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5. ORIENTAÇÃO EXTERIOR
5.1 CONCEITO INICIAL
O objetivo primordial da orientação exterior (ou externa) é a
obtenção da posição e atitude de cada foto em relação ao referencial do
espaço objeto. Essa situação é mostrada na figura 5.1:
Figura 5.1 – Objetivo da orientação exterior
Pode-se dizer, então, que uma imagem está orientada
exteriormente se são conhecidos os seis parâmetros de orientação
exterior para a mesma, a saber: coordenadas no espaço-objeto para o
5.1
centro de perspectiva e ângulos de rotação ou de atitude do sensor (φ, ω e
κ).
Este método difere dos adotados nas fotogrametrias analógica e
analítica, que o dividem em dois processos: orientação relativa e
orientação absoluta. A relativa servia para referenciar cada feixe em
relação ao seu homólogo, reconstruindo a posição exata de um par no
espaço durante a tomada das fotos. A absoluta, por sua vez, referencia o
par de feixes em relação ao terreno (colocando o modelo em escala e
nivelando-o).
Com a orientação exterior, não há a necessidade de se realizar
duas etapas diferentes. Sabendo-se os seis parâmetros já enumerados
para cada uma das imagens de um vôo, pode-se reconstruí-lo totalmente.
5.2 OS PARÂMETROS DA ORIENTAÇÃO EXTERIOR
Como já citado no tópico anterior, há seis parâmetros que localizam
a imagem no espaço. Segue uma explicação mais detalhada de cada um
deles.
“X0“ representa a posição do centro de perspectiva no eixo X do sistema
de coordenadas do espaço objeto.
“Y0” representa a posição do centro de perspectiva no eixo Y do sistema
de coordenadas do espaço objeto.
“Z0” representa a posição do centro de perspectiva no eixo Z do sistema
de coordenadas do espaço objeto.
Os ângulos de Euler (φ, ω e κ) representam rotações sofridas pelo
sistema local de coordenadas x, y e z (de cada câmara) em relação ao
sistema global do terreno X, Y e Z. Rotacionando-se x, y, z de -φ, -ω e -κ,
pode-se torná-lo paralelo a X, Y, Z.
5.2
“ω“ representa a rotação do eixo x em relação a X. É contado no sentido
anti-horário. Este ângulo deve ser pequeno, não devendo ultrapassar 5o
em valor absoluto, no caso de fotografias perfeitamente verticais.
“φ“ representa a rotação do eixo y em relação a Y. É contado no sentido
anti-horário. Este ângulo deve ser pequeno, não devendo ultrapassar 5o
em valor absoluto, no caso de fotografias perfeitamente verticais.
“κ“ representa a rotação do eixo z em relação a Z. O sentido é anti-
horário.
Figura 5.2 – Ângulos de atitude do avião φ, ω e κ.
A matriz de rotação equivalente a cada ângulo expressa a
transformação necessária para rotacionar um sistema em relação a outro
de tal ângulo. São expressas da seguinte forma:
Rå=¦cosî 0 Bsenî0 1 0
senî 0 cosî § (5.1)
Rè=¦1 0 00 cosè senè0 Bsenè cosè§ (5.2)
RÚ=¦ cosÚ senÚ 0BsenÚ cosÚ 0
0 0 1§ (5.3)
5.3
Multiplicando-se todas, pode-se obter a matriz de rotação R, que
equivale aos três movimentos simultaneamente. Assim, R é igual a:
R=RîRèRÚ=¦ cosîcosÚ BcosîsenÚ senîcosîsenÚAsenèsenîcosÚ cosècosÚBsenèsenîsenÚ BsenècosîsenîsenÚBcosèsenîcosÚ senècosÚAcosèsenîsenÚ cosècosî § (5.4)
“R” rotaciona do espaço-objeto para o espaço-imagem. Já “M”, que
é igual a R-1 ou RT rotaciona do espaço-imagem para o espaço-objeto.
5.3 AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE
As duas equações de colinearidade podem ser consideradas a
base da fotogrametria digital, uma vez que estas relacionam os
parâmetros da orientação exterior, as coordenadas fotográficas de um
ponto e as coordenadas tridimensionais do mesmo ponto. Assim,
sabendo-se em quantidades razoáveis qualquer um deles, pode-se, ao
fim, obter os outros através de um ajustamento por mínimos quadrados.
