CAP MATEMÀTIQUES 1 Vectors al pla i rectes Eduard Lara, Carles Mallol IES CAR SANT CUGAT

CAP MATEMÀTIQUES 1

Vectors al pla i rectes

Eduard Lara , Carles Mallol

IES CAR SANT CUGAT

CAP MATEMÀTIQUES 2

• Segment orientat• Fletxa

Definició Vector

A ≡ Punt Origen

B ≡ Punt Destí

V

V = AB

CAP MATEMÀTIQUES 3

Característiques d’un vector

Un vector es defineix mitjançant la seva direcció, sentit i mòdul:

• Direcció: La de la recta que conté el vector. Una direccio té dos sentits oposats.• Sentit: La punta de la fletxa indica el sentit (de A cap a B)• Mòdul: Longitut del vector. Es representa amb el següent simbol |AB| Direcció

Longitut o mòdul

Sentit

CAP MATEMÀTIQUES 4

Vectors multidimensió

x

x

z

y

x

y

v

v

v

R

R2

R3

Vectors Rn

CAP MATEMÀTIQUES 5

Vectors a R2

Els vectors que estudiarem es representen al pla R2

El pla R2 és el conjunt de parelles de nombres reals, representats de la forma (x, y) -> Pla cartesià

V2 és el conjunt algebraic (espai vectorial) que engloba tots els vectors representables a l’espai R2

P = (a, b)

Per tot punt P(a, b) de R2, queda determinat el vector V (a, b), que neix al origen (0,0) i té el seu destí a punt P(a, b)

V = (a, b) b

a

CAP MATEMÀTIQUES 6

Base Canónica del pla R2

Els vectors u1(1,0) i u2(0,1) formen una base del pla R2, ja que:

Son independents ja que un d’ells no es pot obtenir de l’altre: u1 ≠ k · u2 on k és una constant

Generen qualsevol vector del pla, mitjançant una combinació lineal d’ells dos:

V(a1, a2) = a1·u1 + a2·u2 = a1 (1,0) + a2 (0,1) = (a1, a2)

A més si també es compleix:

u1 u2 i |u1| = |u2| = 1 → Base Canònica

CAP MATEMÀTIQUES 7

Altres bases a V2

Qualsevol conjunt de 2 vectors linealment independents a V2 són una base.

{(2,4) (5,3)} són base (independents i generadors de V2)

{(2,4) (3,6)} ?

Són dependents ja que (3,6) = k(2,4) on k=3/2

No formen base perquè son paral·lels

{(-2,6) (7,4) (4,2)} ?

Són dependents ja que un es pot expressar com a

combinació lineal dels altres dos. Sobra un vector

CAP MATEMÀTIQUES 8

Coordenades Cartesianes d’un vector

V = a1·u1 + a2·u2

Les coordenades cartesianes d’un vector V en la base u1, u2, son el coeficients dels vectors u1, u2 que generen V.

• Component Horitzontal ≡ a1 • Component Vertical ≡ a2

5 u1

4 u1

V = 4·u1 + 5·u2 = (4, 5)

CAP MATEMÀTIQUES 9

Mòdul i argument d’un vector

Mòdul V(a,b)

|V(a, b)| = a2 + b2

T. Pitágoras

Argument V(a,b)

tag(α) = b/a

Raó Trigonomètrica

b

a

V(a, b)

α

CAP MATEMÀTIQUES 10

Operacions amb vectors

Suma vectors

V1 + V2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Suma de les coordenadesMultiplicació per un escalar

k · V1 = k · (a, b) = (k · a , k · b)

Multiplicació per cadascuna de les seves coordenades

Gràficament: Llei del paral.lelogram

V1

V2

V1

k V1

V1 +V2


Operacions amb vectors

Vector Oposat

(-1) · V1 = (-1) (a, b) = (-a, -b)

Multiplicació per -1

Resta vectors

V1 – V2 = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)

