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FISICA I

_______________________________________________________________________ 1Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui

FISICA ILa Fsica es la ciencia que estudia a la materia y sus interacciones. La Fsica es una

de las ciencias ms fundamentales que estudia la estructura de que est constituido

el universo y todas sus interacciones.

La fsica, en su intento de describir los fenmenos naturales con exactitud y veracidad,

ha llegado a lmites impensables: el conocimiento actual abarca la descripcin de

partculas fundamentales microscpicas, el nacimiento de las estrellas en el universo e

incluso conocer con una gran probabilidad lo que aconteci en los primeros instantes

del nacimiento de nuestro universo, por citar unos pocos campos.Esta tarea comenz

hace ms de dos mil aos con los primeros trabajos de filsofos griegos como

Demcrito, Eratstenes, Aristarco, Epicuro o Aristteles, y fue continuada despus por

cientficos como Galileo Galilei, Isaac Newton, Leonhar Euler, Joseph-Louis de

Lagrange, Michael Faraday, William Rowan Hamilton, James Clerk Maxwell, Albert

Einstein, Niels Bohr, Max Planck, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Richard Feynman y

Stephen Hawking, entre muchos otros.

Aristteles (384 a. C. 322 a. C.). Fue un polmata: filsofo, lgico y cientfico de laAntigua Grecia cuyas ideas han ejercido una enorme influencia sobre la historia

intelectual de Occidente por ms de dos milenios.Aristteles escribi cerca de 200

tratados (de los cuales slo nos han llegado 31) sobre una enorme variedad de temas,

incluyendo lgica, metafsica, filosofa de la ciencia, tica, filosofa poltica, esttica,

retrica, fsica, astronoma y biologa.

Nicols Coprnico (1473 - 1543).Fue un astrnomo polaco que formul la teoraheliocntrica del Sistema Solar, concebida en primera instancia por Aristarco de

Samos (310 a. C. 230 a. C.). Su libro, De revolutionibus orbium coelestium (Sobre

las revoluciones de las esferas celestes 1530). Coprnico pas cerca de veinticinco

aos trabajando en el desarrollo de su modelo heliocntrico del universo. En aquella

poca result difcil que los cientficos lo aceptaran, ya que supona una autntica

revolucin.

Johannes Kepler (1571 - 1630). Figura clave en la revolucin cientfica, astrnomo ymatemtico alemn; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de

los planetas en su rbita alrededor del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien

sustituy como matemtico imperial de Rodolfo II.

FISICA I


Galileo Galilei (1564 1642).Fue un astrnomo, filsofo, matemtico y fsico italianoque estuvo relacionado estrechamente con la revolucin cientfica. Eminente hombre

del Renacimiento, mostr inters por casi todas las ciencias y artes (msica, literatura,

pintura). Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones

astronmicas, la primera ley del movimiento y un apoyo determinante para el

copernicanismo.

Isaac Newton (1642 1727). Fue un fsico, filsofo, telogo, inventor, alquimista ymatemtico ingls, autor de los principios matemticos de la filosofa natural 1687,

donde describi la ley de la gravitacin universal y estableci las bases de la mecnica

clsica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos

cientficos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la ptica (que se

presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del clculo

matemtico.Newton comparte con Leibniz el crdito por el desarrollo del clculo

integral y diferencial, que utiliz para formular sus leyes de la fsica. Tambin

contribuy en otras reas de la matemtica, desarrollando el teorema del binomio y las

frmulas de Newton-Cotes.

Podramos decir que la fsica es una ciencia experimental que estudia las

interacciones de la naturaleza usando el mtodo cientfico.

El mtodo cientfico tiene las siguientes partes, observacin, hiptesis,

experimentacin, ley fsica.

1.1.MAGNITUDES FISICAS

Son todas aquellas caractersticas de un cuerpo o un fenmeno fsico que se pueden

medir con cierto grado de precisin, utilizando para ello un instrumento y una unidad

de medida.

NOTACIN CIENTFICASi quiere reportar un nmero muy grande, resulta tedioso escribirlo. Por ejemplo, el

cuerpo humano contiene casi 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 tomos. Si

utiliza este nmero con frecuencia, seguro que le gustara tener una notacin ms

compacta para l. Esto es exactamente lo que es la notacin cientfica. Representa

FISICA I


un nmero como el producto de un nmero mayor que 1 y menor que 10 (llamado

mantisa) y una potencia (expresada por un exponente) de 10:

Nmero=mantisa 10exponenteEn tal caso, el nmero de tomos en el cuerpo humano se puede escribir en forma

compacta como7 1027, donde 7 es la mantisa y 27 es el exponente.