Figura 5.3 – Condição de colinearidade
5.4
A demonstração de tal formulação decorre da chamada “condição
de colinearidade”. Esta pode ser enunciada da seguinte forma:
“No momento da tomada da fotografia, o ponto objeto P, o centro de
projeção O e o ponto imagem P' formam uma linha reta.”
A figura 5.3 oferece uma descrição gráfica desta condição. Nela,
pode-se ver um ponto objeto (P), marcado com uma cruz em vermelho, e
a linha reta que o une ao seu respectivo ponto imagem (p), também
marcado com uma cruz vermelha, sobre a foto. Na linha reta que une os
dois, encontra-se o centro de perspectiva (CP).
5.3.1 DEMONSTRAÇÃO
Figura 5.4 – Condição de colinearidade para uma imagem
5.5
Esta figura representa a condição de colinearidade para um
determinado ponto P, e sua projeção na imagem (p). Note-se,
primeiramente, que a fotografia está rebatida, localizando-se abaixo do
centro de perspectiva (a posição correta seria o plano superior). Porém,
representada deste modo, não se alteram as suas relações geométricas
fundamentais, que serão a base da demonstração.
Figura 5.5 – Fotografia rebatida em relação ao CP
Voltando à figura 5.4, o ponto O representa o centro de projeção,
ou seja, o ponto pelo qual todos os raios vindos do terreno passaram para
sensibilizar o filme em diversas regiões. Também pode ser chamado de
centro de perspectiva.
Note-se que suas coordenadas no sistema imagem não coincidem
exatamente com a origem. Isso acontece sempre, devido aos
movimentos e rotações que a câmara sofre durante o vôo, embora quase
sempre estas diferenças sejam bastante pequenas. Em todo caso, a
projeção de O no sistema imagem recebe as coordenadas ξ0 e η0,
enquanto o ponto p recebe coordenadas ξ e η.
Para compatibilizar os sistemas de coordenadas imagem e terreno,
uma terceira coordenada foi atribuída ao primeiro, tornando-o
5.6
tridimensional (equivalentemente ao sistema de câmara). Esta
coordenada (ζ) é constante nos pontos da imagem, e de valor igual a -c (o
valor da distância focal com o sinal trocado).
Figura 5.6 – Sistema de coordenadas de câmara
Outros dois sistemas presentes na figura são o sistema de
coordenadas objeto (X Y Z) e o sistema de coordenadas objeto paralelo
ao sistema imagem (X' Y' Z'), que nada mais é que o primeiro, rotacionado
dos ângulos de atitude da câmara, de modo a que seja paralelo ao
sistema de coordenadas imagem. Os pontos A, B, D e P estão
posicionados neste sistema. O centro perspectivo, ou O, terá as
seguintes coordenadas: X'0 Y'0 e Z'0, ao passo que P terá como
coordenadas X' Y' e Z'.
Com estes conceitos, podem ser enunciadas duas relações de
razão e proporção, sendo a primeira:
Oab]OAB
Que é facimente visualizada, de acordo com a figura 5.7:
ÞBÞ0
c=
X'BX'0Z'0BZ'
(5.5)
A outra proporção, que pode ser igualmente observada é:
Oad]OAD
E que se encontra representada na figura 5.8.
5.7
Figura 5.7 – Primeira relação de proporcionalidade
Figura 5.8 – Segunda relação de proporcionalidade
5.8
×B×0
c=
Y'BY'0Z'0BZ'
(5.5)
Rearranjando-se as equações 5.4 e 5.5 chega-se a:
Þ=Þ0BcX'BX'0Z'BZ'0
(5.6)
×=×0BcY'BY'0Z'BZ'0
(5.7)
Os sistemas X' Y' Z' e X Y Z se relacionam da seguinte maneira:
¦XBX0
YBY0
ZBZ0§=R¦X'BX'0
Y'BY'0Z'BZ'0
§ e ¦X'BX'0Y'BY'0Z'BZ'0
§=RB1¦XBX0
YBY0
ZBZ0§ (5.8)
Onde R-1 = RT e R = ¦r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33§ .
