Captulo 2

Lmite y continuidad de funciones de

variable real

En este captulo presentamos los conceptos de lmite y continuidad de una funcion los cualesson fundamentales para el analisis matematico. Ahora en este captulo el -entorno de x0 Rdenotado por B(x0) se llamara bola abierta con centro en x0 y radio > 0.

2.1. funciones reales

Recordemos que una funcion de R en R se llama una funcion de variable real y con valorreal y se denota f : R R. Ahora se llama maximo dominio de definicion de la funcion real fal conjunto D(f) := {x R : f(x) R}, es decir, el conjunto de todos aquellos numeros realespara los cuales la formula y = f(x) tenga sentido en R. se entendera f : A R donde A es unsubconjunto de D(f). Se llama grafica de la funcion f , al conjunto.G(f) := {(x, y) R2 : y = f(x), x D(f)} = {(x, f(x)) R: x D(f)}.

Ejercicio 33. Encuentre el maximo dominio de definicion de f y G(f)

1. f(x) =1 x2

2. f(x) = sen x

3. f(x) = 1 +ln(cos 2x)

4. f(x)

2x si x > 0

0 si x = 0

x 1 si x < 0

5. f(x) = (1/2)x

6. f(x) = |1 |1 |1 |x||||

7.x2 + 1

x2 4

8. sig(x)

1 si x > 0

0 si x = 0

1 si x < 0

Definicion. Sean M y N subconjuntos arbitrarias de R distintos de vaco a f : M Nse llama funcion de M en N . Si X M , al conjunto f(X) := {f(x) : x X} se llamaimagen de X( bajo la funcion f). Es claro que F (X) N . Si Y N , al conjuntof1(Y ) := {x M : f(x) Y } se llama preimagen de Y bajo la aplicacion f . Es claroque f1(Y ) M

Propiedades. (Ejercicio 34.) Sean M,N subconjuntos de R (no vacos) arbitrarios yf :M N, una funcion arbitraria.

1. Sean X1 y X2 subconjuntos de M .

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a) X1 X2 f(X1) f(X2)b) f(X1 X2) = f(X1) f(X2)c) f(X1 X2) f(X1) f(X2)d) Generalizar los dos ultimos resultados al caso de uniones e intersecciones arbitrarias.

2. Sean X M y Y N .a) X = f1(Y ) f(X) Y , esto equivalente a f(f1(Y )) Yb) Y = f(X) X f1(Y ), esto equivalente a, X f1(f(X))

c) f(MX) f(M)f(X) d) f1(NY ) = Mf1(Y )

3. Sean Y1 y Y2 subconjuntos de N .

a) Y1 Y2 f1(Y1) f1(Y2)b) f1(Y1 Y2) = f1(Y1) f1(Y2)c) f1(Y1 Y2) = f1(Y1) f1(Y2)d) Generalizar los dos ultimos resultado al caso de uniones e intersecciones arbitrarias.

Observacion. En general no es posible concluir que Y = f(X) implica X = f1(Y ). Buscarun ejemplo.(Ejercicio 35.).

Definicion. Sean A y B subconjunto no vacos de R y sea f : A R y g : B Rfunciones tales que f(A) B, se llama la funcion compuesta de f y g ( g f), a la fun-cion tal que (g f)(x) := g(f(x)) , x A. El dominio de la funcion compuesta g f esD(g f) = {x D(f) : f(x) D(g)}.

Ejemplo. Sean f(x) = 2x x2 y g(x) = x, entonces

(g f)(x) =2x x2, D(g f) = [0, 2], (por que?).

Definicion. Sean A y B subconjunto no vacos de R y sea f : A B una funcion, se diceque f tiene inversa o f es invertible si existe una funcion g : B A tal que

(g f)(x) = x , x A y (f g)(x) = x , x B.

g es llamada la inversa de f , ella es unica y se simboliza f1, esto es

(f1 f)(x) = f1(f(x)) = x , x A y (f f1)(x) = (f(f1(x)) = x , x B. (2.1)

Observaciones.

