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UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN TACNAESCUELA A P DE INGENIERÍA METALÚRGICA
ESTRUCTURA CRISTALINA DE LOS METALES
PROFESOR: Ing. Julián Nieto Quispe
E-mail: [email protected]
2013
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN TACNAESCUELA A P DE INGENIERÍA METALÚRGICA
ESTRUCTURA CRISTALINA DE LOS METALES
CONTENIDO
http://www.mim-us.es/index.php/es/
http://www.esi2.us.es/IMM2/ec/estructuras_cristalinas.htmlhttp://www.genealog.cl/cursos/mt771
Orden de corto y largo alcanceEstados cristalinos y amorfosCeldas unitariaParámetros de la celda unitariaSistemas cristalinos
ORDEN DE CORTO Y LARGO ALCANCE
Sin considerar las imperfecciones en los materiales, existen tres niveles de organización de átomos.Sin ordenOrden de corto alcance (Ordenamiento particular)Orden de largo alcance (Ordenamiento general )
ORDEN DE CORTO Y LARGO ALCANCE
Estado Densidad
Movilidad Orden
Vapor Mediana amuy baja
Alta a muy alta No hay
Líquido Alta Moderada No hay orden de largo alcance, pero sí hay cierto orden de corto alcance.
Sólido cristalino
Alta Moderada a altastemperaturas, bajaa bajas temperaturas
Hay orden de corto y, consecuentemente, orden de largo alcance.
SIN ORDEN Y ORDEN DE CORTO ALCANCE
/
Sin orden Cuando un material no tiene orden regular en la distribución de sus átomos.
Ejemplo: los gases no tienen un orden en la distribución de sus átomos
Orden de corto alcanceCuando un material muestra un arreglo espacial de los átomos que se extiende sólo a los vecinos más cercanos.
Ejemplos de estas estructuras son los vidrios, geles y recubrimientos por deposición devapor.Ejemplo: En los vidrios cerámicos, 4 átomos de O quedan enlazados de manera covalente a cada átomo de Si; formando una estructura tetraédrica, mostrando un orden de corto alcance; sin embargo pueden estar unidos entre si de una manera aleatoria.
CO2
ORDEN LARGO ALCANCE
Orden de largo alcanceCuando un material presenta un arreglo atómico espacial que se extiende por todo el material. Los átomos forman un patrón repetitivo, regular, en forma de rejilla o red.
La red es un conjunto de puntos, conocidos como puntos de red, que están organizados siguiendo un patrón periódico de forma que el entorno de cada punto en la red es idéntico.
La estructura cristalina se refiere al tamaño, forma y la organización atómica dentro de la red. Estas estructuras varían desde las relativamente simples de los metales a las excesivamente complejas de los cerámicos y polímeros.
ESTADOS CRISTALINOS Y AMORFOS
En un material cristalino los átomos se sitúan en una disposición repetitiva o periódica a lo largo de muchas distancias atómicas; es decir, existe un orden de largo alcance, tal que al solidificar el material, los átomos se sitúan según un patrón tridimensional repetitivo, en el cual cada átomo está enlazado con su vecino más próximo.En los materiales no cristalinos o amorfos (sin forma) el orden de largo alcance no existe; o sea carecen de un ordenamiento atómico sistemático y regular a distancias atómicas grandesLa condición amorfa se visualiza comparando las estructuras cristalina y no cristalina del cerámico dióxido de silicio (SiO2), que puede existir en ambos estados.
ESTADOS CRISTALINOS Y AMORFOS
El que un sólido adquiera forma cristalina o amorfa depende : de las condiciones de temperara y presión en momentos de su solidificación, alta direccionalidad de enlace, baja pureza del material.
El enfriamiento rápido favorece la formación de sólidos no cristalinos (amorfos); ya que el proceso de ordenación necesita algún tiempo.
Los metales son cristalinos, algunos cerámicos son cristalinos otros son amorfos.
Los polímeros pueden ser completamente cristalinos, enteramente amorfos o una mezcla de ambos
CELDAS UNITARIA
La celda unitaria es la subdivisión de la red cristalina que sigue conservando las características generales de toda la red.
La celda unidad de la mayoría de las estructuras cristalinas son paralelepípedos o prismas con 3 conjuntos de caras paralelas.