Otra ventaja de la notacin cientfica es que facilita la multiplicacin y la divisin de

nmeros grandes. Para multiplicar dos nmeros en notacin cientfica, multiplicamos

sus mantisasy despus sumamos los exponentes.

Por ejemplo, si quisiramos estimar cuantos tomos contieneel cuerpo de todos los

habitantes de la Tierra, podramos hacer este clculo con relativafacilidad. La Tierra

tiene aproximadamente 7 mil millones (= 7 109) de seres humanos. Todolo que

tenemos que hacer para hallar la respuesta es multiplicar 7 1027 por 7 109.

Hacemos estomultiplicando las dos mantisas y sumando los exponentes:

(71027 )(7109 )=(77)1027+9=491036=4.91037CIFRAS SIGNIFICATIVASCuando especificamos el nmero de tomos en el cuerpo humano promedio como 7

1027, intentamos indicar que sabemos que es por lo menos 6.5 1027 pero menor

que 7.5 1027. De cualquier modo, si hubiramos escrito 7.0 1027, habramos

implicado que sabamos que el verdadero nmero est en algn lugar entre 6.95

1027 y 7.05 1027. Esta aseveracin es ms precisa que la anterior.

Como regla general, el nmero de dgitos que escribe en la mantisa especifica que tan

preciso declara conocerla. Cuantos ms dgitos se especifican, se implica mayor

precisin (vea la figura). El nmero de dgitos en la mantisa se llama nmero de cifrassignificativas. He aqu algunas reglas sobre el uso de cifras significativas, en cadacaso seguido por un ejemplo.

El nmero de cifras significativas es el nmero de dgitos conocido de manera

confiable.

Por ejemplo, 1.62 tiene 3 cifras significativas; 1.6 tiene 2 cifras significativas.

Si da un nmero como un entero, lo especifica con precisin infinita. Por ejemplo, si

alguien dice que tiene 3 hijos, significa exactamente 3, ni ms ni menos.

FISICA I


Los ceros precedentes no cuentan como cifras significativas. El numero 1.62 tiene el

mismo nmero de cifras significativas que 0.00162. Hay tres cifras significativas en

ambos nmeros. Comenzamos a contar cifras significativas desde la izquierda, con el

primer digito que no sea cero.

Por otra parte, los ceros posteriores, si cuentan como cifras significativas. El nmero

1.620 tiene cuatro cifras significativas. !Escribir un cero posterior implica mayor

precisin!

Los nmeros en notacin cientfica tienen tantas cifras significativas como su mantisa.

Por ejemplo, el numero 9.11 10-31 tiene tres cifras significativas porque estas son

las que tiene la mantisa (9.11). La magnitud del exponente no tiene ninguna influencia.

Usted nunca puede tener ms cifras significativas en un resultado que aquellas con las

que comenz en cualquiera de los factores de una multiplicacin o divisin. Por

ejemplo,1.23/3.4461 no es igual a 0.3569252. Es posible que su calculadora le de esta

respuesta; pero las calculadoras no muestran de manera automtica el numero

correcto de cifras significativas. En vez de esto, obtendr 1.23/3.4461 = 0.357. Tiene

que redondear el resultado de una calculadora hasta el nmero correcto de cifras

significativas, en este caso tres, que es el nmero de cifras significativas en el

numerador.

Usted puede sumar o restar cuando hay cifras significativas para esa posicin en cada

Numero. Por ejemplo, 1.23+ 3.4461 = 4.68, y no 4.6761 como podra pensar. En

especial, esta regla requiere algo de tiempo para acostumbrarse.

Para terminar esta explicacin de cifras significativas, reconsideremos el nmero total

de tomos contenidos en los cuerpos de todos los seres humanos de la Tierra.

Comenzamos con dos cantidades que se dieron con solo una cifra significativa. Por lo

tanto, el resultado de la multiplicacin necesita redondearse de manera adecuada

hasta una cifra significativa. En tal caso, el nmero combinado de tomos en todos los

cuerpos humanos se expresa de forma correcta como 5 1037

FISICA I


MedicinMedir es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad

conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad de medida o magnitud

patrn. Al resultado de medir lo llamamos Medida.

