un nmero N2 igual al u u nmero de espiras del primario N1 . Aparecen entonces al secundario tensiones e u impedancias distintas que llamaremos: E2 ,V2 ,I2 ,X2 ,R2 , etc. Con este articio podemos escribir todas las tensiones y corrientes en funcin o de la relacin de transformacin. Por ejemplo para la tensin del transformador o o o

132I1 V1 R1 X1 Rh Xm E1 m=1 X2 E2

Cap tulo 4. TransformadoresR2 I2 Z V2

N1 N2(a)

I1 V1

R1

X1 Rh Xm E1(b)

m X2

2

m2R2

I2/m mZ2

mV2

Figura 4.16: (a) Esquema de un transformador real. (b) Esquema equivalente de un transformador reducido al secundario.

tenemos:

E1 N1 = =1 N2 E2 E1 = E2 = mE2

(4.55)

todav tenemos la relacin de transformacin E1 = mE2 y podemos deducir: a o o (4.56)

En la gura 4.16 tenemos un equivalente del transformador con la nueva relacin de nmero de espiras. Siguiendo el mismo razonamiento que las tensiones o u podemos obtener todas las impedancias equivalentes reducidas al secundario: E2 = mE2 V2 = mV2 I2 = I2 /m Z2 = m2 Z2 R2 = m2 R2

(4.57)

Tenemos ahora un circuito equivalente del transformador que nos permite hacer clculos y dimensionamiento. Ntese que las impedancias simplemente se multia o 2 plican por m . Otra forma de obtener estas relaciones es aplicando la ley de Ohm.

4.4. Circuito equivalente de un transformador

133

(a)

(b)

Figura 4.17: (a) Diagrama completo del transformador del ejemplo 4.3. (b) Diagrama equivalente del mismo transformador.

Si transformamos las impedancias como indicado en la gura 4.16, la corriente I1 uye entonces por el circuito. Tenemos por ejemplo I1 m2 Z = I2 /m m2 Z2 . 2 Por lo tanto: mV2 = I1 m Z = I1 Z2 , y obtenemos el equivalente V2 = mV2 . Ejemplo Tenemos un transformador de distribucin monofsico con una poo a tencia asignada de 40kVA y una tensiones nominales 10kV/230V ecaces con una frecuencia de f = 50Hz. Tenemos los parametros equivalentes del transformador: las resistencias equivalentes de cobre son R1 = 5 y R2 = 2,62m. Las inductancias de perdidas de ujo al primario y al secundario son X1 = j10 y X2 = j5,3m. a) Determinar la tensin de secundario sabiendo que modulo de la impedancia o de la carga es |Z| = 1,4 con un factor de potencia en atraso de 0,7. b) Determinar el factor de potencia total del dispositivo. c) Calcular la caida de tensin V en los elementos anteriores. o d) Cual es la potencia disipada en la resistencias de cobre? Solucin a) Para empezar este problema conviene primero representar el transo formador y su modelo equivalente as como se ensea en la gura 4.17 n

134


En el esquema equivalente hemos denido la impedancia Rc y Xc de la siguiente forma: Rc = R1 + m2 R2 Xc = X1 + m2 X2 la relacin de transformacin es: o o V1 = m= V2 2 10 103 = 43,4 2 230 (4.60) (4.58) (4.59)

Por lo tanto la impedancias equivalentes anteriores valen: Rc = 5 + 43,42 2,62 103 10 Xc = j10 + j43,42 5,3 103 j20 (4.61) (4.62)

La carga tiene un factor de potencia en atraso, signica que la corriente esta detras de la tensin y por lo tanto la carga es inductiva. El angulo es = o acos(0,7) = 45,5o y la carga tiene la expresin siguiente: o Z = 1,445,5o (4.63)

Para determinar el valor de la corriente I1 tenemos que aplicar la segunda ley de Kirchho al circuito de la gura 4.17 (b): V1 = Rc I1 + Xc I1 + m2 Z I1 = (Rc + Xc + m2 Z)I1 (4.64)