Representación de la red y de la celda
unitaria del sistema cúbico centrado en el
cuerpo
PARÁMETROS DE LA CELDA UNITARIA
Los parámetros de celda describen el tamaño y la forma de la celda unitaria; se refieren a las dimensiones de las aristas de la celda unitaria y los ángulos entre sus aristas
La geometría de la celda unidad se define en función de 6 parámetros: Longitud de las 3 aristas: a,
b, c los 3 ángulos entre las
aristas: α, β, γLas unidades de la longitud se expresan en nanómetros (nm) o en angstrom (A) donde:1 nanómetro (nm) = 10-9 m = 10-7 cm = 10 A1 angstrom (A) =0.1 nm = 10-10m = 10-8 cm
a b
c
SISTEMAS CRISTALINOS
La combinación de los 6 parámetros de la celda originan 7 sistemas cristalinos:
El sistema cúbico tiene el mayor grado de simetría con:a = b =c α= β = γ =90ºLa simetría desaparece en el sistema triclínico con:a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90º
Sistema Longitud Ángulos Ejemplos1)Cúbico2)Tetragonal3)Ortorrómbico4)Monoclínico5)Triclínico6)Hexagonal7)Romboédrico
a = b = ca = b ≠ ca ≠ b ≠ ca ≠ b ≠ ca ≠ b ≠ ca = b ≠ ca = b = c
α = β = γ = 90ºα = β = γ = 90ºα = β = γ = 90ºα = γ = 90º ≠ β α ≠ β ≠ γ ≠ 90º α=β=90º, γ=120ºα = β = γ ≠ 90º
NaCl (Sal común)TiO2 (Rutilo)
MgSO4 7H2O (Epsomita)
CaSO4.2H2O (Yeso)
K2Cr2O7
SiO2 (Sílice)
CaCO3 (Calcita)
REDES DE BRAVAIS
De acuerdo a la disposición o acomodo de los átomos en la celda unitaria (puntos en la red) de cada sistema cristalino se ha establecido 14 redes, llamadas Redes de Bravais
ESTUCTURAS CRISTALINAS TÍPICAS
Estructuras cristalinas de elementos metálicos a 25ºC y 1atm
Cerámicos– Cúbico simple– Cúbico cuerpo centrado– Hexagonal compacta
ESTRUCTURA CRISTALINA DE METALES EN LA TABLA PERIÓDICA
http://www.esi2.us.es/IMM2/ec/estructuras_cristalinas.html
CARACTERÍSTICAS DE UNA CELDA UNITARIA
Las principales características de las estructuras cristalinas o celdas unitarias son:(a) Parámetros de celda(b) Número de átomos por celda(c)Relación de radio atómico y
parámetro de celda(d) Número de coordinación(e) Factor de empaquetamiento(f) Densidades teóricas(g) Polimorfismo y alotropía
NÚMERO DE ÁTOMOS POR CELDACÚBICA SIMPLE (CS) CÚBICA CENTRADA EN EL
CUERPO (CC ó BCC)CÚBICA CENTRADA EN LAS CARAS (CCC ó FCC)
El número de átomos por celda unitaria es el producto del número de átomos por punto de red multiplicado por el número de puntos de red existentes por celda unitariaLas esquinas o vértices contribuyen con 1/8 de átomo.Las caras contribuyen con ½ átomo.Las posiciones en el centro del cuerpo contribuyen con un (1) átomo.
En estructuras más complicadas, particularmente polímeros y cerámicos, pueden estar asociados varios e incluso cientos de átomos con cada punto de la red, formando celdas unitarias muy complejas.
Estructura tipo rutilo, TiO2
Es tetragonal y la coordinación de los cationes es 6 y se halla situada en el centro de un octaedro cuyos vértices están ocupados por los aniones.
NÚMERO DE COORDINACIÓN
Es el número de átomos que tocan a otro en particular; es decir es el número de átomos vecinos más cercanos.
En la celda unitaria cúbica simple 6 átomos más cercanos tocan a cada átomo, por lo tanto su número de coordinación (NC) es 6
En la celda unitaria cúbica centrada en el cuerpo los 8 átomos de las esquinas tocan al átomo centrado en el cuerpo, por lo tanto su NC es 8
El número de coordinación es una indicación de que tan estrecha y eficazmente están empaquetados los átomos.