1. Sea A R. y f : A R una funcion. Si f es inyectiva en A, entonces f es invertible, esdecir, existe la funcion f1 : f(A) A. Por ejemplo f(x) = ax, a > 0, a 6= 1 es inyectivaen todo su dominio A = D(f) = R y ademas f(A) = (0,+) por tanto tiene inversaf1(x) = loga(x) donde su dominio es (0,+), luego de (2.1) tenemos entonces

loga(ax) = x , x R y aloga x = x , x (0,+).

2. Si f admite inversa f1, la preimagen de Y bajo la funcion f coincide con la imagen deY bajo la funcion f1, y en este caso no hay ambieguedad en la notacion de f1(Y ).

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2.2. Funciones elementales y su clasificacion

Las funciones de R en R: funcion constante y = c, c-constante, funcion potencial y = x, fun-cion exponencial y = ax (a > 0), funcion logartmica y = loga(x)(a > 0, a 6= 1), trigonometricas y = sen x, y = cosx, y = tg x, , y = ctg x y las trigonometricasinversas y = arc sen x, y = arc cosx, y = arc tg x, y = arcctg x se llaman principales funcioneselementales.Cualquier funcion que pueda ser dada en forma explcita con ayuda de una formula que con-tiene solo un numero finito de operaciones aritmeticas y de composiciones de las principalesfunciones elementales se llaman simplemente funcion elemental.Las funciones representadas por las formulas y = ax+b, y =

1 x2 , y = 1+log(cos(2x)) ,

y = sen[ln(1 + 1

x

)], y =

x+ |x|1 x2 . (observemos que |x| =

x2) son funciones elementales.

las funciones elementales comunmente se dividen en la siguientes clases

I. POLINOMIOS. Son funciones elementales que se pueden representar de la forma

y = Pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + + anxn , a0, a1, . . . , an R, an 6= 0.

n se llama el grado del grado del polinomio Pn.Los polinomios de primer grado y = ax+ b tambien se laman funciones lineales.Los polinomios de segundo grado y = ax2 + bx+ c se llaman funciones cuadraticas.El dominio de un funcion polinomial son R.

II. FUNCIONES RACIONALES. Es clase de fuciones elementales pueden ser definidad de

la forma y =P (x)

Q(x), donde P (x) y Q(x) son polinomios.

Notemos que las clases de polinomios esta contenido en la clase de las funciones racionales.

El domino de una funcion racional f(x) =P (x)

Q(x)es R \ x R : Q(x) = 0 = {x R :

Q(x) 6= 0}.III. FUNCIONES IRRACIONALES. Son las funciones elementales que se pueden represen-

tar con ayuda de composiciones de un numero finito de funciones racionales, funcionespotenciales con exponentes racionales y las cuatro operaciones aritmeticas. Por ejemploy = 5

(x 1)/(x2 +x).

IV. FUNCIONES TRASCENDENTALES. Las funciones elementales que no sson racionalesni irracionales se laman funciones trancendentales. SE pueden mostrar que todas lasfunciones trigonometricas directas e inversas y tambien la exponencial y logartmica sonfunciones trancendentes.

2.3. Lmite de una funcion real

Como puntosvamos a entender puntos finitos o infinitamente alejados, es decir, o biennumeros reales o bien uno de los infinitos +, , . Daremos primeramente la definicionde lmite de una funcion f : X R , X R en terminos de lmites de sucesiones. Estadefinicion frecuentemente se nombra definicion de lmite de la funcion segun Heine.

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Definicion 1. (Primera definicion de lmite de una funcion) Sean X R , f : X R. Elpunto y se llama lmite de la funcion f en el punto x0, si para cualquier sucesion {xn} enX \ {x0} que tiene como lmite el punto x0, es decir lm

nxn = x0, la sucesion {f(xn)} tiene

como lmite el punto y, es decir, lmn

f(xn) = y.