Tenemos la tensin V1 = 10 103 0V y podemos despejar la corriente I1 : o 2 10 103 V1 = = 5,3245,7o A I1 = Rc + Xc + m2 Z 10 + j20 + 43,42 1,445,5 (4.65) Ahora podemos determinar el valor de la tensin de secundario, a partir de la o gura 4.17 (b) podemos deducir que: mV2 = m2 Z I1 La tensin V2 vale entonces: o V2 = mZ I1 = 43,4 1,445,5 5,3245,6 = 323,20,1o V (4.67) (4.66)

4.5. Potencia y rendimiento de un transformador

135

En tensin ecaz: o

V2ef = 228,40,2o V

(4.68)

La tensin ecaz es cercana a la tensin nominal de 230V. o o b) El factor de potencia total del sistema es el coseno de la diferencia del angulo entre tensin y corriente de primario: o f p = cos(0 (45,6)) = cos(45,6) = 0,69 (4.69)

El factor de potencia no se ve afectado casi (aunque baje de una decima). c) La caida de tensin en las resistencias de cobre y la inductancias de perdida o de ujo se puede calcular como: V = (Rc + Xc )I1 = (10 + j20)5,3245,7o = 11817,7o (4.70)

Hay una caida de tensin de 118V en los elementos de perdidas del transformador. o d) La potencia disipada en las resistencias equivalentes de cobre es: 1 Pc = |I1 |2 Rc = 10(5,32)2 /2 = 141,5W 2 Se pierden 141,5 W por disipacin en el transformador. o (4.71)

4.5.

Potencia y rendimiento de un transformador

El rendimiento de un transformador se expresa con la relacin de potencia o activa en la entrada con la potencia activa a la salida: = Psal Pent (4.72)

Para un transformador la potencia activa saliente depende de la carga Z = |Z|. La potencia activa de salida se escribe entonces: Psal |I2 |2 V2 I2 cos(2 ) = |Z| cos = 2 2 (4.73)

136 y la potencia de entrada es:


V1 I1 cos(1 ) (4.74) 2 con 1 y 2 los desfases entre corriente y tensin en la entrada y salida. Los o desfases de las tensiones de salida y de entrada son distintos, hay que tener cuidado a la hora de calcularlos. El rendimiento se puede calcular con la siguiente formula: V2 I2 cos(2 ) (4.75) = V1 I1 cos(1 ) Las diversas perdidas de potencia activa del transformador se encuentran modelizadas en las resistencias R1 , R2 y Rh . Tenemos las perdidas de cobre Pcu y las perdidas de hierro Ph . La potencia de entrada se puede descomponer como: Pent = V2 I2 cos(2 ) + Pcu + Ph 2 El rendimiento se puede expresar tambin como: e Pent = Psal + Pcu + Ph = = Psal V2 I2 cos(2 ) = Psal + Pcu + Ph 2Pcu + 2Ph + V2 I2 cos(2 ) (4.76)

(4.77)

Con Pcu y Ph las perdidas de cobre y de hierro.

Figura 4.18: Flujo de potencia en el transformador, la potencia de entrada se encuentra a la izquierda y la potencia de salida a la derecha. Se deriva en el camino las diversas perdidas del transformador. Son las perdidas de hierro y de cobre.