RELACIÓN DE RADIO ATÓMICO CON EL PARÁMETRO DE RED
Las direcciones en la celda unitaria a lo largo de las cuales los átomos están en contacto continuo son las direcciones compactas. En estructuras simples se utilizan esas direcciones para calcular la relación entre tamaño aparente del átomo (radio atómico) y el tamaño de la celda unitaria (parámetro de red). Para lo cual:1) Se determina la longitud de la dirección compacta en función al radio del átomo2) Mediante las propiedades geométricas se relacionan la longitud de la dirección compacta con el parámetro de la red.
a) En la estructura CS los átomos se tocan a lo largo de la arista del cubo.
a = R + Ra = 2R
Ejercicio 1: Determinar la relación entre el radio atómico y el parámetro de red en estructuras CS, CC (BCC), y CCC (FCC). Cuando existe un átomo en cada punto de red.
b) En la estructura CC (BCC) los átomos se tocan a lo largo de la diagonal del cuerpo del cubo:
c) En la estructura CCC ( FCC) los átomos entran en contacto a lo largo de la diagonal de la cara del cubo:
FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (FEA)
Es la fracción de volumen (espacio), en una celda unitaria, ocupado por átomos, considerando que los átomos son esferas sólidas.
Las expresiones para calcular el FEA son:
Ejercicio 2: Calcule el factor de empaquetamiento para la celda CS.
SoluciónSe conoce: Número de átomos por celda: 1 átomo/por celda unitaria Radio de cada átomo: R = 0.5 a Volumen de cada átomo: v= (4π/3)R3
Volumen de la celda unitaria: V = a3
FEA para una estructura cúbica simple es: 0.52
Ejercicio 3: Calcule el factor de empaquetamiento para la celda CCC (FCC).
SoluciónSe conoce: Número de átomos por celda: 4 átomo/por celda unitaria Radio de cada átomo: R = Volumen de cada átomo: v= (4π/3)R3
Volumen de la celda unitaria: V = a3
FEA para una estructura cúbica centrada en las caras es: 0.74
Ejercicio 4: Calcule el factor de empaquetamiento para la celda CC (BCC).
SoluciónSe conoce: Número de átomos por celda: 2 átomo/por celda unitaria Radio de cada átomo: Volumen de cada átomo: v= (4π/3)R3
Volumen de la celda unitaria: V = a3
FEA para una estructura cúbica centrada en el cuerpo es: 0.68
DENSIDADES TEORICAS (ρ)
Las densidades teóricas de un metal se puede calcular utilizando las propiedades de la estructura cristalina.
1) Densidad volumétrica o simplemente densidad teórica. Relación entre la masa de un cuerpo con respecto a su volumen. Basados en una celda unitaria, la densidad de un material puede ser hallada como:
2) Densidad Planar (DP). Relación entre el número de átomos completos (cuyo centro esta sobre el plano) contenidos en un plano y el área del plano.
También se puede considerar como la fracción de área del plano ocupada por átomos, considerados como círculos, con la condición de que el plano pase por el centro del átomo.
Las unidades son el inverso del área (nm-2, m-2).
3) Densidad Lineal. Relación entre el número de átomos completos contenidos en una cierta dirección y la longitud de la dirección.
Las unidades son el inverso de la longitud (nm-1, m-1).
También se dice que es la fracción de longitud lineal, de una dirección cristalográfica, que pasa a través de los centros de los átomos.
Importante: Las densidades lineales y planares tiene gran importancia para explicar los deslizamientos, que son los fundamentos del mecanismo de plasticidad de los metales.Los deslizamientos ocurren en la mayoría de los planos cristalográficos de máximo empaquetamiento, o sea a lo largo de las direcciones que tienen el mayor empaquetamiento atómico.
Ejercicio 5: El cobre tiene un radio atómico de 0.128 nm (1.28 Ǻ), una estructura cristalina FCC y un peso atómico de 63.5 g/mol. Calcule la densidad teórica volumétrica y compare la respuesta con el valor experimental reportado en tablas (8.94 g/cm3).
