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Control Digital Directo Modelos Discretos Determinsticos

1

3.7 Representacin de Sistemas en el Espacio de Estado.

3.7.1 Introduccin al concepto de variables de estado.

La representacin de sistemas en el espacio de estado constituye una herramienta degran utilidad para el anlisis y diseo de sistemas de control en el dominio temporal.En particular resulta de gran significacin para el tratamiento de los sistemasmultivariables. Esta forma de representacin fue desarrollada para el tratamiento demodelos continuos y fue extendida posteriormente a los modelos discretos en razn delos requerimientos impuestos por el control digital.

Se puede dar informalmente para un sistema la siguiente definicin de estadodinmico del sistema.

El estado de un sistema causal, es la informacin mnima que es necesarioconocer en un instante para que conjuntamente con el valor de las entradastt

o

definidas en todo tiempo a partir de ; se pueda determinar eltto

comportamiento del sistema para cualquier .tto

El estado dinmico de un sistema constituye una informacin instantnea que se vamodificando con la evolucin temporal del sistema. Las variables que son necesariaspara definir el estado se denominan variables de estado. Se puede dar la siguientedefinicin.

Las variables de estado constituyen el conjunto ms pequeo de variables, talesque el conocimiento de las mismas en , conjuntamente con las entradastt

o

para , determinan el comportamiento del sistema para cualquier tiempo .tto

tto

De igual modo se puede definir el vector de estado como:

Un vector de estado de dimensin es aqul cuyas componentes estnnconstituidas por las variables de estado.n

Finalmente se define al espacio de estado de la siguiente manera:

Espacio de estado es el espacio geomtrico -dimensional donde se puedenrepresentar cualquier estado por un punto.


2

didt

RL

i 1L

vc 1

Lv

e

dvc

dt 1

Ci

3.7.2. Modelacin en el espacio de estado de un sistema simple.

Con el objeto de asociar estas definiciones a la modelacin de un sistema fsico, setoma como ejemplo un circuito elemental RLC; representado en la Fig. 3.7.1.

Fig. 3.7.1 (a) Circuito RLC; (b) Entrada-Salida del circuito RLCSe toma como seal de entrada al sistema y la tensin sobre el resistor uv

e(t) v

r(t) R

como salida.

Por relaciones fsicas es conocido que la evolucin de las distintas variables fsicas eneste circuito, tales como tensiones y corrientes, quedar definida en un futuro si seconoce para un instante de tiempo , la corriente que fluye en el inductor , latt

oL

tensin que exista sobre el capacitor y la tensin de entrada desde en adelante.C to

En base a la definicin que se ha dado de variables de estado es posible elegir a lacorriente en el circuito y a la tensin sobre el capacitor como variables de estado, yaque stas definen el estado dinmico del circuito. La evolucin futura del estadodinmico para se podr determinar si se conoce para las variables de estado tt

ott

oi(t), v

c(t)

y adems la tensin de entrada para . ve(t) tt

o

Para analizar la evolucin del circuito se pueden plantear las ecuaciones diferencialesdel mismo.

(3.7-1)

Las Ec. 3.7-1 se pueden expresar en una ecuacin matricial-vectorial.


3

di/dtdv

c/dt R/L 1/L1/C 0 ivc 1/L0 ve .

x A x(t) b u(t)

A R/L 1/L1/C 0

, b 1/L0

.

y cTx(t)

x(t) Ax(t) b u(t)y(t) c Tx(t)x T(t) [i v

c]

u(t) ve(t)

y(t) vr(t).

(3.7-2)

Definiendo a como variables de estado y a como vector de estado, la Ec. 3.7-2i, vc

x

se puede reescribir

con

(3.7-3)La matriz

se denomina matriz del sistema y vector de entrada.A b

La variable de salida puede obtenerse tambin a partir del vector de estadoy vRmediante la Ec. 3.7-4.

(3.7-4)

con . El vector se denomina vector de salida.c T [R 0] cDe esta forma el circuito RLC de la Fig. 3.7.1 queda modelado en el espacio de estadopor las siguientes ecuaciones,

(3.7-5)con

estandodefinidas en las Ec. 3.7-3 y Ec. 3.7-4.A, b, c


4

y (n) a1y (n1) ...an1 y an y u(t).

y(to), y(t

o), ..., y (n1)(t

o)

x1 yx2 y

.

.

.

xn y (n1).

x1 x2x2 x3.

.

.xn1 xnx

n a

nx1 an1x2 ... a1xn u(t).