En en el caso cuando y es el lmite de la funcion f en el punto x0, se escribe

f(x) y , x x0 o lmxx0

f(x) = y.

O sealmxx0

f(x) = y [{xn} X{x0}, lm

nxn = x0 lm

nf(xn) = y

].

Observaciones.

1. Si X = no tiene sentido hablar de lmite y ademas x0 X . Recordemos quex0 X

[ {xn} enX, xj 6= xi, i 6= j : xn x0, n

].

2. De la defincion 1. y de la unicidad del lmite de una sucesion, se prueba faclmente queuna funcon no puede tener dos puntos lmites diferentes en x0. (Ejercicio 36.).

3. Ahora en la definicion 1. x0 y y pueden ser tanto puntos finitos o puntos infinitamentealejados: +, , . Por ejemploa) Si y R. Entonces

lmx+

f(x) = y [{xn} X{x0}, lm

nxn = + lm

nf(xn) = y

].

b) Si y =. Entonceslm

xf(x) =

[{xn} X{x0}, lm

nxn = lm

nf(xn) =

].

En los casos donde y es finito, se dice que en el punto x0x0x0 la funcion fff tiene lmitefinito (igual a yyy).

Ejemplos. Determinemos la existencia o no de los siguientes lmites.

1. lmx0

2x2 + x 1x 1 . Observemos que f(x) =

2x2 + x 1x 1 , X = D(f) = R \ {1}.

Sea {xn} una sucesion arbitraria en X \ {0} tal que lmn

xn = 0. Entonces aplicando

propiedades de las sucesiones convergentes, obtenemos

lmn

f(xn) = lmn

2x2 + x 1x 1 =

2(lmn

xn

)2+ lm

nxn 1

lmn

xn 1 = 1.

De esta manera, lmn

f(xn) = 1 y como xn fue sucesion arbitraria que converge a 0. Por

tanto lmx0

2x2 + x 1x 1 = 1.

2. lmx0

sen1

x. Observemos que f(x) = sen

1

xdonde X = D(f) = R \ {0} y 0 X .

Tomemos dos sucesiones {xn} e {yn} en X tales que xn = 1n e yn = 1pi2+2n

, es evidente

que lmn

xn = lmn

yn = 0. Pero f(xn) = sen n = 0 , n N, es decir {f(xn)} sucesion

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estacionaria igual a 0, por tanto lmn

f(xn) = 0 () y f(yn) = sen(2+ 2n

)= 1 ,

n N, es decir {f(yn)} sucesion estacionaria igual a 1, por tanto lmn

f(yn) = 1 (),de () y () podemos concluir que lm

x0sen

1

x.

3. lmx

x2 + x+ 1

x2 1 . El domino de f(x) =x2 + x+ 1

x2 1 es X = D(f) = R \ {2,2}.

Tomando cualquier sucesion {xn} en X tal que lmn

xn =, tendremos

lmn

f(xn) = lmn

x2 + x+ 1

x2 1 = lmn1 + 1

x+ 1

x2

1 1x2

(por que?)

=1 + lm

n1

x+ lm

n1

x2

1 lmn

1x2

= 1.

De aqu se deduce que lmx

x2 + x+ 1

x2 1 = 1 (por que?).

4. lmx0

D(x) donde D(x) =

{1 si x Q0 si x I (funcion de Dirichlet).

Sea {xn} sucesion en Q \ {0} tal que lmn

xn = 0, luego D(xn) = 1 , n N, luegolmn

D(xn) = 1 () (por que?).

Sea {yn} sucesion en I tal que lmn

yn = 0, luego D(yn) = 0 , n N, luegolmn

D(yn) = 0 () (por que?). De () y () tenemos lmx0

D(x).

Ejercicio 37. Demuestre que el lmx

xx2 + 1

, no existe y los lmites lmx+

xx2 + 1

y

lmx

xx2 + 1

existen y hallaerlos.

