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Capítulo 5 1. Vectores no plano. Operações com vectores
_______________________________________________
4.3 a) e b)
6.
1.1 a)
5.1 a)
Pág. 122
2 ;CD QR CD QM CD DF CF+ = + = + =uur uur uur uur uur uur uur
______________________________________________
Pág. 1282.1 Pág. 124
______________________________________________
Pág. 1253.1 a)
3.2
3.3
4.1
______________________________________________
Pág. 127
4.2
5.2 a)
b)
c)
b)
c)
_______________________________________________
Pág. 129
_______________________________________________
Pág. 1307.1 a),b) e c)
Capítulo 5 1. Vectores no plano. Operações com vectores
5.1
Pág. 132
7.2
Pág. 1318.1 a)
______________________________________________
8.2
4.
______________________________________________1.1 Pág. 132
1.2
2.
3.
5.2
6.
_______________________________________________
7.
8.1
Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole
_______________________________________________
1.1 a) Pág. 135
______________________________________________
Pág. 138
Pág. 136
2.
3.1
3.4
1.2
2.3
4.1
3.5
3.6
3.7
4.2
1.2 b
Pág. 137
Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole
_______________________________________________
5.1.1 Pág. 139
______________________________________________
Pág. 141
6.1
5.2
7.1
6.2
5.1.2
5.1.3
c)
Pág. 140
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 1
1 2
2 , 0 3 , 2 1 , 2
Assim, uma equação vectorial da recta é:
, 3 , 2 1 , 2 ,
P P P P
P P
x y k k
= − = − = − −
= + − − ∈
uuur
¡
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
1 2
1 2
Uma equação vectorial da semi-recta é:
, 3 , 2 1 , 2 ,
Uma equação vectorial do segmento de recta é:
, 3 , 2 1 , 2 , 0 , 1
P P
x y k k
P P
x y k k
= + − − ∈
= + − − ∈
¡7.2
7.3
_______________________________________________
8.1 a) Pág. 143
Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole
_______________________________________________
______________________________________________
Pág. 147
9.1 c)Pág. 144
11.1
10.1 Pág. 145
10.2 a)
b)
9.2
9.3
9.5
9.4
9.6
b)
Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole
_______________________________________________
______________________________________________
Pág. 157
11.2
15.2 a)
Pág. 149
2.
14.
A distância entre o ponto e a recta deequação 3 5 0 é igual a zero. Tal acontece
porque o ponto está situado sobre a recta. Assim,se substituirmos e pelo ponto A obtemos uma
igualdade do tipo
Ax y
Ax y
+ − =
0 0 ou seja.
3 1 2 5 0 0 0.
Nota: Por lapso, a solução apresentada no manual não está correcta.
=
× + − = ⇔ =
12.
( )
A área do triângulo é dada pelo semiproduto docomprimento da base pela altura.
A base é e a altura é , ou seja, a distância
de à recta .
2 1 1Recta : ;4 1 3
1 1 1 1
3 3
AB CM
C AB
AB m
y x y
−= =−
− = − ⇔ =
uur uur
( )
23
Recta : 3;
3 3 2 3 9
Ponto :
1 21 23 3 3 3 1 2
3 9 3 93 3
31 22 3 352 9 272
5 3 As coordenadas do ponto são ,
2 2
x
CM m
y x y x
M
y xy x
y x x x
yy x
x x x
M
+
= −
− = − − ⇔ = − +
= + = + ⇔ = − + + = − +
= = + ⇔ ⇔ + = − + =
( ) ( )
2 2
2 2
.
5 3 5C M : 2 3 ;2 2 2
AB : 4 1 2 1 10
5 10AB CM 252 2,52 2 2
Área
− + − =
− + − =
××= = = =
uur
uur
uur uur
Pág. 148
______________________________________________
( )
2 2
Seja um ponto da recta , de coordenadas
0,5, por exemplo.
Seja : 3 8 0
Aplicando a fórmula, vem:
3 103 0 1 5 8 310103 1
A r
s x y
d d d
+ − =
× + × − −= ⇔ = ⇔ =+
13.
______________________________________________
Pág. 150
Pág. 154
______________________________________________
15. 1 a)
b)
16.
( )
2 2
A explosão registou-se sobre um dos ramos
da hipérbole 1 de focos115600 24884400
onde se situam os receptores e 680m .A B
x y
A B d d
− =
− =
_______________________________________________
1. Pág. 158
( )0
Uma vez que a inclinação da recta é negativa ou seja,
declive menor que zero ( 0), então .
Resposta: (C)
Determinação das coordenadas do ponto médio ( )
0 0, ,
2 2 2 2D
y m x a y m x ma
m y x a
M
a b a b
− = − ⇔ = −
< = − +
+ + =
( )
( )
( )
1 1
eterminação do declive da recta, utilizando os pontos
: , e : 0 , 02 2
02
02
Equação da recta
0 0
Resposta: (B)
a bM O
aa
m mb b
y y m x x
a ay x y x
b b
−= ⇔ =
−
− = −
− = − ⇔ =
3.