3.7.3. Modelacin de un sistema monovariable de orden .n

El sistema monovariable representado en la Fig. 3.7.2. de orden se puedenrepresentar por la Ec. 3.7-6.

(3.7-6)Fig. 3.7.2 Sistema monovariable de orden n.

Conociendo los parmetros del sistema, los valores de la variable de salida y susaiderivadas hasta la de orden en n1 tt

o

y la entrada para , puede determinarse el comportamiento futuro de la salidau(t) tto

del sistema para . Para hacer la modelacin en el espacio de estado se puedeny(t) tto

tomar las siguientes variables de estado:

(3.7-7)

De esta forma la ecuacin diferencial de orden , Ec. 3.7-6, se puede transformar ennun sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:n

(3.7-8)

E lsistema Ec. 3.7-8 se puede expresar matricialmente como:


5

x1x2.

.xn

0 1 0 00 0 1 0. . . .. . . .a

n. . a1

x1

x2

.

.

xn

00.

.

1

u

x(t) Ax(t) bu(t).

y [1 0 0]x1

x2x

n

y(t) cT x(t).

x(t) A x(t) b u(t)y(t) cT x(t)

(3.7-9)

La Ec. 3.7-9 se puede escribir en forma compacta como:

De igual modo la salida del sistema queda expresada:

(3.7-11)

(3.7-12)El sistema monovariable de orden representado por la ecuacin diferencial Ec. 3.7-6nqueda modelado en el espacio de estado por la siguientes ecuaciones diferencialesvectoriales-matriciales de primer orden:

(3.7-13)Siendo:

: entrada al sistemau: salida del sistemay: vector de estadox: Matriz del sistemaA: vector de entradab: vector de salidac

3.7.4 Extensin para sistemas multivariables.


6

y(s) G(s) u(s)

x(t) A x(t) B u(t)y(t) C x(t)

Un sistema multivariable como el representado en la Fig. 3.7.3, en el cual existeninteracciones mltiples de las entradas con las salidas, si se desea modelar cone secuaciones diferenciales, conduce a un complejo sistema de ecuacioness x ediferenciales, de distinto orden que contemplan las relaciones dinmicas de todas lasentradas con las distintas salidas. La de mayor orden define el orden del sistemanmultivariable. O tambin el orden del sistema est dado por el nmero mnimo devariables de estado necesarias.

Fig. 3.7.3. Sistemas Multivariables.

El sistema de las ecuaciones diferenciales transformadas al dominio frecuencials x een variable compleja permiten modelar el sistema multivariable a travs de la matrizsde transferencia tal que:G(s)

(3.7-14)

siendo:

: vector de salida de dimensin y(s) s: vector de entrada de dimensin u(s) e: matriz de transferencia de dimensin .G(s) s x e

Cada elemento de la matriz representa la Funcin de Transferencia de laG(s) Gij(s)entrada respecto de la salida .uj(s) yi(s)

De la misma forma que para el caso monovariable, aunque con un mayor grado decomplejidad resulta posible a travs de una adecuada eleccin de las variables deestado, transformar todas las ecuaciones diferenciales en conjuntos de ecuacionesdiferenciales de primer orden. Finalmente es posible compactar la notacin de tal formade obtener una ecuacin diferencial matricial-vectorial de primer orden de la mismaforma que las Ec. 3.7-13,

(3.7-15)


7

x(t) A x(t) B u(t)y(t) C x(t) D u(t).

siendo: Matriz del sistemaA: Matriz de entradaB: Matriz de salida.C

Cuando existe una respuesta inmediata de la salida de un sistema respecto de unaentrada, se dice que el sistema tiene un acoplamiento directo entre entrada y salida.En este caso se modifica la ecuacin de salida del modelo de estado tomando la formade la Ec. 3.7-16.

(3.7-16)La matriz se denomina matriz de transferencia directa.D

Para determinar rpidamente la dimensin de las distintas componentes de la Ec.3.7-16, resulta til representar los vectores y matrices de la Ec. 3.7-16 por rectnguloscuyas longitudes de lados representan la dimensin considerada.

Las Ec. 3.7-16 pueden representarse esquemticamente para un sistema multivariablecon entradas y salidas como en la Fig. 3.7-4.e s

Fig. 3.7.4. Representacin esquemtica de las ecuaciones de estado.