Usando la definicion 1, demostraremos las siguientes propiedades de los lmites de funciones.

Propiedades. Sean f, g : X R, R. Supongamos que f y g tienen lmite finito en x0.Entonces

1. La funcion f tiene punto lmite finito en x0 y lmxx0

(f)(x) =

(lmxx0

f(x)

).

2. Las funciones f g tienen punto lmite finito en x0 ylmxx0

(f g)(x) = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x).

3. La funcion f g tiene punto lmite finito en x0 y lmxx0

(f g)(x) = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x).

4. La funcion f/g tiene limite finito en x0, si > 0 : g(x) 6= 0 x B(x0) y lmx

g(x) 6= 0y ademas

lmxx0

(f

g

)(x) =

lmxx0

f(x)

lmxx0

g(x).

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Demostracion. Demostremos la propiedad 3. Supongamos que lmxx0

f(x) = y1 y

lmxx0

g(x) = y2. Sea {xn} una sucesion arbitraria en X \ {x0} tal que lmn

xn = x0. Por

hipotesis tenemos que las sucesiones {f(xn)} y {g(xn)} convergen respectivamente a y1 y y2,luego por propiedad de sucesiones convergentes la sucesion {f(xn) g(xn)} converge a y1 y2,esto es lm

n(f g)(xn) = y1 y2, por tanto la funcion f g tiene punto lmite finito en x0 y

ademas lmxx0

(f g)(x) = y1 y2.Ejercicio 38. Demostrar las propiedades 1, 2 y 4.

Ahora daremos la segunda definicion de lmite por medio de -entornos dicha definicion senombra definicion de lmite de la funcion segun Cauchy.

Definicion 2. (Segunda definicion de lmite de una funcion) Sean X R, f : R, x0 X , sedice que el punto yyy es el lmite de fff en el punto x0x0x0, si para todo > 0 existe un

not= > 0

tal que para todo x B(x0) X implica que f(x) B(y), se escribe lmxx0 ,xX

f(x) = y o

simplemente lmxx0

f(x) = y, cuando X = D(f). As

lmxx0

f(x) = y [ > 0, not= > 0 : x B(x0) X f(x) B(y)

].

Observacion. Tambien como en la definicion 1, en esta definicion x0 y y pueden ser tantopuntos finitos o puntos infinitamente alejados: +, , .

1. Si x0, y R. Entonceslmxx0

f(x) = y [ > 0, not= > 0 : x X, 0 < |x x0| < |f(x) y| <

].

2. Si y R. Entonceslm

x+f(x) = y

[ > 0, not= > 0 : x X, x > 1 |f(x) y| <

].

3. Si y R. Entonceslm

xf(x) = y

[ > 0, not= > 0 : x X, x < 1 |f(x) y| <

].

4. Si y R. Entonceslmx

f(x) = y [ > 0, not= > 0 : x X, |x| > 1 |f(x) y| <

].

En estos casos se dice que en el punto x0x0x0 la funcion fff tiene lmite finito (iguala yyy).

De la misma manera se tiene los casos donde y es un punto infinitamente alejado +, , .(Ejercicio 39.)

Usando la definicion 2, demostremos la propiedad 2, 3. (Ver pag 24) de los lmites de funciones.

Propiedades. Sean f, g : X R, R, x0 X . Supongamos que f y g tienen lmite finitoen x0. Entonces

2. Las funciones fg tiene punto lmite finito en x0 y lmxx0

(fg)(x) = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x).

3. La funcion f g tiene punto lmite finito en x0 y lmxx0

(f g)(x) = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x).

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Demostracion. Supongamos que lmxx0

f(x) = y1 y lmxx0

g(x) = y2.

