Cap 5C. La Recta

7/25/2019 Cap 5C. La Recta

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Math 11

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Profesor: Javier Trigoso T.

CAPTULO 5CLA RECTA

LA RECTAEn geometra definimos a la recta como la sucesin infinita de puntos uno a continuacin

de otro en la misma direccin.En el plano cartesiano, la recta es el lugar geomtrico de todos los puntos colinealesdeun plano. La ordenada de cada punto que la conforma est relacionada con su respectiva

abscisa mediante una ecuacin de primer gradocon dos variables x e y.

Ecuaciones de la rectaSi conocemos la pendiente y las coordenadas de un punto en una recta, entonces podemos

determinar una ecuacin para esa recta. Por ejemplo, la recta en la figura pasa por el punto(x1; y1) y tiene pendiente m. Si (x; y) es cualquier otro

punto en esta recta, la definicin de pendienteproporciona la ecuacin.

1 1 11

y ym o y y m x x

x x

Una ecuacin escrita de estaforma est en la forma puntopendiente.

Ecuacin de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dadaLa forma punto pendientede una ecuacin de una recta que pasa por el punto (x1, y1) ytiene pendiente mes:

1 1y y m x x

Suponga una recta no vertical que tiene una pendiente my unaordenada al origen b(ver figura). Esto significa que la rectacorta al eje de las y en el punto (0; b), de modo que la ecuacin

cuando se da un punto y la pendiente para la ecuacin de larecta, con x = 0 y y = b, se vuelve

y b m x 0 Se simplifica a y = mx + b, que se conoce como ecuacin de la

recta dada la pendiente y la ordenada en el origen.

Ecuacin de una recta dadas la pendiente y la ordenada en el origen

La forma pendiente interseccin al origende una ecuacin de una recta con pendienteme interseccin y(0, b) es:

y mx b

Rectas verticales y horizontalesUna ecuacin de la recta vertical que pasa por (a; b) es x = aUna ecuacin de la recta horizontal que pasa por (a; b) es y = b

No podemos utilizar la frase la ecuacin de una rectaya que cada recta tiene muchasecuaciones diferentes. Cada recta tiene una ecuacin que puede escribirse en la forma

Ax + By + C = 0, donde A y B no son cero al mismo tiempo. Esta forma es la forma general

para una ecuacin de una recta.


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Si B 0 , la forma general puede cambiarse a la forma pendiente interseccin al origencomo sigue: Ax By C 0

pendiente intercepcin Y

By Ax C

A Cy x

B B

Ecuacin general de la rectaLa grfica de toda ecuacin lineal Ax By C 0 (A, B no son simultneamente cero) es

una recta. En caso contrario, cada recta es la grfica de una ecuacin lineal.

Rectas paralelas y rectas perpendicularesPuesto que la pendiente mide la inclinacin de una recta, es razonable que las rectasparalelas tengan la misma pendiente.

Rectas paralelasDos rectas no verticales son paralelas si y slo si tienen la misma pendiente.

1 2 1 2L / /L m m Rectas perpendicularesDos rectas con pendientes m1y m2son perpendiculares si y slo si m1.m2= -1es decir, sus

pendientes recprocas y de signo contrario:2

1

1m

m

Asimismo, una recta horizontal (pendiente 0) es perpendicular a la recta vertical

(pendiente indefinida).

EJERCICIOS

01.Determina la pendiente de la rectaque pasa por los puntos P y Q

a) P (0; 0) y Q (4; 2)

b) P (2; 2) y Q (-10; 0)

c) P (2; -5) y Q (-4; 3)d) P (1; -3) y Q (-1; 6)

02.

Calcula las pendientes de las rectas l1,

l2, l3y l4en la figura que sigue.

03.Determina una ecuacin en la formapunto pendiente para la recta que

pasa por el punto con la pendientedada:

Punto Pendientea) (1; 4) m = 2

b) (-4; 3) m = -2/3

c) (5; -4) m = -2

d) (-3; 4) m = 3

04.Determina una ecuacin en la formageneral para la recta que pasa por el

par de puntos dados:a) (7; -2) y (1; 6)

b) (-3; -8) y (4; -1)

c)

(1; -3) y (5; -3)d) (4; -1) y (4; 5)

05.

Determine una ecuacin para la recta

cuya grfica se proporciona.

a) b)


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c) d)

06.Determina una ecuacin en la formapendiente interseccin al origen para

la recta segn las condiciones dadas:a) La recta que pasa por (0; 5) con

pendiente m = -3.

b) La recta que pasa por (1; 2) con

pendiente m = 1/2.c) La recta que pasa por los puntos

(-4; 5) y (4; 3).d)

La recta que pasa por los puntos

(4; 2) y (-3; 1).

e) La recta 2x + 5y = 12f) La recta 7x - 12y = 96

07.Determina una ecuacin para la recta

que pasa por el punto y es paralela ala recta dada:

Punto Rectaa) (1; 2) y = 3x -2

b)

(-2; 3) y = -2x +4c)

(3; 1) 2x + 3y = 12

d)

(6; 1) 3x 5y = 15

08.Determina una ecuacin para la rectaque pasa por el punto y esperpendicular a la recta dada:

Punto Rectae) (1; 2) y = 3x -2

f) (-2; 3) y = -2x +4g) (3; 1) 2x + 3y = 12

h)

(6; 1) 3x 5y = 15

09.Una recta de pendiente 3 pasa por elpunto (3; 2), la abscisa de otro punto

de la recta es 4. Halla su ordenada.

10.Halla una ecuacin de una rectaparalela al eje OY y que pasa por el

punto P (2; 6)

11.Halla una ecuacin de la recta L que

pasa por (1; 5) y es ortogonal a larecta L1que pasa por (1; 5) y (3; 8)

12.

Halla una ecuacin de la recta que

pasa por el punto medio de A (2; 3) y

B(1; -2) y es paralela a la recta deecuacin 2x y + 3 = 0

13.

Halla una ecuacin de una recta que

es perpendicular a la recta L: 3x 4y

= 12, sabiendo que pasa por el puntomedio del segmento formado por los

puntos A (-2; 0) y B (4; 6)

14.Halla una ecuacin de una recta quepasa por el origen de coordenadas y

por el punto de interseccin de lasrectas: x 2y + 3 = 0; x + 2y 9 = 0

15.

Halla una ecuacin de una recta

mediatriz del segmento que los ejes

coordenados determinan en la rectaL: 5x + 3y -15 = 0

16.

Determina la pendiente de una recta,

cuya ecuacin es L: y = mx + 5, quepasa por el punto de interseccin de

las rectas, representadas por lasecuaciones L1: y =-3x - 5, L2: y = 4x +

2

17.La recta L1pasa por los puntos A (1;3) y B (5; -5); la recta L2pasa por el

punto C (10; 1) y por el punto D, cuyaordenada es -3. Indica la abscisa del

punto D, si se sabe que las rectas L1yL2son perpendiculares entre s.

18.Determina la ecuacin de una rectaque pasa por el punto de interseccin

de las rectas L1: 5x - 3y =-2; L2: 8x +

7y = 44 y que es perpendicular a la

recta definida por la ecuacin L: y =2/3x + 1

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