SISTEMAS DE UNIDADESUn sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Las

mediciones exactas y confiables exigen unidades inmutables que los observadores

puedan duplicar en distintos lugares.

SISTEMA INTERNACIONAL S.I.El sistema internacional de unidades se abrevia con frecuencia S.I. (de Systme

International).

A veces, las unidades de este sistema se llaman unidades mtricas. El sistema de

unidades S.I. es elestndar que se utiliza para el trabajo cientfico en todo el mundo.

MAGNTUDES FUNDAMENTALES DEL S.I.El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades bsicas

(fundamentales), que expresan magnitudes fsicas. A partir de estas se determinan las

dems

Magnitud Unidad SmboloLongitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Temperatura termodinmica Kelvin K

Intensidad de corriente elctrica Ampere A

Intensidad Luminosa Candela cd

Cantidad de sustancia Mol mol

MAGNITUDES AUXILIARES DEL S.I.Magnitud Unidad SmboloAngulo plano radian rad

Angulo solid Estereorradin sr

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MAGNITUDES DERIVADAS DEL SISTEMA INTERNACIONALSon aquellas que se obtienen a partir de las unidades fundamentales.

Magnitud Unidad Smbolo EXPRESION EN OTRASUNIDADES DEL S.I.

Volumen Metro cubico m3

densidad Kilogramo por metro cubico kg . m3

velocidad Metro por segundo m . s-1

Fuerza Newton N kg . m . s-2

Energa Joule J kg . m2 . s-2

Potencia Watt W kg . m2 . s-3

Presin Pascal Pa kg . m-1 . s-2

Frecuencia Hertz Hz s-1

PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONALEn el S.I. se pueden obtener mltiplos reconocidos de las unidades fundamentales y

unidades derivadas multiplicndolas por diferentes factores de 10. Estos factores

tienen abreviaciones en letras universalmente aceptadas que se usan como prefijos,

que se muestran en la siguiente tabla

FISICA I


SISTEMA INGLES (Unidades de uso comn en Estados Unidos).La mayora de los ingenieros practicantes estadounidenses todava utiliza un sistema

en el que las unidades bsicas son las unidades de longitud, fuerza y tiempo.

Magnitud Unidad Smbololongitud pie ft

fuerza libra lb

tiempo segundo s

Conversiones de un sistema a otroUnidades de longitud1ft = 0.3048 m

1milla (mi) = 5 280 ft = 1 609 m

1pulgada (in) = 121 ft = 0.0254 m = 2.54 cm

Unidades de masa y fuerza1 slug = 1lb . s2/ft = 14.59 kg

1li = 4.448 N

Unidades de volumen1 galn (gal) = 3.785 Litros

En el S.I. para medir el volumen de lquidos, se usa la unidad de Litro (L)

1L = 10-3 m3

1mL = 1 cm3

1m3 = 106 cm3

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MAGNITUDES ESCALARESSon aquellas que estn completamente definidas con un valor de la magnitud y su

unidad de medida correspondiente. Ejemplo:

L = 10 metros

T = 5 horas

MAGNITUDES VECTORIALESSon aquellas que adems del valor de la magnitud y su unidad correspondiente,

requiere de una direccin para quedar completamente definidas. Ejemplo:

Velocidad = 10 m/s hacia el norte

Desplazamiento = 1000 metros hacia el este

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1.2. VECTORESUn vector es un ente matemtico representado por un segmento de recta orientado

El vector se denota por toda letra con una flecha arriba.

A

: Se lee vector A

PARTES DE UN VECTORa) MODULO DE UN VECTORMatemticamente representa la longitud del segmento de recta orientado. Fsicamente

a dicha longitud se le asigna el valor o cantidad de la magnitud que representa.

El modulo de un vector se denota por el vector entre barras o la letra sola sin flecha.

A

: Se lee modulo del vector A

A: se lee modulo del vector A

b) DIRECCION DE UN VECTOREs la orientacin que tiene un vector con respecto al sistema de referencia en el cual

se encuentra. En el plano cartesiano la direccin de un vector esta dada por el ngulo

medido en sentido antihorario a partir del eje X(+) hasta el vector.

FISICA I


c) SENTIDO DE UN VECTOREs la orientacin que tiene un vector con respecto a su lnea de accin.