Resta de les coordenades o suma per l’oposat de V2

V1

V2

V1

-V1

V1 - V2

-V2


Construcció d’un vector

Vector = Coordenades del punt destí – coordenades del punt origen

Donats els punts A= (-3, 0), B= (2, 3), C= (0, -2), D= (5, 1)

AB = (2, 3) – (-3, 0) = (5, 3)

CD = (5, 1) – (0, -2) = (5, 3)

AC

D

B

Son vectors equipolents: Mateix mòdul, direcció i

sentit

Representant Canònic de

(5,3)


Combinació lineal de vectors

V = k1·a + k2 ·b

(v1, v2) = k1 (a1, a2) + k2 (b1, b2)

V1 = k1 · a1 + k2 · b1

V2 = k1 · a2 + k2 · b2

Diem que el vector V(v1,v2) es pot expressat com una combinació lineal dels vectors a(a1,a2) i b(b1,b2), si:

Per trobar k1 i k2 s’ha de ressoldre

un sistema d’equacions

Diem que (k1, k2) són les coordenades de V respecte els vectors a i b


Representacions en altres bases

e2

V

(6, 3) = k1 (-2, 1) + k2 (0, -2)

6 = -2·k1 – 0·k2

3 = k1 - 2·k2

Exercici

Expressar el vector V = (6, 3) = 6 · u1 + 3 · u2

en coordenades de la base e1 = (-2, 1) i e2 =

(0, -2)

V = (6, 3) = (-3,-3) Coordenades Coordenades

en base u1, u2 en base e1, e2

-3·e2

-3·e1

e1

k1 = -3

k2 = -3


Dependència-Independència vectors

Quan un vector V es pot expressar com una combinació lineal d’un o d’altres vectors diem que V és linealment dependent d’aquests vectors

Donats dos vectors, V1 = (a1, b1) i V2 = (a2, b2), si:

a1 b1── ≠ ─── a2 b2

Són independents

No són paral.lels

a1 b1 ── = ── a2 b2

Són dependents, per tant també paral·lels.


Determinació vector unitari

Donat un vector V(a, b), definim el vector unitari W que té la mateixa direcció i sentit de V, com:

V (a, b) a b W = ──── = ────── = ──────, ────── | V | a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

Demostració

| V | a2 b2 a2 + b2

|W| = ──── = ───── + ───── = ────── = 1 | V | a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2


Divisió d’un segment en n parts I

Per dividir un segment AB en n parts iguals, hem de trobar els (n-1) punts intermedis que defineixen cada part.

Cas simple: Trobar el punt mig d’un segment

AM = ½ AB

( x - a1, y - a2) = ½ (b1 - a1, b2 - a2)

(x, y) = ½ (b1 + a1 , b2 + a2 )

A(a1, a2)

B(b1, b2)M(x, y)


Divisió d’un segment en n parts II

Exercici

Trobar el punt més proper a A, resultant de la divisió del segment AB en 4 parts iguals, on A=(-2, -1) i B = (15, 20)

AX = 1/4 · AB

A(-2, 1)

B(15, 20)

Punt demanat (x,y)


Producte escalar de vectors

a · b = | a | | b | cos(a, b)

a · b = (a1, a2) · (b1, b2) = a1 · b1 + a2 · b2

Propietats producte escalar

a) Conmutativa: a · b = b · a

b) Associativa mixta: k(a · b) = (ka) · b = a · (kb)

c) Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

Dues maneres de calcular el producte escalar:


Angle format per dos vectors

a · b a1 · b1 + a2 · b2 cos(a, b) = ─────── = ──────────── | a | | b | | a | | b |

Aillant de la fòrmula del producte escalar:

Possibles situacions:

Angle = 0º

Vectors paral·lels

Angle = 90º

Vectors normals

Angle = 180º

Vectors oposats


Vectors normals

Dos vectors són normals o perpendiculars si i només si el seu producte escalar és zero.