4.5. Potencia y rendimiento de un transformador

137

Ejemplo Queremos hallar el rendimiento de un transformador monofasico de potencia 10 kVA y de tensiones nominales 2.3kV/230V ecaces. Tenemos una resistencia equivalente de primario R1 = 4 y de secundario R2 = 0,04. Las inductancias equivalentes de perdidas de ujo tienen como valor nmerico: X1 = u j4 y X2 = j0,04. Tenemos unas perdidas por histerisis y corriente de Foucault de 120W en funcionamiento nominal. Conectamos al transformador una carga Z = 5,3 resistiva consumiendo 10kW. a) Calcular I1 e I2 las corrientes de primario y secundario (despreciar la rama de corriente de magnetizacin). o b) Calcular las perdidas de cobre y hallar el rendimiento. Solucin a) Para calcular I2 tenemos el valor de la carga Z as como su cono sumo. Tenemos: 1 (4.78) P = Z|I2 |2 2 Por lo tanto: 2P 2 10000 I2 = = = 61,48A (4.79) Z 3 La relacin de transformacin se deduce a partir de los valores nominales del o o transformador: 2300 V1 = = 10 (4.80) m= V2 230 La corriente I1 se calcula ahora facilmente (despreciando la rama de corriente de magnetizacin): o I2 = 6,14A (4.81) I1 = m b) Las perdidas de cobre se calculan facilmente a partir de las corrientes precedentes: 1 1 1 1 Pc = R1 |I1 |2 + R2 |I2 |2 = 4|6,14|2 + 0,04|61,48|2 = 150W (4.82) 2 2 2 2 El rendimiento se expresa en funcin de la potencia de salida y de la perdidas o como: Ps 10000 = = = 0,97 (4.83) Ps + Pc + Ph 10000 + 150 + 120 El rendimiento del transformador es de = 0,97.

138


Figura 4.19: Esquema equivalente del transformador con las hiptesis de Kapp. o

4.6.

Hiptesis de Kapp o

El esquema equivalente del transformador que dedujimos antes no resulta practico a la hora de calcular las ca das de potencial en el transformador. En concreto las corrientes de magnetizacin y las perdidas de hierro hacen mas o dif el calculo de las tensiones. A partir de la gura 4.16 podemos escribir la cil relacin entre V1 e I1 en funcin de la carga Z. Aplicando la ley de Kirchho: o o I2 V1 (R1 + X1 )I1 (m2 R2 + m2 X2 ) mV2 = 0 m (4.84)

Para poder sacar una relacin entre la corriente y la tensin al primario tenemos o o que tomar en cuenta la ca de tensin debida a las perdidas de hierro y de da o magnetizacin. Una simplicacin para resolver este problema ha sido formulada o o por Kapp, consiste en considerar que las ca das de tensin en R1 y X1 son o despreciable frente a E1 . En este caso no hay mucha diferencia en colocar las impedancias Rh y Xm a la entrada del circuito. Las dos corrientes de hierro y de magnetizacin no sern muy distintas. Esta hiptesis permite simplicar mucho o a o los clculos. a El circuito equivalente del transformador con estas hiptesis se puede observar o en la gura 4.19. Como cualquier hiptesis simplicadora tenemos un cierto rango o de validez, si las perdidas de hierro son demasiadas importantes no se puede despreciar las ca das de tensin. Siguiendo el nuevo esquema equivalente de la o gura 4.19 podemos escribir la ecuacin del circuito de manera mas sencilla: o I2 V1 (R1 + X1 + m2 R2 + m2 X2 + m2 Z) = 0 m I2 V1 (R1 + X1 + m2 R2 + m2 X2 ) = mV2 m (4.85) (4.86)

4.7. Regulacin de voltaje o

139

V1

I2/m

mV2 (R1+m2R2)I2/m

(X1+m2X2)I2/m

Figura 4.20: Esquema de fasores del transformador equivalente con las hiptesis de o Kapp para una carga con un factor de potencia en atraso.

Tambin podemos representar las perdidas de forma vectorial los fasores como e el ejemplo de la gura 4.20. Es una manera grca de apreciar las perdidas en a el transformador. Consideramos una carga con la expresin Z = |Z|. o En la gura el triangulo formado por las ca de tensiones en las impedancias das R1 + m2 R2 y X1 + m2 X2 se llama triangulo de Kapp. Este triangulo permite estimar las perdidas de tensiones en el transformador.

4.7.