1.3. OPERACIONES CON VECTORES.a) SUMA DE DOS VECTORES (METODO DEL PARALELOGRAMO)

Sean dos vectores ByA

que forma un ngulo entre ellos.

El vector resultante de la suma de los vectores ByA

es:

BAR

+=

El modulo del vector resultante esta dado por la ley de los csenos:

++= cosAB2BAR 22

b) DIFERENCIA DE DOS VECTORES (METODO DEL PARALELOGRAMO)

Sean dos vectores ByA

que forma un ngulo entre ellos.

FISICA I


Los vectores diferencia de los vectores ByA

son:

BAD

=1

ABD2

=

Los vectores 21 DyD

son opuestos y su modulo es:

+== cosAB2BADD 2221

Problema 1.1.El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace un ngulo de

35 con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud.

Encontrar la magnitud del otro vector y el ngulo entre ellos.

SolucinSean:

A = 12 u

R = 10 u

Usando el mtodo del paralelogramo

BAR

+=

ARB

=

Luego: ARB

=

35cos222 RAARB +=

35cos)12)(10(21210B 22 +=

u89.6B =

Por la ley de senos en el tringulo pqr de la figura:

=

senA

35senB

998.089.6

1235senBA35sensen ===

4.87=Por lo tanto el ngulo entre los vectores es: 122

FISICA I


Problema 1.2.Encontrar el ngulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud cuando su

resultante forma un ngulo de 50 con el vector mayor. Calcular tambin la magnitud

del vector resultante.

Solucin:En el triangulo PQR del grafico mostrado.

Por la ley de senos:

AB50sensen

senB

50senA

=

=

25.738

1050sensen ==

El ngulo entre los vectores ByA

es de 123.25

Luego por el mtodo del paralelogramo:

25.123cos)10)(8(210825.123cosAB2BAR 2222 ++=++=

R = 8.73 u

Problema 1.3.Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud forman entre s un ngulo de 60.

Encontrar la magnitud de la diferencia y el

ngulo que hace la diferencia con respecto al

vector mayor.

Solucin:Del grfico, vectorialmente:

BAD

=

Encontrando el modulo de la diferencia por el mtodo del paralelogramo:

60cosAB2BAD 22 +=

)21)(10)(8(2108D 22 +=

D = 9.17u

Luego del grafico en el triangulo PQR por la ley de senos:

76.0)17.98(60sen

DA60sensen

60senD

senA

====

46.49=

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c) SUMA DE VARIOS VECTORES (METODO DEL POLIGONO)Es un mtodo grafico que nos permite sumar varios vectores.

Donde se cumple: EDCBAR

++++=

1.4. VECTOR UNITARIOEs un vector cuya funcin es la de indicar la direccin de otro vector. Su mdulo es la

unidad de medida.

Notacin:u : Se lee vector unitario u

Propiedad:

Sea un vector cualquiera A

y un vector unitario Au en la direccin del vector A

; como

se muestra en la figura

Se cumple que:

AuAA

=

AAuuAA AA

==

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ObservacinEn el grafico mostrado:

i : Vector unitario en la direccin del eje X (+)

j Vector unitario en la direccin del eje Y (+)

1.5. DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR EN EL PLANO

Sea el vector A

en el plano cartesiano XY.

Del grafico podemos observar que:

YX AAA

+=

Por vectores unitarios:

iAA XX =

jAA YY =

Luego:

jAiAA YX +=

Es el vector

A en funcin de sus componentes rectangulares o cartesianas.

FISICA I


Donde Ax y Ay son las componentes rectangulares del vector

A

Del grafico:

2Y

2X AAA += ; es el modulo del vector A

Adems:

senAAcosAA

Y

X

=

=

Son Componentes del vector A

Luego:

)AA(tanArc

AAtan

Y

X

Y

X==

Es la direccin del vector A

1.6. DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR EN TRESDIMENSIONES.

Sea el vector A

en el espacio tridimensional:

Ax

Ay

Az

X

Y

Z

A

En este caso:

kAjAiAA zyx ++=

Donde k es un vector unitario en la direccin del eje Z (positivo)Adems, se puede demostrar que:

222zyx AAAA ++=

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cosAAx =cosAAy =cosAAz =

1coscoscos 222 =++ Donde cos,cos,cos se les llaman los csenos directores del vector A

Problema1.5.Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza

la pelota 12 metros hacia el Norte; el segundo 6 metros al Sur Este y el tercer golpe3

metros al Sur Oeste. Qu desplazamiento sera necesario para meter la pelota en el

hoyo al primer golpe?