Se observa que para un sistema multivariable la matriz de entrada toma la dimensinB, la matriz de salida la dimensin , la matriz de transferencia directa lan x e C s x n D

dimensin y la matriz de entrada , la dimensin , igual que para el casos x e A n x n


8

x(t) A(t) x(t) B(t) u(t)y(t) C(t) x(t) D(t) u(t).

t k To

para k 0,1,2...

y(k) a1y(k1) ... any(kn) bou(k) b1u(k1) ... bmu(km).

monovariable.

Cuando el sistema a modelar es variante, las distintas matrices que lo representansern funcin del tiempo. En este caso las Ec. 3.7-16 toman la forma de las Ec. 3.7-17.

(3.7-17)

3.7.5 Modelos de tiempo discreto.

Se ha considerado que la variable tiempo puede tomar cualquier valor real positivoty por ello el modelo se denomina de tiempo continuo. Hay casos en que el procesovara en forma discontinua con el tiempo o tambin procesos de tiempo continuo queadmiten un modelo discretizado en el tiempo. En estos casos los modelos sedenominan modelos de tiempo discreto.

Cuando se hace una modelacin en el dominio temporal en tiempo discreto, lasfunciones temporales continuas pueden expresarse como funciones discretas, dondestas toman el valor de la funcin continua en cada instante de tiempo discreto, comofue expresado en el captulo 2.

Si el intervalo de discretizacin es constante, denominado comnmente intervalo demuestreo , la funcin temporal discretizada tomar el valor de la funcin continuaT

o

en:

(3.7-18)Por simplicidad de notacin los instantes de muestreo se representan simplementekT

o

por el valor de .k

Un sistema monovariable de orden representado en tiempo discreto con entrada n u(k)y salida podr ser modelado por una ecuacin en diferencias de orden , cuyay(k) nforma general esta dada por la Ec. 3.7-22

(3.7-22)

A partir de las ecuaciones en diferencias que representan un modelo de tiempodiscreto, es posible realizar una modelacin en el espacio de estado de tiempo discreto.El procedimiento es equivalente conceptualmente al realizado a partir de la ecuacin


9

x(k1) A(k)x(k) B(k)u(k)y(k) C(k)x(k) D(k)u(k).

x(k1) Ax(k) Bu(k)y(k) Cx(k) Du(k).

To 1

2 fmax

diferencial Ec. 3.7-6, que condujo, con las distintas generalizaciones, a las ecuacionesvectorial-matricial de estado Ec. 3.7-17.

Las ecuaciones de estado de tiempo discreto que modelan un sistema discretomultivariable resultan de la forma:

(3.7-23)Para sistemas invariantes sern:

(3.7-24)En la Fig. 3.7.5 se representa el diagrama en bloques del modelo de la Ec. 3.7-23.

Fig. 3.7.5 Diagrama en bloques de un modelo dado por la Ec. 3.7-23.

El teorema de muestreo de Shannon asegura que si el intervalo de discretizacinTo

entre las muestras de una seal continua es:

siendo la frecuencia mxima del espectro de la seal, como qued establecido enfmax

el punto 2.5, entonces no se pierde la informacin contenida en las seales continuas.Esto implica que respetando el teorema de Shannon se puede construir un modelo deestado de tiempo discreto que representa fielmente al proceso de tiempo continuo.

Es importante destacar que si bien las ecuaciones para modelos de estado de tiempocontinuo son similares a las de tiempo discreto, las matrices de coeficientes serndistintas. Sin embargo, se puede establecer una equivalencia entre las matrices deambos modelos.

Los diseos de control moderno digital de estado, hacen uso de este ltimo modelo, por


10

x(k1) f[x(k), u(k), k]y(k) g[x(k), u(k), k]

w T x

T 1w(k1) A(k)T 1w(k) B(k)u(k)w(k1) TA(k)T 1 w(k) TB(k)u(k)

y(k) C(k)T 1w(k) D(k)u(k) .

A (k) TA(k)T 1 B (k) TB(k)C (k) C(k)T 1 D (k) D(k)

w(k1) A (k)w(k) B (k)u(k)y(k) C (k)w(k) D (k)u(k).

ello de ahora en ms se trabajar exclusivamente con ste.Las Ec. 3.7-23 y Ec. 3.7-24 solo modelan sistemas lineales. Esto es, el estado en

se obtiene de una relacin lineal entre y . Para sistemas no lineales elx(k1) x(k) u(k)estado en ser una funcin no lineal de y . En general las ecuacionesx(k1) x(k) u(k)de estado que modelan a un sistema no lineal variante tendrn la forma

(3.7-25)Siendo en general funciones vectoriales no lineales de .f, g x(k), u(k), k

En el presente texto se tratan solamente sistemas que puedan modelarse en formaprecisa o aproximada con las relaciones lineales dadas por las Ec. 3.7-23 y Ec. 3.7-24.