Regulacin de voltaje o

En un transformador en plena carga la tensin de salida es distinta de la o tensin de entrada debido a las diferentes perdidas del primario y secundario. o Cuando se alimenta el transformador con una tensin al primario V1n , la caida o de tensin en el transformador es: o V2 = V20 V2n Se expresa tambin en porcentaje de la tensin en vaci: e o o = V20 V2n V20 (4.88) (4.87)

Esta diferencia de voltaje se puede expresar en funcin del voltaje de primario o nominal V1n : V1n mV2 (4.89) = V1n

140


Esta caida de tensin se puede aproximar con los parametros del circuito o equivalente de la gura 4.21 (a) donde se han aplicado las hipotesis de Kapp para simplicar el circuito. El diagrama de fasores de este circuito se encuentra en la gura 4.21 (b). suponemos el transformador cargado a su valor nominal con una diferencia de fase entre tensin y corriente de secundario . La caida de o tensin V se encuentra tomando el arco que prolonga V1 hasta la horizontal. o El segmento AM representa la caida de tensin entre V1n y mV2 . Sin embargo o si tomamos la proyeccin ortogonal de V1 sobre el eje horizontal cuyo punto o resultante es M , el segmento AM representa una buena aproximacin de la o caida de tensin. Este segmento AM se expresa en funcin de los caidas en R o o yX: |I2 | |I2 | cos + |X | sin (4.90) V AM = R 2 2 La regulacin de voltaje se expresa en funcin de los parametros es: o o R |I22 | cos + |X | |I22| sin = V1n

(4.91)

Este parametro es importante en las maquinas de alta potencias. La razn o es que al aumentar la caida de tensin de reduce la corriente de corto circuito o de falta. Para aclarar es punto tenemos que volver al esquema equivalente del transformador de la gura 4.21. En caso de falta en el secundario (es decir de corto circuito) la corriente de corto-circuito seria: |Icc | = |V1n | |R + X | (4.92)

con R las resistencia de cobre equivalente y X la perdidas de ujo equivalente. Esta corriente con el voltaje nominal en la entrada es muy elevada y peligrosa para la mquina. El dispositivo no puede aguanta esta corriente mucho tiempo a sin destruirse. Los mecanismos de protecciones son caros y el precio crece con la corriente maxima de proteccin. Para reducir esta corriente de falta, y por lo o tanto del dispositivo de proteccin se pueden aumentar las caidas de tensin. o o En mquinas de alta potencia se introduce perdidas de ujo adicionales para a aumentar el valor de X . Al aumentar este valor disminuye Icc y aumentan las caidas de tensin como demostrado en la formula (4.90). o

4.8. Pruebas de un transformador.

141

(a)

(b)

Figura 4.21: (a)Esquema equivalente del transformador. (b) Diagrama de fasores equivalente.

4.8.

Pruebas de un transformador.

Para el operador es importante tener una informacin sobre las caracter o sticas internas de un transformador. Es posible identicar los parmetros de un transformador real a partir de dos a pruebas. La primera es la prueba en circuito abierto. El transformador en circuito abierto sigue consumiendo energ y a partir de los modelos y de las medidas a se puede identicar los parmetros responsables de estas perdidas. En la gura a 4.22 tenemos un esquema del transformador en circuito abierto al secundario. A la entrada del transformador tenemos una tensin V1 que tiene que ser la o tensin nominal de funcionamiento. Para obtener los buenos parmetros es imo a portante que esta tensin sea nominal. Sin embargo para evitar riesgos durante o el experimento se puede alimentar el lado de baja tensin del transformador, los o resultados sern idnticos. Medimos la tensin y la corriente con un amper a e o metro y un volt metro. La potencia activa se mide al primario con un wat metro. Tenemos las tres medidas: V1ca ,I1ca y Pca . Al secundario la corriente I2 es nula, no tenemos ninguna corriente que circula en esta parte. Toda la corriente uye entonces por la resistencia equivalente de las perdidas de hierro Rh y la inductancia de magnetizacin Xm . Estas inductancias o suelen tener un valor mucho mas alto que las resistencias de los devanados R1 y

142


(a)

(b)

Figura 4.22: Esquema de las pruebas de un transformador en circuito abierto.