Demostremos 2. Ahora > 0, tenemos que existen 1 , 2 > 0 : x X, 0 < |xx0| < 1 |f(x) y1| < 2 () y x X, 0 < |x x0| < 2 |g(x) y2| < 2 (). Observemos que[f(x) g(x)] [y1 y2] = [f(x) y1] [g(x) y2] |f(x) y1|+ |g(x) y2| ( )Ahora si tommamos = mn{1, 2}, de () () y ( ) tenemos que > 0 , > 0 : x X, |x x0| <

[f(x) g(x)] [y1 y2] < .Hemos as demostrado que lm

xx0(f g)(x) = y1 y2.

Demostremos 3. Sea > 0 arbitarrio. Observemos primerof(x) g(x) y1 y2 = [f(x) g(x) f(x) y2] + [f(x) y2 y1 y2]. Luego aplicando propiedadesdel valor absoluto obtenemos

|f(x) g(x) y1 y2| = |f(x)| |g(x) y2|+ |f(x) y1| |y2|< |f(x)| |g(x) y2|+ (1 + |y2|) |f(x) y1|. (2.2)

Ahora como lmxx0

f(x) = y1, tomando = 1, 1 > 0 : x X, 0 < |x x0| < 1 |f(x) y1| < 1 y entonces |f(x)| < 1+ |y2| (a). Ahora reemplazando (a) en (2.2) obtenemos:x X, 0 < |xx0| < 1 |f(x) g(x)y1 y2| < (1+ |y2|) |g(x)y2|+(1+ |y2|) |f(x)y1|.

(2.3)

Observando la ecuacion (2.3) y tomando 1 =

2

(1

1 + |y2|)> 0 , 2 > 0 :

x X, 0 < |x x0| < 2 |f(x) y1| < 1 = 2

(1

1 + |y2|)

(b).

Como lmxx0

g(x) = y2 y observando (2.3) tomando 2 =

2

(1

1 + |y1|), 3 > 0 :

x X , 0 < |x x0| < 3 |g(x) y2| < 2 = 2

(1

1 + |y1|)

(c).

Ahora sea = mn{1 , 2 , 3} y remplazando (b) y (c) en (2.3), obtenemos: > 0 , > 0 : x X , 0 < |x x0| < |f(x) g(x) y1 y2| < (por que?).

Hemos as demostrado que lmxx0

(f g)(x) = y1 y2.

Ejercicio 40. Demostrar las propiedades 1 y 4 (pag 24) usando definicion 2. de lmite.

Ejemplos. Leer los 10 ejemplos del libro (Calculus de una y varias variables de Salas y Hille,pags 56 a la 65).

Demostraremos ahora que las dos definiciones de lmites son equivalentes:

lmxx0

f(x) = y [{xn} X{x0}, lm

nxn = x0 lm

nf(xn) = y

]. (I)

[ > 0, not= > 0 : x X , 0 < |xn x0| < |f(x) y| <

]. (II).

Teorema. (I) (II)

Demostracion. Demostremos primero que (II) (I). > 0, not= > 0 : x X ,0 < |xx0| < |f(x)y| < (). Tomemos una sucesion arbitraria {xn}n=1 en X{x0} :

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lmn

xn = x0, tenemos para el mismo > 0, n0 N : n n0, |xn x0| < , (). De ()y () se sigue: > 0 , n0 N : n n0 , |f(xn) y| < , ya que |xn x0| < . Es decir lm

nf(xn) = y

Demostremos (I) (II). Supongamos que es valido (I) y no es valido (II) y lleguemos a unacontradicion. Como (II) no es valido, esto es, > 0 , > 0 , x X : 0 < 1|x x0| < y |f(x) y| (por que?).Tomando = 1/n , n = 1, 2, . . . , entonces {xn}n=1 X{x0} : 0 < |xn x0| 1/n pero|f(xn) y| , esto significa que hemos obtenido una sucesion {xn} en X{x0} que convergehacia x0 pero la sucesion {f(xn)} no converge hacia y, lo cual contradice (I).

Ejercicio 41. Demostrar las equivalencias de las dos definiciones cuando x0 y y pueden sertanto puntos finitos o puntos infinitamente alejados: +, , .

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