3.7.6 Carcter no nico del modelo de estado.

Supngase una transformacin lineal

donde son vectores y una matriz de transformacin cuadrada no singular.w, x T

Entonces despejando y reemplazando en la Ec. 3.7-23 se tienex

(3.7-26)

Definiendo ahora

y reemplazando en la Ec. 3.7-26 se tiene:

Estas dos ltimas ecuaciones son una representacin de estado para el mismoproceso, obtenidas por transformacin lineal del modelo anterior con la misma entrada


11

x(k1) A x(k) B u(k)

x(1) A x(0) B u(0)x(2) A x(1) B u(1) A 2x(0) AB u(0) B u(1)x(3) A x(2) B u(2) A 3x(0) A 2B u(0) AB u(1) B u(2).

x(k) A kx(0) k1j0

A kj1 B u(j)k 1,2,3...

(k) A k

y(k) CA k x(0) D u(k) k1j0

CA kj1 B u(j).

y salida. Puesto que la nica restriccin para la matriz es que sea no singular, seTpueden obtener infinitos modelos en el espacio de estado para el mismo proceso.

3.7.7 Solucin de la ecuacin de estado de tiempo discreto.

Con el objeto de hacer un planteo conceptual se analiza la solucin de la ecuacin deestado de tiempo discreto para un proceso invariante

(3.7-27)Resolviendo la Ec. 3.7-27 para los distintos valores de a partir de se tienek k0

Generalizando se tiene para cualquier k

(3.7-28)

La Ec. 3.7-28 tiene dos partes: el primer sumando representa la contribucin al estadoinicial y la sumatoria la contribucin al estado actual de la secuencia de valores de laentrada.

La matriz

(3.7-29)se denomina Matriz de Transicin de Estado y relaciona, en un sistema invariante,el estado final con el inicial para entrada nula. Reemplazando la Ec. 3.7-28 en laecuacin de salida Ec. 3.7-24, se obtiene el valor de la salida en funcin del estadoy(k)inicial y todos los valores de la entrada desde el instante inicial hasta el valor x(0) u(k) k

(3.7-30)


12

zx(z) A x(z) B u(z)y(z) C x(z) D u(z).

x(z) (zI A)1 B u(z)y(z) [C(zI A)1 B D] u(z).y(z) G(z) u(z).G(z) [C(zI A)1 B D].

G(z) C adj(zI A) B D det(zI A)det(zI A) .

det(zI A) 0.

3.7.8 Relacin entre la representacin de estado y la matriz o funcin detransferencia.

a) Transformacin de la representacin de estado a la matriz detransferencia discreta.

Aplicando transformada a las Ec. 3.7-24 para condiciones iniciales nulas, se tiene(3.7-31)

(3.7-32)Operando en Ec. 3.7-31

y reemplazando en Ec. 3.7-32 se obtiene

(3.7-33)La matriz de transferencia discreta se define como

(3.7-34)Comparando la Ec. 3.7-33 con la Ec. 3.7-34 se encuentra que

(3.7-35)La Ec. 3.7-35 permite la trasformacin del modelo de estado al modelo representadoen matriz de transferencia. Si el sistema es de una entrada y una salida la matriz detransferencia se transforma en una funcin de transferencia . Con la Ec.G(z) G(z)3.7-35 la matriz de transferencia se puede escribir tambin como

De esta manera la ecuacin caracterstica del modelo del proceso ser

(3.7-36)Por lo tanto los polos del modelo del proceso son los valores caractersticos oautovalores de la matriz .A


13

y(z)u(z) boz m b1z m1 b2z m2 ... bmz n a1z n1 a2z n2 ...an

y(z) [boz m b1z m1 b2z m2 ... bm]x(z)

u(z) [z n a1z n1 a2z n2 ...an]x(z) .

y(k) box(km) b1x(km1) ... bmx(k)

u(k) x(kn) a1x(kn1) ...anx(k).x(kn) u(k) a1x(kn1) ... anx(k)

x1(k) x(k)x1(k1) x2(k) x(k1)x2(k1) x3(k) x(k2)

. . .