Cap ítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole
______________________________________________
4. 7.4
Pág. 159
10.5
5.
6.
7.1
7.2
7.3
8.1
8.2
8.3
8.4
9.1
9.2
9.3
10.1
10.2
10.3
10.4
Capítulo 5 2. Rectas no plano. Circunferência, elipse e hipérbole
11. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 22 2
22
2 22 22 2
222 2
2 22 2
22
2 2 2 2
2 2
2 2
3 1 0 4
2 5 3
3 1 4
2 5 3
3 1 4
2 5 9
6 9 2 1 8 16
4 4 10 25 9
6 6 6 0
4 10
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x x y y x y y
x x y y
x y
x y x
+ + − = − + − − + + =
+ + − = + − ⇔ − + + =
+ + − = + −⇔ − + + =
+ + + − + = + − +⇔
− + + + + =+ − =
⇔+ − +
( ) ( )22
2
2
20 0
1
1 4 10 1 20 0
1
2 16 31 0
Recorrendo à fórmula resolvente, vem:
2 16 31 0
16 256 2484
2 24 4
2 2Se:
2 2 24 4 1 32 2 2
2 24 4 1
2 2
y
y x
x x x x
y x
x x
x x
x
x x
x y y
x y
+ == − +
⇔ + − + − + − + + =
= − +⇔
− + =
− + =
± −⇔ =
⇔ = + ∨ = −
= + → = − + + ⇔ = − −
= − → = − − +
i
i 23
2
Logo, existem duas soluções:
2 2 2 24 , 3 ou 4 , 3
2 2 2 2
y⇔ = − +
+ − − − − +
Capítulo 5 3. Produto escalar de dois vectores no plano
_______________________________________________
1.1 Pág. 161
______________________________________________
Pág. 166
Pág. 1642.1 a)
3.
1.5
1.3
1.2
1.4
1.6
b)
c)
d1)
d2)
d3)
2.2
2.2 a)
a1)
a2)
b)
a)
2.3
b)
3.1
3.2 a)
b)
c)
Capítulo 5 3. Produto escalar de dois vectores no plano
_______________________________________________
d)
4.1 a) Pág. 167
3.3
a)
b)
c)
b)
c)
d)
4.2
Capítulo 5 3. Produto escalar de dois vectores no plano
_______________________________________________
f)
6.2
Pág. 170
4.3
b)1.
4.
______________________________________________
Pág. 1685.1 a)
c)
d)
e)
f)
5.2
a)
b)
c)
d)
Pág. 169
______________________________________________
1
1 12 2
1 15 5
121
2
1 1 2 222 2 2
−
−=
−
−=
−
−= −
− − ×= = −
×
6.1 a)
b)
c)
d)
e)
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 3 113 1 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 2 2
1 2 312 3 2 3 2 3
2 3 2 3
2 3
− +−=
− − +
− −= = − −
−
− +−=
− − +
− −= = +
−
g)
6.3
( ) ( )( )
( )2 2
3 ; 2
1 , 4 4 , 2
3 , 2
3 2 13
O perímetro, P, do triângulo é:
3 2 13 5 13
Resposta: (C).
AB AC
BC C B
BC
P P
= =
= − = −
= −
= − + =
= + + ⇔ = +
uur
uur
( )
( )2
O ponto 0, 1 é um ponto de .
: 2 5Então:
1 2 0 5 6 56551 2
Nota: Por lapso, nenhuma das alternativas está correcta.
r
s y x
d
−
= +
− − × − += = =
+
(A) Esta afirmação é falsa.
As rectas não são paralelas porque têm declives diferentes.
(B) Esta afirmação é falsa.
O ângulo das rectas e é agudo e o ângulo dos vectores e
é recto
a b u vr r
( )
.
(C) Esta afirmação é falsa.
Se é a inclinação de uma recta e 90º, o declive de é
tan .
1 1(D) É verdade, porque .
2 2Resposta: (D).
r rα α
α
≠
= −−
2.
3.
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
Sendo , um ponto genérico das rectas e , tem-se:
, ,
3 4 2 4 3 5
3 4 4 33 4 2 4 3 5
5 53 4 2 4 3 5 3 4 2 4 3 5
7 0 7 7 3 0
Logo, 7 0 7 7 3 0 são as equações d
P x y p q
d P r d P s
x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
x y x y
= ⇔
+ − + +⇔ =
+ ++ − + +
⇔ =
⇔ + − = + + ∨ + − = − + +
⇔ − + = ∨ + + =
− + = ∨ + + = as rectas e .p q_______________________________________________
Pág. 1715.