SoluciónPara la estructura cristalina CCC o FCC se tiene:Número de átomos por celda: n = 4 atm/celdaVolumen de la celda unitaria: VC= a3 = [2(2)1/2R]3 = 16(2)1/2R3
Radio atómico del Cu: R = 0.128 nm = 1.28 Ǻ = 1.28x10-8 cmPeso atómico del Cu: A = 63.5 g/mol
La densidad medida experimentalmente es 8.94 g/cm3. La ligera discrepancia entre las densidades teórica y experimental es una consecuencia de los defectos en la red.
Ejercicio 6: Calcular la densidad del plano (110) de la estructura cristalina, cúbica centrada en el cuerpo (CC ó BCC), del vanadio (V) si su radio atómico R=0.132 nm.
Solución
Se tiene: Numero de átomos en el plano (110): n= 4(1/4) + 1= 2 átm/plano Área de los átomos en el plano considerado como círculos: Aa = 2(πR2) Relación radio y parámetro de celda: a = 4R/(3)1/2
Área del plano (110): Ap = a x (2)1/2 a = (2)1/2 a2 = (2)1/2 (4R/(3)1/2)2 =16(2)1/2 R2 /3
Luego la densidad planar (DP), en relación a las áreas, será:
DP(110) = 2(πR2) / (16(2)1/2 R2 /3) = 3 x 2π / 16(2)1/2 = 0.833 DP(110) = 83.3 %
La densidad planar (DP) en relación al número de átomos por área del plano será: DP(110) = (2átm/plano) / (16(2)1/2 R2 /3 )= 2 / (16(2)1/2 (0.132 nm)2 /3 ) = 15.218 / nm2
DP(110) = 15.218 nm-2
Ejemplo 7: Calcular la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la red cristalina del cobre, FCC, expresada en at/mm. La constante de red es a = 0.361nm.
Solución
Ejemplo 8: Calcular la densidad lineal de la dirección [100] en la estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (CC ó BCC)
Solución
Ejemplo 9: ¿Cuántas celdas unidad hay aproximadamente en el Fe puro BCC si las aristas de la celda estuvieran alineadas arista con arista en 1 mm si a temperatura ambiente la arista es igual a 0.287x10-9 nm?(1nm=10-9 m = 10-7 cm = 10 Ǻ)Respuesta: 3.48x106 celdas unidad.
SOLUCIÓN
Ejemplo 10.- El molibdeno posee una estructura cúbica centrada en el cuerpo y una densidad de 10,2 g/cm3. Se pide:a) Calcular el número de coordinación y el número de átomos en cada celdilla elemental.b) Su radio atómico.c) Su factor de empaquetamiento atómico.El peso atómico del molibdeno es 95,94.
SOLUCIÓN
Estructura a (r)
Número de
coordina-ción
Factor deempaque-tamiento
Ejemplos
Cúbica simple (CS)
a = 2r 6 0,52 Po
Cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
a = 4r/√3 8 0,68Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, K, Na, V, Cr, Zr
Cúbica centrada en las caras (FCC)
a = 4r/√2 12 0,74Fe, Cu, Al, Au, Ag, Pb, Ni, Pt
Hexagonal compacta (HC)
a = 2r c = 1,633 a
12 0,74Ti, Mg, Zn, Be, Co, Zr, Cd
EL POLIMORFISMO DE LOS METALES.
Se define polimorfismo como la capacidad de adoptar distintas formas cristalinas, bajo distintas condiciones de presión y temperatura
Así, por ejemplo, el hierro presenta distintas transiciones en fase sólida conforme se va calentando
Son estados alotrópicos del hierro:La ferrita o hierro α, El hierro ß, El hierro γ o austenita El hierro δhttp://tecnologia-jesusmolina.blogspot.com/2010/09/propiedades-y-ensayos-de-materiales.html
Otro ejemplo de polimorfismo es el del estaño. A temperatura ambiente el polimorfo estable es el estaño blanco β-Sn, que se convierte en estaño gris, α-Sn, por debajo de 14.2 ºC.
El diamante y el grafito son dos formas alotrópicas del carbono: formas puras del mismo elemento, pero que difieren en estructura
GRAFITO DIAMANTE
POSICIONES ATÓMICAS, DIRECCIONES Y PLANOS CRISTALOGRÁFICAS
Convencionalmente se ha establecido que para designar puntos, direcciones y planos se utilicen tres números enteros, denominados Índices de Miller (hkl), indican el número de veces que representan al parámetro de red.