. . .

xm(k1) x

m1(k) x(km)x

m1(k1) xm2(k) x(km1). . .

xn1(k1) xn(k) x(kn1)x

n(k1) x(kn) u(k) a

nx(k) ...a1x(kn1) .

b) Transformacin de funcin de transferencia a espacio de estado.Dada una funcin de transferencia discreta de un sistema monovariable.

(3.7-37)

multiplicando y dividiendo por e igualando numeradores y denominadores dex(z)ambos miembros se tiene el sistema

(3.7-38)

(3.7-39)Las ecuaciones en diferencias correspondientes a las Ec. 3.7-38 y Ec. 3.7-39, seobtienen transformando stas al dominio temporal,

(3.7-40)

(3.7-41)Despejando de la Ec. 3.7-41x(kn)

(3.7-42)se hace la siguiente asignacin de variables

(3.7-43)

Reemplazando el sistema Ec. 3.7-43 en la Ec. 3.7-40 y en la Ec. 3.7-42


14

y(k) b0xm1(k) b1xm(k) ... bmx1(k)x

n(k1) u(k) a1xn(k) ... anx1(k).

x1(k1)x2(k1)

.

.

xn(k1)

0 1 0 ... 00 0 1 ... 0. . . ... .

. . . ... 1an

. . ... a1

x1(k)x2(k)

.

.

xn(k)

00.

.

1

u(k)

y(k) [bm

bm1 bo 0 0]

x1(k)x2(k)

.

.

xm1(k)

.

.

xn(k)

.

A 0 1 0 00 0 1 0. . . .. . . 1a

n. . a1

b 00.

.

1

(3.7-44)

(3.7-45)

Luego poniendo el sistema 3.7-43 en forma matricial y observando la ecuacin 3.7-45se tiene

(3.7-46)

y para 3.7-44

(3.7-47)

Comparando las Ec. 3.7-46 y Ec. 3.7-47 con la Ec. 3.7-23 es


15

c T [bm

bm1 b0 0 0] d [0].

A z1 0 0 ... 0

0 z2 0 ... 0

0 0 z3 ... 0

. . . ... .

0 0 0 ... zn

b b1b2.

.

bn

c [c1 c2 ... cn]

El modelo de estado representado por las matrices se denomina formaA, b, c T, dcannica controlable.

Debido al carcter no nico del juego de variables de estado, aplicandotransformaciones lineales del tipo vistas en el punto 3.7.6, se obtienen otras formascannicas en las cuales los autovalores de la matriz de coeficientes sern iguales a losdel modelo anterior pues los polos asociados al proceso son invariantes cualquiera quesea el modelo matemtico con el cual se lo representa. As pueden obtenerse estasformas estructuradas especialmente denominadas formas cannicas. A continuacinse dan algunas de las ms importantes.

Dado como dato entonces no se modifica por las transformaciones. A, b, c, d

Se definen las siguientes formas cannicas:

Forma cannica diagonal.

donde son los autovalores de la matriz original.z1, z2, , zn AForma cannica columna.


16

A 0 0 0 a

n

1 0 0 an1

0 1 0 an2

. . . .0 0 0 a1

b 100.

0

c [c T b c T A n1 b]

A 0 1 0 00 0 1 00 0 0 0. . . .a

n. . a1

b 000.

1

c T [bm b

o0 0]

A 0 1 0 00 0 1 00 0 0 0. . . .a

n. . a

n

b c Tb

c TAb.

.

c TA n1b

c T [1 0 0] .

Forma cannica controlable.

Forma cannica fila.


17

A 0 0 0 a

n

1 0 0 an1

0 1 0 .. . . .0 0 0 a

n

b b

n

.

.

.

b1

c T [0 0 1] .

A

0 1 0 00 0 1 00 0 0 0. . . .

. . . .an

. . a1

0 0 00 0 00 0 0. . .. . .1 0 0

0 0 0 0. . . .. . . .0 0 0 00 0 0 0

0 1 0. . .. . .0 0 10 0 0

Forma cannica observable.

Estas formas cannicas son muy tiles puesto que permiten pasar de funciones detransferencia a modelos de estado en forma inmediata ya que los coeficientes de

son los mismos que los de la funcin de transferencia. A, b, c T

Un caso importante de representacin se produce cuando el modelo de un procesopresenta un retardo puro del modelo de tiempo continuo. En estas condiciones sepuede demostrar que la matriz de la forma cannica controlable se convierte enA

Es decir se incrementa la dimensin de la matriz siendo ahora de .A (nd) x (nd)c) De matriz de transferencia a espacio de estado.