Solucin:Supongamos que la pelota empieza su movimiento en el punto O y luego realiza tres

desplazamientos descritos por los vectores CyBA

, respectivamente, como se

muestra en la figura.

El desplazamiento necesario para meter

la pelota en un solo golpe esta dado por

el vector D

.

Por el mtodo del paralelogramo:

CBAD

++=

Descomponiendo los vectores

CyBA

, :

jiCjiBjiA

12.212.2

24.424.4

120

=

=

+=

Sumando los vectores CyBA

, resulta:

jiD 64.512.2 +=

Su modulo es: 22 64.512.2 +=DD = 6.03m

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Problema1.6.Una partcula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, de la siguiente

manera: 6 metros al sureste, 10 metros al este y 3 metros en una direccin este 60o

norte. Encontrar: a) Las componentes de cada desplazamiento. b) Las componentes

del vector resultante. c) La magnitud y direccin del vector resultante

Solucin:

a) Del grafico:

jijseniCjiB

jijisenA

60.25.1)603()60cos3(010

24.424.4)45cos6()456(

+=+=

+=

==

b) El vector resultante, como muestra el grafico es:

CBAR

++=

jiR 64.174.15 =

d) La magnitud o modulo del vector resultante es:

22 )64.1()74.15( +=RR = 15.83 m

Problema 1.7.Un cuarto tiene dimensiones siguientes: 10 metros x 12 metros x 14 metros. Una

mosca vuela desde un rincn hasta el rincn diametralmente opuesto. a) Cul es la

magnitud de su desplazamiento. b) Escoger un sistema de coordenadas apropiado y

encontrar los componentes del vector de desplazamiento en dicho referencial. c) Si la

mosca no volase sino caminase, Cul sera la longitud de la trayectoria mas corta

que pudiese seguir?

FISICA I


Solucin:

Del grafico podemos observar

que con respecto al sistema de

referencia mostrado, el

desplazamiento de la mosca

es:

kdjdidd zyx ++=

kjid 141210 ++=

El modulo del desplazamiento

de la mosca es:

222 141210 ++=dd = 20.98 m

c) Si la mosca no volase, la trayectoria ms corta es del punto O al punto R y luego

al punto P en lnea recta como se muestra en la figura.

Problema1.8.Dado cuatro vectores coplanares de 8, 12, 10 y 6 unidades de longitud

respectivamente; los tres ltimos hacen con el primer vector ngulos de 70, 150, y

200 grados respectivamente. Encontrar la magnitud y la direccin del vector

resultante.

Solucin:Sea: A = 8u, B = 12u, C = 10u, D = 6u

Del grafico mostrado:

j05.2i46.5j20sen6i20cos6Dj5i67.8j60cos10i60sen10Cj28.11i10.4j70sen12i70cos12B

j0i8j0i8A

==

+=+=

+=+=

+=+=

Luego la resultante de los cuatro vectores es:

j23.14i14.2RDCBAR

+=

+++=

Luego, el modulo o magnitud del vector resultante es:

FISICA I


u39.14R)23.14()14.2(R 22

=

+=

Del grafico, el ngulo que hace la resultante con

el eje X es:

45.81

65.614.223.14tan

=

==

FISICA I


1.7. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES )( BA

El producto escalar de dos vectores da como resultado una cantidad escalar.

A

B

Por definicin:

=

cosBABADnde:

A: modulo del vector

A

B: modulo del vector

B

: ngulo entre los vectores

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALARa) El producto escalar es conmutativo:

= ABBA b) El producto escalar es distributivo con respecto a la suma:

( ) CABACBA +=+c) CONDICION DE PERPENDICULARIDAD. Si los vectores ByA

son

perpendiculares entre si, entonces su producto escalar es cero.

0= BABA

d) Sean los vectores ByA

en funcin de sus componentes rectangulares:

kAjAiAA zyx ++=

kBjBiBB zyx ++=

zzyyxx BABABABA ++=

FISICA I


1.8. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES )( BA

El producto vectorial de dos vectores da como resultado una cantidad vectorial (el

vector BA

). El vector BA

es perpendicular al plano formado por los vectores

ByA

es decir es perpendicular al vector A

y al vector B

. Su sentido esta dado por

el giro de un tornillo de rosca derecha o por la regla de l a mano derecha.