Los valores de los índices se determinan basándose en un sistema de coordenadas cuyo origen está situado en un vértice de la celda unidad y cuyos ejes (X,Y,Z) coinciden con las aristas de la celda unidad, como se indica en la figura.
http://rkt.chem.ox.ac.uk/tutorials/surfaces/solids.html
http://www-vrl.umich.edu/project2/miller/
PUNTOS
Los puntos (puntos de red) indican las posiciones de los átomos en la red o celda unitaria.
http://personales.upv.es/~avicente/curso/unidad3/naturaleza2.html
http://blog.utp.edu.co/metalografia/2012/07/30/3-cristalografia/
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
Una dirección cristalográfica se define por una línea o vector entre dos puntos designado con el Índice de Miller [hkl].
http://www.esi2.us.es/IMM2/ec/direcciones.html
Tal como se procede habitualmente en matemáticas, las componentes de cualquier vector pueden conocerse restando las coordenadas de los puntos final e inicial. Si P1 = (u1, v1, w1) es el punto de partida y P2 = (u2, v2, w2), el punto final, el vector que va de P1 a P2 se calculará como:
http://www.esi2.us.es/IMM2/ec/direcciones.html
Pero frecuentemente no estaremos interesados en el módulo del vector, sino sólo en su dirección. La notación de Miller retiene únicamente este aspecto. Los índices de Miller de la dirección del vector son los componentes de pero reducidos a los enteros más pequeños posibles: h, k y l. La dirección se representaría como Nótese que los números no van separados por comas y que los paréntesis se han sustituido por corchetes. Si un número es negativo, por ejemplo, -2, se representa como Naturalmente, tal y como sucede con los vectores libres, bajo la designación están incluidos todas las direcciones paralelas a la considerada. La siguiente figura muestra ejemplos de direcciones en celdillas cúbicas.
Se dispone de una manera de designar colectivamente a toda una familia de direcciones equivalentes. La forma elegida es colocar entre corchetes con ángulo, < >, los índices de Miller de cualquier miembro de la familia. Por ejemplo, <111> representa la familia de direcciones equivalentes de «las diagonales principales del cubo». De igual modo, <001> representa a todas «las aristas del cubo».
PASOS PARA DETERMINAR LOS ÍNDICES DE LAS DIRECCIONES
1) Determinar las coordenadas de dos puntos que están en la dirección a designar.2) Restar las coordenadas del punto inicial a las el punto final.(Que representa el número de parámetros de red recorridos en la dirección de cada eje del sistema de coordenadas; también se dice que es la longitud de la proyección del vector dirección en cada uno de los ejes en función de las dimensiones a, b, y c de la celda unidad).3) Estos tres números se multiplican o se dividen por un factor común para reducirlos al valor entero menor.4) Encerrar los números en corchetes [ ]. Si se obtiene un signo negativo, se representa con una barra sobre el número.
Ejercicio 11: Determinar los índices de Miller de las direcciones A, B, C de la siguiente figura.
Solucióna) Para la dirección A: Los puntos son: (0,0,0) y (1,0,0) Resta: (1,0,0) - (0,0,0) = 1,0,0 No hay fracciones Índice de dirección encerrada:
[100]
b) Para la dirección B: Los puntos son: (0,0,0) y (1,1,1) Resta: (1,1,1) - (0,0,0) = 1,1,1 No hay fracciones Índice de dirección encerrada: [111]
c) Para la dirección C:•Los puntos son: (1/2,1,0) y (0,0,1)•Resta: (0,0,1) - (1/2,1,0) = - 1/2, -1,1•Reducir fracción: 2(- 1/2, -1,1) = -1, -2, 2•Índice de dirección encerrada: [ 1 2 2]
OBSERVACIONES SOBRE LAS DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
1) Todo vector dirección se puede trasladar a través de la red cristalina sin alterarse, si se mantiene el paralelismo. 2) Una dirección positiva y su negativa no son idénticas: [1 0 0] ≠ [1 0 0]. Representa la misma línea pero con dirección opuesta.3) Una dirección y su múltiplo son idénticos: [1 0 0] es la misma dirección que [2 0 0].4) Ciertos grupos de direcciones son equivalentes: [1 0 0] es equivalente a [0 1 0]. Si se redefine las coordenadas.