En general esta transformacin no es directa, sino que se debe llevar a variables de


18

A A11 0 00 A12 0. . .. . .0 0 A

se

C

cT

11 c T1s0 0. .. .0 0

0 0c

T21 c2s. .. .0 0

0 00 0. .. .

cT

e1 c Tes

B

0 b12 0. . .. . .0 0 b1e

b21 0 00 b22 0. . .. . .0 0 b2e

. . .b

s1 0 00 bs2 0. . .

D d11 d12 d1ed12 d22 d2e. . .. . .

d d d

estado cada una de las funciones de transferencia que componen la matriz para recinentonces armar el modelo de estado. Para esto son importantes las estructurascannicas mencionadas en el punto 3.6.2 y su equivalente en el espacio de estado.Para la forma cannica P se tiene

Para la estructura cannica V se supone quepuesto que si no su tratamiento se hacedij 0 i, j

muy complejo. Se obtiene para la matriz A


19

A

A11 b11cT

12 b11c T10 A12 0. . .0 0 A1s

0 0 00 b12c

T22 0

. . .

. . .

0 0 00 0 0. . .0 0 b1ec Tes

b21c

T11 0 0

0 0 0. . .0 0 0

A21 0 0b22c21 A22 b22c T2s

. . .0 0 A2s

0 0 00 0 0. . .0 0 b2ec Tes

. . .. . . . . .. . . . . .. . .

be1c

T11 0 0

0 0 0. . .0 0 0

0 0 00 be2c22 0. . .0 0 0

Ae1 0 0

0 Ae2 0. . .

bes cT

e1 A Tes


20

G(s) 1z 1s

1s (s1) 1z 1 1s 2(s1) .

Las matrices y los vectores corresponden a los modelos de estado de cadaAij bij, cT

ijuna de las funciones de transferencia , transformadas al espacio de estado segnGijuna forma cannica dada.

Como se puede observar el modelo de estado de un proceso multivariable obtenido apartir de una estructura cannica de ninguna manera ser mnimo y por lo tanto sedeber aplicar algn algoritmo de reduccin de modelo para obtener un modelo sinestados redundantes.

El estudio de reduccin de modelo constituye un aspecto muy especfico del controlmoderno y supera los objetivos de este texto.

Ejemplo: Modelo discreto de un proceso continuo, transformacin de funcinde transferencia a modelo de estado

Para realizar el control digital de un proceso continuo, se desea obtener el modelo deestado discreto del mismo. Como paso intermedio se obtiene el modelo discreto en eldominio . Al estar el proceso en un entorno discreto, las seales de entrada y salidadeben ser de naturaleza discreta tal que puedan ser generadas o interpretadas por uncomputador. Para que el proceso opere normalmente, la seal de entrada discreta u(z)debe ser convertida en una seal de tipo quasi-continua, utilizndose en este caso unretenedor de orden cero. El conjunto proceso-retenedor, incluyendo los muestreadoresse representa en la Fig. 3.7.6.

Fig. 3.7.6 Proceso continuo en un entorno discreto

La funcin de transferencia del conjunto proceso-retenedor es

L atransformada de la parte continua se realiza descomponiendo la funcin enfracciones parciales y utilizando una tabla de transformadas


21

1s 2(s1) 1s 2 1s 1s1

T0z 1(1z 1)2 11z 1 11e T0z 1 .

G(z) T0z 11z 1 1 1z 11az 1

(T0a1)z 1 (1aT0a)z 2(1z 1)(1az 1)

G(z 1) 0,368 z 1 0,264 z 2(1 z 1)(1 0,368 z 1)

G(z) y(z)u(z) 0,368 z 0,264(z 1)(z 0,368) b1z b2z 2a1z a2 .

y(z) (b1z b2)x(z)u(z) (z 2 a1z a2)x(z)

Tomando , la funcin de transferencia discreta del conjunto proceso-retenedore T0 aresulta

suponiendo que es , se obtiene el modelo para exponente negativo de laT01 segvariable z

expresado en trminos de potencias positivas es

Para obtener el modelo de estado se utiliza el procedimiento definido comotransformacin de funcin de transferencia a espacio de estado. Introduciendo lafuncin auxiliar , la funcin de transferencia puede representarse como unx(z) G(z)sistema de dos ecuaciones en variable discreta . z

la ecuacin que involucra a representa la relacin dinmica de la salida del sistemay(z)en relacin a , mientras que aquella que incluye a , contempla la relacinx(z) u(z)dinmica de la entrada del sistema en relacin a . Estas ecuaciones puedenx(z)transformarse al dominio temporal obtenindose las ecuaciones en diferencias querepresentan al sistema