Utilizando-se as relações acima, chega-se, enfim, a:
Þ=Þ0Bcr11¢XBX0£Ar21¢YBY0£Ar31¢ZBZ0£r13¢XBX0£Ar23¢YBY0£Ar33¢ZBZ0£
(5.9)
×=×0Bcr12¢XBX0£Ar22¢YBY0£Ar32¢ZBZ0£r13¢XBX0£Ar23¢YBY0£Ar33¢ZBZ0£
(5.10)
São as chamadas equações de colinearidade. A partir das
mesmas, pode-se, então, realizar uma série de cálculos diferentes, que
serão descritos nos próximos tópicos.
5.9
5.4 A RESSEÇÃO ESPACIAL
A partir das equações de colinearidade, pode-se determinar os seis
elementos de orientação exterior de uma fotografia (X0, Y0, Z0, φ, ω, κ) a
partir de, no mínimo três pontos de controle.
Como os pontos de controle foram identificados na imagem, são
conhecidas as suas coordenadas pixel. A partir dos parâmetros da
orientação interior, chega-se às suas coordenadas no sistema imagem
(fotográfico) ξ1 e η1, ξ2 e η2, ξ3 e η3, ... Como dados, também encontram-se
disponíveis suas coordenadas tridimensionais (obviamente, pois são
pontos de controle, ou de campo) X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2, X3, Y3, Z3, ...
A distância focal já é conhecida, uma vez que está contida no
certificado de calibração da câmara. As coordenadas do ponto principal
ξ0 e η0 (no espaço imagem) também encontram-se no mesmo, porém,
caso não estejam descritas, podem ser adotadas como os valores das
médias das coordenadas em ξ e η das marcas fiduciais.
Com todos estes valores conhecidos, resta apenas determinar as
incógnitas. Um exemplo literal vem a seguir, considerando quatro pontos
de campo.
Dados:
Distância principal (ou focal, ou focal calibrada): c;
Coordenadas do ponto principal: ξ0 e η0;
Coordenadas de 4 pontos no espaço imagem: ξ1 e η1, ξ2 e η2, ξ3 e η3, ξ4 e η4;
Coordenadas de 4 pontos no espaço objeto: X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2, X3, Y3,
Z3, X4, Y4, Z4;
Fórmulas:
Þ1=Þ0Bcr11¢X1BX0£Ar21¢Y1BY0£Ar31¢Z1BZ0£r13¢X1BX0£Ar23¢Y1BY0£Ar33¢Z1BZ0£
5.10
×1=×0Bcr12¢X1BX0£Ar22¢Y1BY0£Ar32¢Z1BZ0£r13¢X1BX0£Ar23¢Y1BY0£Ar33¢Z1BZ0£
Þ2=Þ0Bcr11¢X2BX0£Ar21¢Y2BY0£Ar31¢Z2BZ0£r13¢X2BX0£Ar23¢Y2BY0£Ar33¢Z2BZ0£
×2=×0Bcr12¢X2BX0£Ar22¢Y2BY0£Ar32¢Z2BZ0£r13¢X2BX0£Ar23¢Y2BY0£Ar33¢Z2BZ0£
Þ3=Þ0Bcr11¢X3BX0£Ar21¢Y3BY0£Ar31¢Z3BZ0£r13¢X3BX0£Ar23¢Y3BY0£Ar33¢Z3BZ0£
×3=×0Bcr12¢X3BX0£Ar22¢Y3BY0£Ar32¢Z3BZ0£r13¢X3BX0£Ar23¢Y3BY0£Ar33¢Z3BZ0£
Þ4=Þ0Bcr11¢X4BX0£Ar21¢Y4BY0£Ar31¢Z4BZ0£r13¢X4BX0£Ar23¢Y4BY0£Ar33¢Z4BZ0£
×4=×0Bcr12¢X4BX0£Ar22¢Y4BY0£Ar32¢Z4BZ0£r13¢X4BX0£Ar23¢Y4BY0£Ar33¢Z4BZ0£
Verifica-se, então, que, para que seja realizado um ajustamento,
são necessárias aproximações iniciais para as incógnitas, uma vez que o
modelo é não-linear.
