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Cuaderno de Actividades: Física I
7) Movimiento Armónico Simple
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180
Cuaderno de Actividades: Física I
7) Movimiento Armónico
Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.
Movimiento ← Armónico: sen, cos
Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.
Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.
7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.
i) Descripción Cinemática del MAS
τ:,, avr
Fenomenología del MAS
Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x ≡0), la oscilación esta confinada para –A ≤ x ≤ A,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
µ=0
PE
x≡-A 0 x≡+A x
181
Cuaderno de Actividades: Física I
¿Cómo debería ser x (t) ≡?
→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ +
Donde,
w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.
w = w{k,m}
A, δ: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.
c.i.:{x (0) ∧ v (0)}
Para la velocidad, { }cosdx
v A tdt
ω ω δ≡ ≡ +
→ ( ) { }cosv t Aw wt δ≡ +
Para la aceleración, { }2dva Aw sen wt
dtδ= ≡ − +
→ ( ) { }2a t Aw sen wt δ≡− +
Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).
La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS.
ii) Descripción Dinámica del MAS
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 182
Cuaderno de Actividades: Física I
La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posición, esto es,
( )F x cx=− , c: depende del sistema
Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS.
F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR ≡ ma
a ≡ √ → v ≡ √ → x ≡ √
FR ≡ F = -k x ≡ m x
m x +kx ≡ 0
x + kx
m≡ 0
x + w2x ≡ 0, 2wm
k =
→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ + k
wm
¬ =
W: frecuencia angular →2 1
( ) ( ) 2T periodo frecuencia linealw T
π ν ω πν→ →= = =
A,δ: c.i.
X: Posición→ Elongación
A: Amplitud
δ: Desfasaje
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
F(x)
• x -A 0 x A
183
Cuaderno de Actividades: Física I
7.2) Casos especiales de MAS
i) Sistema m-k
1)1)
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
PE m k µ =0
184
Cuaderno de Actividades: Física I
3)
Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en PE ∧ PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
PE
2) k d
m PE’
PE
PE’ k
o m d o’ α
185
Cuaderno de Actividades: Física I
Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).
ii) Sistema l–g
wt ≡ w senθ
→ FRes ≡ wt ≡ -mg senθ
θ: pequeño→ senθ ∼θ
→ F ≡ -mgθ, FRes ≡ - cx
FR,t ≡ mat
mg− mθ = lθ
20g
l
gw
lθ θ+ ≡ ¬ =
→ θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ; θm ≡ Aθ, g
wl
≡ k
m
. δ : desfasaje
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
O O g t g θ
l
wt θ
PE w
n PE θ: describe la posición
186
Cuaderno de Actividades: Física I
Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ,
→ ( ) { }ms t s sen wt δ≡ + ; m s ms A lθ≡ = , g
wl
≡
iii) Péndulo Físico
Es un CR pendular,
wr
produce un τ restaurador que debe llevar al CR a la PE,
τ ≡ - r w senθ, w ≡ mg
θ: pequeño → τ = - r w θ ← Senθ ∼ θ
rw Iθ θ⇒ − ≡ &&← O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
CR 0
PE
0 rr
C
θ
PE wr
187
Cuaderno de Actividades: Física I
⇒ 0dmg
Iθ θ + =
&& , 2 dmg
wI
=
→θ (t) ≡ θm sen {wt + δ}
22
dmg Iw T T
I w dmg
π π≡ → = → =
iv) P éndulo de Torsión
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
A
0 0
P θ P
PE PE
188
Cuaderno de Actividades: Física I
Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un torque restaurador proporcional a θ (para pequeños θs) de tal forma que:
τrestaurador ≡ τ ≡ - kθ ↑
k: constante de torsión (de la varilla)
Analogía: k ≡ k (resorte) {FRes = - kx}
Re s kτ τ θ≡ ≡ −
,Reext s Iτ τ α= ≡ ← O: punto fijo.
Re s k Iτ τ θ θ≡ ≡ − ≡ &&
→ 0k
Iθ θ+ ≡&& ; var , 0 :disco
illaI I punto fijoξ =≡
→θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ← kw
I= , 2
IT
kπ=
7.3) Energía en el MAS
i) Energía Cinética, Ek
21:
2km E mv=
Si x(t) ≡ A sen {wt + δ}
v(t) ≡ x& (t) ≡ Aw cos{wt + δ}
{ }2 2 21cos
2kE mA w wt δ= +
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 189
Cuaderno de Actividades: Física I
ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el
2,
1
2p elE kx≡ ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ PE
{ }2 2,
1
2p elE kA sen wt δ≡ +
iii) Energía Mecánica, EM
EM ≡ Ek + Ep ≡ cte ∀ sistemas MAS,
{ } { }2 2 2 2 21 1cos
2 2ME mA w wt kA sen wtδ δ≡ + + + ←mw2 = k
21
2mE kA≡ ← En particular sistema m–k
Gráficos:
i) Ek
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Ek
21
2kA
0 T t
190
Cuaderno de Actividades: Física I
ii) Ep
¿?