22

y(k) b1x(k1) b2x(k)u(k) x(k2) a1x(k1) a2x(k)

x1(k) x(k)x1(k1) x2(k) x(k1)x2(k1) x(k2) u(k) a1x(k1) a2x(k)x1(k1) x2(k)x2(k1) u(k) a1x2(k) a2x1(k)

y(k) b1x2(k) b2x1(k) .x1(k1)x2(k1) 0 1a2 a1 x1(k)x2(k) 01 u(k)

y(k) b2 b1 x1(k)x2(k)

.

x(k1) Ax(k) bu(k)y(k) c T x(k)

x(k) x1(k)x2(k)

A 0 1a2 a1b 0

1c T b2 b1 .

se hace la siguiente asignacin de variables

reemplazando la asignacin de variables en las ecuaciones de entrada y salida seobtiene

Este sistema de ecuaciones puede representarse matricialmente para la entrada como

(3.7-48)y para la salida

(3.7-49)Las Ec. 3.7-48 y Ec. 3.7-49 modelan el sistema en el espacio de estado. En formacompacta resulta

(3.7-50)siendo el vector de estado, la matriz del sistema y los vectores de entradax(k) A b, cy salida respectivamente. Estos se definen como


23

x(k) A k x(0)y(k) C x(k)

x(k) 0.

x1(k)x2(k)

.

.

xn(k)

z

k1 0 00 z k2 0. . .. . .0 0 z kn

x1(0)x2(0)

.

.

xn(0)

Las formas de las matrices del modelo de estado pertenecen al tipo cannicacontrolable.

3.7.9 Anlisis de estabilidad.

Para hacer un anlisis simplificado de la estabilidad de un sistema invariante modeladoen el espacio de estado, se supone sin perder generalidad la entrada . Bajou(k) 0esta condicin, el estado final est relacionado al estado inicial , segn la Ec.x(k) x(0)3.7-28 por

Dado que la salida del sistema es segn la Ec. 3.7-24 para entrada nula,

siendo invariante, es posible hacer el anlisis de estabilidad directamente sobre laCevolucin del vector de estado .x(k)

Un sistema lineal invariante ser estable si, teniendo una accin de entrada nula u(k)0y partiendo de un estado inicial cualquiera del espacio de estado distinto de cero ,x(0)evoluciona hacia un estado .x(k) 0A partir de la Ec. 3.7-28 se concluye que siendo para entrada nula el sistema estable,la matriz de transicin debe ser tal que evolucionando , conduzca el sistema alA k kestado

Con el objeto de hacer un anlisis conceptual simplificado de la estabilidad, se suponeun sistema con polos reales y distintos. En este caso y en virtud del carcter no nicodel modelo de estado (Punto 3.7.6), si no tiene autovalores mltiples, siempre esAposible transformar el modelo de estado tal que la matriz del sistema tome la formaAdiagonal. Siendo diagonal la Ec. 3.7-28 para entrada nula puede escribirse en formaA

explcitacomo


24

x(k) A k x(0) k1j0

A kj1 b u(j).

x(N) A Nx(0) [b Ab A N1b]uNu

TN [u(N1) u(N2) u(0)].

um [b Ab A m1 b]1[x(m) A mx(0)].

Qc [b Ab A m1b]

Los elementos de la diagonal de la matriz son por definicin los autovalores de laAmisma.

De la ecuacin caracterstica del sistema Ec. 3.7-36 los valores son los polos delzisistema. Por lo tanto para que el vector tienda a cero, los valores de deben serx(k) zmenores que uno. Esto implica que todos los polos del sistema deben estar ubicadosdentro del crculo unitario en el plano . Este concepto puede extenderse tambin parasistemas cuya matriz tenga autovalores mltiples, aunque su anlisis resulta msAcomplicado.