Estes valores, chamados de X00, Y00, Z00, φ0, ω0, κ0 podem ser
estimados de diferentes formas, como enunciado por (Kraus, 1999):
- Ajustamento por modelos independentes;
- Transformação linear direta (geometria projetiva);
- Adotando-se os seguintes valores:
φ0 = 0, ω0 = 0
Figura 5.9 – Cálculo de κ0
κ0 dado pela direção de vôo (ângulo, no sentido anti-horário,
5.11
necessário para fazer coincidir a linha de vôo com o eixo X do sistema de
coordenadas de terreno).
X00, Y00, Z00 podem ser obtidos de duas maneiras: uma é realizando
a resseção espacial considerando φ0, ω0 e κ0 como valores para φ, ω e κ.
A outra é realizando uma transformação afim, nos mesmos moldes da
realizada para a orientação interior, porém, desta vez relacionando
coordenadas fotográficas com coordenadas planimétricas de terreno. Ao
se obter estes parâmetros de transformação, os mesmos são utilizados
para calcular X00, Y00 a partir de ξ0 e η0. Z00, para este caso, é a soma da
altura de vôo e o plano médio do terreno, que são previstos desde o
planejamento do vôo.
Agora, pode-se realizar um ajustamento pelo modelo não linear.
Este segue a seguinte formulação:
A=¦^Þ1
^X0
^Þ1
^Y0
^Þ1
^Z0
^Þ1
^å^Þ1
^è^Þ1
^Ú^×1
^X0
^×1
^Y0
^×1
^Z0
^×1
^å^×1
^è^×1
^Ú^Þ2
^X0
^Þ2
^Y0
^Þ2
^Z0
^Þ2
^å^Þ2
^è^Þ2
^Ú^×2
^X0
^×2
^Y0
^×2
^Z0
^×2
^å^×2
^è^×2
^Ú^Þ3
^X0
^Þ3
^Y0
^Þ3
^Z0
^Þ3
^å^Þ3
^è^Þ3
^Ú^×3
^X0
^×3
^Y0
^×3
^Z0
^×3
^å^×3
^è^×3
^Ú^Þ4
^X0
^Þ4
^Y0
^Þ4
^Z0
^Þ4
^å^Þ4
^è^Þ4
^Ú^×4
^X0
^×4
^Y0
^×4
^Z0
^×4
^å^×4
^è^×4
^Ú
§5.12
Xa=¦X0
Y0
Z0
åèÚ§
X0=¦X00
Y00
Z00
å0
è0
Ú0
§L0=¦
Þ10
×10
Þ20
×20
Þ30
×30
Þ40
×40
§Lb=¦
Þ1
×1
Þ2
×2
Þ3
×3
Þ4
×4
§ Xa = X0 – (AT P A)-1 . [AT P (L0 – Lb)] (5.11)
As demais estatísticas de qualidade e precisão seguem as fórmulas
já descritas no capítulo 3.
5.13
5.5 A INTERSEÇÃO ESPACIAL
Conhecendo-se os parâmetros da orientação exterior para um par
de fotografias com superposição (X01, Y01, Z01, φ1, ω1, κ1, X02, Y02, Z02, φ2, ω2,
κ2,), pode-se, a partir das mesmas equações de colinearidade, gerar as
coordenadas tridimensionais de um ponto.
Isto se deve ao fato de, desta vez, serem conhecidos os
parâmetros para cada foto, mais as coordenadas do ponto principal no
sistema fotográfico e a distância focal. Ao haver estereoscopia entre as
imagens, é possível localizar as coordenadas de determinado ponto no
sistema fotográfico de cada uma das imagens ( ξ1 e η1, ξ2 e η2).