A

B

AxB

BxA

El modulo del vector BA

se define:

senBAsenBABA ==

Dnde:

A: modulo del vector A

B: modulo del vector B

: ngulo entre los vectores

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIALa) El producto vectorial es anti conmutativo:

AB

=BA

b) EL producto vectorial es distributivo con respecto a la suma:

( ) CABACBA +=+c) CONDICION DE PARALELISMO. Si los vectores ByA

son paralelos entre si,

entonces su producto vectorial es cero:

0= BABaparaleloA

FISICA I


d) Sean los vectores ByA

en funcin de sus componentes rectangulares:

kAjAiAA zyx ++=

kBjBiBB zyx ++=

El modulo del producto vectorial de los vectores ByA

en funcin de las

componentes rectangulares de los vectores ByA

se puede determinar mediante un

determinante de 3x3 como se muestra a continuacin:

( ) ( ) ( ) kBABAjBABAiBABABBBAAAkji

BA xyyxxzzxyzzyzyx

zyx

+==

e) El rea del paralelogramo formado por vectores ByA

es igual al modulo de su

producto vectorial.

BAsenBAS

== Donde:

S: rea del paralelogramo formado por los vectores ByA

A: Modulo del vector A

B: Modulo del vector B

1.9. VECTOR POSICION ( r )Es un vector que indica la posicin de un punto en el plano o el espacio.

FISICA I


jyixr +=

El vector r

indica la posicin del punto P con respecto al origen de coordenadas O

OBSERVACION

En la figura se muestra el vector PQr

es el vector posicin del punto Q con respecto al

punto P.

jPQiPQr yyxxPQ )()( +=

Problema1.9.

Dados los vectores: kjiA 23 +=

kiB 22 +=

kjiC 232 ++=

Encontrar:

a) La magnitud de cada uno de los vectores.

b) El ngulo que forma el vector A

con el eje Z.

c) CBAD

2)(3 += , su magnitud y el ngulo que forma con el eje Y.d) )2()2( CAAB

e) )2()2( CBBAE

+= , su magnitud y el ngulo que forma con el eje X.

f) El ngulo que forman los vectores D

y E

.

g) La proyeccin del vector D

sobre el vector A

.

Solucin:a) Los mdulos de los vectores:

uA 74.314)1()2()3( 222 ==++=

uB 83.222)2()0()2( 222 ==++=

uC 12.417)2()3()2( 222 ==++=

FISICA I


b) Sabemos que:

Az AA cos=Donde A es el ngulo que hace el vector A

con el eje z. Luego:

27.074.31

cos =

==

AAz

A66.105=A

c) CBAD

2)(3 ++=[ ]

kjiDkjikjiDkjikjiD

kjikikjiD

712)464()363()232(2)2(3

)232(2)22()23(3

++=

+++++=

+++++=

++++++=

d) [ ] [ ])232(2)23()23()22(2)2()2( kjikjikjikiCAAB +++++= [ ] [ ]

66)2()2(25849)5)(5()4)(2()7)(7()2()2(

)547()527()2()2(464)23()23(44)2()2(

=

+=++=

+=

++++=

CAABCAAB

kjikjiCAABkjikjikjikiCAAB

e) )2()2( CBBAE

+=

[ ] [ ][ ] [ ]

)232()44()232(44)22(246

)232()22(2)22()23(2

kjijiEkjikikikjiE

kjikikikjiE

++=

++++++=

++++++=

[ ] [ ] [ ]

kjiE

kjikji

E

2088

)2)(4()3)(4()2)(0()2)(4()3)(0()2)(4(232044

=

+=

=

Su mdulo o magnitud es:

uEE

98.22)20()8()8( 222

=

++=

FISICA I


El ngulo que hace el vector E

con el eje X se puede calcular con la siguiente

relacin:

Ex EE cos=Dnde:

xE es la componente del vector E

en la direccin del eje X

E es el ngulo que hace elvector E

en la direccin del eje X

Luego:

63.69

35.098.22

8cos

=

===

E

x

E EE

f) kjiD 712 ++=

kjiE 2088 =

El ngulo formado por los vectores D

y E

se puede calcular usando la definicin del

producto escalar:

cosEDED =

Donde es el ngulo entre los vectores D y E

[ ]34.40

76.011.320

244cos

)98.22)(93.13(140968

))20()8()8()()7()12()1(()20)(7()8)(12()8)(1(

cos222222

=

=

=

=

++++

++==

EDED

g) Del grafico, la proyeccin del vector D

sobre el vector A

esta determinada porel

segmento P.