3.7.10. Controlabilidad.

Un sistema definido por las ecuaciones de estado Ec. 3.7-23 se dice que escompletamente controlable, si existe una secuencia realizable de control queu(k)pueda transferir el estado del sistema desde un valor inicial hasta un estado final x(0) x(N)en un nmero finito de pasos .N

Por razones de simplicidad algebraica se hace el anlisis de controlabilidad para unsistema monovariable, los resultados obtenidos son fcilmente extensibles a un sistemamultivariable. Para el sistema monovariable la Ec. 3.7-28 toma la forma

para se tienekN(3.7-51)

donde es el vector cuyos componentes representan la secuencia de entradauN

(3.7-52)Si el orden del sistema es , esto es la dimensin de es , de las Ec. 3.7-51 ym A m x m3.7-52 se puede determinar de manera nica la entrada para ya que se obtieneN mun sistema de ecuaciones con incgnitas,m m

(3.7-53)La matriz


25

Rango Qc m.

Qc [B AB A m1B] .

x(k1) A x(k) b u(k)y(k) c T x(k) .

y(k) c T x(k)y(k1) c T A x(k) c T b u(k)y(k2) c T A 2 x(k) c T Abu(k) c T b u(k1)

.

.

y(kN1) c T A N1 x(k) [0 c Tb c TAb c TA N2b] uNu

TN [u(kN1) u(k1) u(k)].

(3.7-54)se denomina matriz de controlabilidad. Para que pueda ser determinado, estau

m

matriz no debe tener columnas o filas linealmente dependientes. Para que el sistemasea controlable se debe cumplir entonces

Para no existe una solucin para . Si existen soluciones no nicas.N < m uN N > m

Para procesos multivariables se hacen los mismos razonamientos y la matriz decontrolabilidad queda definida por

(3.7-56)

3.7.11. Observabilidad

Un sistema lineal con salida se denomina observable si cualquier estado dely(k) x(k)mismo, puede ser determinado a partir de un nmero finito de valores de la salida .y(k)

Se hace aqu un anlisis del concepto de observabilidad para un sistema monovariable.Las ecuaciones que modelan el sistema en el espacio de estado son:

(3.7-57)A partir de las Ec. 3.7-57, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias

(3.7-58)donde

(3.7-59)Si se conocen todas las componentes del vector , para determinar en forma unvocauNlas componentes del vector de orden , se requieren ecuaciones. Esto implicax(k) m mque debe ser y el sistema de Ec. 3.7-58 toma la forma:N m


26

ym Q

ox(k) S u

m

y Tm [y(k) y(k1) y(km1)]u

Tm [u(km1) u(k1) u(k)]

Qo [c A Tc A (m1)Tc]

S 0 0 0 0. . . c Tb. . . .. . . .0 c Tb c TAb c TA m2b

.

x(k) Q 1o ym S um .det Q

o 0.

Rango Qo m

Qo [C CA CA m1].

(3.7-60)con

El vector de estado observado se puede calcular como:

(3.7-61)Esto supone que debe ser:

Por lo tanto el sistema es observable si la matriz de observabilidad cumple con laQo

condicin:

o bien que no tenga filas linealmente dependientes.Qo

Este planteo puede extenderse para sistemas multivariables conduciendo a la siguientematriz de observabilidad.

(3.7-62)

3.7.12. Dualidad de los procesos lineales.

Dado un proceso lineal


27

x(k1) A(k) x(k) B(k) u(k)y(k) C(k) x(k) D(k) u(k)

x (k1) A T(k k) x (k) C T(k k) u(k)y (k) B T(k k) x (k) D(k k) u(k)

x(k1) Ax(k) Bu(k)y(k) Cx(k) Du(k)

x (k1) A Tx (k) C Tu(k)y(k) B Tx (k) Du(k)

(3.7-63)

se define el proceso dual con respecto a al proceso definido por k

(3.7-64)

donde es un tiempo fijo arbitrario.k

Dada esta definicin se puede demostrar que:

El proceso representado por la Ec. 3.7-63 es completamente controlable si yslo si su dual representado por la Ec. 3.7-64 es completamente observable.

El proceso representado por la Ec. 3.7-63 es completamente observable si yslo si su dual modelado por la Ec. 3.7-64 es completamente controlable.

El proceso representado por la Ec. 3.7-63 es estable si y slo si su dual dado porla Ec. 3.7-64 es estable.

Esto explica la simetra que se encuentra en los resultados obtenibles paracontrolabilidad y observabilidad. La correspondiente demostracin se encuentra en labibliografa especializada. Estas propiedades son de utilidad para el tratamiento de lossistemas de control con observador presentado en el captulo 4.

Para procesos invariantes modelados por la Ec. 3.7-65

(3.7-65)el modelo del proceso dual es

(3.7-66)

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cap3_07.pdf