Figura 5.10 – Interseção espacial
As equações de colinearidade podem então ser reescritas da
seguinte forma:
Þ1=Þ10Bcr11
1 ¢XBX01£Ar21
1 ¢YBY01£Ar31
1 ¢ZBZ01£
r131 ¢XBX0
1£Ar231 ¢YBY0
1£Ar331 ¢ZBZ0
1£
×1=×10Bcr12
1 ¢XBX01£Ar22
1 ¢YBY01£Ar32
1 ¢ZBZ01£
r131 ¢XBX0
1£Ar231 ¢YBY0
1£Ar331 ¢ZBZ0
1£
5.14
Þ2=Þ20Bcr11
2 ¢XBX02£Ar21
2 ¢YBY02£Ar31
2 ¢ZBZ02£
r132 ¢XBX0
2£Ar232 ¢YBY0
2£Ar332 ¢ZBZ0
2£
×2=×20Bcr12
2 ¢XBX02£Ar22
2 ¢YBY02£Ar32
2 ¢ZBZ02£
r132 ¢XBX0
2£Ar232 ¢YBY0
2£Ar332 ¢ZBZ0
2£
Como o ponto em questão é o mesmo, as incógnitas passam a ser
as suas coordenadas tridimensionais no espaço-objeto (X,Y,Z). O número
de equações ao todo é igual a quatro. Logo, há superabundância de
dados e um ajustamento por mínimos quadrados, nos moldes da resseção
espacial, pode ser aplicado.
5.6 AEROTRIANGULAÇÃO ANALÍTICA (POR AJUSTAMENTO DE
FEIXES PERSPECTIVOS)
Um caso mais genérico da utilização das equações de
colinearidade é a aerotriangulação com ajustamento por feixes
perspectivos (bundle adjustment). Neste caso, ajusta-se um bloco inteiro,
simultaneamente, recorrendo às diversas possibilidades de superposição,
que podem localizar um determinado ponto em até seis imagens,
adicionando mais injunções ao modelo. O resultado final são os
parâmetros da orientação exterior para todas as imagens do bloco, mais
as coordenadas tridimensionais dos diversos pontos fotogramétricos
selecionados pelo operador. O capítulo 6 vem a tratar exclusivamente
desse assunto.
5.7 CONCLUSÃO
Os métodos de orientação exterior através de ajustamentos
envolvendo equações de colinearidade só se tornou-se disponível para
5.15
uso após a implementação de técnicas computacionais para a resolução
do mesmo. Tais métodos, embora exijam valores de entrada
aproximados, apresentam grande consistência em seus resultados finais
(Andrade, 1998), sendo, portanto, largamente recomentados.
Convém ressaltar que muitas das soluções encontradas hoje em
dia ainda utilizam a antiga abordagem “orientação relativa e orientação
absoluta”, utilizando adaptações da formulação já existente para o caso
das fotogrametrias analógica e analítica. Isso se deve ao fato de os
usuários ainda estarem acostumados com os métodos tradicionais, sendo
adequada sua adaptação à fotogrametria digital utilizando os mesmos
métodos. É obrigatório observar, porém, que um processo utilizando
ajustamento por feixes perspectivos, por exemplo, une as etapa da
orientação exterior e aerotriangulação em uma só, permitindo resultados
muito mais rápidos para os operadores.
Alguns outros pontos importantes a serem observados também
encontram-se listados abaixo:
- A orientação exterior na fotogrametria digital consiste em orientar cada
uma das imagens em relação ao sistema de coordenadas do espaço-
objeto;
- Isso se dá através do conhecimento dos seis parâmetros da
orientação exterior (X0, Y0, Z0, φ, ω e κ) para cada uma das imagens;
- Entre vários métodos para encontrá-los, ressaltam-se as soluções por
ajustamentos por equações de colinearidade;
- A resseção espacial serve para obter, para cada imagem, os valores
dos parâmetros de orientação exterior. Necessita-se de, pelo menos,
três pontos de apoio;
- A interseção espacial permite, para um par de imagens, a obtenção
das coordenadas tridimensionais no sistema de espaço-objeto para
qualquer ponto que esteja na área de superposição. Necessita dos
parâmetros da orientação exterior para ambas as imagens;
- O ajustamento por feixes perspectivos propicia a obtenção de todos os
valores citados nos tópicos acima, recursivamente, para um bloco de
imagens. É bastante utilizado atualmente.
5.16
Findo este processo, surgem várias outras possibilidades no fluxo
da fotogrametria digital. Uma delas é a aerotriangulação por feixes
perspectivos, que pode ser efetuada em separado da orientação exterior,
tendo os parâmetros obtidos pela resseção espacial para cada uma das
imagens inseridos como dados, e não mais como incógnitas. Outras
opções são a restituição dos modelos, ou a utilização de métodos como
retificação, extração de modelos numéricos de elevações e
ortorretificação, que serão melhor apresentados posteriormente.
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5.18