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
21
2kA Ek
-A 0 +A x
Ep
0 T t Ep
x 0
191
Cuaderno de Actividades: Física I
¿?
Observaciones:
En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional, la EM deberá considerarse,
EM ≡ Ek + Ep,el +Ep,g ← PE
EM ≡ Ek + Ep,el ← PE’
7.4) Oscilaciones amortiguadas
Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad, esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.
f: fuerza de fricción
f ≡ a + bv + cv2 + …
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
0
x
192
Cuaderno de Actividades: Física I
≡ f (v)
Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,
{ {Rresorte medio
F kx bv mx≡ − − ≡ &&
0k b
x x xm m
+ + ≡→ && & ← MAA
Comparaciones: { }2 0x w x+ ≡&& ← MAS
m – k : k
wm
=
l – g : wl
δ=
PF : mgd
wI
=
PT : k
wI
=
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 193
Cuaderno de Actividades: Física I
1) Caso de interés: wb < wr
( ) { }2 cosbt
mx t Ae wt φ−
≡ + Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)
A ≡ A(0) ≡ amplitud inicial
2
2
k bw
m m ≡ −
: Frecuencia de oscilación
La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la oscilación dada por el factor exponencial.
r
kw
m≡ → w del resorte,
2b
bw
m≡ → “w” del medio
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
X
A 2
bt
me−
0 t
194
Cuaderno de Actividades: Física I
2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado,
3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
x
t
x
t
195
Cuaderno de Actividades: Física I
S6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,
a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil.c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud
de 0,5 m.
SOLUCION:
λ = 0, 11 kg/s (=b) MAAk = 180 N/mm= 0, 31 kg
Oscilador armónico amortiguado
Wb < w0 ≡ wk
Oscilador críticamente amortiguado
Wb ≡ w0
Oscilador sobreamortiguado
Wb > w0
( ) ( )2 cosbt
mx t Ae tω φ−
→ = + en donde 2
2
k b
m mω = − ÷
a)2b
bw
m→ =
0,11
2 2 0,31b
bw w
mλλ≡→ = ≡ =
×
0,11
2 2 0,31b
bw w
mλλ≡→ = ≡ =
× ∼ 0,18 ; 0
180
024
1,
,31k
kw w
m→ = = = =
→ wb < w0 ≡ wk :MAA
b) 0 ; ?2b
b kw w b
m m→ = → ≡ ≡
2 2 180 0,31b kmλ→ ≡ ≡ ≡ × ∼ 2 55,8 ∼15
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 196
Cuaderno de Actividades: Física I
c) ( ) { }2 cosbt
mx t Ae wt φ−
≡ +
x(0) = 0,5
( ) { }0,11
2 0,310,5 cos 581 0,03t
x t e t−
×≡ −
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
X
A 2
bt
me−
0 t
197
Cuaderno de Actividades: Física I
S6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:
a) El desplazamiento en función del tiempo.b) La velocidad cuando x = +A/2.c) La aceleración cuando x = + A/2.d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s?
SOLUCIÓN:
200 20010
2 2
kw
k
m m
= = ==
=
( )( )0 0,05
. .0 0
x mc i
v
= + =
a) x(t) = A sen (wt + φ)→ x(0) = A sen (w(0) + φ)=Asen(φ)=+0,05
v(t) = Aw cos (wt + φ)→ v(0) = Aw cos (w(0) + φ)= Aw cos (φ)= 0
De la última Ec φ = π/2 {la v (-) para t ∼ 0} → A=0,05
→ x(t) = 0,05 sen (10t + π/2)
→ v(t) = 0,5 cos (10t + π/2)
Observen la consistencia de tomar φ(=δ)= π /2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v. ¿Que ocurre si tomamos φ(=δ)= 3π /2?
b) Recordando la relación v-x
2 2
1x v
A Aw + = ÷ ÷
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 198
Cuaderno de Actividades: Física I
{ }
2 2
2
0,51
3 3
0,5 4
3
44
A v
A Aw
vv mv x−
+ = ÷ ÷
= −→ = → = ± → → ÷
c) Recordando la relación a-x
2a w x= −
{ }2 0,0510
22,5aa m x = − → → −
= −÷
d) FR= FRES ≡ -kx= -k A sen (wt + φ)= -(200)(0,05) sen (10t + π/2)=?
15
tπ= ←
2 2
5T
w w
π π π= = = → F (+)! veamos
FR (t=π/15) = -10 sen (10{π/15} + π/2) ∼ (-10) (-0, 5) = +5
S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva).