de inductancia de perdidas de ujo X1 . Podemos entonces despreciar las ca das de tensin en estos dos ltimos elementos frente a las ca o u das de tensiones en Rh y Xm . El modelo del transformador se simplica como enseado en la gura n 4.22.(b). Podemos primero identicar la impedancia equivalente del circuito: 1 1 1 = + (4.93) Ze Rh Xm con Ze la impedancia equivalente de este circuito. El ngulo de desfase entre la a tensin V1 y la corriente I1 puede deducirse a partir de la denicin de la potencia o o activa: Pca cos = (4.94) V1ca I1ca V1ca yI1ca se miden en valores ecaces. El ngulo tendr como expresin: a a o Pca ) (4.95) = acos( V1ca I1ca Este ngulo corresponde tambin al ngulo de la impedancia Ze : a e a Se puede determinar el modulo de este numero complejo a partir de las medidas: | V1 | (4.97) |Ze | = |I1 | Ze = |Ze | (4.96)


143

Tenemos ahora todos los elementos para identicar a Rh y Xm , siendo Rh un nmero real y Xm un complejo basta con identicar la parte real y imaginaria u de 1/Ze con los dos elementos, tenemos: 1 1 1 j 1 1 = + = e = (cos j sin ) Ze Rh Xm |Ze | |Ze | Y por lo tanto: |Ze | cos |Ze | Xm = j sin Rh = (4.99) (4.100) (4.98)

Otro modo de calcular la resistencia Rh es de descomponer la corriente I1 en dos corrientes Ih e Im en la rama de la resistencia de perdidas de hierro y de corriente de magnetizacin. La potencia se expresa como: o S= V1 I1 V1 (Ih + Im ) V1 Ih V1 Im = = + 2 2 2 2 (4.101)

con la ley de Ohm en cada elemento tenemos: V1 = Rh Ih y V1 = Xm Im . Por lo que podemos descomponer la potencia como:

S=

| V1 | 2 | V1 | 2 | V1 | 2 = Pca + + 2Rh 2Xm 2Xm

(4.102)

La parte activa de la potencia se identica con la resistencia Rh : | V1 | 2 Rh = 2Pca (4.103)

Podemos apuntar tambin que los transformadores sin carga consumen algo e de energ es siempre mejor de dejar los transformadores desenchufados cuando a, no estn utilizados. a

4.8.1.

Pruebas en corto-circuito

El segundo tipo de pruebas que podemos realizar para identicar los parmea tros de un transformador son las pruebas en corto-circuito. En este caso conectamos el secundario del transformador en corto-circuito. Como en el caso del

144


circuito abierto disponemos de un equipo de medidas que nos proporciona la tensin y corriente de primario as como la potencia activa consumida a la entrada. o El dispositivo experimental se puede observar en la gura 4.23. Ahora tenemos una corriente I2 que uye en el secundario. Tenemos que jar la tensin de tal o manera que I2 sea la corriente nominal de funcionamiento con n de obtener los parmetros en su zona de funcionamiento. a Tenemos la relacin de transformacin de las corrientes para el transformador: o o I2 = mI1 . Ahora la corriente que uye en la resistencia equivalente de perdidas Rh y la inductancia de magnetizacin se pueden despreciar. La impedancia equio valente de estos dos elementos es muy alta frente a R1 y a las inductancias del secundario. Poqu sima corriente se va a desviar por este camino. Despus de e unas transformaciones podemos llegar al circuito equivalente de la gura 4.23.b. Tenemos una relacin entre la corriente y la tensin del primario: o o V1 = (R1 + X1 + m2 R2 + m2 X2 )I1 = Ze I1 Tenemos la impedancia equivalente Ze : Ze = R1 + X1 + m2 R2 + m2 X2 (4.105) (4.104)

De manera idntica a las pruebas en circuito abierto podemos determinar el e ngulo en la tensin y la corriente, lo despejamos con la formula: a o cos = Pca V1ca I1ca | V1 | |I1 | (4.106)