Del grafico:

)1(coscos == DPDP

Como:

kjiD 712 ++=

FISICA I


kjiA 23 +=

De la definicin de producto escalar:

cosDADA =Luego:

ADAD

=cosDe la ecuacin (1), entonces:

uP

ADAP

74.3

74.314

)1()2()3()7)(1()12)(2()1)(3(

222

=

=

++

++==

Problema1.10.

Dado un vector jiF 23 += dado en el plano XY, y otro jsiG 2 +=

siendo s un

parmetro:

a) Determinar s de modo que G sea paralelo a F .

b) Determinar s de modo que G sea perpendicular a F .c) Calcular el vector unitario en la direccin F X GSolucin:

a) Por la condicin de paralelismo; si el vector G

es paralelo al vector F

:

0= FG

Luego:

002023

=

s

kji

[ ]043

0)2)(2())(3(=

=

s

s

34

=s

b) Por la condicin de perpendicular; si el vector G

es perpendicular al vector F

:

0= FG

Luego:

FISICA I


30))(2()2)(3(

=

=+

s

s

c) Como el vector F

y el vector G

estn en el plano XY, entonces el vector unitario en

la direccin del producto vectorial GF

es el vector unitario k en la direccin del ejeZ

Problema1.11.Hallar un vector unitario paralelo al plano YZ y que sea perpendicular al vector

kjia 345 +=

Solucin:Como el vector es paralelo al plano XZ podemos considerar que su componente en el

eje Y es cero, entonces podemos construir el vector:

kzixb +=

Como el vector b

es perpendicular al vector a

, entonces:

zxzx

ba

53035

0

==

=

Quedando el vector b

:

kzizb 53

+=

Como el problema pide un vector unitario en la direccin del vector b

. Luego:

k86.0i51.0u

k345i

343

534z

kziz53

zz53

kziz53

bbu

b

22b

+=

+=+

=

+

+

==

Problema1.12.

Cul es la componente del vector ba

en la direccin del vector unitario ndonde:

kjia 31610 ++= kjib 225 +=

kin 6.08.0 +=

Solucin:

Hallando el producto vectorial ba

:

FISICA I


kjiba

kjikji

ba

60538

)8020()1520()632(22531610

+=

+++=

=

Del grafico mostrado, podemos observar que la componente del vector ba

en la

direccin del vector unitario n esta dado por el segmento P, donde:

)1(cos = baP

Por la definicin de producto escalar, tenemos:

( ) coscos babanban ==Luego de la ecuacin (1):

uP 4.66)60)(6.0()38)(8.0( =+=

FISICA I


PROBLEMAS PROPUESTOS.

ProblemaUn automvil descompuesto esjalado por medio de cuerdassujetas a las dos fuerzas que semuestran en la figura. Determinela magnitud y la direccin de suresultante por el mtodo delparalelogramo.

DESCOMPOSICIONCARTESIANAProblemaUn vector de posicin tiene una longitud de 40.0 m y est a un ngulo de 57.0 sobre

el eje x. Encuentre las componentes del vector y el vector posicin.

ProblemaCalcular la resultante (vector suma en funcin de las componentes y vectores unitarios

correspondientes) del sistema formado por los vectoresA (3,-2,3); B (1, 1,-2) y C (2,

2,-1).

Problema

Calcule la longitud y la direccin de los vectores ,Sume los vectores , , usando el mtodo de componentes, y encuentre su vectorsuma.

Use el mtodo de componentes para determinar la longitud del vector =

Problema

Encuentre los componentes de los vectores , , cuyas longitudes estn dadaspor A = 75.0, B = 60.0, C = 25.0, D = 90.0, y sus ngulos son como se muestra en la

figura. Escriba los vectores en trminos de vectores unitarios.

FISICA I


Encuentre la suma vectores + + + en trminos de sus componentes.Encuentre la magnitud y direccin de la suma +

Problema

Halla el vector unitario del vector

++= k5j4i3C .

Problema

Siendo los vectoresA (A

x, 5, 3) y

B (Bx, 1, 0) y sabiendo que

+= k3j4BA y que el

mdulo de su suma vale 9. Determinar Axy B

x.