SOLUCIÓN:
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 199
Cuaderno de Actividades: Física I
Nos proporcionan directamente la 2w ≡ , las condiciones iniciales son,
0 : (0) 0 (0) 1,5t x v≡ ≡ ∧ ≡ −
Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),
( ) { }( ) { }cos
x t A sen wt
v t Aw wt
δδ
≡ +
≡ +
a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t=0,
( ){ } ( ) 22 0
0v
A xw
≡ +
Reemplazando datos, { }2
2 1,50 0,75
2A
− ≡ + ≡
0,75A ≡
b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
g k
v(0) m
t =0 X
x(0)=0 v(0)
v(0)
200
Cuaderno de Actividades: Física I
( ) { }( ) { }
0,75 2
1,5 cos 2
x t sen t
v t t
δδ
≡ +
≡ +
Para t=0 y vecindades,
( ) ( ){ } { }( ) ( ){ } { }0 0,75 2 0 0,75
0 1,5 cos 2 0 1,5 cos
x sen sen
v
δ δ
δ δ
≡ + ≡
≡ + ≡
Para satisfacer x(0)=0, 0δ ≡ ,π , el valor correcto es δ π≡ , con lo cual las ecuaciones quedan,
( ) { } { }( ) { } { }
0,75 2 0,75
1,5 cos 2 1,5 cos 2
2x t sen t sen t
v t t tππ
≡ −
≡ −
≡
≡ +
+
S6P4) En el sistema mostrado en la figuraObtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t.Si: X = A cos (w0 t + φ)g: aceleración de la gravedad
SOLUCION:
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g k
+ X = 0 m
-
201
Cuaderno de Actividades: Física I
En :PE mg kd′ ≡
Desde 0: 'x d x≡ +
{ }'RF mg kx mg k d x≡ − ≡ − +
0 ' ' 'kx kx kx mx mxmg kd≡ − ≡ − ≡− − ≡ ≡&& &&
' ' 0k
x xm
+→ ≡&&
Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia
kw
m≡ . Ahora, debido a que la fuerza resultante es 'RF kx≡ − , cuando se
escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,
como la 'RF kx≡ − , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada una energía potencial elástica, por lo tanto,
M K peE E E≡ +
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
PE 0 d PE’ 0’ x
x’
X, X’
202
Cuaderno de Actividades: Física I
S6P32)
Una placa P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia ν = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa es µs = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?
SOLUCI Ó N :
( ) ( ) ( ),2 2, ,: RES MAX
MAX MAS RES MAX
FM m a A F M m A
M mω ω+ ≡ ≡ → ≡ +
+1442443
: SRM
fFM a
M M
−≡ ≡ RES,MAXF
→ ,SR
M MAX
mgFa
M M
µ−≡ ≡ RES,MAXF
DCL (M):
De las ecuaciones anteriores,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
µs B k P
a
m Fres
M
0
a fS,M ≡ µs mg
FRES
FR ≡ FRES -µs mg
203
Cuaderno de Actividades: Física I
2 RES S SF mg k mg
M M
µ µω − −→ ≡ ≡ MAXMAX
AA ← 2k =ω( M+ m )
( )2 2sM M m mgω ω µ→ ≡ + −MAX MAXA A
s mµ→ 2g mω≡( )2 2
0,6 10
2 1,5s
MAX
g x
xA
ω πµ→ ≡≡MAXA → 2
6
9MAXAπ
≡
Observación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleración máxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m. Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de M
respecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730)
S6P6)
En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda sin deslizar, considere, M≡ masa del disco,R ≡ radio del disco y k ≡ constante del resorte.
SOLUCIÓN:
x pequeño → MAS , w0 = ?x = s = Rθ
P’ // CM : τ = I α
( ) [ ]
23
2
2 2 21 3
2 2
MR
kx R MR MR MR k R Rτ θ θ θ = − = + = = −
6447448
&& &&
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
k R
M
t M k 0 FR
P
0 o’
204
Cuaderno de Actividades: Física I
0
20
3
2
3
kk
Mw
Mθ θ→ + ≡ =⇒&&
S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ángulo θ y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema.
SOLUCION:
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k
r
θ
205
Cuaderno de Actividades: Física I
α) De la dinamica rotacional,
:O Okxr Tr Iτ α− ≡ −
Por la “rodadura”: x rθ≡
2
2
2...1
mrkr Tr W mgθ θ− ≡ − ¬ ≡&&
De la dinámica traslacional,
( )RF T kx W m x≡ − − + ≡ &&
Usando nuevamente la rodadura, T kr W mrθ θ− − + ≡ &&
2 2 ...: 2xr Tr kr Wr mrθ θ− − + ≡ &&
De 1 y 2, 3
22
...3kr W mrθ θ− + ≡ &&
, 2 2
Haciendo kr W krµ θ µ θ≡ − + → ≡ − &&&&
3
2m rµ→ ≡
2k r
µ× −&& 4 4
30
3
k
m
kgw
Wµ µ → + ≡ →÷ ≡
&&
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
P x P 0 O
T kx
x O’ X θ w P’ P
206
{ }0)0 0 //β ′ ′