a · b = | a | · | b | · cos(90º) = 0 a b

Propietat Important

Donat un vector V(a, b), llavors la família de vectors W(-b, a) són perpendiculars

a · b = (a, b) · (-b, a) = -a · b + b · a = 0


Projecció d’un vector sobre un altre

La projecció d’un vector V sobre W és defineix com:

WProjecció VW = ──── V = | V | · cos (V, W) |W|

És la mida del vector V projectat ortogonalment sobre el vector W

W

V

Projecció de V sobre W


Determinació d’una recta

Una recta queda determinada amb:

Un punt A i el vector director V.

Dos punts A i B.

Vector director de la recta

Qualsevol vector que és paral·lel a la direcció de la recta

A

Vdirector

A

B


Pendent d’una recta

El pendent d’una recta és la tangent de l’angle que forma la recta amb l’horitzontal:

m = tag (α)

També es pot veure com la raó entre les coordenades del vector director

bm = ─── a

α

V(a, b) Vector director


Equació vectorial de la recta

Equació vectorial

(x, y) = (xo, yo) + k (v1, v2) Kε R

(xo, yo)

(x, y)(v1, v2)K (v1,

v2)

(xo, yo) + K (v1, v2)


Equacions de la recta I

Equació vectorial

(x, y) = (xo, yo) + k (v1, v2) K és real

Equació paramètrica

x = xo + k v1

Y = yo + k v2

Equació contínuax – xo y - yo

───── = ───── v1 v2


Equacions de la recta II

Equació implícita

Ax + By + C =0

Vnormal = (A, B)

Vdirector = (B, -A)Equació explícita

y = mx + b

m ≡ Pendent de la recta

b ≡ Ordenada a l’origen

Equació punt pendent

(y – yo) = m (x – xo)


Rectes perpendiculars

Siguin r i s dues rectes perpendiculars, amb pendents m i m’, llavors es compleix que:

m · m’ = -1

Si els vectors directors de r i s són v1 i v2, llavors el seu producte escalar és zero:

v1 · v2 = |v1| |v2| cos 90º = 0

Si les coordenades de v1 són (a, b), les de v2 són múltiple de (b, -a):

v1 · v2 = (a, b)· (b, -a) = a · b – b · a = 0


Equacions rectes paral·leles als eixos

Les rectes paral·leles a l’eix OX són del tipus:

y = k

Les rectes paral·leles a l’eix OY són del tipus:

x = kx = 3

y = 3


Posició relativa punt i recta

Un punt i una recta poden presentar dos posicions:

El punt pertany a la recta

El punt es exterior a la recta

AA


Distancia punt i recta

Distància Punt - Recta

P = (xo, yo) r ≡ A x + By + C = 0

|Axo + Byo + C|D(r, P) = ─────────── A2 + B2

Si el punt pertany a la recta, llavors es cumpleix que:

Axo + Byo + C = 0 D(r, P) = 0


Posicións relatives dues rectes

Dues rectes r ≡ Ax + By +C = 0 i s ≡ A’x + B’y + C’ = 0 poden ser:

Secants A B── ≠ ─── A’ B’

Una sol·lució

Paral·leles

A B C── = ── ≠ ── A’ B’ C’

No te sol.lució

Coincidents

A B C── = ── = ── A’ B’ C’

Infinites solucions


Distancia entre dues rectes

Primer es necessari estudiar la posició relativa de les rectes r i r’:

Si son secants D(r, r’) = 0

Si son coincidents D(r, r’) = 0

Si són paral·leles Agafem un punt P qualsevol de la recta r’ i apliquem la fórmula:

|Axo + Byo + C|D(r, P) = ───────── A2 + B2

Distància punt - recta

Documents

CAP MATEMÀTIQUES 1 Vectors al pla i rectes Eduard Lara, Carles Mallol IES CAR SANT CUGAT