ProblemaUn excursionista se desplaza con direccin suroeste desde su campamento de base,

habiendo recorrido 1.72 km. Llega a la orilla de un ro que es demasiado hondo para

cruzarlo, por lo cual hace un giro de 90 a la derecha y avanza otros 3.12 km hasta un

puente. A qu distancia se encuentra de su campamento?

ProblemaCalcule las componentes x e y de los vectores

mostrados en la figura.

Problema.En la figura se muestran cuatro vectores

donde sus mdulos son: A = 5 u; B = 10 u;

C = 4u; D = 8 u. Encuentre: a) Las

componentes de cada vector y cada vector. b)

Las componentes del vector resultante y el

vector resultante. c) La magnitud y direccin

del vector resultante. Graficar.

FISICA I


Problema.

A partir del grafico mostrado encuentre: a) Los vectores

Cy,B,A en funcin de sus

componentes rectangulares. b) El vector resultante y el ngulo que hace con el eje x

(grafique)

Problema

a) Encuentre cada uno de los vectores

mostrados en la figura en funcin de sus

componentes rectangulares. b) Encuentre el

vector resultante, su magnitud y el ngulo que

hace con el eje x. Grafique el vector resultante

VECTORES EN TRES DIMENSIONESProblema.

Cul debe ser el valor de m para que el vector

++= k2jmiA forme un ngulo de

60 con el eje Z?

ProblemaSi un vector forma con los ejes X e Y ngulos de 60 y tiene de mdulo 4 unidades.

Calcular: a) Sus componentes coordenados. b) El ngulo que forma con el eje Z.

Problema

Demostrar que el vector unitariou , cuyos cosenos directores son: cos = 1/3, cos =

2/3 y cos > 0, es perpendicular al vectorB (6, -9, 6).

FISICA I


PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIALProblema

Si la suma de dos vectores

ByA es k9j4i5 + , y su diferencia es

k3j8i2 , hallar: a) Los vectores

ByA . b) El ngulo entre la suma

+ BA y el

vector

A .

Problema.Dados los puntos en el espacio: P (3, 5, -7); Q (5, -8, 6); R (-3, 8, 10). Encuentre el

rea del tringulo formado por los puntos PQR

Problema.

Sean los vectores b

y c las diagonales de las caras de un cubo de arista "a = 2 m".

Encontrar las componentes del vector:

= cXbd .

Problema.Hallar un vector unitario paralelo al plano xy y que sea perpendicular al vector:

++= k3ji5a

ProblemaDados los vectores

kjiA +=

kjiB 6 +=

kjiD 16

21616

+++

+

=

Averigua si el producto vectorial

BA es o no paralelo al vector

D .

FISICA I


ProblemaPara qu valor de m son perpendiculares entre si los vectores que parten del origen a

los puntos (3, -6, 2) y (-4, 8, m)

Problema

Halla el vector unitario perpendicular a los vectoresV (1,2,3) y W (-1,0,2).

ProblemaPara que valores de m forman un ngulo de 60 entre si los vectores que van de (2, -

7,5) a (7, 1, -3) y de (8, m, -4) a (4, -2, 1)

Problema

Dados los vectoresA (5,3,4) y += k2ji6B , calcular:

a) su producto escalar

b) el ngulo que forman

c) los cosenos directores del vectorB .

Problema

Dados los vectores

+= k2j3i3A y B (3,4,0), calcular:

a) BxA y AxB

b) rea del paralelogramo formado por ambos vectores.

c) Un vector de mdulo 3u perpendicular al plano formado por A y B.

d) )BA(x)BA( +

Problema

El vector tiene magnitud de 6 unidades y esta sobre el eje x (+), el vector tiene una

magnitud de 4 unidades y est en el plano xy formando un ngulo de 30 con el eje x.

calcule el producto vectorial =ProblemaEn la figura se muestra un cubo de lado 6u; a)

encuentre los vectores en funcin de sus

componentes rectangulares. b) encuentre el

ngulo formado por los vectores . c)

FISICA I


encuentre el rea del paralelogramo formado por los vectores

4. Dados los vectores:

k9j4i5A +=

k3j8i7B +=

Encuentre:

a) El producto escalar.

b) El producto vectorial.

c) El vector unitario en la direccin perpendicular al plano formado por los vectoresA y B

Documents

Cap1_Vectores (1).pdf