Por otro lado tenemos la relacin entre la tensin y la corriente: o o Ze = (4.107)

con positivo dado que el circuito es inductivo, a partir de las medidas podemos entonces identicar el modulo y el ngulo de la impedancia. Podemos identicar a fcilmente la parte real y imaginaria de la impedancia Ze con los elementos a constitutivos del circuito: (Ze ) = R1 + m2 R2 j(Ze) = X1 + m2 X2 (4.108) (4.109)

No podemos separa la contribucin del primario y del secundario en este caso, o sin embargo tenemos una buena aproximacin de las perdidas de cobre. o


145

(a)

A V1 V W

I1

R1

X1

m X2

2

m R2

2

(b)

Figura 4.23: Esquema de las pruebas de un transformador en corto-circuito.

Con las medidas hechas en circuito abierto y en corto circuito podemos obtener un circuito equivalente del transformador. En la gura 4.24 tenemos el circuito del transformador reducido al primario. Usando las hiptesis de Kapp podemos o pasar las perdidas de hierro y la inductancia de magnetizacin al primario. o

Ejemplo Tenemos los siguientes resultados de un ensayo en vacio de un transformador de 20kVA de tensin nominal 2300/230V ecaces (los valores son cano

Figura 4.24: Esquema equivalente de un transformador con los parmetros obtenidos a de las pruebas en circuito abierto y en corto circuito.

146


tidades maximas): Tensin de primario: V10 = 3252V o Tensin de secundario: V20 = 325,2V o Corriente de primario: I10 = 0,135A Potencia activa consumida: P10 = 176W Los ensayos del transformador en corto-circuito han dado los siguientes resultados (en cantidades maximas): Tensin de primario: V1cc = 104,3V o Corriente de primario: I1cc = 12,3A. Potencia activa consumida: P1cc = 453W Deducir a partir de ello la impedancia equivalente de perdidas de hierro, la impedancia de magnetizacin, las resistencias de perdidas de cobre y la inductancias o de perdidas de ujo. Solucin Procedemos primero el ensayo en vacio del transformador. Primero o calculamos el angulo de la impedancia equivalente. Para ello usamos la denicin o de potencia activa en primario P10 = |V10 ||I10 | cos 2 (4.110)

El angulo se puede entonces despejar: = acos 2 176 2P10 = acos = 36,7o |V10 ||I10 | |3252||0,135| (4.111)

Por otro lado el modulo de la impedancia equivalente del transfomador es: |Zeq | = |V10 | |3252| = = 24089 |I10 | |0,135| (4.112)


147

Como hemos visto anteriormente la impedancia de magnetizacin y la resistencia o de perdidas de hierro se deducen con estas formulas: 24089 |Zeq | = = 30045 cos cos 36,7 |Zeq | 24089 Xm = j =j = j40308 sin sin 36,7 Rh = (4.113) (4.114)

En secundo lugar procedemos a analizar los datos de ensayo en corto-circuito. Podemos deducir directamente el valor de las impedancias de perdidas de cobre: P1cc = (R1 + m2 R2 ) Despejamos la resistencia: R1 + m2 R2 = 2 453 2P1cc = 6 2 |I1cc | 12,32 (4.116) |I1cc |2 2 (4.115)

Para determinar la impedancia de perdida de ujo tenemos primero que hallar el angulo de la impedancia equivalente: = acos 2P1cc 2453 = acos = 45o |V1cc ||I1cc | 104,3 12,3 |V1cc | 104,3 = = 8,47 |I1cc | 12,3 (4.117)

El modulo de la impedancia equivalente vale: |Zeq | = (4.118)

Y la impedancia de perdida de ujo vale: X1 + m2 X2 = j|Ze | sin = j8,47 sin 45 j6 (4.119)

No se puede distinguir entre R1 y R2 ni tampoco entre X1 y X2 por lo que se dejan as .

148


4.9.

Resultados formulas importantesOrdenes de magnitud y formulas importantes

Relacin de transformacin de tensiones o o (V1 al primario y V2 al secundario)

V1 V2

=

N1 N2

=m

Relacin de transformacin de corrientes o o

I1 I2

=

N2 N1

=

1 m

Transformacin de una carga Z visto de o desde el primario

Z = m2 Z

Rendimiento del transformador

=

V2 I2 cos() Pcu +Ph +V2 I2 cos()

4.10.