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Las orientaciones de los planos cristalográficos de la estructura cristalina se representa, en forma abreviada, con los índices de Miller (hkl); con la finalidad de identificar los planos más importantes.
Si consideramos los planos cristalográficos paralelos que pasan por nodos equivalentes, tendríamos una familia de planos cristalográficos.
Estas familias de planos se caracterizan porque cada pareja de planos consecutivos está separada por una distancia fija y propia de dicha familia (d). Estas distancias estarán condicionadas por la geometría de la red y, por lo tanto, por la forma y dimensiones de la celdilla unidad.
Los planos equivalentes por razones de simetría pueden designarse de manera colectiva encerrando entre llaves los índices de uno cualquiera de sus miembros. Por ejemplo , designa a la familia de planos equivalentes constituida por «todas las caras del cubo».
Usando esta notación, resulta que en los sistemas cúbicos, una dirección perpendicular a un plano dado, tiene sus mismos índices. Es decir, la dirección es perpendicular al plano
Es de mayor utilidad especificar la orientación de un plano mediante los índices determinados por las siguientes reglas: 1) Se encuentran las intersecciones con los ejes en función de las constantes de la red. Si el plano no corta a un eje, porque es paralelo a él, la intersección se toma como ∞. 2) Se toman los inversos de estos números, y luego se reducen a tres números enteros que tengan la misma relación, normalmente los números enteros más pequeños posibles. Los tres números resultantes, encerrados entre paréntesis, esto es representan al plano.
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PROCEDIMIENTO PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS VALORES DE ÍNDICE DE MILLER
1) Identificar los puntos en los cuales el plano interseca los ejes coordenados X, Y, Z en función del número de parámetros de celda. Si el plano pasa a través del origen, el origen del sistema coordenados deberá moverse
(trasladarse). Un plano paralelo a un eje se considera que lo corta en el infinito y por lo tanto la
intercepción se le representa por infinito: ∞ y 1/∞ = 0.2) Se escriben los números recíprocos de estas intercepciones.3) Estos tres números se multiplican o dividen por un factor común para tener enteros: hkl.4) Encerrar los números resultantes entre paréntesis: (hkl).El número negativo se escribirá con una barra sobre el número.
Ejercicio 12: Determinar los índices de Miller del plano mostrado en la figura.
PASOS X Y Z
Intercepciones (en función del parámetro)
∞ (a) 1(- b) 1(c/2)
Intercepciones ∞ - 1 1/2Recíprocos 1/∞ - 1 2Reducción 0 - 1 2Encerrar en paréntesis (0 1 2)
Ejemplo 13: Determinar los índices de Miller de los planos A, B y C de la figura.
Solucióna) Para el plano A
Intercepciones: X = 1, Y = 1, Z = ∞ Recíprocos: 1/1, 1/1, 1/1 Reducción: 1, 1, 1 Encerrar: (111)
b) Para el plano B Intercepciones: X = 1, Y = 2, Z = ∞ Recíprocos: 1/1, 1/2, 1/∞ = 1, 1/2, 0 Reducción (x2): 2, 1, 0 Encerrar: (210)
c) Para el plano CSe debe mover el origen, ya que el plano C pasa a través del origen (0,0,0); se mueve el origen 1 parámetro en Y:• Intercepciones: x = ∞, Y = - 1, Z = ∞• Recíprocos: 1/∞, -1/1, 1/∞ = 0, - 1, 0• Reducción: 0, - 1, 0
• Encerrar: (0 1 0)
OBSERVACIONES IMPORTANTES
1) Los planos positivos y sus negativos son idénticos: (020) = (0 2 0).2) Los planos y sus múltiplos no son idénticos. Porque su densidad y factor de empaquetamiento no son iguales.3) En los cristales cúbicos planos y direcciones con igual índices son perpendiculares (no existe en otros sistemas cristalinos.4) Cambiando todos los signos (+ ó -) de los índices se obtiene un plano paralelo opuesto a una distancia equivalente del origen.