Ejercicios

1. Un transformador ideal tiene un primario de 200 vueltas y un secundario con 600 vueltas. El primario se alimenta con una tensin de 220V ecaces o y de 50Hz. En el secundario tenemos una carga consumiendo una corriente de 3A en el secundario y con un factor de potencia en atraso de 0.7. Determinar: a) la relacin de transformacin o o b) la corriente de primario c) la potencia activa suministrada d ) el ujo mximo en el ncleo a u [Resp a) 1/3 b) 945o A c) 980W d) 5mWb] 2. Un transformador tiene un ujo magntico en su ncleo de 4mWb oscilane u do a una frecuencia de 50Hz. Sabiendo que el primario tiene 100 vueltas encontrar la tensin mxima del primario. [Resp: 125V] o a

4.10. Ejercicios

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3. Dibujar el circuito equivalente del transformador de la pregunta 1) para la impedancia visto de desde el primario. Hacer el mismo dibujo pero visto de desde el secundario. 4. Un transformador de 20kVA tiene una tensin de alimentacin nominal de o o 2300V ecaces y una tensin de secundario de 230V a 50Hz. El transformao dor esta cargado con una carga Z = 330o (la tensin de alimentacin o o se mantiene a 2300V ef.). Por otra parte las perdidas de cobre y la reactancias de perdidas de ujo tienen como expresin: R1 = 2, R2 = 0,02, o X1 = j12, X2 = j0,12. Determinar: a) la relacin de transformacin o o b) el esquema equivalente del transformador c) la corriente de primario y secundario (Compara con la corriente nominal del transformador), d ) la potencia activa suministrada a la carga e) el rendimiento del transformador [a) 10 b) c) I1 = 10,2933,4o A d) P2 = 13762W e) = 0,984] 5. El transformador de la pregunta precedente tiene una resistencia de perdidas en el hierro equivalente a Rh = 20 103 y una inductancia de magnetizacin de Xm = j15 103. Sin usar las hiptesis de Kapp obtener o o : a) el nuevo esquema equivalente del transformador b) la nueva corriente de primario y de secundario c) el factor de potencia visto de desde el primario d ) el rendimiento del transformador e) Ahora usando las hiptesis de Kapp repetir las tres preguntas preceo dentes. f ) Discutir las hiptesis de Kapp. o [Resp. a) b) I1 = 10,533,9o A c) fp=0.82 d) = 0,967 e) I1 = 10,5433,9A, = 0,966 ]

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6. Calcular el rendimiento del transformador precedente sumando a la potencia de salida las perdidas de hierro y de cobre. Expresar la energ perdida a en kWh, sabiendo que el precio del kWh es de 7 cntimos calcular el precio e de las perdidas para un mes de funcionamiento del transformador. [Resp. Pc = 169,28W Ph = 288W, = 0,965, E=0.458kW.h, coste al mes= 23 euros] 7. Se realiza una prueba de un transformador en circuito abierto y se leen los valores siguientes en los aparatos de medida: V1 = 2000V, I1 = 0,1A de 50Hz y un factor de potencia f p = 0,857 . Deducir la resistencia equivalente de hierro y la inductancia de magnetizacin. [Resp. Rh = 40,0 o K, Xm = j23,0 K]

Figura 4.25: Figura del ejercicio 8.

8. En la gura 4.25 tenemos el esquema de un sistema de alimentacin de o un motor as ncrono. Se alimenta el motor a travs de un transformador e monofsico ideal de potencia nominal 4kVA, de tensin de primario 2400V a o y de tensin de secundario de 400V (ambas mximas). La linea que conecta o a el motor con el transformador tiene una impedancia Zl = 2 + j2. Calcular la relacin de transformacin del transformador. o o Sabiendo que cuando funciona el motor su impedancia equivalente es Zm = 20 + j4, calcular la tensin V2 de alimentacin del motor o o y la corriente I2 consumida. Dar adems la potencia y el factor de a potencia del motor. El transformador puede suministrar la potencia necesaria? Calcular la perdida de potencia en la linea y el rendimiento del dispositivo.

4.10. Ejercicios

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El motor funciona con 400V y en el momento del arranque necesita una corriente de 40A. Puede arrancar el motor con el sistema propuesto antes? Si no, proponer una solucin. o

Figura 4.26: Figura del ejercicio 9.

9. En la gura 4.26 tenemos el esquema de un sistema de transporte de energ Se alimenta un linea monofsica con un generador de 10kV a a. a travs de un transformador de relacin de transformacin m1 . La linea de e o o transporte es equivalente a una impedancia de valor R1 = 10. El segundo transformador de relacin m2 rebaja la tensin para obtener una tensin o o o E4 = 1kV. El ejercicio consiste en determinar los parametros m1 y m2 para minimizar las perdidas de transporte de energ a. Dar el circuito equivalente de todo el dispositivo (transformar primero el transformador 2 y luego el 1). Calcular las perdidas en la linea sabiendo que Z = 2. Disear m1 y m2 para obtener perdidas inferior a 1 % la potencia n consumida por la carga. Dar el rendimiento total del dispositivo. 10. Tenemos un transformador de 30kVA y de tensin 2000/200V ecaces. o Las perdidas de cobre y de ujo para el primario y el secundario son las siguientes: R1 = 2, R2 = 0,02, X1 = j12, X2 = j0,12. Se desprecian las corrientes de perdidas de hierro y de magnetizacin. Se conecta o una carga con un factor de potencia de 0.9 en atraso y que absorbe la corriente nominal del transformador. a) Dibujar el circuito equivalente del transformador visto de desde el secundario. b) Construir el diagrama de fasores cogiendo V2 la tensin de salida como o referencia.

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Cap tulo 4. Transformadores c) Determinar V2 de forma geometrica a partir del diagrama de fasores y calcularlo de forma exacta.

Correccin: Circuito equivalente visto de desde el secundario: o Para transformar el circuito tomamos como referencia la tensin de secundario. o Al reducir el transformador la tensin de entrada vale V1 /m y las impedancias o del primario se dividen entre m2 .

Diagrama de fasores con V2 como referencias: Para simplicar el diagrama de fasores cogemos las siguientes notaciones: R = X = R1 + R2 = 0,04 m2

X1 + X2 = j0,24 m2 El angulo de desfase entre la tensin de secundario y la corriente I2 depende o del factor de potencia de la carga: = arcos(0,9) = 25,84o

Determinar V2 de forma geometrica :

4.10. Ejercicios

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Para determinar V2 de forma geometrica conviene razonar sobre el diagrama de fasores. Los datos conocidos son la tensin V1 , la fase , la corriente I2 y o los elementos equivalentes R y X del transformador. Conviene determinar la longitud OA a partir de estos datos. Realizaremos primero un calculo exacto para compararlo luego con un calculo aproximado. Primero calculamos la longitud de los segmentos AM y EM. Tenemos: EM = ED BC = R I2 sin X I2 cos AM = AB + BM = R I2 cos + X I2 sin Por otro lado con el teorema de pitagora tenemos: ( V1 2 ) = OM 2 + EM 2 m

A partir de estos datos obtenemos una formula para OA es decir V2 : V2 = OA = OMAM = V12 (R I2 sin X I2 cos )2 (R I2 cos +X I2 sin ) m2

Con la aplicacin nmerica tenemos: o u V2 = 197,87V (ef icaz) Ahora si consideramos que el arco OM de centro O y de radio (V1 /m) es mas o menos igual a EM podemos despreciar la distancia MM . Es decir podemos aproximar V1 /m a OM. El calculo se simplica mucho: V2 = OA = OM AM V1 (R I2 cos + X I2 sin ) m

En este caso V2 vale 197.89 Voltios ecaces, la aproximacin es satisfactoria. o

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Cap 4